基于双偏振调制的可变对称三角波形的生成

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1.引　言

近些年, 任意波形的生成是微波光子学的一个研究热点. 常见的任意波形包括对称三角波、方波、锯齿波(锯齿波可认为是非对称三角波)和高斯波. 在这些波形中, 三角波形(对称三角波和非对称三角波)由于光强度具有线性上升和线性下降的性质被广泛地应用于通信、雷达系统、传感和光信号处理等领域^[1-5], 因而被广泛地研究. 传统基于电子学生成任意波形的方法由于具有生成波形的重复率低、带宽小、易受电磁干扰等缺点已不适合未来的发展, 而基于光子学的方法则完美地克服了这些缺点. 过去一些年研究者们基于光子学提出了很多生成对称三角波形的方法. 例如, 基于光谱切割结合频率时间映射的方法生成对称三角波^[6,7], 利用光纤非线性的方法^[8]生成对称三角波和利用外部调制连续波激光器的方法生成对称三角波. 在这些方法中, 外部调制连续波激光器的方法由于简单的结构和原理被研究者们进行了大量的研究, 其主要原理是利用调制器调制射频信号, 生成光信号的光强度近似等于理想对称三角波形傅里叶级数展开式来生成对称三角波. 研究者们基于外部调制的方法提出了很多方案, 例如, 利用调制器结合色散光纤的方式生成对称三角波^[9,10], 利用调制器结合滤波器的方式生成对称三角波^[11,12], 基于受激布里渊散射的方式生成对称三角波^[13], 基于光电振荡器的方式生成对称三角波^[14,15], 基于两个级联调制器的方式生成对称三角波^[16]等等. 除了研究对称三角波的生成, 研究者们基于外部调制的方法还提出了很多生成锯齿波的方案^[17-20]. 但无论是生成对称三角波还是生成锯齿波^[6-20], 其波形的对称是无法调节的. 因此研究可变对称三角波形的生成具有重要意义, 这将极大地拓展三角波形的应用范围. 这里引入对称因子的概念, 对称因子定义为三角波形上升沿经历时间与周期的比值, 这样对称三角波和锯齿波就可被认为是对称因子分别为50%和0%的三角波形. 文献[21]中, 作者利用单驱动马赫曾德尔调制器结合平衡探测器实现了不同对称因子三角波形的生成, 是通过控制调制器的偏置电压和移相器的相移来实现的, 然而控制调制器偏置电压的过程会存在偏置电压偏移的问题.
本文利用双偏振调制实现了对称因子在0%—100%的三角波形的生成, 生成波形的对称因子可通过改变调制器的调制指数和移相器的相移来调节.

2.理论和模型

2.1.可变对称三角波形的傅里叶级数

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2.1.可变对称三角波形的傅里叶级数

对称因子δ定义为三角波形上升沿经历的时间与周期的比值, 从文献[21]中可知, 不同对称因子的三角波形的傅里叶级数展开式可表示为(1)式所示的无数正弦函数的加权和.

$\begin{split}\;& T\left( t \right) =\sum\limits_{n = 1}^\infty {{b_n}} \sin \left( {n\varOmega t} \right) \\\approx\;& {b_1}\sin \left( {\varOmega t} \right) + {b_2}\sin \left( {2\varOmega t} \right) + {b_3}\sin \left( {3\varOmega t} \right) , \end{split}$

其中Ω为三角波形的角频率. 不同对称因子对应的b₁, b₂, b₃的值如图1所示. 如图1(b)所示, 当$0{\text{%}}\leqslant \delta \leqslant100{\text{%}}$

时, b₁ > 0; 当δ < 50%时, b₂ > 0; δ > 50%时, b₂ < 0; 当$0{\text{%}}\leqslant \delta \lt34{\text{%}}$

或$66{\text{%}}\lt \delta \leqslant $

$ 100{\text{%}}$

时, b₃ > 0; 34% < δ < 66%时b₃ < 0.

图 1 不同对称因子对应的b₁, b₂, b₃值
Figure1. Magnitude of b₁, b₂ and b₃ versus symmetry factor δ.

