随着航空技术的发展，新型飞行器的机动能力显著提升，意味着对舵系统的动态性能要求越来越高，舵面受到的载荷力矩变化也愈加复杂，而传统的机械式和电液式负载模拟器性能缺陷日益明显[4]。随着电机驱动及控制技术的发展，以电机为驱动的EDLS得到了广泛的研究和应用[5]。EDLS是典型的被动式力矩加载系统，在加载过程中，舵机在位置控制指令下工作，而加载电机与其固连在一起，因此，由于惯量、摩擦、齿隙和弹性形变等因素，不可避免地产生加载电机与舵机运动不同步，产生多余力矩。多余力矩的存在严重影响加载的精度，降低加载系统的灵敏度和稳定性，故多余力矩的消除是保证EDLS性能的关键问题[4-5]。
目前，国内外诸多****对EDLS多余力矩的消除进行了研究，现有多余力矩消除主要从两个方面入手：①从驱动器选型及EDLS结构设计方面，尽量减小EDLS引入的转动惯量或改变轴系统刚度[6-7]；②采用先进的控制策略对多余力矩补偿消除，是目前减小多余力矩的主要方式。现主要算法有舵机速度前馈补偿或位置前馈补偿法[4-5]、神经网络补偿法[8-10]、观测器补偿法[11]和迭代学习补偿法[12-13]等。文献[4]基于不变性原理分别引入舵机的速度和位置前馈来补偿多余力矩，其不足之处在于需要系统精确的逆模型；文献[9]提出了一种改进自适应学习率新型小脑模型(BOWA-CMAC)的复合控制策略，试图分析各个参数对系统的影响，采用图表法进行参数寻优；文献[10]提出采用非均匀量化思想对CMAC进行改进，但CMAC网络结构设计缺乏理论指导，推广和应用较为困难；文献[11]基于扰动观测的双回路控制方法，采用混合灵敏度优化的DOB方法设计鲁棒控制器；文献[12]提出一种将PID反馈控制与迭代补偿相结合的复合控制策略，简化了系统设计；文献[13]针对正弦负载的实验，提出幅值和相位修正的迭代学习控制策略，解决加载力矩跟踪精度和相位滞后问题。但上述研究中，力矩反馈回路中一般采用常规PID控制策略，尽管采用各种补偿控制策略，往往难以得到满意的控制效果。
分数阶控制自Oustaloup等[14]提出以来，得到了广泛研究和应用。与传统整数阶微积分相比，分数阶微积分更加细腻，且具有记忆功能和遗传特性。因此，分数阶控制具有更好的动态性能和鲁棒性[15]。目前，常用的分数阶控制器有分数阶PIλDμ控制[16]、分数阶滑模控制[17]和分数阶迭代学习控制[18-19]等。与整数阶控制器相比，分数阶控制器引入微分和积分两个可变自由度参数，使控制器设计更加灵活，如分数阶PIλDμ控制器，与整数阶PID控制器相比，微分阶次μ和积分阶次λ能够调整闭环系统的滞后和超前角度，从而在兼顾系统稳定性和动态性能的前提下提高稳态性能，达到控制性能要求。文献[15]提出一种分数阶PIλDμ参数整定方法，应用于两个相互耦合的存储系统；文献[16]给出离散分数阶PIλDμ的定义、整定、数字实现和应用；文献[18-19]针对分数阶系统提出P型和PD型分数阶迭代学习控制，并给出收敛性证明。
针对EDLS一类复杂的负载模拟问题，即正弦载荷和梯形波载荷，提出一种以分数阶PIλDμ控制器作为反馈控制、分数阶迭代学习控制器(Fractional Order Iterative Learning Control, FO-ILC)作为补偿控制的复合控制策略，将分数阶微积分理论应用到PID和迭代学习控制中，抑制EDLS中的多余力矩及各种非线性因素干扰，提高加载系统的动态性能和稳态精度，并进行实际系统加载实验验证本文方法的有效性。
1 EDLS结构和数学模型 1.1 EDLS结构 EDLS的系统结构如图 1所示。EDLS测试台主要由加载电机(永磁同步电机)、膜片型联轴器、力矩传感器、舵机位置传感器和舵机组成。永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)具有功率密度大、可靠性高和转矩动态性能好等诸多优点[12]，因此，选择采用PMSM作为ELDS的驱动元件。加载电机通过膜片型联轴器与力矩传感器、舵机系统相连，膜片型联轴器具有零回转间隙、体积小等优点，避免引入齿隙等非线性因素。力矩传感器用来实时测量EDLS和舵机系统组成的轴系统上的负载力矩，舵机位置及电机位置的测量均采用光电编码器实现。
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| 图 1 EDLS结构 Fig. 1 Structure of EDLS |
| 图选项 |
