旋涡声散射的空间尺度特性数值研究

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2.理论方法

2.1.控制方程

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2.1.控制方程

大多数文献采用LEE求解旋涡声散射问题, 然而当声波波长远小于旋涡半径时, 声波与旋涡相互作用会产生非线性耦合效应, 此时LEE会失效. 本文采用二维Euler方程进行旋涡声散射计算, 其守恒形式为

$ \frac{{\partial {\boldsymbol{U}}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {\boldsymbol{F}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\boldsymbol{G}}}}{{\partial y}} = 0, $

其中, $ {\boldsymbol{U}} $

为守恒变量, 具体形式为

$ {\boldsymbol{U}} = {\left( {\rho,\;\rho u,\;\rho v,\;E} \right)^{\rm T}}, $

其中, $ \rho $

是流体介质密度, $ u $

和$ v $

分别是$ x $

和$ y $

方向上的速度分量, $ E $

是单位体积的总能量, 定义为

$ E = \frac{p}{{\gamma - 1}} + \frac{1}{2}\rho \left( {{u^2} + {v^2}} \right). $

式中, $ p $

是流体介质的压强; $ \gamma $

是比热比, 对于空气$ \gamma $

的值可取为1.40; F和G分别为$ x $

和$ y $

方向的无黏流通矢量, 表达式为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{F}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho u}\\ {\rho {u^2} + p}\\ {\rho uv}\\ {u\left( {E + p} \right)} \end{array}} \right],}&{{\boldsymbol{G}} = } \end{array}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho v}\\ {\rho {v^2} + p}\\ {\rho uv}\\ {v\left( {E + p} \right)} \end{array}} \right]. $

2.2.数值方法

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2.2.数值方法

声学脉动量和流体动力学量之间数量级的差异很大, 一般在4个数量级以上^[1], 所以计算气动声学问题需要数值格式具有高精度、高分辨率、低色散和低耗散等特性. 本文采用六阶线性中心紧致格式^[25-27], 具体形式为

$ \begin{split}&\beta {f'_{j-2}} + \alpha {f'_{j-1}} + {f'_j} + \alpha {f'_{j+1}} + \beta {f'_{j+2}} \\=\;& a \frac{{{f'_{j+1}}-{f'_{j-1}}}}{2\Delta x} + b \frac{{{f'_{j+2}}-{f'_{j-2}}}}{4\Delta x} + c \frac{{{f'_{j+3}}-{f'_{j-3}}}}{6\Delta x}. \end{split}$

为了减小计算量, 选用三对角形式, 故各系数为

$ \alpha = \frac{1}{3},\;\beta = 0,\; a = \frac{14}{9},\;b = \frac{1}{9},\; c = 0. $

由于中心格式没有数值耗散, 长时间计算不稳定, 需引入空间滤波法. 本文采用Lele的空间紧致滤波^[25], 具体形式为

$ \alpha {\hat f_{j - 1}} + {\hat f_j} + \alpha {\hat f_{j + 1}} = \sum\limits_{n = 0}^N {\frac{{{a_n}}}{2}} \left( {{f_{j - n}} + {f_{j + n}}} \right). $

本文选取八阶精度的空间紧致滤波格式, 则$ N = 4 $

, 详细参数可以参考文献[27].
时间推进采用四阶Runge-Kutta方法^[28], 具体形式为

$ \left\{ \begin{aligned}&U^{(1)} = U^n + \frac{1}{2}\Delta t\,L ( U^n ),\\&U^{(2)} = U^n + \frac{1}{2}\Delta t\,L \big( U^{(1)} \big),\\&U^{(3)} = U^n + \Delta t\,L \big( U^{(2)} \big),\\&U^{n+1} = \frac{1}{3}\big( -U^n + U^{(1)} + 2U^{(2)} + U^{(3)} \big) \\&\qquad\quad\;\;+ \frac{1}{6}\Delta t\,L \big( U^{(3)} \big).\end{aligned} \right. $

2.3.物理模型

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2.3.物理模型

物理模型如图1所示, 一个波长为$ \lambda $

的平面声波从左往右穿越一个涡核半径为$ R_{\rm c} $

的等熵涡, 在$ R_{\rm c} $

处速度达到最大, 为$ U_0^* $

, 此时环量为$ \varGamma _0^{*} $

. 计算域包括物理域和缓冲层^[29]. 其中, 物理域是边长为$ \max \left\{ {\left[ - 10 R_{\rm c} ,\; 10 R_{\rm c} \right], \;\left[ { - 5\lambda,\; 5\lambda } \right]} \right\} $

的正方形区域. 缓冲层为图1中灰色区域, $ x $

方向宽度为$\max \big\{ 2.5\lambda, $

$ \; 99\Delta x \big\}$

. 另外半径为$ r $

的虚线环线表示观测声散射环线.

