摘要:集成光学技术在光量子信息处理等新兴技术有着重要的应用. 相比于分立光学, 集成光学技术具有体积小、成本低、稳定性好以及易操控的优势. 然而, 随着集成光量子芯片线路的复杂程度和规模的增加, 对芯片上的移相器, 比如级联马赫-曾德尔干涉仪中的相移器的标定, 将会成为一个棘手的问题. 传统的级联马赫-曾德尔干涉仪的移相器标定时间是随着级联个数的增加而指数增加的, 目前所报道实现的最大级联个数仅为5个移相器. 本文针对上述问题, 提出了一种高效的标定方法. 使用该方法对级联马赫-曾德尔干涉仪移相器的标定时间只随移相器数量线性增长, 相比于传统方法实现了指数级的加速. 本文在计算机上模拟了20个级联马赫-曾德尔干涉仪移相器的标定, 结果显示保真度都大于99.8%, 从而验证了该标定方法的有效性. 本工作有望应用于光量子信息处理与光计算等方面.
关键词: 光量子芯片/
级联移相器/
标定方法

English Abstract

全文HTML

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量子信息技术已经被证明相比于经典技术在通信^[1-5]、计算^[6-11]和模拟^[12,13]等方面具有优势, 比如量子密钥分发在理论上可以实现通信的无条件安全^[5], Shor算法可以破解目前的RSA加密算法^[10], Grover算法可以实现对无序搜索的提速^[11]. 目前, 主流的量子系统有超导^[14,15]、离子阱^[16]和光子^[4,17-31]等, 其中光子系统具有相干性好、速度快和不易与环境相互作用等优势, 是有潜力实现大规模量子信息处理的物理系统之一. 过去光子系统主要以分立光学实现为主^[4,17-22], 然而分立光学系统尺寸大、稳定性差、光路搭建复杂, 不具备良好的可扩展性. 与之相对, 集成光学^[23-31]具有体积小、成本低、稳定性好、易于操作和可扩展性高等优点, 有效地解决了分立光学的问题.
近年来, 集成量子光学技术发展极为迅速. 2008年布里斯托尔大学研究团队^[23]制备了第1个集成光量子芯片, 可在片上实现两比特的量子逻辑门. 2011年该团队^[24]制备了可重构的集成光量子芯片, 实现了片上纠缠态的产生、操控. 2018年, 布里斯托尔大学联合中山大学研究团队^[25]制备了可实现任意两量子比特操作的光量子处理器. 同年, 布里斯托尔大学和北京大学合作在芯片上实现了集成接近一千个组件的可编程光量子芯片^[26]. 2019年, 加利福尼亚大学伯克利分校团队^[27]实现了芯片上集成57600个光开关. 随着集成度的进一步提升, 在光量子芯片上集成的组件有望超过一百万^[28].
随着光量子芯片复杂度的提高、集成组件数目的增加, 对片上移相器的相位标定成为1个亟待解决的问题. 例如, 图1(a)展示的是1个实现任意$ 6\times 6 $的幺正变换的芯片结构^[31], 图1(b)则展示的是1个可以实现任意两比特量子操作的芯片结构^[25]. 这些芯片在工作前都需要对其中所有的移相器相位进行标定, 即找到移相器相位与施加在其上的电压或电流之间的函数关系. 图1(a)的Reck scheme结构^[32]虽然看起来比较复杂, 但是可按照一定的顺序依次标定, 实现不同移相器之间的解耦, 从而完成芯片的移相器标定. 与图1(a)相比, 图1(b)的芯片中存在两路波导间级联的3个马赫-曾德尔干涉仪(Mach-Zehnder interferometer, MZI)共5个移相器的结构, 无法实现移相器之间的解耦. 文献[25]使用的是暴力拟合的方法进行标定, 即每个移相器取10种电流, 共$ {10}^{5} $种电流组合, 得到$ {10}^{5} $种输出结果并进行强行拟合. 很明显, 随着级联移相器数目的增加, 使用这种方法进行标定所耗费的时间和资源都随指数增长, 完全不具备可扩展性. 针对该问题, 本文提出了一种新型的标定方法, 耗费的资源只随级联移相器数目N线性增长, 可以实现对如图2所示的包含任意多个级联移相器的芯片进行标定. 使用该方法, 我们成功地模拟了对级联20个移相器的芯片结构的标定, 结果显示保真度都大于99.8%, 验证了该方法的有效性. 本文工作有望应用在光量子信息处理与光计算等方面.
图 1 (a) 使用Reck Scheme构造任意$ 6\times 6 $幺正变换^[31]; (b) 实现任意两量子比特操作^[25]
Figure1. (a) Realization of $ 6\times 6 $ unitary using Reck Scheme^[31]; (b) implementing arbitrary two-qubit processing^[25].

