超导约瑟夫森结物理参数的实验推算

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2.约瑟夫森结物理参数的推算方法

2.1.结电容和结临界电流的推算方法

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2.1.结电容和结临界电流的推算方法

电流偏置下的约瑟夫森结可以看作是一个质量为$m = C\left[\varPhi_{0} / (2 \pi)\right]^{2}$

的“粒子”在搓衣板势$U(\varphi) = $

$ -E_{\rm J}\left[\left(I_{\rm b} / I_{\rm c}\right) \varphi+\cos (\varphi)\right]$

中运动的动力学模型^[12], 如图1所示. 其中, $ I_{\rm b} $

是外加偏置电流, C为结电容, $ \varPhi_{0} = h/(2 e) $

为磁通量子, $ \varphi $

为约瑟夫森结两端的位相差, 结的约瑟夫森能为$ E_{\rm J} = I_{\rm c}\varPhi_{0}/(2\pi) $

, $ I_{\rm c} $

为约瑟夫森结的临界电流.

图 1 电流偏置下的约瑟夫森结势能曲线
Figure1. Potential of a current-biased Josephson junction.

势阱中“粒子”的运动由方程

$ m \ddot{\varphi}+\frac{1}{R C} \dot{\varphi}+\frac{{\rm d} U(\varphi)}{{\rm d} \varphi} = 0 $

描述, 其中R为结电阻. 势阱的高度(即“粒子”跑出势阱的束缚需要克服的势垒高度)由下式给出^[13]:

$ \Delta U = 2 E_{\rm {J}}\bigg[\sqrt {\left(1-\frac{I_{\rm {b}}}{I_{\rm {c}}}\right)}-\frac{I_{\rm{ b}}}{I_{\rm {c}}} \arccos (\varphi)\bigg]. $

显然, 当外加偏置电流远小于约瑟夫森结临界电流时, “粒子”被很好地囚禁在势阱中. 这时, 结处于超导状态因而结两端的电压为零. 当偏置电流缓慢增加到接近结的临界电流$ I_{\rm c} $

时, “粒子”可以通过热激发或者量子隧穿效应逃逸出势阱, 在宏观上就表现为约瑟夫森结两端可测量的电压信号, 这时所偏置的电流就称为跳变电流. 当然, 由于热激发效应和量子隧穿效应都是随机事件, 因此测量中记录下来的与电压信号对应的跳变电流也就是一种随机分布.
对应于“粒子”逃逸出或囚禁于势阱的两种不同状态. 假设“粒子”逃逸出势阱的分布函数由P 来描述, N(t)为粒子在势阱中的数目. 则:

$ N(t) = 1-\int_{0}^{t} P\left(t^{\prime}\right) {\rm d} t^{\prime}. $

因此, 在$ \Delta t $

时间内“粒子”从势阱中逃逸的数目为

$ {\rm d} N = -N(t)\varGamma(t){\rm d}t = -N\varGamma(I)\left(\frac{{\rm d} I}{{\rm d} t}\right)^{-1} {\rm d} I, $

其中, $ \varGamma(t) $

为“粒子”的逃逸概率, I为实验上可测量的跳变电流大小. 在$ N(0) = 1 $

的初始条件下, (4)式积分得: $N(I) = \exp \Big[-({\rm d} I / {\rm d} t)^{-1} \displaystyle\int_{0}^{I} \varGamma(I^{\prime}){\rm d} I^{\prime}\Big]$

. 可得跳变电流的分布函数为^[14]

$\begin{split}P(I) = \;&-\frac{{\rm d} N}{{\rm d} I} = \varGamma(I)\left(\frac{{\rm d} I}{{\rm d} t}\right)^{-1} \\&\times\exp \left[-\left(\frac{{\rm d} I}{{\rm d} t}\right)^{-1} \int_{0}^{I} \varGamma(I^{\prime}) {\rm d} I^{\prime}\right]. \end{split}$

当温度高于某个临界温度$ T^* $

时, 热激发占主导地位, “粒子”逃逸的速度由Kramers公式^[15]给出:

$ \varGamma_{t} = \frac{\omega_{\rm p}}{2 \pi} a_{\rm t} \exp \left(-\frac{\Delta U}{k_{\rm B} T}\right), $

其中, $ a_{\rm t} $

是阻尼系数, 其取值范围为$0 < a_{\rm t}\leqslant 1$

, 一般将$ a_{\rm t} $

近似为$ 1 $

. (6)式中, $\omega_{\rm p} = \omega_{\rm p 0}\big[1-\left(I_{\rm b} / I_{\rm c}\right)^{2}\big]^{1 / 4}, $

