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线形?拱形组合梁式三稳态压电俘能器动力学特性研究

本站小编 Free考研考试/2022-01-01


引 言


无线监测技术在设备监测和安全监测等领域的应用越来越广泛[1-3], 但无线监测系统的续航问题一直制约其发展, 化学电池供电存在维护成本高、环境污染和寿命有限等问题[4]. 振动能量俘获技术可以将环境振动能收集并转换为电能, 有望实现无线监测系统自供电[5-8].

压电悬臂梁俘能器具有结构简单、尺寸紧凑等优点, 国内外****对此开展了大量的研究工作[9-12]. 经典的线性压电俘能器只能在其共振频率附近有效工作, 当环境激励频率远离俘能器共振频率时, 俘能器可俘获的能量显著减少, 这一问题严重制约俘能器的实际应用[13]. 为提升俘能器俘能性能, 研究人员提出了各种拓频方法, 根据不同原理, 可分为线性拓频和非线性拓频[14], 线性拓频方式主要包括: 多悬臂梁阵列[15]、L型梁[16]、多自由度梁[17]. 尽管上述结构能够有效拓宽俘能频带, 但就其结构中单一悬臂梁而言, 其工作频带宽度仍然很窄, 系统结构尺寸较大, 单位体积的俘能效率并不高. 非线性拓频方式主要有: 加装弹簧[18]、限制振幅[19]和磁场耦合[20]等方法, 非线性方法能够拓宽单一悬臂梁的工作带宽, 在各种非线性拓频方法中, 引入非线性磁力的俘能器结构较为简单, 在磁力作用下, 俘能器能够在双稳态、三稳态甚至更多稳态下运行[21-23]. 为比较三稳态压俘能器和双稳态压电俘能器的性能, Zhou等[24]对比分析了两种压电俘能器的频域响应特性. Zhu等[25]分析了随机激励下两种压电俘能器的输出性能, 研究结果均表明: 三稳态压电俘能器具有更浅的势阱, 更宽的俘能频带以及较高的输出. Leng等 [26]的研究表明: 三稳态压电俘能器在低强度和较高强度下的最佳磁距较为接近, 意味着最佳磁距下的俘能器能够有效适应激励强度的变化. Jung等 [27]设计了一种外部磁铁可旋转的三稳态压电俘能器, 研究表明, 调整外部磁铁旋转至合适倾角能够有效提高输出性能. Wang等[28]在考虑悬臂梁几何非线性(GNL)和引力效应(GE)的基础上,建立分布式参数模型, 研究表明: 较低激励下, 具有GNL和GE的三稳态压电俘能器具有非对称势阱, 能够提升俘能器输出性能. Cao等[29]分析了几何参数对三稳态压电俘能器势阱深度的影响, 较浅的势阱能够有效拓宽工作频带并且提升低频环境下的俘能性能. 由于环境中的激励具有多方向的特点, 采用直梁结构的压电俘能器难以在多方向激励环境中实际应用. Chen等[30]通过仿真发现引入拱形结构的压电悬臂梁应变分布更加均匀, 有利于提高能量转换效率和电压输出. Zhao等[31]设计了一种弧形梁俘能器, COMSOL仿真表明弧形梁能够响应来自不同方向的激励. 针对曲梁的研究[32-33]表明: 采用曲梁结构的俘能器有着良好的输出性能, 且曲梁可拉伸变形, 有望实现多方向的能量俘获.

引入非线性磁场的压电俘能器结构简单, 较传统线性结构有着更宽的工作频带. 本文针对煤矿井下无线监测节点供电需求, 为适应采掘激励低频、多方向等特点, 引入拱形结构, 设计一种线形?拱形组合梁式三稳态压电俘能器, 建立线形?拱形组合梁式压电俘能器动力学模型, 借助数值仿真从时域角度分析了俘能器磁铁水平间距、垂直间距和激励加速度对动力学响应特性的影响规律, 并搭建实验平台, 验证理论分析的正确性, 研究可为线形?拱形组合梁式三稳态压电俘能器的优化设计提供理论指导.