2

2.2.模型和原理

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2.2.模型和原理

可变对称三角波形生成方案的原理示意图如图2所示. 主要部分为一个双偏振调制器, 这个双偏振调制器是一个集成的调制器, 包括一个光功分器、两个单驱动马赫曾德尔调制器(子调制器1和子调制器2), 一个90°偏振旋转器和一个偏振合束器. 连续波激光器生成的光信号通过一个偏振控制器后输入双偏振调制器, 偏振控制器用来控制入射光的偏振状态从而减少系统的偏振损耗. 射频源生成的射频信号首先通过一个电功分器分为两路信号, 每路信号分别通过一个电放大器和一个电移相器后分别进入子调制器1和子调制器2的射频输入口进行调制, 双偏振调制器输出的调制信号经过一个光电探测器后输入一个电移相器, 电移相器3输出的信号即为需要的信号. 假设射频源输出的电信号的表达式为$ V_{\rm{RF}}\left(\rm{t}\right) = V_{\rm{RF}}\sin(\omega t) $

, 其中$ V_{\rm{RF}} $

和ω分别代表电信号的幅度和角频率; 连续波激光器生成的光信号的表达式为$ E_{\rm{in}}\left(\rm{t}\right) = E_{\rm{0}} \exp({\rm{j\omega}}_{\rm{0}}\rm{t}) $

, 其中$ E_{\rm{0}} $

和$ { \omega }_{\rm{0}} $

分别代表光信号的幅度和角频率; 三个移相器PS1, PS2, PS3引起的相移分别为${\theta}_{\rm{1}}$

, ${\theta}_{\rm{2}}$

和${\theta}_{\rm{3}}$

. 子调制1和子调制2分别偏置于正交传输点和最小传输点, 则子调制1和子调制器2输出的光信号可表示为

图 2 可变对称三角波形生成方案的原理示意图. CW laser, 连续波激光器; PC, 偏振控制器; RF source, 射频源; EPS, 电功分器; EA, 电放大器; PS, 电移相器; OPS, 光功分器; MZM, 单驱动马赫曾德尔调制器; PBC, 偏振合束器; 90°PR, 90°偏振旋转器; PD, 光电探测器
Figure2. Schematic diagram of the proposed scheme. CW laser, continuous wave laser; PC, polarization controller; RF source, radio frequency source; EPS, electrical power splitter; EA, electrical amplifier; PS, phase shifter; OPS, optical power splitter; MZM, single-drive Mach-Zehnder Modulator; PBC, polarization beam combiner; 90° PR, 90° polarization rotator; PD, photodiode.

$\left\{ \begin{aligned}{E_1} =\;& \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}{E_{{\rm{in}}}}\left( t \right)\{ {\rm{exp}}\left[ {{\rm{j}}{m_{\rm{1}}}{\rm{sin}}(\omega {\rm{t + }}{\theta _{\rm{1}}})} \right] \\&+ {\rm{exp}}\left( {{\rm{j}}\dfrac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{exp}}\left[ { - {\rm{j}}{m_{\rm{1}}}{\rm{sin}}(\omega {\rm{t + }}{\theta _{\rm{1}}})} \right] \},\\{E_2} =\;& \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}{E_{{\rm{in}}}}\left( t \right)\{ {\rm{exp}}\left[ {{\rm{j}}{m_{\rm{2}}}{\rm{sin}}(\omega {\rm{t + }}{\theta _{\rm{2}}})} \right]\\&+ {\rm{exp}}({\rm{j\pi }}){\rm{exp}}\left[ { - {\rm{j}}{m_{\rm{2}}}{\rm{sin}}(\omega {\rm{t + }}{\theta _{\rm{2}}})} \right] \},\end{aligned} \right.$

其中m₁和m₂分别代表子调制器1和子调制器2的调制系数. ${m_1} = \dfrac{{\rho _1}{\text{π}}{V_{{\rm{RF}}}}}{ {2{V_{\text{π}}}} }$

, ${m_2} = \dfrac{{\rho _2}{\text{π}}{V_{{\rm{RF}}}}}{ {2{V_{\text{π}}}} }$

, 这里 $ {\rm{ρ}}_{\rm{1}} $

和$ {\rm{ρ}}_{\rm{2}} $

分别代表电放大器1和电放大器2的放大系数, $ V_{\rm{π}} $

代表马赫曾德尔调制器的半波电压.
子调制器1和子调制器2输出信号的光强度可表示为

$ \left\{ \begin{aligned}&{I_1}\left( t \right) = \dfrac{1}{4}E_0^2\left\{ {1 + {\rm{cos}}\left[ {2{m_1}{\rm{sin}}( {\omega t + {\theta _1}}) - \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}} \right]} \right\},\\&{I_2}\left( t \right) = \dfrac{1}{4}E_0^2\left\{ {1 - {\rm{cos}}\left[ {2{m_2}{\rm{sin}}\left( {\omega t + {\theta _2}} \right)} \right]} \right\}.\\\end{aligned} \right.$

考虑小信号调制(m < 1.5), 光电探测器输出的电信号可表示为

$ \begin{split} {I_3} \approx \;&\frac{1}{4}\Re E_0^2\left[ {2 - {J_0}\left( {2{m_2}} \right)} \right] \\+\;& \frac{1}{2}\Re E_0^2\left[\right. {J_1}\left( {2{m_1}} \right) \sin \left( {\omega t + {\theta _1}} \right)\\ \;& - {J_2}\left( {2{m_2}} \right)\cos \left( {2\omega t + 2{\theta _2}} \right) \\ \;& + {J_3}\left( {2{m_1}} \right)\sin \left( {3\omega t + 3{\theta _1}} \right) \left.\right], \end{split} $

