飞越轨道的优化设计是实施空间飞越的基础，然而因为各种不确定性因素的存在，航天器难以按照预先设计的最优轨道进行飞越，所以相对于轨道优化设计，更为关注的是在一定初始条件下发射窗口的计算方法。目前对运载火箭的发射窗口计算已较为成熟，但是对从停泊轨道出发的发射窗口研究较少。文献[6]使用遍历搜索方法，研究了嫦娥二号从环日地L2点轨道出发，飞越探测小行星的发射窗口；文献[7]提出了基于发射窗口的天基发射方案，在给定初始条件下计算了发射窗口，研究了轨道规划策略。在进行分析计算时，不同初始条件下的发射窗口不同，初始条件是一个重要的影响因素，所以有必要对此进行研究。
为研究初始条件的影响，需要对若干组不同初始条件下的发射窗口进行分析，而每一组都需要采用数值方法进行遍历搜索来计算，因此计算量大、耗时长，需要研究高效的计算方法。代理模型(surrogate models)技术是一种降低计算成本的有效方法，所谓代理模型是指计算量小、但计算结果与真实模型的结果相近似的分析模型。在研究过程中用代理模型替代真实的高精度模型，可以有效地减少计算量、提高仿真计算的效率[8-9]。代理模型技术是多学科优化领域的重要研究内容之一，但在航天器轨道设计与发射窗口计算中的应用较少。文献[10]通过构建BP神经网络(Back Propagation Neural Network，BPNN)代理模型，进行了空间飞行器可遭遇区与最小速度增量遭遇点的计算。
本文针对空间飞越问题，研究不同初始条件下发射窗口的数值计算方法和代理模型技术，对比分析不同的代理模型构造方法在解决该问题中的效果和适用性，基于代理模型快速分析初始条件对发射窗口的影响。
1 考虑初始条件的发射窗口计算 1.1 空间飞越任务流程 一次空间飞越任务如图 1所示。
 |
| 图 1 空间飞越任务示意图 Fig. 1 Schematic diagram of space fly-by mission |
| 图选项 |
从接收飞越任务指令到完成飞越任务的具体流程如下:
1) t0时刻接收指令，此时飞越航天器和目标航天器的位置分别为rf0、rt0。
2) 接收飞越任务后，飞越航天器和目标航天器继续飞行Δt0时间，到达t1时刻，t1=t0+Δt0。此时飞越航天器的位置为rf，目标航天器的位置为r ′t。
3) 在t1时刻，飞越航天器施加脉冲进行变轨。
4) 飞越航天器变轨后，飞行Δt时间，到达t2时刻，t2=t1+Δt。此时飞越航天器到达飞越点，实现飞越。因为飞越点与目标航天器的距离和该点与地心的距离相比极小，可以忽略，所以假定此时飞越航天器和目标航天器的位置均为rt。
完整的飞越任务时序如图 2所示。定义从接收指令到施加脉冲前的时间Δt0为等待时间，从施加脉冲到完成飞越的时间Δt为转移时间，总时间为飞越时间Δts= Δt0+Δt。
 |
| 图 2 空间飞越任务时序 Fig. 2 Timing sequence of space fly-by mission |
| 图选项 |
1.2 不同初始条件下发射窗口计算方法 空间飞越发射窗口的计算需要考虑多个约束条件，包括变轨速度增量、飞越时间、飞越点状态、飞越过程燃料等。其中飞越点状态约束包括飞越点位置和速度约束、飞越点光照条件约束等；飞越过程燃料约束是为了保证飞越点精度，进行中途修正所需的燃料约束。
因为本文研究的是空间飞越而非空间交会，所以飞越点速度约束暂不考虑；本文采用二体动力学模型下的Lambert变轨，不考虑摄动因素，因而可以保证飞越点位置约束满足要求，且无需考虑中途修正及其燃料约束；在飞越点附近对目标航天器进行观测时要求日光、月光、地气光等不能进入观测设备的视场影响观测效果，仿真结果表明，光照条件在短时间内变化极小，因此本文假设在任务期间飞越点光照条件不变且满足约束。而变轨速度增量和飞越时间是最重要、最基本的2个约束，如文献[7, 10-11]均在只考虑这2个约束的条件下来计算发射窗口。综上，本文重点考虑变轨速度增量约束和飞越时间约束。
将所有满足约束的t1时刻的集合作为发射窗口，发射窗口随t0时刻初始条件的变化而变化。假设不考虑摄动力的影响，飞越航天器和目标航天器的轨道在空间固定不变，则t0时刻两者的初始位置rf0和rt0只与其平近点角mf0和mt0有关。所以，研究初始条件对发射窗口的影响即研究平近点角的影响，具体步骤如下：
步骤1??初始化飞越航天器平近点角mf0=0°。
步骤2??初始化目标航天器平近点角mt0=0°。
步骤3??初始化等待时间Δt0=Δt0 min，Δt0min为最小等待时间。
步骤4??初始化转移时间Δt=Δtmin，Δtmin为最小转移时间。
步骤5??根据mf0和mt0计算飞越航天器和目标航天器的初始位置rf0、rt0，然后根据Δt0和Δt计算出rf、rt，使用普适变量法求解Lambert问题得到速度增量Δv；计算飞越时间Δts=Δt0+Δt；如果Δv < Δvmax且Δts < Δtsmax，则t1时刻属于初始条件为mf0和mt0时的发射窗口，其中Δvmax和Δtsmax分别为变轨速度增量和飞越时间的最大允许值。
步骤6??更新Δt=Δt+Δtstep，Δtstep为转移时间的步长；如果Δt < Δtmax，则返回步骤5，否则进行步骤7，其中Δtmax为最大转移时间。