1.
三稳态压电俘能器结构


如图1为线形?拱形组合梁式三稳态压电俘能器结构示意图, 结构由线形?拱形组合梁、柔性压电材料PVDF和磁铁A, B, C组成. 线形?拱形组合梁上黏贴PVDF, 外接负载电阻$R$, 磁铁A固定于组合梁末端, 磁铁B, C对称布置于$X$轴两侧, 磁铁A与磁铁B, C间水平距离为$d$, 磁铁B, C的垂直间距为$2{d_g}$. 图中组合梁在$ X $轴方向长度为$L$, 组合梁宽度为$ b $, 厚度$ {h_S} $, 线形部分长度$ {L_1} $, 拱形部分半径和弦长分别为$r$和$2r$, 黏贴在组合梁上的PVDF宽度与组合梁一致, 厚度为$ {h}_{p} $, $wleft( {L,t}
ight)$为悬臂梁末端在$ t $时刻的振动位移.



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图
1
线形?拱形组合梁式三稳态压电俘能器结构示意图



Figure
1.
Schematic diagram of linear-arch beam TPEH



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2.
三稳态压电俘能器动力学模型



2.1
非线性磁力建模


为准确分析压电悬臂梁振动特性, 需要确定其末端受到的非线性磁力大小, 磁铁A, B, C间的几何关系如图2所示, 本文采用磁偶极子模型描述非线性磁力, 磁铁B在磁铁A处产生的磁通密度为[34]



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图
2
非线性磁力模型



Figure
2.
Nonlinear magnetic force model



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$$ {B_{{
m{BA}}}} = - frac{{{mu _0}}}{{4{text{π}} }}nabla frac{{{M_{
m{B}}}{{{{boldsymbol r}}}_{{
m{BA}}}}}}{{left | {{{{{boldsymbol r}}}_{{
m{BA}}}}}
ight |_2^3}} $$
(1)

式中, ${mu _0}$为真空磁导率, $ nabla $为向量梯度, ${{ {{boldsymbol{ r}}}}_{{
m{BA}}}}$为磁铁B到A的方向向量, ${M_{
m{B}}}$为磁偶极子B的磁矩.

磁铁B在磁铁A处产生的势能为







$$ {U_{{
m{BA}}}} = - {B_{{
m{BA}}}} cdot {M_{
m{A}}} $$
(2)

式中, $ {M_{
m{A}}} $为磁偶极子A的磁矩.

$Delta x$为磁铁A的水平位移, 由于磁铁尺寸相较于组合梁尺寸小, 所以$Delta x approx 0$,有${l_a}sin alpha ll wleft( {L,t}
ight)$, $alpha = $$ arctan wprime left( {L,t}
ight)$, 可得[35-36]







$$ left.begin{split}&{{boldsymbol{r}}_{{
m{BA}}}} = - d cdot {boldsymbol{i}} + f cdot {boldsymbol{ j}}&{M_{
m{A}}} = {m_{
m{A}}}{V_{
m{A}}}cos alpha cdot {boldsymbol{ i}} + {m_{
m{A}}}{V_{
m{A}}}sin alpha cdot {boldsymbol{ j}}&{M_{
m{B}}} = - {m_{
m{B}}}{V_{
m{B}}} cdot {boldsymbol{ i}}&cos alpha = frac{1}{{sqrt {{{left[ {wprime left( {L,t}
ight)}
ight]}^2} + 1} }}end{split}
ight}$$
(3)

式中, 分别$ {boldsymbol{i}}$和${boldsymbol{ j}}$为$ X $和$ Z $轴方向的单位向量, $ {m_{
m{A}}} $和$ {m_{
m{B}}} $分别表示磁铁A, B的磁化强度, $ {V_{
m{A}}} $和$ {V_{
m{B}}} $表示磁铁A, B的体积. 将式(1)和式(3)代入式(2)可得







$$ begin{split}& {U_{{
m{BA}}}} = &quad frac{{{mu _0}{m_{
m{A}}}{V_{
m{A}}}{m_{
m{B}}}{V_{
m{B}}}}}{{sqrt {{{left[ {wprime left( {L,t}
ight)}
ight]}^2} + 1} {{left( {{d^2} + {f_{{
m{BA}}}}^2}
ight)}^{frac{5}{2}}}}} cdot &quad frac{1}{{4{text{π}} }}left[ { - {f_{{
m{BA}}}}^2 + 2{d^2} - 3d{f_{{
m{BA}}}}wprime left( {L,t}
ight)}
ight] end{split} $$
(4)

式中, ${f_{{
m{BA}}}} = wleft( {L,t}
ight) - {d_g}$.