图 1 平面声波穿过旋涡的示意图
Figure1. Schematic diagram of acoustic wave propagating through a vortex

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2.3.1.声波初始条件

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2.3.1.声波初始条件

平面声波采用单频正弦形式, 无量纲形式为

$ \left[ {\begin{array}{l} {{\rho _{\rm a}}}\\ {{u_{\rm a}}}\\ {{v_{\rm a}}}\\ {{p_{\rm a}}} \end{array}} \right] = \varepsilon \left[ {\begin{array}{l} 1\\ 1\\ 0\\ 1 \end{array}} \right] \sin \left[ {\bar{\omega} \left( {x - t} \right)} \right], $

其中, $ \rho _{\rm a} $

, $ u_{\rm a} $

, $ v_{\rm a} $

, $ p_{\rm a} $

分别表示平面声波的密度脉动、$ x $

方向速度分量、$ y $

方向速度分量、脉动压强; $ \varepsilon $

是声波幅值; $ \bar{\omega} $

是角频率, 其定义为

$ \bar{\omega} = 2 \text{π} f, $

其中, $ c_\infty $

是声速, $ f $

是声波频率, 定义为

$ f = {c_\infty}/{\lambda}. $

2.3.2.旋涡初始条件

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2.3.2.旋涡初始条件

静止等熵涡^[30,31]的初始条件:
速度初始分布为

$ \begin{split} &u_\theta \left( r \right) = M_{\rm v} \frac{r}{R_{\rm c}} \exp \left\{ \frac{1}{2} \left[ 1-\left( \frac{r}{R_{\rm c}}\right)^{2} \right] \right\}, \\ &u_r = 0; \end{split} $

涡量的初始分布为

$ \omega \left( r \right) = M_{\rm v} \left[ 2-\left( \frac{r}{R_{\rm c}}\right)^2 \right] \exp \left\{ \frac{1}{2} \left[ 1-\left( \frac{r}{R_{\rm c}}\right)^{2} \right] \right\}; $

密度和压强的初始分布为

$ \begin{split} &\rho \left( r \right) = \left\{ 1-\frac{\gamma-1}{2} {M_{\rm v}}^{2} \exp \left[ 1-\left( \frac{r}{R_{\rm c}}\right)^{2} \right] \right\}^{\tfrac{1}{\gamma-1}}, \\ &p \left( r \right) = \frac{\rho^{\gamma}\left( r \right)}{\gamma},\\[-15pt]\end{split} $

其中, 无量纲化采用无穷远处的密度$ \rho_\infty $

、声速$ c_\infty $

、压强$ p_\infty $

, 且满足$ {\rho_\infty} {c_\infty^{2}} = \gamma p_\infty $

, $ \gamma $

= 1.4. 旋涡强度为 $M_{\rm v} = U_0^{*} / c_\infty$

, $ r $

是旋涡半径, 其定义为

$ r = \sqrt{\left( x-x_{\rm v} \right)^{2} + \left( y-y_{\rm v} \right)^{2}}, $

其中$\left( x_{\rm v}, y_{\rm v} \right)$

是旋涡的中心.
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2.3.3.缓冲层

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2.3.3.缓冲层

添加缓冲层是为了抑制边界处的声波反射和避免从边界外引入伪波, 保证物理域计算结果是纯净无污染的. 本问题中, 声波反射主要发生在出口边界处, 而入口边界和上、下边界处基本无反射, 故在出口边界处添加缓冲层, 其具体形式为

$ BL\left( {x,y} \right) = \sigma \eta \left( x \right)\left( {U - {U_{\rm ref}}} \right), $

其中,

$ \begin{split} &\eta \left( x \right) = {\left( {\frac{{x\left( i \right) - {x_{\rm out}}}}{{{L_x} - {x_{\rm out}}}}} \right)^3},\\ &{U_{\rm ref}} = {U_{\rm v}}, \end{split} $

其中, $ x\left( i \right) $

是$ x $

方向网格节点$ i $

上的坐标值, $ {x_{\rm out}} $

是缓冲层开始处的坐标值, $ {L_x} $

是$ x $

方向边界处的坐标值. ${U_{\rm v}}$

是旋涡流场的初始值, 是一个定常的空间分布量. 另外系数$ \sigma $

的大小根据需要来选取, 一般取0.1.
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2.3.4.声散射计算方法

