摘要:保守系统因为没有吸引子, 与常见的耗散系统相比, 它的遍历性更好, 伪随机性更强, 安全性更高, 更适合应用于混沌保密通信等领域. 基于此, 设计了一个新的具有宽参数范围的五维保守超混沌系统. 首先, 进行 Hamilton 能量和 Casimir 能量分析, 证明了新系统满足 Hamilton 能量保守且能够产生混沌. 然后进行动力学分析, 包括保守性证明、平衡点分析、Lyapunov 指数谱和分岔图分析, 证明了新系统具有保守系统的特点, 且能够在宽参数范围内一直保持超混沌状态, 同时对比宽参数范围内系统的相图和 Poincaré 截面图, 结果表明随着参数增大, 系统的随机性和遍历性得到增强. 接着, 对新系统进行 NIST 测试, 结果显示该系统在宽参数范围内产生的混沌随机序列具有很强的伪随机性. 最后对保守超混沌系统进行电路仿真和硬件电路实验, 实验结果证实了新系统具有良好的遍历性和可实现性.
关键词: 宽参数范围/
保守超混沌系统/
随机性/
遍历性

English Abstract

全文HTML

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混沌系统具有遍历性、伪随机性和初始敏感性等典型特征, 这些特征使混沌理论在混沌保密通信等多领域中具有重要的应用价值^[1]. 从1963年Lorenz^[2]提出第一个混沌系统开始, 新的系统不断被提出, 如Sprott系统^[3]、Chen系统^[4]、Lü系统^[5]等, 这些系统大多数是耗散系统. 但是混沌系统的丰富特性, 不仅仅只存在于耗散系统中^[6-8], 还应该包括保守系统和量子系统^[9,10].
与耗散系统相比, 保守系统的相体积恒定, 不存在吸引子, 系统维数为整数维, 遍历性更好, 伪随机性更强, 安全性更高^[11], 因而保守混沌系统逐渐引起****们的注意. 2015年Vaidyanathan和Volos^[12]构造了一个三维无平衡点的保守混沌系统, 2017年Cang等^[13]构造了两个保守混沌系统并进行了电路仿真. 2018年Qi^[11]通过构建四维欧拉方程提出6个不同的四维Hamilton保守混沌系统, 为构建保守混沌系统提供了新的思路. 2019年Dong等^[14]提出一类新的具有多稳定性的Hamilton保守混沌系统, 并设计和开发了伪随机数信号发生器, 证明了保守混沌系统的应用前景. 2020年Gu等^[15]提出一个新的四维非Hamilton保守超混沌系统, 并对其动力学特性进行了详细分析. 2021年Chen等^[16]提出了一个二维非自治保守系统并在积分域上进行了重构, 使保守运动有了更充分的解释.
在工程应用中, 如果有一类混沌系统能够随着某个参数变化, 在更宽的范围内一直保持混沌状态, 那么这类系统在保密通信^[17]、密码学^[18]、混沌控制^[19]等领域中将更有优势. 2007年Barboza^[20]提出一个线性扩展的四维Lorenz系统, 并证明了该系统在宽范围下是超混沌的. 2009年Jia等^[21]提出一个大范围超混沌系统并用模拟电路验证了系统的复杂性. 2013年Liu和Zhang^[22]提出一个宽参数范围的双涡卷混沌系统. 2018年Xian等^[23]提出一个大范围参数下具有共存吸引子的混沌系统, 并用模拟电路和FPGA验证了系统的混沌特性. 2019年Xu等^[19]提出一个超大范围混沌系统并进行了自适应滑模控制. 同年, Xu和Li^[24]又构建了一个具有共存混沌吸引子的超大范围参数混沌系统.
以上研究都是关于宽参数范围耗散混沌系统的, 对于宽参数范围保守混沌系统却鲜有报道. 2011年Sprott^[25]提出三条标准, 新构建的混沌系统应该至少符合其中的一条. 对比近些年关于保守混沌系统的文献[11-16]发现, 尚未有****专门针对宽参数范围的保守混沌系统进行研究. 文献[15]虽然提到系统的混沌区域具有较大的参数空间, 但是并没有进行更深入的研究. 因此, 本文基于五维欧拉方程构造了一个新的具有宽参数范围的五维保守超混沌系统, 它符合Sprott提出的第二条标准“系统应该表现出一些以前没有观察到的行为”. 新系统满足Hamilton能量保守和相体积保守, 具有保守系统特有的中心平衡点, 只有混沌轨道而不存在吸引子, 并且可以在宽参数范围内一直保持超混沌状态和良好的遍历性. 同时还对新系统在宽参数范围内产生的混沌随机序列进行了NIST测试, 测试结果表明序列的伪随机性良好, 基于新系统设计伪随机数发生器是可行的. 最后对新系统进行了硬件电路设计与实现, 实验结果与数值仿真结果一致, 证实了系统是无吸引子和具有优越遍历性的保守超混沌系统, 同时也是可实现的.