由图 1可以看出，EDLS系统与舵机系统通过联轴器刚性连接，EDLS在对舵机加载的同时又随之在一定角度内往复运动，舵机的运动会导致EDLS产生扰动力矩，即多余力矩[10-12]。
1.2 EDLS数学模型 为保证电机转矩的动态性能，PMSM采用直接转矩控制(Direct Torque Control, DTC)方式，其力矩传递函数为
 | (1) |
式中：Te为PMSM输出电磁转矩；J为整个轴系统的转动惯量；B为摩擦系数；TL为传感器测量的力矩值，也是负载力矩值；ω为加载PMSM的转速。
由于力矩传感器的转动惯量非常小，在其量程工作范围内，可认为是一个比例环节[13]，即
 | (2) |
式中：KG为力矩传感器的刚度系数；θ为EDLS位置输出；θ1为舵机系统位置输出。
结合式(1) 和式(2) ，可得到EDLS的力矩传递函数为
 | (3) |
文献[9-10]所推导出的EDLS模型为3阶系统，而本文得到的是2阶模型，原因是文献[9-10]加载电机采用力矩电机或PMSM采用矢量控制方式，在EDLS模型推导过程中必须考虑电流环参数的设计，而DTC鲁棒性强，其控制性能不受参数的影响[20]，此时可将转矩环认为是1的环节。与文献[9-10]中的EDLS模型相比，PMSM采用DTC方式建立的EDLS模型降低了模型阶次，减少控制器参数设计的数量。
2 控制器设计 2.1 分数阶PIλDμ控制器设计 EDLS系统工作时，被加载舵机和加载电机分别动作，舵机按照指令角度进行位置伺服控制，加载力矩信号是基于舵机位置和加载梯度进行设置给定。由式(2) 和式(3) 中可看出，负载力矩的形成由加载电机位置和舵机位置两个因素决定，即EDLS具有两个输入：①加载电机控制输入；②舵机实际角度，舵机实际角度输入可视为扰动输入。为有效抑制舵机位置输入的干扰，一般负载模拟器控制系统采用位置反馈作为内环、力矩环作为外环的闭环结构形式[13]，如图 2所示。图中：Te*为加载电机控制输入；Gθ(s)为位置控制器传递函数；GT(s)为力矩控制器传递函数；DTC控制环增益为1；TL*为给定力矩；Uin(θ*)为力矩控制器的输出，即为位置控制器的输入。Gθ(s)和GT(s)通常采用经典整数阶PID控制器实现，而分数阶PIλDμ控制器是整数阶PID控制器的广义形式，增加了两个可调节参数，参数整定范围变大，控制能力更加灵活，控制效果更佳。整数阶PID控制器和分数阶PIλDμ控制器的取值范围如图 3所示。
 |
| 图 3 整数阶PID控制器和分数阶PIλDμ控制器示意图 Fig. 3 Schematic diagram of integer order PID control and fractional order PIλDμ control |
| 图选项 |
图 3中，经典P、PI、PD和PID仅表示4个离散的点，分数阶PIλDμ为整个阴影部分，即分数阶PIλDμ控制器的积分阶次λ和微分阶次μ取不同的值，也可演变成整数阶P、PD、PI和PID等控制器。因此，分数阶PIλDμ控制器更具有一般形式。
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| 图 2 EDLS控制结构 Fig. 2 Control structure of EDLS |
| 图选项 |
设计分数阶PIλDμ控制器的传递函数为
 | (4) |
式中：KP为比例增益；KI为积分常数；KD为微分常数。
图 2中位置闭环控制器Gθ(s)和力矩闭环控制器GT(s)均采用式(4) 所设计的控制器形式实现，分数阶PIλDμ控制器中各个参数的设计和整定原理采用幅值裕量法及相位裕量法，具体整定原理详见参考文献[21-22]。
2.2 分数阶迭代学习控制器设计 一般为了验证舵机的性能，常用的负载模拟力矩有正弦载荷和梯形波载荷[12]，正弦载荷用来测试舵机的控制性能，梯形波载荷用来测试载荷突变的恶劣环境下，舵机的功能是否正常。而正弦和梯形波载荷具有周期重复性，迭代学习控制适合具有重复运动性质的被控对象，以系统的实际输出与给定轨迹的偏差信号修正不理想的控制信号，提高系统的跟踪性能，实现有限时间上的完全跟踪任务。与常规迭代学习控制相比，分数阶迭代学习控制能够获得更好的收敛速度和更高的控制精度[18-19]。
对于系统式(3) ，设计采用分数阶PDγ型迭代学习控制器，其形式为
 | (5) |