步骤7??更新Δt0=Δt0+Δt0step，Δt0step为等待时间的步长；如果Δt0 < Δt0max，则返回步骤4，否则进行步骤8，其中Δt0max为最大等待时间。
步骤8??更新mt0=mt0+mtstep，mtstep为目标航天器平近点角的步长；如果mt0 < 360°，则返回步骤3，否则进行步骤9。
步骤9??更新mf0=mf0+mfstep，mfstep为飞越航天器平近点角的步长；如果mf0 < 360°，则返回步骤2，否则结束。
计算过程如图 3所示。
 |
| 图 3 发射窗口计算过程 Fig. 3 Calculation process of launch window |
| 图选项 |
可以看出，研究初始条件对发射窗口的影响，需要对mf0、mt0、Δt0和Δt 4个变量进行循环计算，计算量极大。
文献[11]研究了一种特殊的情况：飞越航天器和目标航天器的轨道为共面圆轨道时，初始条件对发射窗口的影响。定义初始相位角θ0为t0时刻飞越航天器与目标航天器的地心角，即两者纬度幅角之差，则在共面圆轨道的假设下，初始条件的变化只与初始相位角θ0的变化有关。因此，只需研究初始相位角的变化对发射窗口的影响，即在计算过程中只需θ0、Δt0和Δt 3个变量的循环。研究结果显示，在共面圆轨道情况下计算耗时约为10 min。而对于一般情况，初始条件与平近点角mf0和mt0有关，相比于共面圆轨道，计算过程多了一重循环，假设以1°为步长，则计算量为原来的360倍，预计耗时约60 h，计算时间过长，因此需要研究提高计算效率的方法。
2 代理模型技术 代理模型是根据真实模型的输入/输出样本数据来构造的一个替代模型。构造代理模型一般需要3个步骤：首先, 选取样本点，通过真实模型计算出对应的输出值，生成输入/输出样本数据；然后, 根据样本数据构造出代理模型；最后, 对代理模型的精度进行校验，评估其可信度[12-13]。
2.1 生成样本数据 构建代理模型，首先是选取样本点并计算样本点的输出值。通常使用试验设计作为采样策略，通过科学合理的数学安排，在设计空间内生成能够反映真实计算模型的数值特征的样本点[14]。常用的试验设计方法包括：全析因设计、正交设计、中心复合设计、均匀设计、拉丁超立方设计等。
在试验设计中，输入变量被称为因素，因素所处的状态称为水平[15]。本文选用全析因设计方法，该方法将所有因素的所有水平进行组合来选取样本点，能够全面反映输入变量及其相互间的交互作用对输出值的影响。全析因设计生成的样本点数ns为
 | (1) |
式中：nv为因素数，即输入变量的个数；nl为水平数。
通过试验设计得出样本点x=[x1, x2, …, xns]之后，需要计算每个样本点所对应的输出值，针对本文研究的问题来说，即为样本点所对应的发射窗口长度。发射窗口长度的计算使用1.2节的方法，只是对于每个样本点来说，mf0和mt0确定，只需计算Δt0和Δt 2个变量的循环，即步骤3~步骤7。最终得到样本点输出数据y=[y1, y2, …, yns]。
生成输入/输出样本数据后，可以进行代理模型的构造。
2.2 构造代理模型 常用的代理模型构造方法包括多项式响应面法(Response Surface Method，RSM)、移动最小二乘(Moving Least Square，MLS)、径向基函数(Radial Basis Function，RBF)、Kriging模型、BPNN和支持向量回归(Support Vector Regression，SVR)等。文献[14]从近似精度、计算成本、实现难度等方面对典型的代理模型构造方法进行了对比评估，得出RBF模型和Kriging模型的综合性能优于其他代理模型。因此，本文研究这2种代理模型在空间飞越发射窗口计算中的应用。
2.2.1 RBF模型 径向函数是以未知点与样本点之间的欧氏距离为自变量的一类函数。以径向函数为基函数，通过线性叠加构造出来的模型即为RBF模型，其基本形式为[14, 16]
 | (2) |
式中：fR(xu)为未知设计点xu处RBF模型的预测值；α=[α1, α2, …, αns]T为权重系数向量；gi(xu)为径向函数，常用的径向函数有
 | (3) |
式中：r=||xu-xi||为两点之间的欧氏距离，xi为第i个样本点；c为形状系数，可通过经验公式或优化求得。
构建RBF模型的重点是求解权重系数α，α应满足插值条件，使样本点处的预测值与真实值相等，即
 | (4) |
式中：xj为第j个样本点；yj为第j个样本点的输出。式(4)的矩阵形式为
 | (5) |
式中：G为径向函数矩阵
 | (6) |
则权重系数
 | (7) |
2.2.2 Kriging模型 Kriging模型是由南非地质****Krige提出的一种针对空间分布数据的无偏最优估计插值模型，由全局模型和局部偏差模型叠加而成，其基本形式为[14, 17]
 | (8) |
式中：w(xu)为多项式全局近似模型，反映近似对象在设计空间内的总体变化趋势，可取常数μ；局部偏差项Z(xu)是一个随机过程，其均值为零、方差为σ2、协方差非零。Kriging模型的近似能力主要由局部偏差项Z(xu)决定，其协方差矩阵可表示为
