摘要:相位锁定是双模压缩微波制备的关键问题之一. 针对基于超导180°混合环的制备方案相位稳定度不高且信息处理复杂等问题, 提出一种相位锁定方案. 对约瑟夫森参量放大器的信号输入进行相位调制, 输出的单模压缩微波与另一未调制的同频单模压缩微波在超导180°混合环内干涉, 实现双模压缩微波的制备与路径分离. 将未调制的单模压缩微波与一路双模压缩微波混频, 解调出相位调制信号可得到两路单模压缩微波的相对相位及误差, 将相位误差反馈于约瑟夫森参量放大器的抽运实现相对相位的锁定, 获得稳定的双模压缩输出. 本研究对高性能纠缠微波源的设计提供了理论参考.
关键词: 双模压缩微波/
相位锁定

English Abstract

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双模压缩是连续变量量子纠缠最重要的特性之一, 表现为两个子系统的正交分量之间的非定域量子关联^[1-4]. 当前, 该特性已在光波段与微波波段^[5]被验证, 并被广泛应用于连续变量量子通信、量子照明、量子信息处理及量子微波导航等领域^[6-13]. 相比于光波在自由空间中的传输, 微波信号受恶劣天气条件、大气湍流、尘埃粒子等影响较小, 绕射能力及云雾穿透能力强, 使得双模压缩微波在大尺度动态空间环境中的传输更具优势. 在此背景下, 如何制备出稳定高效的双模压缩微波成为亟待解决的关键问题.
约瑟夫森参量放大器(Josephson parametric amplifier, JPA)是以约瑟夫森结为基础的GHz频段的低噪声放大器, 在相位敏感模式下可放大信号的一个正交分量而不引入附加噪声, 尽管在实际中内部损耗可能会限制其噪声性能, 但它仍然可以打破标准量子极限^[14]. 也正因为如此, JPA被广泛应用于量子微波的传输以及产生压缩微波场. 2010年以来, Menzel等^[15]利用相位敏感(phase-sensitive)模式的JPA制备出单模压缩微波, 并与真空态在超导180°混合环(180° hybrid ring coupler)内干涉, 其输出为空间分离、频率简并的微波量子纠缠. 在此基础上, Fedorov等^[16,17]利用频率一致且满足特定相位条件的两路单模压缩微波在超导180°混合环内干涉, 将量子纠缠微波的压缩度提高到7.2 dB. 相比于其他制备方案^[18-21], 该方案的效率最高、输出纠缠性能最好, 根据此方案更有望设计出理想的双模压缩微波信号源. 然而, 两路单模压缩微波的相位锁定问题^[16,22]制约着输出纠缠性能的进一步提升, 当前针对该问题较为理想的解决方案为基于双路径接收机的探测处理系统, 可将相位误差控制在0.3°以内, 但仍不理想, 且该系统信息处理复杂, 实时性较差, 难以保证稳定的双模压缩微波输出.
基于上述问题, 本文设计一种基于JPA输入信号调制的相位锁定方案. 当信噪比为2 dB时其相位误差小于0.14°, 双模压缩微波的纠缠稳定度远小于1%. 此外, 该方案的信号探测与处理难度小, 实时性较好, 在工业化制备双模压缩微波上有较大优势.

当前基于磁通驱动JPA和超导180°混合环的双模压缩微波制备方案如图1所示.
图 1 双模压缩微波制备方案原理图
Figure1. Schematic of two-mode squeezed microwave preparation scheme.