图 2 级联N个移相器的$ 2\times 2 $光波导线路图
Figure2. $ 2\times 2 $ optical waveguide circuit of N-cascaded phase shifter.

移相器是光量子芯片中的核心组件之一, 对芯片上的移相器进行相位标定是实现芯片运行的关键步骤. 在硅基芯片中, 通常是利用硅的热光效应^[33], 改变两路光波导中一路的折射率来实现移相器的相位调节. 目前常用的移相器种类有掺杂硅移相器^[34]、p-i-n移相器^[35]和金属电热移相器^[36], 以及最近出现的硅基铌酸锂混合移相器^[37]. 这里以金属电热移相器为例来介绍我们的标定方法, 对其他种类移相器标定的方法与之类似.
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2.1.金属电热移相器的电学特性

标定电热移相器的目的是找到移相器相位与施加在电热移相器上的电压或电流之间的关系. 下面, 具体分析电热移相器的标定过程. 首先, 需要扫描电热移相器电压, 找到电流-电压(I -V )的关系. 通常情况下, I -V曲线是一条直线, 可以用线性方程$I = ({V - \text{δ}V})/{R}$来进行拟合, 其中R代表电热移相器的电阻, $\text{δ}V$代表电流为0 mA时的电压漂移. 这里存在电压漂移的原因在于, 实际所用的电压源并非是理想电压源, 当测量电流为0 mA时测量电压不完全为0 V. 这个电压漂移对于每个具体的移相器是固定的, 但是不同移相器的电压漂移并不相同.
由于电热移相器的工作原理是通过加热电阻改变光波导的折射率, 进而改变移相器的相位, 因此移相器的相位θ与电流I的关系可以表示为

$ \theta \left(I\right)={\gamma I}^{2}+\phi, $

其中γ和?就是移相器标定要确定的参数. 由芯片制备工艺的影响, 每个移相器的γ和?往往是不一样的.
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2.2.单个移相器的标定

如图3所示, 该芯片结构由两个多模干涉耦合器(multimode interferometer, MMI)和中间的移相器(phase shifter, PS)构成. MMI的传输矩阵可以表示为
图 3 由单个移相器构成的2 × 2光波导线路图
Figure3. $ 2\times 2 $ optical waveguide circuit constructed by a single phase shifter.

${{\boldsymbol M}_{\rm MMI}}\left[ \eta \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt \eta }&{{\rm{i}}\sqrt {1 - \eta } }\\{{\rm{i}}\sqrt {1 - \eta } }&{\sqrt \eta }\end{array}} \right),$

通常η设计为0.5, 对应的MMI分光比为50∶50. 可以通过改变MMI的形状来改变η的值^[38]. 移相器的传输矩阵可以表示为

${{\boldsymbol M}_{\rm PS}}\left( \theta \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }}}\end{array}} \right).$

光从输入端 In 1入射, 输出态为

$\begin{split}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{O_{\rm{Out1}}}\\{O_{\rm{Out2}}}\end{array}} \right) =\;& {{\boldsymbol M}_{\rm MMI}}\left( {0.5} \right) \cdot {{\boldsymbol M}_{\rm PS}}\left( \theta \right) \cdot {{\boldsymbol M}_{\rm MMI}}\left( {0.5} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right) \\=\;& \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }}}\\{{\rm i}\left( {1 + {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }}} \right)}\end{array}} \right).\\[-15pt]\end{split}$