 | (9) |
式中：Q为对称相关矩阵; q(xi, xj)为高斯相关函数
 | (10) |
式中：xik为第i个样本点中的第k个变量；θk为相关参数，为了降低复杂度，通常θk可以取常值θ。
对任一设计点xu，引入相关向量p(xu)为
 | (11) |
由此，Kriging模型可以表示为
 | (12) |
式中：d可设为元素全为1的ns维列向量。模型中存在3个未知量：μ、θ和σ2，其中μ和σ2都是θ的函数，两者的最小二乘估计可通过式(13)和式(14)求出：
 | (13) |
 | (14) |
将μ和σ2的表达式代入式(15)所示的一维优化问题可求解得到相关参数：
 | (15) |
2.3 校验代理模型精度 代理模型构建完成之后，需要对其精度进行评估和校验。通常根据以下2个准则来判断代理模型的精度[8]：复相关系数R2和均方根误差(Root Mean Square Error，RMSE)，其表达式为
 | (16) |
 | (17) |
式中：nt为进行精度校验的测试样本点个数；?i为测试样本点通过代理模型预测得到的输出值；y为样本点真实输出值的均值。
R2越接近1，表示代理模型的全局近似程度越好，一般认为大于0.9即满足要求，此处R2为统计学符号，并非平方，其值可能为负；RMSE越接近0，表示最大的局部误差越小，一般认为小于0.2即满足要求。
3 两种代理模型方法的对比 针对本文研究的空间飞越过程中初始条件对发射窗口影响的问题，利用1.2节提出的数值计算方法，根据代理模型技术构造RBF模型和Kriging模型，对2种模型的精度进行对比分析。
设t0时刻飞越航天器和目标航天器的轨道根数如表 1所示。表中，a为半长轴，e为偏心率，i为轨道倾角，Ω为升交点赤经，ω为近地点幅角。
表 1 t0时刻轨道根数 Table 1 Orbit elements at moment t0
| 航天器 | a/km | e | i/(°) | Ω/(°) | ω/(°) |
| 飞越航天器 | 6 978 | 0.06 | 97.1 | 180 | 0 |
| 目标航天器 | 7 878 | 0.15 | 102.0 | 180 | 90 |
表选项
采用全析因试验设计方法选取样本点。本文研究的是初始条件对发射窗口的影响，因此输入变量设为飞越航天器和目标航天器的平近点角mf0和mt0，因素数为2；在设计空间[0°, 360°)内以10°为步长取值，因素数为36；因此是一个2因素36水平的试验设计问题，样本点数ns=362=1 296。
计算出每个样本点所对应的输出值，利用输入/输出样本数据x、y构建RBF模型和Kriging模型。
为校验代理模型的精度，在设计空间内随机选取200个测试样本点，计算2个代理模型的R2和RMSE。计算结果如表 2所示。
表 2 两种代理模型精度对比 Table 2 Accuracy comparison of two surrogate models
| 模型 | R2 | RMSE |
| RBF模型 | 0.993 | 0.018 |
| Kriging模型 | 0.952 | 0.049 |
表选项
从表 2可以看出，以R2和RMSE 2个准则来判断，RBF模型的精度都高于Kriging模型。测试样本点的预测值与真实值的对比如图 4所示，图中的点越靠近对角线，表示该点的预测值与真实值越接近。可以看出，相对于Kriging模型，RBF模型的点在对角线附近更集中，精度更高。
 |
| 图 4 测试样本点分布 Fig. 4 Distribution of test sample points |
| 图选项 |
因此，本文采用RBF模型研究空间飞越过程中初始条件对发射窗口影响。
4 实例验证 以表 1中的轨道根数为例，基于RBF模型进行分析。计算发射窗口时，变轨速度增量约束Δvmax=500 m/s，飞越时间约束Δtsmax= 9 000 s。
提高计算效率、减小计算耗时是本文研究代理模型的初衷和目的，因此首先检验应用代理模型后计算时间上的变化。根据第1节中的分析，在设计空间内以1°为步长使用真实模型进行计算，预计耗时约60 h，计算时间过长。因此以2°为步长使用真实模型和代理模型分别进行计算，计算时间如表 3所示。
表 3 代理模型和真实模型计算时间对比 Table 3 Comparison of calculation time between surrogate model and true model
| s | |||
| 模型 | 代理模型 构建时间 | 发射窗口 计算时间 | 总计算 时间 |
| 真实模型 | 57 688 | 57 688 | |
| RBF模型 | 3 473 | 168 | 3 641 |
表选项
从表 3可以看出，使用RBF模型计算发射窗口耗时仅为使用真实模型的0.29%，计算效率得到极大提高。使用代理模型之前需要先进行构建，因为在构建和校验精度时需要大量样本数据，而这些样本数据是通过使用真实模型计算得出的，所以需要花费一定的时间。但总计算时间也仅为使用真实模型的6.31%，相比而言效率还是较高。而且代理模型的构建是一次性的，一旦构建完成，对于相同轨道根数情况的计算就可以重复使用，无需再次构建。