$ \omega_{\rm p 0} = 2 \pi I_{\rm c} / (\varPhi_{0} C)$

. 当温度小于$ T^* $

时, “粒子”逃逸出势阱主要是由量子隧穿效应导致, 其速度可通过WKB方法计算^[16]:

$ \varGamma_{\rm q} = \frac{\omega_{\rm p}}{2 \pi} a_{\rm q} \exp \left[-\frac{7.2 \Delta U}{h \omega_{\rm p}}\left(1+\frac{0.87}{Q}\right)\right]. $

它几乎与温度无关. 其中$a_{\rm q} \!\approx\![120 \pi(7.2 \Delta U / \hbar \omega_{\rm p})]^{1 / 2}$

. 以上的理论结果被广泛应用于早期的约瑟夫森电子学特性研究, 下面将其应用于推算结的物理参数, 即实验测量跳变电流的统计分布, 并通过与理论模型的拟合, 来推算约瑟夫森结的临界电流$I_{\rm c}$

和电容参数C.
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2.2.结阻尼参数的推算方法

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2.2.结阻尼参数的推算方法

直流偏置下的约瑟夫森结RCSJ模型由如下方程描述^[17]:

$ I_{\rm b} = I_{\rm c} \sin (\varphi)+\frac{V}{R}+C \frac{{\rm d} V}{{\rm d} t}, $

其中$ I_{\rm b} $

为结的直流偏置, $V = [\hbar/( 2 e)] {\rm d} \varphi / {\rm d} t$

为结两端的电压. 令 $ \tau = \omega_{\rm c} t $

, 其中 $ \omega_{\rm c} = \sqrt{2 e I_{\rm c} / (\hbar C)} $

, 则方程(8)可化为如下形式:

$ i_{\rm b} = \frac{{\rm d}^{2} \varphi}{{\rm d} \tau^{2}}+\frac{1}{\sqrt{\beta_{\rm c}}} \frac{{\rm d} \varphi}{{\rm d} \tau}+\sin \varphi, $

这里, $ \beta_{\rm c} = 2 e I_{\rm c} C R^{2} / \hbar $

为阻尼参数, $ i_{\rm b} = I_{\rm b} / I_{\rm c} $

. 因此, 对$ i_{\rm b} > 1 $

的非超导态, $ i_{\rm b} $

应该是$ {{\rm d} \varphi}/{{\rm d} \tau} $

的一个线性函数. 不失一般性, 假设:

$ i_{\rm b} = K\left(\frac{{\rm d} \varphi}{{\rm d} \tau}\right)+i_{\rm b0}, $

这里, $ i_{\rm b0} $

为常数, 斜率K可由实验测得的结I-V曲线提取. 由此, 通过与(9)式数值解的比较即可建立阻尼参数$ \beta_{\rm c} $

与斜率K的联系, 就可实现阻尼参数$ \beta_{\rm c} $

的推算, 进而计算出低温条件下的结电阻R.

3.约瑟夫森结的制备及其物理参数推算

3.1.约瑟夫森结的制备

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3.1.约瑟夫森结的制备

采用悬空掩膜斜角度蒸发镀膜的工艺来制备SIS (superconductor-insulator-superconductor)约瑟夫森结^[18]. 所采用的超导材料为Al, 对Al氧化生成的氧化铝做势垒层, 制备的主要步骤分为匀胶、光刻、显影、斜角度蒸发镀膜和去胶等. 在清洗好的硅片上先后匀上LOR10B负胶和S1805正胶, 匀胶后分别进行烘胶, 溶解掉其中的有机溶剂, 使其与硅片贴牢固. 用深紫外曝光机和设计好的掩模版对其进行曝光; 曝光后的硅片使用显影液进行显影, 便可得到所需要的悬空掩膜结构. 进而, 将其放入电子束蒸发镀膜仪完成斜角度镀膜、氧化、和再一次斜角度镀膜三个步骤, 制备出约瑟夫森结样品. 整个结样品的制备流程如图2所示.

图 2 约瑟夫森结制备流程图
Figure2. Preparation process of a Josephson junction.

最后将剩余的正、负光刻胶分别使用丙酮和N-甲基吡咯烷酮进行去除, 就可完成图3所示的约瑟夫森结样品的制备.

图 3 约瑟夫森结样品
Figure3. Josephson junction sample.