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2.1.五维欧拉方程的建模

本文参考文献[26]的方法, 将子刚体$ {S_{123}} $和$ {S_{145}} $耦合共轴于轴1得到五维刚体${\varSigma_1}$, 它的五维欧拉方程的Hamilton向量场形式可以描述为

$ {\boldsymbol{\dot x}} = {{\boldsymbol{J}}_1}({\boldsymbol{x}})\nabla H({\boldsymbol{x}}) {\rm{, }} $

其中

$\begin{split} {{\boldsymbol{J}}_1}({\boldsymbol{x}}) =\;& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - {x_3}}&{{x_2}}&0&0 \\ {{x_3}}&0&{ - {x_1}}&0&0 \\ { - {x_2}}&{{x_1}}&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \end{array}} \right] \\& + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&0&0&{ - {x_5}}&{{x_4}} \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0 \\ {{x_5}}&0&0&0&{ - {x_1}} \\ { - {x_4}}&0&0&{{x_1}}&0 \end{array}} \right]\\=\;& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - {x_3}}&{{x_2}}&{ - {x_5}}&{{x_4}} \\{{x_3}}&0&{ - {x_1}}&0&0 \\ { - {x_2}}&{{x_1}}&0&0&0 \\{{x_5}}&0&0&0&{ - {x_1}} \\ { - {x_4}}&0&0&{{x_1}}&0 \end{array}} \right] ; \end{split}$

$ H({\boldsymbol{x}}) $是Hamilton能量函数,

$ H({\boldsymbol{x}}) = \frac{1}{2}({\varPi _1}x_1^2 + {\varPi _2}x_2^2 + {\varPi _3}x_3^2 + {\varPi _4}x_4^2 + {\varPi _5}x_5^2) , $

式中, $ {\varPi _i} = I_i^{ - 1} $, $ {I_i} $是主转动惯量, $ {x_i} $是角动量. 此时, 对应的系统${\varSigma_1}$可以描述为:

$ \left\{ {\begin{aligned}&{{{\dot x}_1} = ({\varPi _3} - {\varPi _2}){x_2}{x_3} + ({\varPi _5} - {\varPi _4}){x_4}{x_5},} \\&{{{\dot x}_2} = ({\varPi _1} - {\varPi _3}){x_1}{x_3},} \\ &{{{\dot x}_3} = ({\varPi _2} - {\varPi _1}){x_1}{x_2},} \\ &{{{\dot x}_4} = ({\varPi _1} - {\varPi _5}){x_1}{x_5},} \\ &{{{\dot x}_5} = ({\varPi _4} - {\varPi _1}){x_1}{x_4}.} \end{aligned}} \right. $

因为$ {{\boldsymbol{J}}_1}({\boldsymbol{x}}) $是斜对称矩阵, 所以系统${\varSigma_1}$的Hamilton能量和Casimir能量都是保守的.
证明1　系统${\varSigma_1}$Hamilton能量保守.
能量的变化可以通过Hamilton函数$ H({\boldsymbol{x}}) $关于时间的微分表示, 因为$ {{\boldsymbol{J}}_1}({\boldsymbol{x}}) $是斜对称矩阵, 可得

$ \dot H({\boldsymbol{x}}) = \nabla H{({\boldsymbol{x}})^{\rm{T}}} \cdot \dot x = \nabla H{({\boldsymbol{x}})^{\rm{T}}} \cdot {{\boldsymbol{J}}_1}({\boldsymbol{x}})\nabla H({\boldsymbol{x}}) = 0 {\rm{, }} $

所以系统${\varSigma_1}$满足Hamilton能量保守.
证明2　系统${\varSigma_1}$Casimir能量保守.
Casimir能量是刚体动力学中一个重要的物理量. Casimir能量的变化率称为Casimir功率, 它反映了一个系统供应能量和消耗能量的功率差. 当外部转矩和耗散转矩不存在时, 即$ \dot C \equiv 0 $和$ C \ne 0 $, Casimir能量是保守的. 定义Casimir函数为

$ C(x) = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 + x_5^2) {\rm{, }} $

(6)式满足Lie-Poisson括号, $ \dot C = \{ C, H\} = 0 $, $\forall H \in $$ {C^\infty }({g^*})$.
对于系统${\varSigma_1}$, 可得

$ \begin{split}{\boldsymbol{ \dot{C}}}=\;&\{{\boldsymbol{C }},H\}\\ =\;&\nabla {{\boldsymbol{ C}}}^{\rm{T}}({\boldsymbol{ x}})\cdot {\boldsymbol{\dot{x} }}\\ =\;&\nabla {{\boldsymbol{ C}}}^{\rm{T}}({\boldsymbol{ x}})\cdot {{\boldsymbol{ J}}}_{1}({\boldsymbol{ x}})\cdot \nabla H({\boldsymbol{ x}})\\ =\;&0{\rm{, }}\end{split} $

所以系统${\varSigma_1}$满足Casimir能量保守.
由上述分析可知, 本节构造的五维欧拉方程满足Hamilton能量和Casimir能量双保守, 从而不会产生混沌, 但可以为下一步构造Hamilton保守超混沌系统提供框架.
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2.2.Hamilton保守超混沌系统的建模

为了产生混沌, 必须破坏系统${\varSigma_1}$Hamilton能量和Casimir能量的双保守. 因为要构造的系统满足Hamilton能量保守, 所以可以通过在$ {{\boldsymbol{J}}_1}({\boldsymbol{x}}) $中引入常数来破坏系统${\varSigma_1}$的Casimir能量保守, 使Casimir功率进行无规则振荡, 从而为产生混沌创造条件.
系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$: 引入3个常数a, b, c, 系统${\varSigma_1}$变为