代理模型除了极大地提高计算效率外，还需要满足一定的精度要求。表 2中的数据显示，RBF模型的R2>0.9，RMSE < 0.2，均满足要求。为直观显示其应用效果，绘制发射窗口长度相对于平近点角mf0和mt0的等值线图，如图 5所示。可以看出，应用RBF模型计算得到的等值线图与使用真实模型得到的结果基本相同，可以反映出初始条件对发射窗口的影响。
 |
| 图 5 真实模型和RBF模型的发射窗口长度等值线图 Fig. 5 Contour map of launch window length of true model and RBF model |
| 图选项 |
通过对等值线图分析可以看出：
1) 对于飞越航天器和目标航天器为非共面圆轨道的情况，发射窗口长度取决于初始时刻两者的平近点角，平近点角之差相同并不能保证发射窗口长度相同。图 6中的虚线为两者平近点角之差为零的点的集合，这些点对应的发射窗口长度不等，最长为2 204.4 s，最短为0 s。
 |
| 图 6 平近点角相等时的发射窗口长度 Fig. 6 Launch window length of equal mean anomalies |
| 图选项 |
2) 对于任意的mf0，都存在对应的可行mt0区间，使发射窗口存在，即当目标航天器位于该区间内时，飞越航天器在速度增量和时间约束下能够实现飞越。不同的mf0对应的mt0区间不同，区间长度108°~172°；同样，对于任意的mt0，都存在mf0区间，区间长度108°~188°。如图 7所示，当mf0=160°时，可行mt0区间为[40°, 158°]，区间长度118°；当mt0=160°时，可行mf0区间为[162°, 288°]，区间长度126°。
 |
| 图 7 可行的平近点角区间示意图 Fig. 7 Schematic diagram of feasible region of mean anomaly |
| 图选项 |
3) 从图 5能够直观地看出发射窗口长度的分布情况和变化趋势，可以选取发射窗口较长的点，在实施空间飞越任务时将其作为初始条件。从图 5(b)可以看出，当以mf0=112°、mt0=72°为初始条件时发射窗口最长，为5 743.1 s。而飞越航天器的轨道周期为5 801.1 s，这意味着在一个周期之内基本都可以实施飞越。
4) 对任意一点，可以根据图 5直接判断其是否具备飞越条件及其发射窗口长度；若以某点为初始条件的发射窗口为0，则可以判断出多长时间后可以具备飞越条件。如图 8所示，A点对应的mf0和mt0为(40°, 80°)，以其为初始条件，发射窗口为0，根据飞越航天器和目标航天器的轨道根数，两者平均角速度n1/n2=1.2，则两者的位置随时间的变化在图上表示为以A为起点、斜率为1.2的线段，如图中的虚线所示。可以看出，经过2 526.2 s后虚线与等值线图首次相交于B点，以该点为初始点发射窗口长度为500 s；若要求发射窗口长度不少于某值，如2 000 s，则需要从A点起经过4 124.6 s后到达C点，以C点为初始条件开始飞越。以A点为起点，发射窗口长度随时间变化如图 9所示。
 |
| 图 8 任意一点的发射窗口分析 Fig. 8 Analysis of launch window of one point |
| 图选项 |
 |
| 图 9 发射窗口长度随时间的变化 Fig. 9 Change of launch window length with time |
| 图选项 |
5 结论 1) 本文分析了空间飞越任务流程，建立了用于分析初始条件对发射窗口影响的数值计算模型，该模型包含4个变量的循环，计算耗时约60 h，效率较低。
2) 研究了代理模型技术，采用全析因试验设计方法生成样本数据，构建了RBF模型和Kriging模型，以R2和RMSE准则对比了2种模型的精度，结果表明RBF模型精度较高。
3) 应用RBF模型计算发射窗口长度，计算耗时仅为真实模型0.29%，而且精度校验满足要求。根据发射窗口长度的等值线图，分析了初始条件对发射窗口的影响。
4) 后续可以在2个方面进一步开展研究：一方面，提高发射窗口计算模型的精度，如采用高精度轨道动力学模型，考虑飞越点状态约束、飞越过程燃料约束等；另一方面，提高代理模型的效率和精度，如改善样本点选取方法来减少构建代理模型的成本，研究代理模型的更新和修正方法来提高模型精度等。
参考文献
| [1] | 田野.空间目标飞越式抵近观察制导方法研究[D].长沙: 国防科学技术大学, 2010: 1-2. TIAN Y.Study on guidance methods of fly-by approaching observation of space target[D].Changsha: National University of Defense Technology, 2010: 1-2(in Chinese). http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-90002-1011280059.htm |