式中：ΓP和ΓD分别为迭代学习的比例增益和分数阶微分增益；Δuk和Δuk+1分别为上一个迭代学习周期和当前迭代学习周期的迭代补偿控制量；ek+1(γ)为当前迭代学习周期误差ek+1的γ阶微分。
式(5) 在频域下的传递函数为
 | (6) |
则基于分数阶迭代学习控制的复合控制框图如图 4所示。
 |
| 图 4 基于分数阶迭代学习控制的EDLS控制结构 Fig. 4 Control structure of EDLS based on FO-ILC |
| 图选项 |
根据图 2和式(3) ，可得到含有位置闭环EDLS控制系统的开环传递函数为
 | (7) |
式中：Uin为力矩闭环的输出，其物理意义为位置角度的给定。
将式(7) 写成标准形式为
 | (8) |
式中：
 |
其中：d(s)为EDLS的周期性扰动输入。从d(s)的表达式中可以看出，设计合适的控制器Gθ(s)，能够对舵机位置扰动进行抑制，即d(s)≤dmax。
定理1 将分数阶PD型迭代学习控制律式(6) 施加于EDLS系统式(8) 中，系统中周期性干扰满足d(s)≤dmax，选取适当的学习增益ΓP和ΓD，若满足谱半径
证明取系统式(8) 的期望输入为Yd(s)，Yk(s)为第k次运行后输出，ek(s)为学习误差，Δuk(s)为第k次的控制输入，k次修正后的控制为Δuk+1(s)，则第k+1次时，系统控制误差为
 | (9) |
将控制律式(6) 代入式(9) ，整理可得
 | (10) |
将式(10) 进行整理可得
 | (11) |
对式(11) 两边取绝对值可得
 | (12) |
递推可得
 | (13) |
由于
注1 由定理1可知，理论上仅采用分数阶迭代学习控制方法就能够实现对EDLS的高精度控制，因此，图 4中的位置闭环控制和力矩闭环控制的作用是提高系统的收敛速度，减少分数阶迭代学习的学习周期。
2.3 分数阶微积分的实现 目前精确计算分数阶微积分的值较为困难，一般利用有限的整数阶微积分进行数值逼近，主要有傅里叶级数法、Grunwald-Letnikov定义直接计算法、频域滤波算法和数字滤波算法。本文采用改进型Oustaloup方法进行分数阶微积分的数值计算，具体计算方式为[15-16]
 | (14) |
式中：N为正整数，2N+1为系统式(14) 的近似阶次，一般N取值为3；K=(ωbωh)α，ωh和ωb分别为截止频率的上限和下限，其值根据系统的控制周期或频率进行选取；b和d为引入的系数；α为微积分阶次；第k个零点ω′k和极点ωk分别为
 | (15) |
 | (16) |
则分数阶微积分计算步骤如下：
1) 选定近似频率段范围(ωb, ωh)和阶次2N+1。
2) 根据微积分的阶次α，由式(15) 和式(16) 计算零点和极点，以及K值。
3) 根据式(14) 计算出近似化的有理传递函数。
式(14) 仅针对0 ＜α＜1范围内的分数阶微分有效，当α>1，如微分阶次α=1.4，此时采用s1.4=ss0.4；当α＜0，即使用分数阶积分时，如α=－0.4，此时用式s－0.4=s0.6/s代替计算。
3 验证实验 为验证本文所提方法的有效性，在自行研制的实验平台上进行力矩加载实验，实验平台如图 5所示。加载电机的驱动及DTC的实现采用ABB公司的ACS800伺服驱动控制器实现，位置闭环、力矩闭环和迭代学习控制采用DSP2812实现。
 |
| 图 5 EDLS实验平台 Fig. 5 Experimental platform of EDLS |
| 图选项 |
实验中，位置闭环采用分数阶PIλ控制，力矩闭环采用分数阶PIλDμ控制，分数阶迭代学习控制采用PDγ型控制，各控制器参数如下：位置闭环：Pθ=5.8，Iθ=0.35，λθ=0.9；力矩闭环：PT=2.7，IT=0.75，DT=0.001，λT=μT=0.9；迭代学习控制器：PILC=0.2，DILC=0.002，γ=0.8。分数阶微积分的计算相关参数为：N=3，ωb=0.001，ωh=1 000，b=10，d=9。
3.1 力矩加载实验 舵机按照正弦规律工作，工作幅值为10°，选择5 Hz和10 Hz两种频率为工作频率，加载力矩给定幅值为50 N·m，正弦载荷和梯形波载荷的频率与舵机工作频率相同，相位超前180°。为验证分数阶复合控制的有效性，分别对整数阶PID+整数阶ILC和分数阶PIλDμ+分数阶ILC两种控制方法进行对比。实验过程中运行数据暂时保存在DSP内部的RAM中，实验后通过DSP仿真器将存储的数据读出，然后用于MATLAB绘图。分数阶PIλDμ+分数阶ILC的实验结果如图 6所示，而整数阶PID+整数阶ILC的实验结果如图 7所示。