JPA1与JPA2分别产生两路同频的单模压缩微波, 并注入到超导180°混合环的两输入端A和B产生干涉效应. 其中A端输入的信号在C和D端产生180°的相位差, 而B端的输入信号在C和D端产生同相输出, 即输入信号在C和D端分别为相长干涉和相消干涉. 锁定两路单模压缩微波的相对相位为${{\text{π}}/{\rm{2}}}$, C和D端输出频率简并的双模压缩微波.
为了更加高效的锁定两路单模压缩微波的相对相位, 输出稳定的双模压缩, 本文设计了一种相位锁定方案, 如图2所示. 对JPA2的信号输入进行相位调制, 为保证相位调制信号在JPA中不发生参量下转换, 其频率需在JPA的工作带宽(约5 MHz)之外, 设定调制频率$\varOmega $ = 30 MHz, 则JPA2输出的单模压缩微波的振幅E₂可表示为
图 2 双模压缩微波制备的相位锁定方案原理图
Figure2. Schematic of phase locking scheme for two-mode squeezed microwave preparation.

${E_2} = {A_2}\cos \left( {{\omega _0}t + m\sin \varOmega t} \right). $

其中, ${A_2}$表示信号场幅度, ${\omega _0}$表示中心频率, m表示调制幅度, t为传输时间.
当调制幅度m较小时, 忽略相位调制产生的二次及更高次谐波, (1)式可利用一阶贝塞尔函数展开:

$\begin{split} {E_2} \approx\, & {A_2}\left[{{\rm{J}}_0}\left( m \right)\cos {\omega _0}t + {{\rm{J}}_1}\left( m \right)\cos \left( {{\omega _0} + \varOmega } \right)t \right.\\ & \left.- {{\rm{J}}_1}\left( m \right)\cos \left( {{\omega _0} - \varOmega } \right)t\right]. \end{split}$

JPA1输出频率为${\omega _0}$的单模压缩微波, 其振幅可表示为

${E_1} = {A_1}\cos {\omega _0}t. $

两路单模压缩微波在超导180°混合环内干涉, 假设二者相对相位为$\theta $, 则干涉相长端输出可表示为

$\begin{split}{E_3} =\, & Re\left( {{{\rm{e}}^{{\rm i}\theta }}{E_1} + {E_2}} \right)\\= \, & {A_1}\cos \left( {{\omega _0}t + \theta } \right) + {A_2}\big[{{\rm{J}}_0}\left( m \right)\cos {\omega _0}t \\ & + {{\rm{J}}_1}\left( m \right) \cos \left( {{\omega _0} + \varOmega } \right)t \\ & - {{\rm{J}}_1}\left( m \right)\cos \left( {{\omega _0} - \varOmega } \right)t\big]. \end{split}$

利用威尔金森功分器提取部分JPA1的输出(图2中$\sqrt \eta $表示该路信号的能量占比), 并同一路双模压缩微波做混频处理, 混频器输出可表示为

$\begin{split}{S_{{\rm{m1}}}} =\, & \frac{1}{2}\left[ {A_1^2\cos \left( {2{\omega _0}t + 2\theta + {\text{π}}/2} \right)} \right]+\frac{1}{2}{A_1}{A_2}{{\rm{J}}_0}\left( m \right) \\ &\times \left[ {\cos \left( {2{\omega _0}t + \theta + {\text{π}}/2} \right) + \cos \left( {\theta + {\text{π}}/2} \right)} \right] \\ & +\frac{1}{2}{A_1}{A_2}{{\rm{J}}_1}\left( m \right)\big[\cos \left( { - \varOmega t + \theta + {\text{π}}/2} \right) \\ & + \cos \left( {2{\omega _0}t + \varOmega t + \theta + {\text{π}}/2} \right) \\ &-\! \cos ( \varOmega t+ \!\theta \!+ {\text{π}}/2 ) \!+ \!\cos ( {2{\omega _0}t +\! \theta \!+ {\text{π}}/2})\big].\\[-12pt]\end{split}$

利用低通滤波器将高频信号滤除, 仅保留频率不大于$\varOmega $的信号. 在信息处理中仅对交流信号进行分析, 因此${S_{{\rm{m1}}}}$可简化为