| [2] | 黄江川, 王晓磊, 孟林智, 等. 嫦娥二号卫星飞越4179小行星工程参数分析[J]. 中国科学:技术科学, 2013, 43(6): 596-601. HUANG J C, WANG X L, MENG L Z, et al. Analysis of engineering parameters of CE-2 fly-by 4179 asteroid[J]. Science China:Technology Science, 2013, 43(6): 596-601. (in Chinese) |
| [3] | 李广华.近旁飞越航天器末制导方法研究[D].长沙: 国防科学技术大学, 2011: 1. LI G H.Study on terminal guidance of flyby spacecraft[D].Changsha: National University of Defense Technology, 2011: 1(in Chinese). http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-90002-1012020948.htm |
| [4] | MATSUMOTO S, DUBOWSKY S, JACOBSEN S, et al.Fly-by approach and guidance for uncontrolled rotating satellite capture[C]//AIAA Guidance Navigation and Control Conference and Exhibit.Reston: AIAA, 2003: 1-10. |
| [5] | 郝瑞, 孟云鹤, 郭胜鹏. 多约束航天器飞越式接近的两级运动规划方法[J]. 上海航天, 2015, 32(3): 16-21. HAO R, MENG Y H, GUO S P. Two-stage motion planning method for fly-by approach of spacecraft with multiple constraints[J]. Aerospace Shanghai, 2015, 32(3): 16-21. DOI:10.3969/j.issn.1006-1630.2015.03.004 (in Chinese) |
| [6] | 刘磊, 刘勇, 曹建峰, 等. "嫦娥二号"探测小行星任务转移轨道设计[J]. 宇航学报, 2014, 35(3): 262-268. LIU L, LIU Y, CAO J F, et al. Mission design of the CHANG'E-2 asteroid exploration[J]. Journal of Astronautics, 2014, 35(3): 262-268. DOI:10.3873/j.issn.1000-1328.2014.03.003 (in Chinese) |
| [7] | 闫循良, 廖守亿, 张金生, 等. 天基发射方案与规划策略仿真研究[J]. 计算机仿真, 2013, 30(9): 83-87. YAN X L, LIAO S Y, ZHANG J S, et al. Space-based launch scheme and planning strategy simulation[J]. Computer Simulation, 2013, 30(9): 83-87. DOI:10.3969/j.issn.1006-9348.2013.09.019 (in Chinese) |
| [8] | 王宇.基于不确定性的优化方法及其在飞机设计中的应用[D].南京: 南京航空航天大学, 2010: 18. WANG Y.Uncertainty-based optimization method and its application in aircraft design[D].Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2010: 18(in Chinese). http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10287-1011291502.htm |
| [9] | 王琦, 丁运亮, 陈昊. 基于多级代理模型的优化算法[J]. 南京航空航天大学学报, 2008, 40(4): 501-506. WANG Q, DING Y L, CHEN H. Simulation optimization based on multilevel-surrogate models[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2008, 40(4): 501-506. DOI:10.3969/j.issn.1005-2615.2008.04.017 (in Chinese) |