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2.3.4.声散射计算方法

声波穿过旋涡发生散射, 散射的压强分量定义^[23]为

$ \begin{split} &{{\bar p}_{\rm sc}}\left( {x,y,t} \right) = p\left( {x,y,t} \right) - {p^{\rm a}}\left( {x,y,t} \right) - {p^{\rm v}}\left( {x,y,t} \right),\\&{p_{\rm sc}}\left( {x,y,t} \right) = {{{{\bar p}_{\rm sc}}\left( {x,y,t} \right)} / \varepsilon }, \\[-10pt]\end{split} $

其中, $ p\left( {x, y, t} \right) $

是声波与旋涡相互作用的瞬时流场压强. $ {p^{\rm a}}\left( {x, y, t} \right) $

是对应声波在没有旋涡的自由空间中传播的瞬时脉动压强, 是一个随时间变化的非定常量. $ {p^{\rm v}}\left( {x, y, t} \right) $

是对应旋涡(本文为静止等熵涡)的压强, 是一个确定的压强分布. $ {\bar p_{\rm sc}}\left( {x, y, t} \right) $

是声波与旋涡相互作用发生散射的瞬时脉动压强. $ \varepsilon $

是入射声波的幅值, ${p_{\rm sc}}\left( {x, y, t} \right)$

是声波与旋涡相互作用发生散射的脉动压强$ {\bar p_{\rm sc}}\left( {x, y, t} \right) $

与入射声波幅值$ \varepsilon $

的比值, 即采用入射声波幅值$ \varepsilon $

进行无量纲化.
通常采用散射脉动压强的均方根${p_{\rm rms}}$

代表旋涡对声波散射的强弱, 定义^[23]为

$ {p_{\rm rms}}\left( {x,y} \right) = \sqrt {\frac{1}{T}\int_0^T {p_{\rm sc}^2\left( {x,y,t} \right){\rm d}t} }, $

其中, $ {\rm d}t $

是计算时间步长, $ T $

是统计总时间. 即, 在一个给定的时间$ T $

内, 对散射瞬时压强 $ {p_{\rm sc}\left( {x, y, t} \right)} $

的平方取时间平均的均方根值, 称之为散射有效声压$ {p_ {\rm rms}\left( {x, y} \right)} $

. 平面声波穿过旋涡发生散射达到周期性后开始进行数据统计, 为了减小随机性误差, 本文在流场达到周期性稳定后再记录20个周期来计算散射有效声压${p_ {\rm rms}}(x, y)$

.
在Colonius等^[16]、Clair和Gabard^[24]的研究中, 仅采用某个固定半径处圆周上的散射有效声压$ {p_{\rm rms}\left( {x, y} \right)} $

来表示散射的强弱以及空间分布情况, 难以直观地比较不同情况下的散射强度. 为了进一步比较分析不同声波波长对旋涡声散射的影响机制, 本文引入声散射截面(acoustical scattering cross-section, ASCS)方法^[32-34]. 声散射截面是一种分析声散射能谱的方法, 一般应用在三维流场结构或物体对声波的散射现象分析中, 例如声呐、水下遥测、海洋声学、声空化和医疗及工业超声波等. 为了分析二维旋涡声散射能谱, 其定义为

$ \sum \left( r \right) = \int_0^{2\pi } {p_{\rm rms}^2\left( {x,y} \right)r{\rm d}\theta } , $

即以旋涡中心为圆心, 在观测半径$ r $

的圆周上, 对散射有效声压${p_{\rm rms}}\left( {x, y} \right)$

的平方进行积分, 得到该半径 $ r $

圆周上的声散射能量.
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2.4.数值验证

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2.4.数值验证

为了验证计算结果的可靠性, 本文采用Colonius等^[16]和Clair^[24]的算例进行数值计算, 并与文献数据进行对比验证.
无量纲计算设定${c_\infty } = 1, \;{\rho _\infty } = 1, \;{{ {R}}_{\rm c}} = 1$

, 旋涡强度为$ {M_{\rm v}} = 0.125 $

, 平面声波波长$ \lambda = 4{R_{\rm c}} $

. 声学脉动量和流体力学量一般相差4—5个量级, 为了使平面声波处于线性扰动区, 声波压强幅值大小为$ \varepsilon = {10^{ - 5}}{p_\infty } $