其中 $\Re$

代表光电探测器的灵敏度.
移相器3输出的电信号可表示为

$ \begin{split} {I_4} \approx\;& \frac{1}{4}\Re E_0^2\left[ {2 - {J_0}\left( {2{m_2}} \right)} \right] \\ \;& + \frac{1}{2}\Re E_0^2\left[\right. {J_1}\left( {2{m_1}} \right) \sin \left( {\omega t + {\theta _1} + {\theta _3}} \right) \\\;& - {J_2}\left( {2{m_2}} \right)\cos \left(\right. 2\omega t + 2{\theta _2} + {\theta _3} \left.\right) \\ \;& + {J_3}\left( {2{m_1}} \right)\sin \left( {3\omega t + 3{\theta _1} + {\theta _3}} \right) \left.\right]. \end{split} $

(5)式可进一步转化为

$ \begin{aligned} &{I_4} \approx DC + {a_1}\sin \left( {{\phi _1}} \right) + {a_2}\sin \left( {{\phi _2}} \right) + {a_3}\sin \left( {{\phi _3}} \right), \\ &\left\{ \begin{aligned} & {a_1} = \dfrac{1}{2}\Re E_0^2{J_1}\left( {2{m_1}} \right), \\ &{\phi _1} = \omega t + {\theta _1} + {\theta _3}, \\ &{a_2} = \dfrac1{2(-1)^p} \Re E_0^2{J_2}\left( {2{m_2}} \right), \\ &{\phi _2} = 2\omega t + 2{\theta _2} + {\theta _3} - {{\rm{π }}}/{2} - p{\rm{π }}, \\ &{a_3} = \dfrac1{2(-1)^q} \Re E_0^2{J_3}\left( {2{m_1}} \right), \\ &{\phi _3} = 3\omega t + 3{\theta _1} + {\theta _3} - q{\rm{π }}, \end{aligned} \right. \\[-12pt]\end{aligned} $

其中DC代表直流项, $DC = \dfrac{1}{4}\Re E_0^2\left[ {2 - {J_0}\left( {2{m_2}} \right)} \right]$

. p, q为整数.
对比(6)式和(1)式, 为了生成不同对称因子的三角波形, 需满足

$ \left\{ \begin{aligned} &{a_1}:{a_2}:{a_3} = {b_1}:{b_2}:{b_3}, \\ &{\phi _2} = 2{\phi _1} + 2k{\rm{π }}, \\ &{\phi _3} = 3{\phi _1} + 2l{\rm{π }}, \end{aligned} \right. $

这里k, l为整数. 即

$ \left\{ \begin{aligned} &\dfrac{{\dfrac{1}{2}\Re E_0^2{J_1}\left( {2{m_1}} \right)}}{{{{ \dfrac1{2(- 1)^p} }}\Re E_0^2{J_2}\left( {2{m_2}} \right)}}{\rm{ = }}\dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}}, \\ &\dfrac{{\dfrac{1}{2}\Re E_0^2{J_1}\left( {2{m_1}} \right)}}{{{{ \dfrac1{2(- 1)^q}}}\Re E_0^2{J_3}\left( {2{m_1}} \right)}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_3}}}, \\ &2\omega t + 2\theta _2 + \theta_3 - \frac{{\rm{π }}}{2} - p{\rm{π }} = 2 ( {\omega t + {\theta _1} + {\theta _3}} ) + 2k{\rm{π }}, \\ &3\omega t + 3{\theta _1} + {\theta _3} - q{\rm{π }} = 3\left( {\omega t + {\theta _1}{\rm{ + }}{\theta _3}} \right) + 2l{\rm{π }}. \end{aligned} \right.\\[-50pt] $

由(8)式可解出不同对称因子三角波形生成条件的一组特征解, 如表1所列.

对称因子	相移1	相移2	相移3	调制系数1	调制系数2
δ	θ₁	θ₂	θ₃	m₁	m₂
0%	0	π/4	0	1.15	0.83
10%	0	π/4	0	1.1	0.81
20%	0	π/4	0	0.92	0.76
30%	0	π/4	0	0.49	0.53
40%	π/2	π/2	3π/2	0.61	0.41
50%	π/2	0	3π/2	0.76	0
60%	π/2	0	3π/2	0.61	0.41
70%	0	3π/4	0	0.49	0.53
80%	0	3π/4	0	0.92	0.76
90%	0	3π/4	0	1.1	0.81
100%	0	3π/4	0	1.15	0.83