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3.2.约瑟夫森结I-V曲线和跳变电流的测量

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3.2.约瑟夫森结I-V曲线和跳变电流的测量

约瑟夫森结I-V曲线一般采用四端子法进行测量, 一条线路通过一个1000倍的放大器测量结两端的电压信号, 另一条线路测流过结的电流信号. 任意波形发生器将电压信号通过可调电阻加到结的两端, 实现结的电流偏置. 这里, 可调电阻阻值远大于约瑟夫森结电阻, 以逐渐增大结的低频偏置电流. 流过结的电流和结两端可能产生的电压信号由数据采集卡采集. 将数据采集卡采集的数据在PC端进行处理, 便可得到图4所示的过阻尼约瑟夫森结标准I-V特性曲线.

图 4 约瑟夫森结I-V特性曲线
Figure4. Measured I-V characteristic curve of the fabricated Josephson junction.

下面介绍在50 mK的极低环境温度下对约瑟夫森结跳变电流的实验测量. 为此, 需要给约瑟夫森结施加一个大小可调的直流偏置(直流值以$ {\rm d}I /{\rm d}t $

的速率逐渐增大). 在0时刻触发同步信号, 开始计时; 随后调节偏置电流使之逐渐增大, 同时监测结两端的电压; 当结电压从零跳变到一阈值时, 计时结束, 记录此时的偏置电流大小作为跳变电流. 测量信号的时序设置如图5所示^[19].

图 5 约瑟夫森结跳变电流实验测量的时序图
Figure5. Time sequence diagram for the junction jump current measurements.

重复以上测量过程$ 10^4 $

次, 并对采集的测量数据在PC端进行数据处理, 得到如图6所示的跳变电流大小测量值的统计分布图, M为测得对应跳变电流值的次数. 从图6中的数据可以看出, 在偏置电流小于$ 4.0\times 10^{-7} $

A时, 没有测到任何跳变事件(即没有非零的电压信号); 在偏置电流大于$ 4.8\times 10^{-7} $

A时, 结两端的电压几乎不再发生跳变, 而是逐渐增大. 因此, 可以预计所测量结的临界电流应该大于$ 4.8\times 10^{-7} $

图 6 约瑟夫森结跳变电流及其次数统计
Figure6. Josephson junction jump currents and their statistical distributions.

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3.3.约瑟夫森结物理参数的推算

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3.3.约瑟夫森结物理参数的推算

首先, 根据测量得到的跳变电流统计分布特性, 来推算结的临界电流$ I_{\rm c} $

和结电容C. 对实验测得的结跳变电流的分布做归一化处理, 得到图7中的点状线跳变电流的统计分布. 利用跳变电流的统计分布公式(5)式, 通过调整约瑟夫森结临界电流$ I_{\rm c} $

和电容C的预定值, 得到如图7所示的实验测量数据拟合. 在拟合实验数据时, 理论模型的参数设定为$ I_{\rm c} = 5.56\times10^{-7} $

A, $ C = 23.3 $

fF. 由于跳变电流统计分布理论模型中对结电阻的取值很不敏感, 因此在理论拟合中暂时取为其室温测量值$ R = 598 $

$ \Omega $

图 7 结跳变电流的归一化统计分布: 理论拟合(红实线)与实验数据(点状线)
Figure7. Statistical distributions of the junction jump currents: theoretical simulations (red soild line), and measurement data (dot line).

为证实理论拟合中预定的参数是最优的, 具体分析了临近参数值对实验数据拟合的偏差程度, 如表1所列. 综合表1的数据可见, 图7中实验数据的理论拟合是最优的, 因此所测量约瑟夫森结的临界电流可推算为$ I_{\rm c} = 5.56\times10^{-7} $

A, 结电容可估计为$ C = 23.3 $

fF.

$I_{\rm c}/(10^{-7}{\rm A})$	C/fF	峰值位置偏差(误差/ 实验值)	峰值高度偏差(误差/ 实验值)	半高宽偏差 (误差/实验值)
$ 5.56 $	$ 23.3 $	0.06%	9.75%	3.52%
$ 5.57 $	$ 23.3 $	0.27%	9.75%	3.52%
$ 5.55 $	$ 23.3 $	0.15%	9.75%	3.52%
$ 5.56 $	$ 23.4 $	0.17%	9.74%	3.53%
$ 5.56 $	$ 23.2 $	0.31%	9.76%	3.52%

表1不同参数取值对实验数据拟合的偏差度分析
Table1.Deviations from the data simulated by using the different theoretical parameters.

下面推算结的阻尼参数值和电阻值. 由于约瑟夫森结的跳变电流分布的理论模型对电阻的变化很不敏感, 所以以上拟合时所取的室温结电阻测量值与极低温工作环境下的结电阻的实际数值有所偏离. 为此, 采用与归一化RCSJ方程(9)的数值解进行拟合的方法, 数值解求解采用四阶龙格库塔算法. 先实现约瑟夫森结阻尼参数$ \beta_{\rm c} $