. 为了保证旋涡计算的精细程度, 一般在一个旋涡核半径$ R_{\rm c} $

之内有8—10个点; 为了保证平面声波的分辨率, 一个波长$ \lambda $

之内有20个点, 故$ \Delta x = \Delta y = \min \left\{ {{{{R_{\rm c}}} / {10}},\; {\lambda / {20}}} \right\} $

. 当声散射稳定后, 开始统计声波脉动, 并持续20个周期, 时间步长满足$ c_\infty \Delta t / \Delta x = 0.1 $

.
旋涡强度$ {M_{\rm v}} = 0.125 $

, 核半径$ {R_{\rm c}} = 1 $

的静止等熵涡的初始分布情况如图2所示.

图 2 静止等熵涡初始分布　(a) 密度; (b) 速度; (c) 压强; (d) 涡量
Figure2. Initial distribution of stationary isentropic vortices: (a) density; (b) velocity; (c)pressure; (d) vorticity.

数值计算结果与Colonius^[16]和Clair^[24]的结果对比如图3所示. 数值计算结果与Clair^[24]和Colonius^[16]中结果符合很好. 这证明了本文数值计算结果的可靠性.

图 3 散射有效声压在半径为$r = 8{R_{\rm c}}$

圆周上的分布及其与文献[16, 24]的对比
Figure3. The distribution of root-mean-square pressure of scattered wave on a circle with radius $8 R_{\rm c}$

(comparison between numerical results and that of reference[16, 24])

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3.1.脉动压强与声波波长的关系

研究声波脉动压强与长度尺度比$ r_{\rm L} $

的变化情况, 可以更深入了解长度尺度比$ r_{\rm L} $

对声场的影响情况. 声波脉动压强定义为

$ \begin{split} &\bar p'\left( {x,y,t} \right) = p\left( {x,y,t} \right) - {p^v}\left( {x,y,t} \right),\\&p'\left( {x,y,t} \right) = {{\bar p'\left( {x,y,t} \right)} / \varepsilon }, \end{split} $

其中, $ \bar p'\left( {x, y, t} \right) $

是声波与旋涡相互作用后, 减去旋涡背景流场后的声波脉动量, $ p'\left( {x, y, t} \right) $

是将声波脉动量$ \bar p'\left( {x, y, t} \right) $

与入射声波幅值$ \varepsilon $

的比值.
图4给出了声波脉动压强云图随着长度尺度比$r_{\rm L}$

大小的变化情况, 图中黑色圆表示旋涡的涡核位置情况, 声波脉动压强取值范围为$ \left[ -1.0, 1.0\right] $

. 从图4可以看出, 当 $ r_{\rm{L}} = 0.1 $

时, 旋涡左侧的声波脉动压强几乎没改变, 在旋涡右后方出现了大片“空白”的低脉动区域, 近似于没有声波的“真空地带”, 而声波被挤压到了“真空地带”的上下两侧, 在上方形成了一个三角区, 内部具有一定结构; 在下方形成了一条类似于压缩波的粗线. 当$ r_{\rm L} = 0.5 $

和$ r_{\rm L} = 1.0 $

时, 真空地带在逐渐减小, 上下两侧向内展开. 特别是当$ r_{\rm L} > 5.0 $

时, 声波脉动压强几乎不发生改变, 波阵面呈初始的垂直于$ x $

轴的直线. 因此, 随着长度尺度比$ r_{\rm L} $

的增大, 旋涡流场对声场的影响逐渐减小.

图 4 声波脉动压强随长度尺度比$r_{\rm L}$

的变化云图　(a) $ r_{\rm L} = 0.1 $

; (b) $ r_{\rm L} = 0.5 $

; (c) $ r_{\rm L} = 1.0 $

; (d) $ r_{\rm L} = 5.0 $

; (e) $ r_{\rm L} = 10.0 $

; (f) $ r_{\rm L} = 20.0 $

Figure4. The contour of the change of acoustic wave pressure with the length-scale ratio $ r_{\rm L} $

: (a) $ r_{\rm L} = 0.1 $

; (b) $ r_{\rm L} = 0.5 $

; (c)$ r_{\rm L} = 1.0 $

; (d) $ r_{\rm L} = 5.0 $

; (e) $ r_{\rm L} = 10.0 $

; (f) $ r_{\rm L} = 20.0 $

.