图 6、图 7中，力矩跟踪曲线结果中，迭代学习周期即为给定载荷的周期T。对于EDLS，采用每个正弦(梯形波)周期最大力矩加载误差的绝对值来评价力矩的跟踪性能。在分数阶PIλDμ+分数阶ILC的控制方式下，对正弦载荷30 N·m，5 Hz工况下，[0, T]时间范围内最大加载误差绝对值为20 N·m，而10 Hz时接近30 N·m；梯形波负载条件下，在[0, T]时间范围内，5 Hz和10 Hz的力矩误差分别为28 N·m和35 N·m，表明多余力矩随着舵机运行频率的增加而变大，而无论是5 Hz，还是10 Hz的期望载荷，随着迭代学习控制器的补偿，EDLS力矩输出误差逐渐减小，当运行到[2T, 3T]控制周期时，加载力矩误差的最大值为4 N·m，幅值误差为8%，当达到[3T, 4T]时，力矩跟踪误差收敛到1 N·m以内，力矩跟踪误差达到2%，跟踪效果大大提升。
 |
| 图 6 分数阶复合控制结果 Fig. 6 Results of fractional order composite control |
| 图选项 |
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| 图 7 整数阶复合控制结果 Fig. 7 Results of integer order composite control |
| 图选项 |
从图 7整数阶PID+整数阶ILC控制方式下的实验结果可以看出，在正弦载荷30 N·m，5 Hz工况下，[0, T]时间范围内整数阶PID+整数阶ILC控制方法下的最大加载误差绝对值为30 N·m，10 Hz条件下的力矩误差为45 N·m；梯形波负载条件下，在[0, T]时间范围内5 Hz和10 Hz的力矩误差分别为35 N·m和45 N·m。与本文方法相比，其在[0, T]时间范围内，无论是正弦负载还是梯形波负载，误差均大于本文方法的结果。在收敛时间方面，本文方法在[3T, 4T]范围内已达到较高精度，而整数阶PID+整数阶ILC的控制结果在[3T, 4T]仍存在较大误差。由上述结果分析可以看出，本文方法的收敛速度和控制精度均高于整数阶PID+整数阶ILC的控制方式。
3.2 多余力矩抑制实验 多余力矩的测量一般是指EDLS开环给定力矩为零，舵机系统按照指定轨迹运行时，力矩传感器反馈的力矩值。因此，将EDLS系统开环给定0 N·m载荷，舵机在5 Hz、10 Hz两种频率，正弦幅值为10°。为比较不同控制器下的控制效果，将本文方法与文献[4-5]中舵机位置前馈补偿的控制方法进行对比，实验结果如图 8所示。图中：ET1为开环状态下的多余力矩曲线；ET2为舵机前馈补偿下的多余力矩曲线；ET3为本文方法在[3T, 4T]时的多余力矩曲线。
 |
| 图 8 多余力矩抑制效果对比 Fig. 8 Comparison of surplus torque suppression effect |
| 图选项 |
图 8中不同舵机频率和控制方法的多余力矩最大值对应如表 1所示，结果表明，在5 Hz和10 Hz条件下运行时，舵机位置前馈控制方式下的多余力矩的消除率分别为 56.6%、71.8%；而采用本文分数阶PIλDμ+分数阶ILC控制方式时，多余力矩的消除率分别达到97.8%、95.7%，抑制效果显著。
表 1 多余力矩抑制最大值 Table 1 Maximum values of surplus torque suppression
| 频率/Hz | ET1max/(N·m) | ET2max/(N·m) | ET3max/(N·m) |
| 5 | 28.5 | 12.37 | 0.62 |
| 10 | 54.7 | 15.45 | 2.34 |
表选项
4 结论 针对电动加载系统存在多余力矩等问题，提出一种分数阶PIλDμ+分数阶迭代学习控制的复合控制策略，并通过实验验证，得出以下结论：
1) 利用分数阶微积分的信息记忆特性，将分数阶PIλDμ引入到电动加载系统中，提高电动加载系统的动态性能和鲁棒性。
2) 针对具有周期性的力矩加载曲线，设计分数阶迭代学习控制器，并证明系统的收敛性，结果表明该方法能够有效抑制电动加载系统中存在的多余力矩。
3) 为降低系统模型建模复杂度和提高转矩的动态响应，内环采用直接转矩控制方式。
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