$\begin{split}{S'_{{\rm{m1}}}} =\, & \frac{1}{2}{A_1}{A_2}{{\rm{J}}_1}\left( m \right)\left[\cos \left( { - \varOmega t + \theta + {\text{π}} /2} \right) \right. \\ &- \left.\cos \left( {\varOmega t + \theta + {\text{π}} /2} \right)\right]\\=\, &{A_1}{A_2}{{\rm{J}}_1}\left( m \right)\sin \varOmega t\cos \theta .\end{split}$

调制信号源产生的一部分相位调制信号${S_\varphi } = \cos \left( {\varOmega t + \varphi } \right)$与${S_{{\rm{m1}}}}$混频, 输出经滤波器滤除频率大于$\varOmega $的分量后得到:

${S_{{\rm{m}}2}} = - \frac{1}{2}{A_1}{A_2}{{\rm{J}}_1}\left( m \right)\cos \theta \sin \varphi . $

该输出即为锁定两路单模压缩微波相对相位的鉴频信号. 扫描信号2的相位, 调整移相器1使鉴频曲线强度最大, 如图3所示. 此时$\varphi = {{\text{π}}/2}$, 鉴频信号简化为${S_{{\rm{m}}2}} = - \dfrac{1}{2}{A_1}{A_2}{J_1}\left( m \right)\cos \theta $. 之后停止相位扫描, 以${S_{{\rm{m}}2}}$作为PID控制电路的误差信号, 输出的压控信号${S_{\rm{c}}}$反馈到移相器2, 调节JPA2的抽运相位以改变输出单模压缩微波的相位, 将相对相位锁定在${{\text{π}}/2}$附近, 如图4所示.
图 3 扫描$\theta $时的鉴频曲线.
Figure3. Frequency discrimination curve when scanning $\theta $.

图 4 相位锁定示意图.
Figure4. Schematic of phase locking process.

系统链路中相位调制器、放大器、滤波器、混频器等元件均会引入一定的噪声, 进而影响最终的相位确定精度. 本方案对相位信息的提取是基于调制频率而非双模压缩的中心频率, 因此未建立分束器等模型分析产生的量子损耗, 仅利用经典的输出信噪比为指标衡量链路噪声对于相位误差的影响. 假定各元件对于信号的噪声形式以及作用方式都相同, 以鉴频信号输出端的信噪比为参数分析整个链路最终叠加的噪声对于相位误差的影响.
如第2节所述, 鉴频曲线强度最大时鉴频信号可表示为

${S_{{\rm{m}}2}} = - \frac{1}{2}{A_1}{A_2}{{\rm{J}}_1}\left( m \right)\cos \theta . $

其期望与方差满足如下关系:

$E\left( {{S_{{\rm{m}}2}}} \right) = \left( {s + n} \right)\cos \theta , $

$D\left( {{S_{{\rm{m}}2}}} \right) = {n^{\rm{2}}}{\cos ^2}\theta , $

其中, s与n分别表示输出鉴频信号的量化信号与噪声功率. 则相对相位的响应度可表示为

$\frac{{{\rm{d}}E\left( {{S_{{\rm{m}}2}}} \right)}}{{{\rm{d}}\theta }} = - \left( {s + n} \right)\sin \theta . $

根据误差传递公式可计算相位误差为

$\begin{split}{{\text{δ}}}\theta\, & = \frac{{\Delta {S_{{\rm{m}}2}}}}{{\left| {{\rm{d}}E\left( {{S_{{\rm{m}}2}}} \right)/{\rm{d}}\theta } \right|}} = \frac{1}{{\left( {s/n + 1} \right)\left| {\tan \theta } \right|}}\quad .\end{split}$

由(12)式可知, 相位测量的误差与输出信噪比及相位自身的值有关. 输出信号的信噪比越大, 相位误差越小; 在$\theta = {{\text{π}}/2}$时相位误差达到最小值, 由于该方案为经典信息的探测与处理, 因此在$\theta = {{\text{π}}/2}$时误差达到散粒噪声极限, 而非为零. 图5描述了相位误差与输出信噪比及自身相位值的变化关系.
图 5 相位误差与输出信噪比及自身相位值的变化关系
Figure5. Variance of $\text{δ}\theta $ versus ${s/n}$ and $\theta $.