在复杂流动中, 旋涡流场的非均匀性会导致声场分布和传播性质的显著变化以及绕射和散射^[35]. 平面声波波阵面穿过旋涡后, 由于旋涡的非均匀分布会在旋涡后方上下两侧形成两个主干涉条带和多个次级干涉条带, 且干涉条带整体形状呈半弧形, 这说明越靠近旋涡涡核, 散射越强. 本文中的旋涡均为逆时针旋转, 且当$ r_{\rm L} = 0.5 $

和$ r_{\rm L} = 1.0 $

时涡核内部的声波波阵面由竖直变为逆时针旋转了一个角度, 且从左向右, 角度逐步增大, 这也说明旋涡内的速度对声波波阵面产生了一定的偏折.
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3.2.散射有效声压与声波波长的关系

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3.2.散射有效声压与声波波长的关系

图5给出了散射有效声压$ p_{\rm rms} $

随着长度尺度比$ r_{\rm L} $

的变化情况, 图中黑色圆表示旋涡的涡核位置, 散射有效声压$ p_{\rm rms} $

的取值范围为$ \left[ 0,\; 3.0 \right] $

. 从图5可以看出, 声散射基本发生在旋涡右后方. 当$ r_{\rm L} = 0.1 $

时, 在旋涡位置处有清晰的回纹结构, 并在右上方一定倾角处呈三角形排列着多个红色的“尖峰”. 当$ r_{\rm L} = 0.5 $

和$ r_{\rm L} = 1.0 $

时, 相比于$ r_{\rm L} = 0.1 $

, 旋涡附近结构消失了, 右上角只剩下一个减弱的红色“尖峰”, 位置更接近于旋涡边缘. 当$ r_{\rm L }= 5.0 $

时, 红色“尖峰”包裹着旋涡正上方, 且在右下方也产生了另一个近似对称的红色“尖峰”, 后方的影响区域分开, 并向两侧扩展. 当$ r_{\rm L} = 10.0 $

时, 红色“尖峰”进入到旋涡内侧且处于右下角, 并且影响区域呈蝴蝶状. 当$ r_{\rm L} = 20.0 $

时, 影响区域再次大幅减小, 只在旋涡涡核位置还有微弱影响. 此外, 随着长度尺度比$ r_{\rm L} $

的增大, 红色“尖峰”的值从2.5左右降到了0.1左右.

图 5 散射有效声压$ p_{\rm rms} $

随长度尺度比$ r_{\rm L} $

的变化云图　(a) $ r_{\rm L} = 0.1 $

; (b) $ r_{\rm L} = 0.5 $

; (c) $ r_{\rm L} = 1.0 $

; (d) $ r_{\rm L} = 5.0 $

; (e) $r_{\rm L} = $

$ 10.0$

; (f) $ r_{\rm L} = 20.0 $

Figure5. The contour of the change of the root-mean-square of scattering pressure with the length-scale ratio $ r_{\rm L} $

: (a) $ r_{\rm L} = 0.1 $

; (b) $ r_{\rm L} = 0.5 $

; (c) $ r_{\rm L} = 1.0 $

; (d) $ r_{\rm L} = 5.0 $

; (e) $ r_{\rm L} = 10.0 $

; (f) $ r_{\rm L} = 20.0 $

.

为了进一步考察散射有效声压随长度尺度比$ r_{\rm L} $

的变化情况, 选取观测半径为$ r = 8 R_{\rm c} $

圆周上的散射有效声压分布进行分析比较, 如图6所示. 可以看出, 当$ r_{\rm L} = 0.1 $

时存在多个波峰波谷, 随着长度尺度比$ r_{\rm L} $

的增大, 波峰数量减少; 当$ r_{\rm L} = 4.0 $

和$ r_{\rm L} = 5.0 $

时, 角度在$ \left[ -90^ \circ, \;90^ \circ \right] $

范围有两个高波峰, 角度在$ \left[ -180^ \circ, \;-90^ \circ \right] $

和$ \left[ 90^ \circ,\; 180^ \circ \right] $

范围内有两个即将突起的小波峰; 当$ r_{\rm L} = 10.0 $

和$ r_{\rm L} = $

$ 20.0 $

时, 直接出现4个不同高度的波峰, 并且随着长度尺度比$ r_{\rm L} $

增大, $ \left[ -90^ \circ,\; 90^ \circ \right] $

角度范围内的波峰高度逐渐减小, 而$ \left[ -180^ \circ,\; -90^ \circ \right] $

和$ \left[ 90^ \circ,\; 180^ \circ \right] $

范围内波峰高度逐渐增大. 另外, 峰值最高的两个波峰都在$ 0^ \circ $

附近, 并且当$ r_{\rm L} = 0.1 $

和$ r_{\rm L} = 0.5 $

时最高波峰在$ 0^ \circ $

右侧, 而$ r_{\rm L} > 1.0 $

时最高波峰在$ 0^ \circ $

左侧. 因此, 随着长度尺度比$ r_{\rm L} $

增大, 最高波峰从$ 0^ \circ $

右侧转变到左侧, 即最高波峰从旋涡右上方转变到了右下方(如图5所示).