同理, 磁铁C在磁铁A处产生的势能







$$ begin{split}& {U_{{
m{CA}}}} = &quad frac{{{mu _0}{m_{
m{A}}}{V_{
m{A}}}{m_{
m{C}}}{V_{
m{C}}}}}{{sqrt {{{left[ {wprime left( {L,t}
ight)}
ight]}^2} + 1} {{left( {{d^2} + {f_{{
m{CA}}}}^2}
ight)}^{frac{5}{2}}}}} cdot &quad frac{1}{{4{text{π}} }}left[ { - {f_{{
m{CA}}}}^2 + 2{d^2} - 3d{f_{{
m{CA}}}}wprime left( {L,t}
ight)}
ight] end{split} $$
(5)

式中, ${f_{{
m{CA}}}} = wleft( {L,t}
ight) + {d_g}$.

磁铁B, C在组合梁末端磁铁A处产生的总势能







$$ {U_m} = {U_{{
m{BA}}}} + {U_{{
m{CA}}}} $$
(6)

因此磁铁A受到的非线性磁力







$$ {F_m} = frac{{partial {U_m}}}{{partial wleft( {L,t}
ight)}} $$
(7)


2.2
线形?拱形组合梁恢复力


采用YLK-10测力计测量线形?拱形组合梁在$ Z $轴方向的恢复力大小, 多次测量取平均值. 如图3所示为组合梁非线性恢复力的实验测量和拟合结果, 采用多项式拟合得到恢复力的表达式







$$ {F_r} = 56;681.2w{left( {L,t}
ight)^3} - 254.586w{left( {L,t}
ight)^2} + 14wleft( {L,t}
ight) $$
(8)

式中, $ wleft( {L,t}
ight) $是组合梁末端在$ t $时刻沿$ Z $轴的位移.



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figure_type1 bbb " id="Figure3" />



图
3
线形?拱形组合梁位移?恢复力曲线图



Figure
3.
Nonlinear restoring force of linear-arch beam



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从图3中可以看出, 线形?拱形组合梁不同于传统的直梁, 其恢复力具有非线性, 以$ wleft( {L,t}
ight) = 0 $为悬臂梁的平衡位置, 组合梁在平衡位置两侧的恢复力大小并不相等, 这是由于拱形部分的存在, 其曲率变小时恢复力比曲率变大时要小.


2.3
压电俘能器动力学方程


为确定组合梁的振动位移$ wleft( {x,t}
ight) $. 使用Rayleigh-Ritz法将组合梁的振动位移展开







$$ wleft( {x,t}
ight) = sumlimits_{i = 1}^n {{varphi _i}left( x
ight)} {q_i}left( t
ight) $$
(9)

其中, $ i $为组合梁的振动模态阶数, $ {varphi _i}left( x
ight) $表示组合梁的第$ i $阶模态函数, $ {q_i}left( t
ight) $表示第$ i $个广义模态坐标.

由于环境中的激励以低频为主, 组合梁的一阶模态弯曲振动起主导作用, 因此本文仅考虑组合梁的一阶模态. 对于线形?拱形组合梁, 由于结构复杂, 难以获取模态函数解析表达式, 由于其一端夹紧固定于基座之上, 另一端自由, 使用容许函数表示模态函数[37]







$$ varphi left( x
ight) = 1 - cos left[ {frac{{left( {2i - 1}
ight){text{π}} x}}{{2L}}}
ight] $$
(10)

采用拉格朗日方程建立线形?拱形组合梁的运动方程







$$ {L_a}left( {x,t}
ight) = {T_S} + {T_P} + {T_M} + {W_P} - {U_r} - {U_M} $$
(11)

式中, $ {T_S} $, $ {T_P} $, $ {T_M} $分别为金属基层、压电层和末端磁铁的动能, $ {W_P} $为PVDF的电能, $ {U_r} $为线形?拱形组合梁压电悬臂梁势能, $ {U_M} $为组合梁末端磁铁与外部磁铁之间作用力产生的势能.