如图5所示, 相位误差随输出信噪比的增加而减小, 最终趋于散粒噪声极限; 由图5(b)可知, 当信噪比大于2 dB时$\theta = 5{{\text{π}}/{12}}$的相位误差已小于0.0025 rad, 而当信噪比大于3.5 dB时其相位误差已经即为接近散粒噪声极限. 此外, 相位误差随$\theta = 0 \to {{\text{π}}/{\rm{2}}}$而逐渐减小, 在一定相位范围内, 其误差大于此刻的相位值, 这将严重影响后续的相位锁定, 对此需辅助相应的相位偏置使得相位测量误差始终保持在最小值. 相位偏置对于相位锁定的暂态过程十分必要, 而当系统稳定到$\theta = {{\text{π}}/2}$时, 相位偏置不会对探测结果的精度产生大的影响.
对于双模压缩微波的制备而言, 相位误差最终影响到的是信号的纠缠稳定度, 这是衡量纠缠特性的关键指标. Duan等^[23]针对连续变量系统从量子压缩的角度提出一种纠缠判据, 该判据指出对于两体系统, 当其正交分量满足$\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{X_{\rm{1}}} \mp {X_{\rm{2}}}} \right)} \right\rangle + $$\left\langle {{\Delta ^2}\left( {{Y_{\rm{1}}} \pm {Y_{\rm{2}}}} \right)} \right\rangle < 1 $时, 即可认定输出为纠缠态. 基于文献[23]提出的判据, 纠缠度可表示为

$\begin{split}& {E_N} = \max \left( {0, - \lg \left( {\min {\Delta ^2}} \right)} \right),\\& {\Delta ^2} = \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{X_1} \mp {X_2}} \right)} \right\rangle + \left\langle {{\Delta ^2}\left( {{Y_1} \pm {Y_2}} \right)} \right\rangle .\end{split}$

其中X, Y为两体系统的正交分量.
当${E_N} > 0$表示存在纠缠, 且${E_N}$值越大表示纠缠程度越高; 而${E_N} \leqslant 0$时说明输出信号无纠缠特性. 为便于分析纠缠度与两路单模压缩微波相对相位的关系, (13)式可表示为

${E_N} \!=\! \max \left(\!{0, \!- \lg \left( {\frac{{1 \!+\! \cos 2\theta }}{4}{{\rm{e}}^{2r}} \!+\! \frac{{3 \!+\! \cos 2\theta }}{4}{{\rm{e}}^{ - 2r}}}\! \right)}\! \right). $

同(8)—(12)式的原理相同, 据(14)式可推导出纠缠度的误差传递函数为

$\begin{split}{{\text{δ}}^2}{E_N} =\, & {\left( {\frac{{\partial {E_N}}}{{\partial \theta }}} \right)^2}{{\text{δ}}^2}\theta \\=\, & - \frac{1}{{\left[ {\left( {1 + \cos 2\theta } \right){{\rm{e}}^{2r}}/4 + \left( {3 + \cos 2\theta } \right){{\rm{e}}^{ - 2r}}/4} \right]}}\\& \times \left[ { - \frac{{\sin 2\theta }}{2}\left( {{{\rm{e}}^{2r}} + {{\rm{e}}^{ - 2r}}} \right)} \right]{{\text{δ}}^2}\theta .\\[-18pt]\end{split}$

$\text{δ}{E_N}$可理解为相位误差引起的纠缠度的波动范围. 根据(15)式绘制了$\theta = {{\text{π}}/2}$时$\text{δ}{E_N}$与相位误差${\text{δ}}\theta $及压缩度r的关系图, 结果如图6所示.
图 6 ${\text δ}{E_N}$与相位误差${\text δ}\theta $及压缩度r的关系
Figure6. Variance of ${\text δ}{E_N}$ versus ${\text δ}\theta $ and r.