图 6 散射有效声压在半径为$ r = 8 R_{\rm c} $

圆周上的分布　(a) 全局图; (b) 局部放大图1; (c) 局部放大图2
Figure6. The distribution of root-mean-square pressure of scattered wave on a circle with radius $ 8 R_{\rm c} $

: (a) Global; (b) zoomed 1; (c) zoomed 2.

为了研究散射有效声压最大值随着长度尺度比$ r_{\rm L} $

的变化, 本文统计了散射有效声压最大值及其位置半径和角度随长度尺度比$ r_{\rm L} $

的变化情况, 如图7所示. 可以看出, 当$ {r_{\rm L}} \leqslant 1.0 $

时, 散射有效声压最大值的大小及位置变化剧烈. 当$ {r_{\rm L}} > 1.0 $

时, 散射有效声压最大值$p_{{\rm rms}\; {\rm max }}$

逐渐减小, 如图7(a)所示. 对于散射有效声压取最大值时的观测半径$ R $

, 当$ {r_{\rm L}} \in \left[ {1.0,\; 6.7} \right] $

时, $ R\left( {p_{{\rm rms}{\rm max}}} \right) $

在2.0左右; 当$ {r_{\rm L}} \geqslant 6.8 $

时, $ R\left( {p_{{\rm rms}\;{\rm max}}} \right) $

在0.5左右. 对于散射有效声压取最大值时位置点的角度$ \theta $

, 当$ {r_{\rm L}} \leqslant 5.9 $

时, $ \theta \left( {p_{{\rm rms}\;{\rm max}}} \right) \in \left[ {{{20}^ \circ },\; {{60}^ \circ }} \right] $

; 当${r_{\rm L}} \geqslant 6.0$

时, $\theta \left( {p_{{\rm rms}\;{\rm max}}} \right) \in $

$ \left[ { - {{80}^ \circ },\; - {{40}^ \circ }} \right]$

, 并且当${r_{\rm L}} \geqslant 7.5$

时, $\theta \left( {p_{{\rm rms}\;{\rm max}}} \right) = $

$ - {63.6^ \circ }$

保持不变(如图5中$r_{\rm L} = 10.0$

和$ r_{\rm L} = 20.0 $

图 7 散射有效声压最大值随长度尺度比的变化曲线　(a) 散射有效声压最大值; (b) 散射有效声压最大值点的半径; (c) 散射有效声压最大值点的角度
Figure7. The curve of the root-mean-square pressure of scattered wave with $r_{\rm L}$

value: (a) $ {p_{{\rm rms}\;{\rm max}}} $

; (b) $ R\left({p_{{\rm rms}\;{\rm max}}} \right) $

; (c) $ \theta \left( {p_{{\rm rms}\;{\rm max}}} \right) $

.

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3.3.声散射能量与声波波长的关系

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3.3.声散射能量与声波波长的关系

本节采用声散射截面法计算了声散射能量随观测半径$ R $

的变化情况, 结果如图8所示. 可以看出, 当$ {r_{\rm L}} \in \left[ {0.1, \;5} \right] $

时, 声散射截面$ \varSigma $

的值随观测半径$ R $

先增大, 后减小, 随后趋近于某个值保持不变. 特别是当$ {r_{\rm L}} = 0.1 $

时, 声散射截面$\varSigma$

在随观测半径$ R $

增大过程中出现了两次小的波动(如图8(a)所示), 第一次是近似正弦波动变化, 在$ R = 0.3 $

处到达波峰, 随后在$ R = 0.4 $

处到达波谷. 第二次是以$ R = 0.78 $

为中心的近似立方抛物线增长的变化. 当$ {r_{\rm L}} = 0.2 $

时, 总散射截面$\varSigma$

在随观测半径$ R $

增大过程中出现近似正弦波动变化(类似$ {r_{\rm L}} = 0.1 $

的第一次波动), 在$ R = 0.66 $

处到达波峰, 随后在$ R = 0.8 $

处到达波谷. 当$ {r_{\rm L}} \in \left[ {6,\; 30} \right] $

时, 总散射截面值$\varSigma \left( {R = 0.5} \right)$

随着尺度比$ r_{\rm L} $

的增大而增大, 原来$\varSigma \left( {R = 2.0} \right)$

左右处的峰值随着尺度比$ r_{\rm L} $

的增大而减小(如图8(c)所示), 并且在 $ r_{\rm L} = 10.0 $

, $ r_{\rm L} = 20.0 $

和$ r_{\rm L} = 30.0 $

时, 总散射截面峰值$\varSigma \left( {R = 0.5} \right)$

呈平方倍数增长.