$ \varSigma_1^{\rm{H}} {\boldsymbol{\dot x}} = {\boldsymbol{J}}_{\rm{1}}^{\rm{H}}({\boldsymbol{x}})\nabla H({\boldsymbol{x}}) {\rm{, }} $

其中

$ {\boldsymbol{J}}_{\rm{1}}^{\rm{H}}({\boldsymbol{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - {x_3}}&{{x_2}}&{ - {x_5}}&{{x_4}} \\ {{x_3}}&0&{ - {x_1}}&b&c \\ { - {x_2}}&{{x_1}}&0&0&a \\ {{x_5}}&{ - b}&0&0&{ - {x_1}} \\ { - {x_4}}&{ - c}&{ - a}&{{x_1}}&0 \end{array}} \right] . $

系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$可以描述为:

$ \left\{ {\begin{aligned}&{{{\dot x}_1} = ({\varPi _3} - {\varPi _2}){x_2}{x_3} + ({\varPi _5} - {\varPi _4}){x_4}{x_5},} \\&{{{\dot x}_2} = ({\varPi _1} - {\varPi _3}){x_1}{x_3} + b{\varPi _4}{x_4} + c{\varPi _5}{x_5},} \\ &{{{\dot x}_3} = ({\varPi _2} - {\varPi _1}){x_1}{x_2} + a{\varPi _5}{x_5},} \\ &{{{\dot x}_4} = ({\varPi _1} - {\varPi _5}){x_1}{x_5} - b{\varPi _2}{x_2},} \\ &{{{\dot x}_5} = ({\varPi _4} - {\varPi _1}){x_1}{x_4} - c{\varPi _2}{x_2} - a{\varPi _3}{x_3}.} \end{aligned}} \right. $

修改后的系统是Hamilton能量保守系统, 因为${\boldsymbol{J}}_1^{{{\rm{H}}}}({\boldsymbol{x}})$是斜对称矩阵, 代入$ \dot H({\boldsymbol{x}}) = \nabla H{({\boldsymbol{x}})^{\rm{T}}} \cdot {\boldsymbol{\dot x}} $中, 可知$ \dot H({\boldsymbol{x}}) = 0 $. 但是Casimir能量不是保守的.
证明

$ \begin{split}{\dot{\boldsymbol {C}}} =\;& \nabla {{\boldsymbol{C}}^{\rm{T}}}({\boldsymbol{x}}) \cdot {\dot{\boldsymbol {x}}} \\ =\;& \nabla {{\boldsymbol{C}}^{\rm{T}}}({\boldsymbol{x}}) \cdot {\boldsymbol{J}}_1^{{{\rm{H}}}}({\boldsymbol{x}}) \cdot \nabla H({\boldsymbol{x}}) \\ =\;& a({{\varPi} _5} - {{\varPi} _3}){x_3}{x_5} + b({{\varPi} _4} - {{\varPi} _2}){x_2}{x_4} \\\;&+ c({{\varPi} _5} - {\varPi _2}){x_2}{x_5}. \end{split} $

因此, 当

$ \begin{split}&a({\varPi _5} - {\varPi _3}){x_3}{x_5} + b({\varPi _4} - {\varPi _2}){x_2}{x_4} \\&+ c\left({\varPi _5} - {\varPi _2}\right){x_2}{x_5} \ne 0 \end{split} $

时, 系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$的Casimir能量不保守.
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2.3.能量分析与数值验证

设置$ ({\varPi _1}, {\varPi _2}, {\varPi _3}, {\varPi _4}, {\varPi _5}) = (3, 2, 4, 5, 8) $, 初始值为$ (0.5, 0.1, 0.5, 0.1, 0.5) $, 当$ a = b = c = 0 $时, 系统$\varSigma_1^{{{\rm{H}}}}$是五维欧拉方程对应的系统${\varSigma_1}$, 此时Hamilton能量和Casimir能量都是保守的, 系统${\varSigma_1}$只能产生周期轨道, 它的时域波形和Casimir功率都在有规则地振荡, 如图1(a)和图1(b)中的红色曲线所示. 当$ (a, b, c) $$ = (0.5, 0.4, 0.2) $时, 系统${\varSigma_1}$变为系统$\varSigma_1^{{{\rm{H}}}}$, Hamilton能量仍然是保守的, 但是Casimir功率开始不规则的振荡, Casimir能量的保守状态最终被打破, 为系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$产生混沌创造了条件. 图1(a)和图1(b)的蓝色曲线分别表示系统$\varSigma_1^{{{\rm{H}}}}$的时域波形和Casimir功率, 可以看出曲线的变化是随机的. 图1(c)和图1(d)分别给出了两个系统在三维平面和二维平面下产生的相图, 红色曲线表示系统${\varSigma_1}$产生的周期轨道, 蓝色曲线表示系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$产生的混乱轨道. 数值仿真的结果验证了2.1节和2.2节理论分析的正确性.
图 1 数值仿真, 红色部分为系统${\varSigma _1}$, 蓝色部分为系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$　(a)时域波形; (b)Casimir功率; (c)${x_1}{\rm{ \text- }}{x_4}{\rm{ \text- }}{x_5}$相图; (d)${x_1}{\rm{ \text- }}{x_4}$相图
Figure1. Numerical simulation, the red part is system${\varSigma_1}$, the blue part is system$\varSigma _1^{\rm{H}}$: (a) Time domain waveforms; (b) Casimir power; (c)${x_1}{\rm{ \text- }}{x_4}{\rm{\text-}}{x_5}$plane; (d)${x_1}{\rm{ \text- }}{x_4}$plane.