金属基层和压电层的动能和组合梁的势能可表示为







$$ {T_S} = frac{1}{2}{
ho _S}{A_S}int_0^L {{{Big[ {dot wleft( {x,t}
ight) + dot zleft( t
ight)} Big]}^2}} {
m{d}}x $$
(12)







$$ {T_P} = frac{1}{2}{
ho _P}{A_P}int_0^L {{{Big[ {dot wleft( {x,t}
ight) + dot zleft( t
ight)} Big]}^2}} {
m{d}}x $$
(13)







$$ {U_r} = int {{F_r}} {
m{d}}qleft( t
ight) $$
(14)

式中, “·”为表示$ t $求导, $; {
ho _S} $为金属基层的密度, $ {A_S} $为金属基层的横截面积, $; {
ho _P} $为压电层的密度, $ {A_P} $为压电层的横截面积, $ zleft( t
ight) $为基座振动位移.

组合梁末端磁铁的动能为







$$ {T_M} = frac{1}{2}{M_t}Big[ {dot wleft( {L,t}
ight) + dot zleft( t
ight)} Big] + frac{1}{2}{I_t}{left[ {frac{{{partial ^2}left( {L,t}
ight)}}{{partial tpartial x}}}
ight]^2} $$
(15)

式中$ {M_t} $为磁铁的质量, $ {I_t} $为磁铁的转动惯量.

压电层在$ Z $方向的电场强度$ {E_3} $和电位移$ {D_3} $可由压电材料的本构方程给出







$$ {E_3} = - frac{{vleft( t
ight)}}{{{h_p}}} $$
(16)







$$ {D_3} = {e_{31}}{S_1} + epsilon _{33}^S{E_3} $$
(17)

式中${S_1} = - zdfrac{{{partial ^2}wleft( {x,t}
ight)}}{{partial {x^2}}}$, $ {e_{31}} $是机电耦合系数, $epsilon _{33}^S$是介电常数.

当组合梁受激振动形变, 金属基层上的PVDF随之形变, 由压电效应产生电能







$$ begin{split}& {W_P} = frac{1}{2}intlimits_{{V_P}} {{E_3}{D_3}} {
m{d}}{V_P} hfill &quad = frac{1}{4}{e_{31}}bleft( {{h_s} + {h_p}}
ight)vleft( t
ight)frac{{partial wleft( {L,t}
ight)}}{{partial x}} + frac{1}{2}{C_p}{v^2}left( t
ight) end{split} $$
(18)

式中${C_P} = dfrac{{bL in _{33}^S}}{{{h_p}}}$.

结合非线性磁力、恢复力的分析, 根据欧拉?伯努利梁理论和基尔霍夫定律可得线形?拱形组合梁的系统动力学方程







$$ Mddot qleft( t
ight) + 2delta omega dot qleft( t
ight) + {F_r} - theta vleft( t
ight) + {F_M} = - beta ddot Zleft( t
ight) $$
(19)







$$ theta dot qleft( t
ight) + {C_P}dot vleft( t
ight) + frac{{vleft( t
ight)}}{R} = 0 $$
(20)

式中







$$begin{split}& M = left( {{
ho _S}{A_S} + {
ho _P}{A_P}}
ight)int_0^L {{{ {varphi left( x
ight)} }^2}} {
m{d}}x +&quad {M_t}{ {varphi left( L
ight)} ^2} + {I_t}{ {varphi prime left( L
ight)}^2} end{split}$$
(21)







$$ theta = frac{1}{2}{e_{31}}bleft( {{h_s} + {h_p}}
ight)varphi prime left( L
ight) $$
(22)







$$ beta = left( {{
ho _S}{A_S} + {
ho _P}{A_P}}
ight)int_0^L {varphi left( x
ight){
m{d}}x + {M_t}} varphi left( L
ight) $$
(23)

式中, “$ varphi prime left( L
ight) $”为对$ x $求导.