图 8 声散射能量$ \varSigma $

随观测半径$ R $

的变化曲线　(a) $r_{\rm L} \in $

$ \left ( 0.1, \, 1.0 \right)$

; (b) $ r_{\rm L} \in \left ( 2.0, \, 5.0 \right) $

; (c) $ r_{\rm L} \in \left ( 6.0, \, 30.0 \right) $

Figure8. The curve of acoustical scattering cross-section with observed radius: (a) $ r_{\rm L} \in \left ( 0.1, \, 1.0 \right) $

; (b) $ r_{\rm L} \in \left ( 2.0, \, 5.0 \right) $

; (c) $ r_{\rm L} \in \left ( 6.0, \, 30.0 \right) $

.

为了研究发生声散射最强时的位置和能量变化情况, 统计了图8中每条曲线的峰值$\varSigma_ {\max}$

及所在的观测半径$ R $

与长度尺度比$ r_{\rm L} $

的变化关系, 如图9所示. 在文献[15-23]中, 声波散射随着波长的增大而减小, 但我们的计算中高频声波与旋涡的相互作用具有较强非线性. 随着长度尺度比$ r_{\rm L} $

的增大, 散射截面最大值$\varSigma_{\max}$

的变化情况呈现了4个阶段的变化(如图9(a)中的I, II, III, IV4个阶段), 采用分段有理函数拟合, 得到:

图 9 声散射能量随尺度比的变化曲线　(a) $\varSigma_{\max }$

; (b) $R\left(\varSigma_{\max }\right )$

Figure9. The curve of acoustical scattering cross-section with $ r_{\rm L} $

value: (a) $\varSigma_{\max }$

; (b) $R\left( \varSigma_{\max }\right )$

$ \begin{split} &{\rm{I}}: \; y_1 = \frac{0.001658}{x^3-0.3566x^2+0.0425x-0.001544} , \\ &{\rm{II}}: \; y_2 = \frac{0.04893x-0.003811}{x^3-0.5047x^2+0.0888x-0.004994} , \\ &{\rm{III}}:\; y_3 = \frac{3.995x^2-2.061x+0.2906}{x^4-0.9444x^3+0.6456x^2-0.2051x+0.0248} , \\ &{\rm{IV}}: \; y_4 = \frac{0.3946x^3+1.709x^2+29.69x+25.73}{x^5-3.202x^4+13.98x^3-5.395x^2+6.568x+0.4724}, \end{split} $

其中, $ y_i (i = 1, 2, 3, 4) $

表示声散射截面最大值$\varSigma_{\rm max}$

, $ x $

表示长度尺度比$ r_{\rm L} $

. 图9(a)中黑色圆点表示数值计算结果, 红色曲线是上述4条分段拟合曲线. 从图9(a)可以看出, 拟合曲线与数值计算结果完全符合.
从(23)式可以看出, 在第I阶段, 散射截面最大值$\varSigma_{\max}$

与长度尺度比$ r_{\rm L} $

立方的倒数成正比; 在第II, III, IV阶段, 散射截面最大值$\varSigma_{\max}$

与长度尺度比$ r_{\rm L} $

平方的倒数成正比, 如下式:

$ \begin{split} &{\varSigma_{\max }} \propto {\left( { {\lambda }/{{{R_{\rm c}}}}} \right)^{ - 3}}{\rm{ }}, \quad {\rm{I}},\\&{\varSigma_{\max }} \propto {\left( { {\lambda }/{{{R_{\rm c}}}}} \right)^{ - 2}}{\rm{ }}, \quad {\rm{II,III,IV}}. \end{split} $