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3.1.保守性

系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$的Jacobi矩阵如(12)式所示, 主对角线上的元素均为零, 即它的迹为零, 对应的散度$\nabla \cdot F = \displaystyle\sum_{i=1}^5 {\dfrac{{\partial {{\dot x}_i}}}{{\partial {x_i}}}} = 0$, 说明系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$是相体积保守的.

$ {\boldsymbol{J}}({\boldsymbol{x}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{({\varPi _3} - {\varPi _2}){x_3}}&{({\varPi _3} - {\varPi _2}){x_2}}&{({\varPi _5} - {\varPi _4}){x_5}}&{({\varPi _5} - {\varPi _4}){x_4}} \\ {({\varPi _1} - {\varPi _3}){x_3}}&0&{({\varPi _1} - {\varPi _3}){x_1}}&{b{\varPi _4}}&{c{\varPi _5}} \\ {({\varPi _2} - {\varPi _1}){x_2}}&{({\varPi _2} - {\varPi _1}){x_1}}&0&0&{a{\varPi _5}} \\ {({\varPi _1} - {\varPi _5}){x_5}}&{ - b{\varPi _2}}&0&0&{({\varPi _1} - {\varPi _5}){x_1}} \\ {({\varPi_4} - {\varPi _1}){x_4}}&{ - c{\varPi _2}}&{ - a{\varPi _3}}&{({\varPi _4} - {\varPi _1}){x_1}}&0 \end{array}} \right] . $

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3.2.平衡点

设置(10)式中

$\begin{split} &\left(\right.{\varPi _1}, {\varPi}_2, {\varPi}_3, {\varPi }_4, {\varPi}_5, a, b, c\left.\right) \\=\;& (3, 2, 4, 5, 8, 0.5, 0.4, 0.2), \end{split}$

令$ {\dot x_i} = 0 $, $ i = 1, 2, 3, 4, $$ 5 $, 可得系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$的平衡点$ (0, 0, 0, 0, 0) $, $ ({k_1}, 0, 0, 0, $$ 0) $, $\left(\right.\sqrt 2 , 0, \sqrt 2 {k_4}, {k_4}, 0\left.\right)$和$\left(\right. - \sqrt 2 , 0, - \sqrt 2 {k_4}, {k_4}, 0\left.\right)$, 其中${k_1}, {k_4} \in \mathbb{R}$. 令(12)式的Jacobi矩阵写作$\left|\right. \lambda {\boldsymbol{I}} - $$ {\boldsymbol{J}}({\boldsymbol{x}}) \left.\right|=0$的形式, 再将平衡点和设置好的参数一起代入, 可得对应的特征多项式

$ {f_1}(\lambda ) = \frac{1}{{25}}\lambda (25{\lambda ^4} + 256{\lambda ^2} + 320) , $

$\begin{split} {f_2}(\lambda ) =\;& \frac{1}{{25}}\lambda \big( 25{\lambda ^4} + 256{\lambda ^2} + 225k_1^2{\lambda ^2} + 156{k_1}\lambda \\&- 250k_1^4 + 340k_1^2 + 320\big) , \\[-10pt]\end{split}$

$\begin{split} {f_3}(\lambda ) =\;& \frac{1}{{25}}\lambda \big( 25{\lambda ^4} + 706{\lambda ^2} - 50k_4^2{\lambda ^2} + 156\sqrt 2 \lambda \\&+ 190\sqrt 2 k_4^2\lambda + 5720k_4^2\big) , \\[-10pt]\end{split}$

$\begin{split} {f_4}(\lambda ) =\;& \frac{1}{{25}}\lambda\big( 25{\lambda ^4} + 706{\lambda ^2} - 50k_4^2{\lambda ^2} - 156\sqrt 2 \lambda \\&- 190\sqrt 2 k_4^2\lambda + 5720k_4^2\big) . \\[-10pt]\end{split}$

令$ {f_i}(\lambda ) = 0 $, $ i = 1, 2, 3, 4 $, 可以得到对应的特征值. 表1列出了部分特征值和对应的平衡点类型, 从中可以看出, 平衡点$ (0, 0, 0, 0, 0) $对应的特征值是$(0, $$ {\rm{j}}{\omega _1},$$ - {\rm{j}}{\omega _1}, {\rm{j}}{\omega _2}, - {\rm{j}}{\omega _2}) $, 由0和纯虚数组成, 可以判定$ (0, 0, 0, 0, 0) $是中心平衡点, 满足保守系统的特点. 事实上因为系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$是Hamilton保守系统, 不能渐进的到达平衡点, 所以系统中只存在中心和鞍型平衡点^[27], 表1也验证了这一点.