3.
三稳态压电俘能器动力学分析



3.1
势能和磁力分析


表1给出了三稳态压电俘能器中组合梁和磁铁的结构、材料参数.




表
1
三稳态压电俘能器结构和材料参数



Table
1.
Structure and material parameters of TPEH



table_type1 ">
ParameterValue
linear-arch beam $ {L_1} $/mm 20
$ {h_S} $/mm 0.2
$ b $/mm 8
$ r $/mm 10
density/ (kg·m?3) $ 8300 $
Young's modulus / (N·m?2) $1.28 times {10^{11}}$
PVDF permittivity constant/ (F·m?1) $ 1.10 times {10^{ - 10}} $
Young's modulus / (N·m?2) $ 3 times {10^9} $
density / (kg·m?3) $ 1780 $
$ {h_P} $/mm 0.11
magnet structure size/mm $ 10 times 10 times 5 $
${mu _0}$/ (H·m?1) $4{text{π}} times {10^{ - 7} }$





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系统总势能为







$$ U = {U_M} - {U_r} $$
(24)

由式(24)可知, 水平磁距$d$和垂直磁距${d_g}$对系统势能和磁力起决定性的影响, 本节将通过仿真分析上述参数对系统势能和磁力的影响.

图4显示了$d$= 16 mm, ${d_g}$分别为0 mm, 6 mm, 8 mm, 12 mm和20 mm时压电俘能器系统势能和磁力仿真结果. 由图4(a)所示结果可知, 保持$ d $不变的情况下, 随着${d_g}$的逐渐增大, 系统势能曲线依次呈现双势阱、三势阱和单势阱. 当${d_g}$= 0 mm时, 外部磁铁B, C重合在一起, 系统势能曲线有两个势阱, 此时俘能器为双稳态系统, 但两个势阱的深度和宽度都较大, 低激励下系统难以克服势垒的阻碍实现双稳态运动. 当${d_g}$增至6 mm, 系统势能曲线的两个势阱深度变浅, 宽度变窄, 低激励下的俘能器能够实现双稳态运动. 随着${d_g}$的增大, 系统势能曲线由两个势阱向3个势阱转变, 系统中间势阱深度逐渐变深, 宽度增加, 两侧势阱深度逐渐变浅, 宽度减小. 从图4(b)可以看出, 随着${d_g}$的增大磁力逐渐减小, 组合梁摆脱磁力约束所需的能量也越少.



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图
4
${d_g}$对系统势能和磁力的影响



Figure
4.
The influence of ${d_g}$on potential energy and magnetic force



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图5显示了${d_g}$= 0 mm, $d$分别为0 mm, 10 mm, 13 mm, 15 mm和22 mm时压电俘能器系统势能和磁力仿真结果, 如图5(a)所示: 随着$ d $的逐渐减小, 系统势能曲线由单势阱变为三势阱, 势阱深度随着$d$的减小逐渐增大. $d$= 0 mm时, 势能曲线的3个势阱较深, 只有当外部激励较大时, 才能够使系统在阱间运动, 实现三稳态运动. 由图5(b)所示结果可知, 随着$d$的逐渐减小, 组合梁末端磁铁与外部两磁铁间作用力逐渐变大, 磁铁间作用力增强, 组合梁摆脱磁力约束所需的激励越大. 从图6(a)和5(a)中可以看出, 当势能曲线出现3个势阱时, 位于外侧的两个势阱深度不同, 这是由于组合梁恢复力不对称导致的非对称势阱.