| [10] | 周须峰, 唐硕, 高小五. 空间目标可拦截区与可遭遇区确定[J]. 航天控制, 2006, 24(1): 33-38. ZHOU X F, TANG S, GAO X W. Determination of interceptable section and encounter section for space target[J]. Aerospace Control, 2006, 24(1): 33-38. DOI:10.3969/j.issn.1006-3242.2006.01.008 (in Chinese) |
| [11] | 李人杰, 陈杨, 向开恒. 考虑初始相位角影响的空间飞越发射窗口研究[J]. 现代防御技术, 2018, 46(3): 171-176. LI R J, CHEN Y, XIANG K H. Study of launch window of space fly-by under influence of initial phase angle[J]. Modern Defense Technology, 2018, 46(3): 171-176. (in Chinese) |
| [12] | 王琦.MDO优化算法研究[D].南京: 南京航空航天大学, 2008: 39. WANG Q.Research on arithmetic of MDO[D].Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2008: 39(in Chinese). http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10287-1011253992.htm |
| [13] | 胡添元.飞翼布局飞机总体多学科设计优化研究[D].南京: 南京航空航天大学, 2010: 30. HU T Y.Multidisciplinary design optimization for flying wing aircraft preliminary design[D].Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2010: 30(in Chinese). http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10287-1011291579.htm |
| [14] | 龙腾, 刘建, WANG G G, 等. 基于计算试验设计与代理模型的飞行器近似优化策略探讨[J]. 机械工程学报, 2016, 52(14): 79-105. LONG T, LIU J, WANG G G, et al. Discuss on approximate optimization strategies using design of computer experiments and metamodels for flight vehicle design[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2016, 52(14): 79-105. (in Chinese) |
| [15] | 姚雯.不确定性MDO理论及其在卫星总体设计中的应用[D].长沙: 国防科学技术大学, 2007: 27-28. YAO W.Research on uncertainty multidisciplinary design optimization theory and application to satellite system design[D].Changsha: National University of Defense Technology, 2007: 27-28(in Chinese). http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-90002-2008098123.htm |
| [16] | LIANG B. Radial basis functions for solving PDEs[J]. Mathematic Applicata, 2004, 17(2): 227-233. |
| [17] | 李靖.基于改进量子粒子群算法的运载火箭弹道优化[D].湘潭: 湘潭大学, 2014: 19-23. LI J.Launch vehicle trajectory optimization based on improved quantum particle swarm algorithm[D].Xiangtan: Xiangtan University, 2014: 19-23(in Chinese). http://cdmd.cnki.com.cn/Article/CDMD-10530-1014412550.htm |