系统	平衡点($ {k_1}, {k_4} \in \mathbb{R} $)	特征值($ \sigma , \omega \in {\mathbb{R}^ + } $)	平衡点类型
$\varSigma _1^{\rm{H} }$	$ (0, 0, 0, 0, 0) $	$ (0, {\rm{j}}{\omega _1}, - {\rm{j}}{\omega _1}, {\rm{j}}{\omega _2}, - {\rm{j}}{\omega _2}) $	中心点
		$ (0, {\sigma _1}, - {\sigma _2}, {\sigma _3} + {\rm{j}}\omega , {\sigma _3} - {\rm{j}}\omega ) $	鞍焦点
	$ ({k_1}, 0, 0, 0, 0) $	$ (0, {\sigma _1}, - {\sigma _2}, - {\sigma _3} + {\rm{j}}\omega , - {\sigma _3} - {\rm{j}}\omega ) $	鞍焦点
		$ (0, \sigma + {\rm{j}}{\omega _1}, \sigma - {\rm{j}}{\omega _1}, - \sigma + {\rm{j}}{\omega _2}, - \sigma - {\rm{j}}{\omega _2}) $	鞍焦点
		$ (0, {\sigma _1}, {\sigma _2}, - {\sigma _3}, - {\sigma _4}) $	鞍焦点
	$ (\sqrt 2 , 0, \sqrt 2 {k_4}, {k_4}, 0) $	$ (0, 0, - {\sigma _1}, {\sigma _2} + {\rm{j}}\omega , {\sigma _2} - {\rm{j}}\omega ) $	鞍焦点
		$ (0, \sigma + {\rm{j}}{\omega _1}, \sigma - {\rm{j}}{\omega _1}, - \sigma + {\rm{j}}{\omega _2}, - \sigma - {\rm{j}}{\omega _2}) $	鞍焦点
		$ (0, {\sigma _1}, {\sigma _2}, - {\sigma _3}, - {\sigma _4}) $	鞍焦点
	$ ( - \sqrt 2 , 0, - \sqrt 2 {k_4}, {k_4}, 0) $	$ (0, 0, {\sigma _1}, - {\sigma _2} + {\rm{j}}\omega , - {\sigma _2} - {\rm{j}}\omega ) $	鞍焦点
		$ (0, \sigma + {\rm{j}}{\omega _1}, \sigma - {\rm{j}}{\omega _1}, - \sigma + {\rm{j}}{\omega _2}, - \sigma - {\rm{j}}{\omega _2}) $	鞍焦点

表1系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$的平衡点和特征值
Table1.Equilibrium points and characteristic values of system$\varSigma _1^{\rm{H}}$.

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3.3.宽参数范围的Lyapunov指数谱和分岔图

当全局只有一个Lyapunov指数为正时, 系统定义为混沌系统. 当有超过一个正的Lyapunov指数时, 系统定义为超混沌系统^[28]. 此外, 保守系统的Lyapunov指数是关于零对称的, 因此所有Lyapunov指数之和为零, 这意味着整个相空间体积是守恒的.
对于系统$\varSigma_1^{\rm {H}}$, 设置参数$\left(\right.{\varPi _1}, {\varPi _2}, {\varPi _3}, {\varPi _4}, {\varPi _5}, $$ a, b, c\left.\right) = (3, 2, 4, 5, 8, 0.5, 0.4, 0.2)$, 初值$\left(\right.0.5, 0.1, 0.5, $$ 0.1, 0.5\left.\right)$. 计算Lyapunov指数的方法有很多, 本文选择Jacobi矩阵法求Lyapunov指数^[29,30]. 图2(a)是系统$\varSigma_1^{\rm {H}}$随着参数$ {\varPi _2} $变化的Lyapunov指数谱, 图中有6条曲线, 其中红色曲线表示Lyapunov指数之和, 与x轴完全重合, 恒等于零, 再次证明系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$是保守的. 其余5条曲线从大到小记为$ {L_1} > $ $ {L_2} > 0 $, $ {L_3} \approx 0 $, $ 0 > {L_4} > {L_5} $, 满足超混沌系统的条件, 系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$是超混沌系统. 图2(b)是对应的分岔图, 没有出现分岔现象, 只有1条由无数点连成的粗线, 符合超混沌状态的特性, 同时还可以看出系统几乎是瞬间进入超混沌状态且能够一直保持, 与Lyapunov指数谱相符. Lyapunov指数谱和分岔图还有一个特点是横坐标$ {\varPi _2} \in [0, 1600] $, 具有很宽的参数范围, 说明系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$是具有宽参数范围的Hamilton保守超混沌系统.
图 2 数值仿真　(a)系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$的Lyapunov指数谱; (b)系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$的分岔图
Figure2. Numerical simulation: (a) Lyapunov exponent spectrum of system$\varSigma _1^{\rm{H}}$; (b) bifurcation diagram of system$\varSigma _1^{ {{\rm{H}}}}$

此外, 通过Lyapunov指数谱也可以验证保守系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$的整数维特性. 定义Lyapunov维数为${D_{\rm{L}}} = k + \dfrac{{{S_k}}}{{\left| {{L_{k + 1}}} \right|}}$, 其中${S_k} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^k {{L_i} > 0}$, k是保证$ {S_k} > 0 $的最大k值. 因为系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$的Lyapunov指数和为0, 且最小的$ {L_5} < 0 $, 所以最大k值应为4, ${S_4} = 0 - {L_5} = - {L_5} > 0$, ${D_{\rm{L}}} = 4 + ({{ - {L_5}}}/{{|L_5|}}) = 5$, 说明系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$是整数维系统, 且维数等于系统状态变量的个数.
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3.4.参数$ {\varPi _2} $对系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$的影响