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图
5
$d$对系统势能和磁力的影响



Figure
5.
The influence of $d$ on potential energy and magnetic force



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6
不同水平间距$d$下的系统相图和时间-位移图



6.
Phase portrait and time-displacement diagram of different magnetic distance$d$



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图
6
不同水平间距$d$下的系统相图和时间-位移图(续)



Figure
6.
Phase portrait and time-displacement diagram of different magnetic distance$d$ (continued)



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3.2
系统动力学特性分析


系统势能和磁力分析结果表明: 磁铁间距对系统势能和磁力有着显著影响, 一定激励条件下, 调整磁铁间距能够使系统实现不同的运动状态, 当磁铁间距较小时, 磁铁A与磁铁B, C间作用力较大, 此时势阱较深, 低水平的激励下, 系统难以越过势垒, 脱离势阱较深的位置. 因此, 合理的选择磁铁间距显得尤为重要, 本节将对磁铁水平间距$d$、垂直间距${d_g}$和激励加速度$a$对系统动力学响应特性的影响规律进行探究.


3.2.1
水平间距$d$对系统动力学特性的影响

当$a$= 12 m/s2, ${d_g}$= 8 mm, $f$= 9 Hz, $d$分别为22 mm, 15 mm, 13 mm. 如图6所示为压电俘能器的位移?速度相图和时间?位移图. 从图6(a)可以看出, 当磁铁水平间距$d$= 22 mm时, 由于此时磁力较小, 磁力对组合梁几乎不产生约束作用, 压电俘能器表现出单稳态运动特性. 当水平间距$d$= 15 mm, 结合图5可知, 磁铁间作用力增大, 磁力作用下系统出现3个势阱, 且势阱深度较浅, 因此系统能够轻易越过势垒, 如图6(b)所示, 组合梁末端在3个平衡位置之间往复运动, 系统实现三稳态运动, 组合梁的振动位移幅值大幅提高, 达到18 mm. 当$d$减小至13 mm, 由于磁铁之间作用力较大, 组合梁难以摆脱磁力束缚, 如图6(c)所示, 系统表现出单稳态特性, 在中心平衡点附近作小幅值的周期运动, 此时系统响应位移、振动速度和输出电压都非常小.


3.2.2
垂直间距${d_g}$对系统动力学特性的影响

取$a$= 12 m/s2, $d$= 16 mm, $f$= 9 Hz, ${d_g}$分别为6 mm, 8 mm和12 mm. 压电俘能器的位移?速度相图和时间?位移图如图7所示. 通过调整磁铁垂直间距$ {d}_{g} $, 系统具有不同的动力学特性, 随着$ {d}_{g} $的增大, 系统依次经历双稳态、三稳态和单稳态3种运动状态. 如图7(a)所示, 当${d_g}$= 6 mm, 磁力作用下系统具有两个势阱, 在给定激励下系统能够在阱间往复运动实现双稳态运动. 当${d_g}$= 8 mm, ,如图7(b)所示, 系统作三稳态运动, 在3个稳定位置间往复运动, 俘能器的响应位移和输出性能都较高. 随着磁铁间距的增大, 如图7(c)所示, 磁铁作用力减小, 系统表现出单稳态特征, 组合梁末端仅在中间平衡点附近作小幅值的周期运动.



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figure_type2 ccc " id="Figure7-1" />



7
不同垂直间距${d_g}$下的系统相图和时间?位移图



7.
Phase portrait and time-displacement diagram of different magnetic distance${d_g}$



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figure_type2 ccc " id="Figure7" />



图
7
不同垂直间距${d_g}$下的系统相图和时间?位移图(续)



Figure
7.
Phase portrait and time-displacement diagram of different magnetic distance${d_g}$ (continued)



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3.2.3
激励加速度$a$对系统动力学特性的影响

取$d$= 15 mm, ${d_g}$= 8 mm, $f$= 9 Hz, 研究激励加速度$a$对系统动力学特性的影响规律. 如图8所示为5 m/s2, 7 m/s2和12 m/s2的位移?速度相图和时间?位移图. 当$d$= 15 mm, ${d_g}$= 8 mm, 系统势能曲线具有3个势阱, 但系统并不能在任意激励加速度下实现三稳态, 当$a$= 5 m/s2, 系统不能越过势垒, 只能在中间稳定位置附近作小幅周期运动. 当$a$= 7 m/s2, 系统获得的动能增加, 响应位移相较于$a$= 5 m/s2时有所增大, 但不足以使系统越过两侧的势阱, 仍然在中间稳定位置附近作阱内运动. 当加速度增大至$a$= 12 m/s2, 系统能够越过两侧的势垒, 在3个势阱间运动, 实现三稳态运动, 此时系统的响应位移和输出性能都将大幅提高.