由图6可知, 纠缠度波动范围${\text δ}{E_N}$随相位误差${\text δ}\theta $的增加而呈正指数增长, 且压缩度r越大, 纠缠度波动范围越大. 由图6(b)可看出, 在同一${\text δ}\theta $值下随着压缩度r的增加, ${\text δ}{E_N}$的增长差异逐渐减小, 最终将趋于平稳. 即r较小时, 相同的${\text δ}\theta $产生的纠缠度波动与r的大小密切相关, 此时纠缠波动和压缩度为衡量纠缠特性的关键指标; 而r较大时, 相同的${\text δ}\theta $产生的纠缠度波动不再随r的改变而剧烈变化, 压缩度成为衡量纠缠特性的主导因素. 此外, 随着r的增加, 纠缠度${E_N}$同时在增加, 因此纠缠度波动范围并不能准确反映量子纠缠微波信号的纠缠稳定性, 而${\text δ}E_N/E_N$描述了纠缠度波动范围相对输出纠缠度的比值, 可用以分析输出纠缠的稳定程度. 对此仿真分析了${\text δ}{E_N}/{E_N}$同相位误差${\text δ}\theta $及压缩度r的关系, 结果如图7所示.
图 7 ${\text δ}{E_N}/{E_N}$与相位误差${\rm{\delta }}\theta $及压缩度r的关系图
Figure7. Variance of ${{{\rm{\delta }}{E_N}}/{{E_N}}}$ versus ${\rm{\delta }}\theta $ and r.

由图7(a)可看出, ${{{\text{δ}}{E_N}}/{{E_N}}}$同样随相位误差的增加而增加, 增长趋势较${\text{δ}}{E_N}$更缓慢. 图7(b)中, ${{{{\text δ}}{E_N}}/{{E_N}}}$随r的增加而降低, 意味着随着压缩度的增加, 输出双模压缩微波的纠缠稳定度越高. 当相位误差为${\text δ}\theta = 1^\circ $及压缩度$r > 2$时, 纠缠稳定度可控制在千分之一以下, 这在精密测量中至关重要. 而由相位误差的分析可知, $\theta = {{\text{π}}/2}$时相位误差最小${\rm{\delta }}\theta \ll 1^\circ $, 则理论上的纠缠稳定度将再降低一个数量级.
上述分析表明, 该方案具有更小的锁定误差和更优的纠缠稳定性. 然而, 方案中威尔金森功分器的引入会导致输出信号纠缠度的降低, 且功分比$\sqrt \eta $越小, 对纠缠度的减弱越明显, 研究表明^[24], 当$\sqrt \eta > $ 99%时, 对纠缠度的减弱效应低于0.3°的相位误差所造成的影响. 且威尔金森功分器只会对纠缠度产生微小的影响, 而不会影响输出信号的纠缠稳定度. 但就当前实验技术而言, $\sqrt \eta > $99%的功分器在设计及实现方面仍有一定难度, 是将本方案应用于实际亟待解决的问题, 值得进一步探究.

本文针对双模压缩微波制备的相位锁定问题, 设计了一种相位锁定方案及实现装置. 通过对JPA的输入信号进行相位调制, 利用混频器探测另一路未调制的单模压缩微波与超导180°混合环输出的双模压缩微波, 解调出相位调制信号并得到两路单模压缩微波的相对相位及误差, 利用PID控制电路实现相对相位的锁定. 该方案相位误差小、实时性高、输出纠缠特性稳定, 满足当前微波量子通信、量子照明等应用对高性能双模压缩微波的要求. 且随着实验技术的进一步发展, 该方案更有望应用于设计高效、稳定、可靠的双模压缩微波信号源.