宽参数范围的混沌系统最显著的优势就是混沌状态可以任由参数在宽范围内改变而一直保持. 我们利用相图和Poincaré截面图分析参数$ {\varPi _2} $在$ [0, 1600] $变化时对系统$\varSigma _1^{\rm {H}}$的影响. 仿真参数调为一致, 设置参数$ ({\varPi _1}, {\varPi _3}, {\varPi _4}, {\varPi _5}, a, b, c) = $ $\left(\right.3, 4, 5, 8, $$ 0.5, 0.4, 0.2\left.\right)$, 初值$ (0.5, 0.1, 0.5, 0.1, 0.5) $, 选取${\varPi _2} = $$ 2, 500, 1000, 1500$时的四种情况, 系统$\varSigma _1^{\rm {H}}$的相图和Poincaré截面图如图3所示. 左侧是$ {\varPi _2} $取不同值时在x₃-x₄平面上的相图, 随着$ {\varPi _2} $的增大, 混沌轨道越来越密集. 右侧是对应的Poincaré截面图, 可以看出4个截面上都有大量的面状点, 结合3.3节的分析, 说明系统始终处于超混沌状态. 通过右侧4张图对比, 还可以发现随着$ {\varPi _2} $的增大, 点组成的面的范围也在变大, 这说明系统不仅可以在大范围内保持超混沌状态, 而且随机性和遍历性也都在增强.
图 3 系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$的相图和Poincaré截面图　(a)$ {\varPi _2} = 2 $时的相图; (b)$ {\varPi _2} = 2 $时的Poincaré截面图; (c)$ {\varPi _2} = 500 $时的相图; (d)$ {\varPi _2} = 500 $时的Poincaré截面图; (e)$ {\varPi _2} = 1000 $时的相图; (f)$ {\varPi _2} = 1000 $时的Poincaré截面图; (g)$ {\varPi _2} = 1500 $时的相图; (h)$ {\varPi _2} = 1500 $时的Poincaré截面图
Figure3. Phase diagrams and Poincaré maps of system$\varSigma _1^{\rm{H}}$: (a) The phase diagram when$ {\varPi _2} = 2 $; (b) the Poincaré map when$ {\varPi _2} = 2 $; (c) the phase diagram when$ {\varPi _2} = 500 $; (d) the Poincaré map when$ {\varPi _2} = 500 $; (e) the phase diagram when$ {\varPi _2} = 1000 $; (f) the Poincaré map when$ {\varPi _2} = 1000 $; (g) the phase diagram when$ {\varPi _2} = 1500 $; (h) the Poincaré map when $ {\varPi _2} = 1500 $.

值得一提的是, 保守系统因为相体积守恒, 它的运动轨道永远不会吸引附近的轨迹, 所以没有吸引子^[27], 图3和图4的相图可以很好地说明这一点. 从图上还可以看出混沌轨道填满了大部分平面, 证明了保守超混沌系统的遍历性良好.
图 4 系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$在$ {\varPi _2} = 2 $的相图　(a)${x_2}{\rm{ \text- }}{x_5}$平面; (b)${x_3}{\rm{ \text- }}{x_5}$平面
Figure4. Phase diagrams of system$\varSigma_1^{\rm{H}}$when$ {\varPi _2} = 2 $: (a) ${x_2}{\rm{ \text- }}{x_5}$plane; (b) ${x_3}{\rm{ \text- }}{x_5}$plane.

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4.1.NIST测试

为了证明本文设计的保守超混沌系统在宽参数范围内产生的混沌随机序列具有伪随机性, 我们采用美国国家标准与技术局推出的STS测试包, 即SP800-22标准验证^[31]. 它的测试项目全面, 测试软件成熟, 测试结果认可度高. NIST总共设定了15个测试项检验真随机序列或伪随机序列的质量, 每一项测试都会得到1个P-value. 对于测试结果采用两种方法判断: 1)检验通过统计检验的序列比例; 2)检验P-values的分布是否均匀.
1)对于系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$, 选择默认显著性水平$\alpha = $$ 0.01$, P-value大于0.01表示通过该项测试, 同时考虑m组测试序列中P-values大于0.01的比率, 以是否落在置信区间为准. 置信区间为

$\begin{split} \Bigg( \hat p - 3 \sqrt{ \dfrac{\hat p(1 - \hat p)}m} , \hat p + 3\sqrt {\dfrac{\hat p(1 - \hat p)}m} \Bigg), \end{split}$

其中$ \hat p = 1 - \alpha $, m为样本容量. 本文设置100组测试序列, 对应的置信区间为$ (0.9602, 1.0198) $. 选取$ {\varPi _2} $作为变量, 对应宽范围参数区间$ [0, 1600] $, 其他参数设置$\left(\right.{\varPi _1}, {\varPi _3}, {\varPi _4}, {\varPi _5}, a, b, c\left.\right) = \left(\right.3, 4, 5, 8, 0.5, $$ 0.4, 0.2\left.\right)$, 生成10⁸比特数据. 测试的时候将数据转化为二值序列, 然后分为100组, 每组一百万比特数据. 测试结果如表2所示, 可以看到全部15项测试的P-values都大于0.01, 同时各项测试的通过率都在置信区间内. 这表明系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$生成的序列能够通过全部15项测试.