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图
8
不同激励加速度下的系统相图



Figure
8.
Phase portrait of different excitation acceleration



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从图6 ~ 图8可以看出, 组合梁运动至两侧稳定位置时速度不相等, 这是由于线形?拱形组合梁非线性恢复力的不对称性所致.


4.
实验验证


为验证俘能器动力学特性理论分析的正确性, 根据表1所示结构参数制作压电俘能器样机并搭建实验平台进行实验验证, 如图9所示, 实验平台由: 计算机、振动控制器、功率放大器、振动台、激光测振仪、COCO80采集仪、线形?拱形组合梁式三稳态压电俘能器及基座组成. 实验中, 通过计算机设置激励条件, 由振动控制器发出激励信号, 经由功率放大器输出至振动台, 振动台按照预设的激励信号运行, 使用激光测振仪实时测量组合梁拱形部分的响应速度.



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图
9
实验平台



Figure
9.
Experimental platform



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图10所示是$d$= 15 mm, ${d_g}$= 8 mm, $f$= 9 Hz, 激励加速度分别为5 m/s2, 7 m/s2和12 m/s2时的线形?拱形组合梁位移?速度的实验结果. 如图10(a)和图10(b)所示, 当$a$= 5 m/s2时, 位移幅值为1.8 mm, 随着激励加速度的增大, 位移幅值随之增大, 当$a$= 7 m/s2时, 位移幅值为2.5 mm, 表明在较低的激励下, 系统无法越过两侧势垒, 只能在阱内作周期运动. 图10(c)是7 m/s2下的俘能器位移?速度相图, 此时系统能够越过势垒, 表现出三稳态运动特征.



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图
10
不同激励加速度下的实验相图



Figure
10.
Experimental phase diagrams under different excitation accelerations



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低激励下的实验结果与仿真结果较为吻合, 但随着激励的增大, 特别是当系统作三稳态运动时, 由于组合梁形变较大, 实验与仿真结果之间存在误差, 其主要原因有: (1)线形?拱形组合梁压电俘能器样机制作产生的加工误差, 造成实验条件与仿真存在偏差; (2)实验得到的相图倾斜明显, 而仿真得到的相图倾斜并不明显, 这是由于仿真中未考虑重力因素, 且实验中由于拱形部分的存在, 难以精准测量其形变位移, 导致激光测振仪测量的数据存在偏差.


5.
结 论


本文针对线形?拱形组合梁式三稳态压电俘能器, 基于拉格朗日方程建立了动力学模型, 使用4阶龙格?库塔算法对动力学方程进行数值求解, 分析了不同磁距对系统特征, 初步揭示了不同加速度对系统动力学性能的影响规律, 通过实验验证了理论分析的正确性. 仿真与实验得到以下主要结论.

(1)保持${d_g}$不变时, 通过改变$d$, 系统能够构成单稳态系统和三稳态系统. 保持$d$不变时, 增大${d_g}$, 系统将依次构成双稳态、三稳态和单稳态系统. 当系统作三稳态运动时, 系统振动响应位移将明显提高, 特别地, 当$d$= 16 mm, ${d_g}$= 8 mm, 时, 系统势能曲线有3个势阱, 且势阱深度较浅, 宽度较为一致, 这有利于系统在低激励下产生大幅响应, 并提高俘能器输出性能.

(2)随着激励水平的增加, 系统更易越过势垒实现阱间运动, 俘能器响应位移随之增大.

(3)线形?拱形组合梁的非对称恢复力导致势能曲线呈现非对称势阱, 这为低激励环境中的俘能器应用提供了新的解决思路.

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