图9(b)给出了散射能量在不同长度尺度比$ {r_{\rm L}} $

中取最大值时的观测半径$ R $

, 其随着长度尺度比$ {r_{\rm L}} $

的变化情况. 当${r_{\rm L}} \leqslant 1.25$

时, 观测半径$ R $

出现了图9(a)中类似的波动, 但并不是直接相关; 当$ {r_{\rm L}} \in \left[ {1.25, \;9.6} \right] $

时, 观测半径$ R $

基本在2.2附近; 当${r_{\rm L}} \geqslant 9.7$

时, 观测半径$ R $

直接跳到了0.5处. 这是由于总散射截面值$\varSigma \left( {R = 0.5} \right)$

处在逐渐增大, 恰好在观测半径$R = $

$ 9.7$

处超过总散射截面值$\varSigma \left( {R = 2.3} \right)$

, 与图8(c)的结果一致.
2

3.4.物理机理的初步讨论

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3.4.物理机理的初步讨论

根据吴介之^[35,36]关于波涡相互作用的研究结果, “波与涡之所以能相互作用, 是因为涡中本来就有波, 或者有形成波的条件. 换言之, 波涡相互作用的核心是涡流中不稳定波的受迫激发和入射波与不稳定波之间的耦合”. 声波是一种纵波, 对外的表现为膨胀过程, 对流场而言, 则是一种微弱的强迫扰动. 因此平面声波从开始接触到穿越旋涡的整个过程, 入射声波刺激旋涡向外辐射不稳定波. 不稳定波与入射声波会发生线性叠加和非线性耦合两种作用, 最终表现为散射波形态, 如图4中的干涉条带.
对于本问题, 同一个旋涡, 同一振幅的声波, 唯一的变量就是声波的波长. 对于物理图像来说, 声波波长变化给人最直观的感受是波阵面的密集程度, 如图4所示. 特别是声波波长越小, 在旋涡涡核内声波波数越多, 如图4(a)—(c)中有多个声波, 而图4(d)—(f)中一个整周期声波都没有. 另外声波以声速传播, 相同时间传播的距离是一个常值, 波长越小, 单位时间通过旋涡的整周期声波越多, 如图10所示.

图 10 声波幅值随时间的变化曲线
Figure10. The variation of acoustic wave amplitude with time

分别采用长度为4的三个波形($ \lambda = 1, 2, 4 $

)穿过涡核半径为1的旋涡, 得到散射压强分布, 如图11所示. 长度为4时, 具有4个$ \lambda = 1 $

的完整波形, 2个$ \lambda = 2 $

的完整波形, 1个$ \lambda = 4 $

的完整波形. 从图11可以看出, 当$ \lambda = 1 $

时, 声散射压强最强; 即相同时间情况下, 波长越小, 声波穿过旋涡后的散射压强越大.

图 11 声散射压强云图　(a) $ \lambda = 1 $

; (b) $ \lambda = 2 $

; (c) $ \lambda = 4 $

Figure11. The contour of sound scattering pressure: (a) $ \lambda = 1 $

; (b) $ \lambda = 2 $

; (c) $ \lambda = 4 $

.

另外, 波长越小, 角频率$ \bar{\omega} = 2\pi c_\infty /\lambda $

越大, 声波幅值变化越快, 即作用在旋涡的强迫扰动变化越快, 受激辐射的不稳定波也越强. 然而, 波长越小, 单个波长的声波波阵面越容易被破坏, 如图4(a)中涡核内部的波阵面直接断裂向后偏移, 而图4(b)和图4(c)涡核内部声波波阵面仅仅是偏折一定角度. 此时强不稳定波与结构遭到破坏的波阵面在向后传播的过程中, 发生了强非线性作用, 使得后方的干涉条带向两侧偏折角度大, 直接导致旋涡正后方的空白区域, 且产生很多细小的结构, 如图4(a)中旋涡后方的散射图像. 总的来说, 声波波长越小, 旋涡受激产生的不稳定波越强, 声波波阵面越容易被旋涡破坏, 随后二者的强非线性作用导致旋涡后方的散射图像越复杂. 如图4所示, 当声波波长逐渐增大, 涡核内部声波波阵面从断裂到偏折角度, 直至未发生改变, 对应着旋涡后方干涉条带从两侧逐渐向内靠拢, 直到后面未发生改变.
散射有效声压表示的是散射波变化的一种累积效应, 凸显的是波动变化强弱的空间位置. 当声波波长较小时(如图5(a)—(d)), 波动持续最强的空间点处于旋涡涡核后方, 且波长越大, 越靠近涡核边界. 当声波波长较大时(如图5(e)和图5(f)), 波动持续最强的空间点处于涡核内部右下方. 详细分布可以参考图7(b), 当$r_{\rm L} \geqslant 6.8 \approx 2.2 \pi$