No.	Statistical test	P-value	Proportion
1	Frequency	0.759756	0.99
2	Block frequency	0.494392	1.00
3	Cumulative sums	0.595549	1.00
4	Runs	0.867692	0.99
5	Longest run	0.102526	0.98
6	Rank	0.115387	1.00
7	FFT	0.455937	1.00
8	Nonoverlapping template	0.015598	0.98
9	Overlapping template	0.699313	0.99
10	Universal	0.678686	0.98
11	Approximate entropy	0.574903	1.00
12	Random excursions	0.186566	0.9836
13	Random excursions variant	0.023812	1.00
14	Serial	0.514124	0.99
15	Linear complexity	0.350485	0.99

表2系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$的NIST测试结果
Table2.NIST test results of System$\varSigma _1^{\rm{H}}$.

2)检查P-values分布以确保均匀性, 通常我们可以使用直方图来直观的表示, 将0和1的区间分成10个等间距的子区间, P-values分布在每个子区间的数量被显示. 为充分体现P-values分布的均匀性, 选取测试次数最多的非重叠模块匹配检验进行直方图验证, 如图5所示, 可以看到P-values分布具有很好的均匀性. 其他14项也都有类似的分布, 证明了P-values分布均匀.
图 5 系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$非重叠模块匹配检验的P-values的直方图
Figure5. P-values histogram of non-overlapping template matching test of system$\varSigma _1^{\rm{H}}$.

综上所述, 系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$在宽参数区间内产生的混沌随机序列具有良好的伪随机性, 基于系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$设计伪随机数发生器是合理的.
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4.2.电路设计与实现

根据文献[32]提出的基于无量纲状态方程的模块化设计方法进行混沌电路设计, 采用不同阻值的线性电阻、线性电容、乘法器和运算放大器实现. 将参数$ ({\varPi _1}, {\varPi _2}, {\varPi _3}, {\varPi _4}, {\varPi _5}, a, b, c) = (3, $$2, 4, 5, 8, 0.5, $$ 0.4, 0.2)$代入(10)式中, 得:

$ \left\{ \begin{aligned}&\dfrac{{\rm{d}}{x_1}}{{\rm d}t} = 2{x_2}{x_3} + 3{x_4}{x_5}, \\&\dfrac{{\rm{d}}{x_2}}{{\rm d}t} = - {x_1}{x_3} + 2{x_4} + 1.6{x_5}, \\&\dfrac{{\rm{d}}{x_3}}{{\rm d}t} = - {x_1}{x_2} + 4{x_5}, \\&\dfrac{{\rm{d}}{x_4}}{{\rm d}t} = - 5{x_1}{x_5} - 0.8{x_2}, \\&\dfrac{{\rm{d}}{x_5}}{{\rm d}t} = 2{x_1}{x_4} - 0.4{x_2} - 2{x_3}.\end{aligned} \right. $

根据(17)式做模块化电路设计, 如图6所示.
图 6 系统$\varSigma_1^{\rm{H}}$的电路设计
Figure6. Circuit design of system$\varSigma_1^{\rm{H}}$.

对应的电路状态方程为

$ \left\{ \begin{aligned}&{\dfrac{{{\rm{d}}{x_1}}}{{{\rm{d}}t}} = - \dfrac{{{R_3}}}{{{R_1}{R_4}{C_1}}}( - {x_2}){x_3} - \dfrac{{{R_3}}}{{{R_2}{R_4}{C_1}}}{x_4}( - {x_5}),} \\ &\dfrac{{{\rm{d}}{x_2}}}{{{\rm{d}}t}} = - \frac{{{R_8}}}{{{R_5}{R_9}{C_2}}}{x_1}{x_3} - \dfrac{{{R_8}}}{{{R_6}{R_9}{C_2}}}( - {x_4}) \\&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;- \dfrac{{{R_8}}}{{{R_7}{R_9}{C_2}}}( - {x_5}), \\ &{\dfrac{{{\rm{d}}{x_3}}}{{{\rm{d}}t}} = - \dfrac{{{R_{12}}}}{{{R_{10}}{R_{13}}{C_3}}}{x_1}{x_2} - \dfrac{{{R_{12}}}}{{{R_{11}}{R_{13}}{C_3}}}( - {x_5}),} \\ &{\dfrac{{{\rm{d}}{x_4}}}{{{\rm{d}}t}} = - \dfrac{{{R_{16}}}}{{{R_{14}}{R_{17}}{C_4}}}{x_1}{x_5} - \dfrac{{{R_{16}}}}{{{R_{15}}{R_{17}}{C_4}}}{x_2},} \\ &\dfrac{{{\rm{d}}{x_5}}}{{{\rm{d}}t}} = - \dfrac{{{R_{21}}}}{{{R_{18}}{R_{22}}{C_5}}}( - {x_1}){x_4} - \dfrac{{{R_{21}}}}{{{R_{19}}{R_{22}}{C_5}}}{x_2} \\&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;- \dfrac{{{R_{21}}}}{{{R_{20}}{R_{22}}{C_5}}}{x_3}. \end{aligned} \right. $

首先使用仿真软件进行电路模拟, 设置电容${C_1} = {C_2} = {C_3} = $$ {C_4} = {C_5} = 20\;{\rm{nF}}$, 电阻${R_4} = {R_9} = $$ {R_{13}} = {R_{17}} = {R_{22}} = 50\;{{\rm{k}}\Omega}$, ${R_3} = {R_8} = {R_{12}} = {R_{16}} = $$ {R_{21}} = 100\;{{\rm{k}}\Omega}$. 考虑到状态变量在正常变化范围内, 故不需要对变量进行比例压缩变换. 时间尺度变换因子为100, 同时模拟乘法器输出比例系数选择$ {\rm{100}}\;{\rm{mV/1}}\;{\rm{V}} $. 通过对比(17)式和(18)式的系数, 得到${R_1} = 50\;{{{\rm{k}}\Omega }}$, $ {R_2} = 33.3\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_5} = 100\;{{\rm{k}}\Omega} $, ${R_6} = $$ 500\;{{\rm{k}}\Omega}$, $ {R_7} = 625\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{10}} = 100\;{{\rm{k}}\Omega} $, ${R_{11}} = 250\;{{\rm{k}}\Omega}$, $ {R_{14}} = 20\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{15}} = 1250\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{18}} = 50\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{19}} = $$ 2500\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{20}} = 500\;{{\rm{k}}\Omega} $. 设置5个电容的初始电压分别为0.5, 0.1, 0.5, 0.1, 0.5 V, 与混沌系统的初始值$ (0.5, 0.1, 0.5, 0.1, 0.5) $对应. 供电电压选择$ {\rm{ \pm 15}}\;{\rm{V}} $, 使用Multisim软件进行电路模拟. 仿真结果如图7所示, 与图4的实验结果一致, 证明了系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$是没有吸引子, 具有优越遍历性的保守超混沌系统.
图 7 系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$的仿真电路　(a)${x_2}{\rm{ \text- }}{x_5}$相图; (b)${x_3}{\rm{ \text- }}{x_5}$相图
Figure7. Simulation circuit of system$\varSigma _1^{\rm{H}}$: (a) ${x_2}{\rm{ \text- }}{x_5}$plane; (b) ${x_3}{\rm{ \text- }}{x_5}$plane.

接下来进行硬件电路设计, 乘法器选择AD633JN, 运算放大器选择TL082CP, 硬件实验电路如图8(a)所示. 结合参数取值和实际元件参数限制, 同时尽可能的考虑实际电路中可能遇到的问题, 设置电容$ {C_1} = {C_2} = {C_3} = {C_4} = {C_5} $$ = 1\;{\rm{nF}} $, 电阻${R_4} = {R_9} = $$ {R_{13}} = {R_{17}} = {R_{22}} = 100\;{{\rm{k}}\Omega}$, ${R_3} = {R_8} = $$ {R_{12}}$$ = {R_{16}} = {R_{21}} = 1\;{{\rm{k}}\Omega} $. 另外对比系数, 选取${R_1} = $$ 100\;{{\rm{k}}\Omega}$, $ {R_2} = $$ 66.7\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_5} = 200\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_6} = 5\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_7} = 6.25\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{10}} = 200\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{11}} = 2.5\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{14}} = $$ 40\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{15}} = 12.5\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{18}} = 100\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{19}} = 25\;{{\rm{k}}\Omega} $, $ {R_{20}} = 5\;{{\rm{k}}\Omega} $. 反相器部分的电阻都是$ 100\;{{\rm{k}}\Omega} $, 模拟乘法器输出比例系数选择$ {\rm{1}}\;{\rm{V/1}}\;{\rm{V}} $. 供电电压为$ {\rm{ \pm 15}}\;{\rm{V}} $, 由EM1716 A直流稳压电源提供. 利用VOS-620 B双踪示波器观察结果, 如图8(b)所示. 实验结果验证了系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$的可实现性, 为以后的应用提供了一定的参考价值.
图 8 系统$\varSigma _1^{\rm{H}}$的实际电路　(a)硬件实验电路; (b)实验结果
Figure8. Actual circuit of system$\varSigma _1^{\rm{H}}$: (a) Hardware experimental circuit; (b) experimental result.

本文基于五维欧拉方程提出了一个新的具有宽参数范围的五维保守超混沌系统. 首先进行了能量分析, 包括Hamilton能量和Casimir能量, 证实了新系统是Hamilton能量保守且能够产生混沌. 然后分析了动力学特性, 包括散度、平衡点、Lyapunov指数谱和分岔图, 说明了新系统是具有宽参数范围的保守超混沌系统. 分析参数对系统的影响则进一步阐述了新系统宽参数范围的特性, 系统的超混沌状态可以在参数改变时保持不变, 并且随着参数增大, 系统的遍历性和随机性也在增强. 接着进行的NIST测试说明新系统产生的混沌随机序列具有良好的伪随机性, 基于新系统设计伪随机数发生器是可行的. 最后, 电路仿真实验和硬件电路实验的结果表明新系统具有优越的遍历性和物理可实现性. 本文深入分析了新提出的具有宽参数范围的五维保守超混沌系统, 这对于推动研究保守超混沌系统有着积极的影响, 为进一步将保守超混沌系统应用于保密通信等领域提供了理论支撑.
感谢天津工业大学电气工程与自动化学院胡建兵博士给予的讨论.