Out 1端的分束比T定义为Out 1端的输出功率与总输出功率的比值, 其与施加在移相器上的电流I的关系为

$ \begin{split}\;& T=O_{\rm Out1}\cdot O_{\rm Out1}^{*} \\=&\; \frac{1}{2}\left[1-\mathrm{cos}\left(\theta \right)\right]=\frac{1}{2}\left[1-\mathrm{cos}\left(\gamma {I}^{2}+\phi \right)\right]. \end{split}$

扫描电流I并测量分束比T, 对T和I进行非线性拟合即可得到γ和?, 从而完成对移相器的标定.
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2.3.级联移相器的标定

下面讨论如何对如图2所示的是级联N个移相器2 × 2光波导线路进行标定. 本文方法的核心思想是将级联N个移相器的标定过程分解为多组两个移相器的联合扫描.
图4(a)展示的是光波导线路包含移相器$ N-1 $和移相器N的部分, 我们的目标是要标定移相器N, 即确定$ {\gamma }_{N} $和$ {\phi }_{N} $的值. $ {\gamma }_{N} $的值可以很容易地确定. 通过扫描移相器N的电流$ {I}_{N} $并测量相应的分束比T的值, 得到$T\text{-}{I}_{N}^{2}$的关系曲线, 该曲线为周期性的余弦函数, 测量其周期即可推出$ {\gamma }_{N} $. 接下来确定$ {\phi }_{N} $的值.
图 4 简化移相器标定方法示意图　(a)级联扫描移相器N–1和移相器N; (b)级联扫描移相器N–2和移相器N–1
Figure4. Schematic diagram of the simplified phase shifter calibration method: (a) Two-dimensional (2D) scan of phase shifter N–1 and N; (b) 2D scan of phase shifter N－2 and N–1.

这里把到达移相器N－1前的量子态记为

$\left| {{{\boldsymbol{\psi}} _{N - 1}}} \right\rangle = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{cos}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right)}\\{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\beta _{N - 1}}}}{\rm{sin}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right)}\end{array}} \right],$

其中$ {\alpha }_{N-1}, {\beta }_{N-1} $为0到$ 2{\text{π}} $间的相位. 移相器N–1将实现幺正变换${\boldsymbol M}_{\rm{PS}}\left( {{\theta _{N - 1}}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _{N - 1}}}}} \end{array}} \right) $, 其中$ {\theta }_{N-1} $的值由加载在移相器N–1上的电流$ {I}_{N-1} $决定. 由此, 到达移相器N前的量子态$ \left| {{{\boldsymbol{\psi}} _N}} \right\rangle $可以表示为

$\begin{split}\;& \left| {{{\boldsymbol{\psi}} _N}} \right\rangle = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\rm{i}}\\{\rm{i}}&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _{N - 1}}}}}\end{array}} \right)\left| {{{\boldsymbol{\psi}} _{N - 1}}} \right\rangle \\ =\;& \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\rm{i}}\\{\rm{i}}&1\end{array}} \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{cos}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right)}\\{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{\beta _{N - 1}} + {\theta _{N - 1}}} \right)}}{\rm{sin}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right)}\end{array}} \right].\end{split}$

之后$ \left| {{{\boldsymbol{\psi}} _N}} \right\rangle $再依次经过移相器N和MMI, 从而在输出口得到量子态:

$\begin{split}\;& \left| {{{\boldsymbol{\psi}} _{{\rm{Out}}}}} \right\rangle = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\rm{i}}\\{\rm{i}}&1\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _N}}}}\end{array}} \right)\left| {{{{\boldsymbol \psi}} _N}} \right\rangle \\ =\;& \frac{1}{2}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{cos}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right) + {\rm i}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{\beta _{N - 1}} + {\theta _{N - 1}}} \right)}}{\rm{sin}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right) - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _N}}}{\rm{cos}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right) + {\rm i}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{\beta _{N - 1}} + {\theta _{N - 1}} + {\theta _N}} \right)}}{\rm{sin}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right)}\\{{\rm{icos}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right) - {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{\beta _{N - 1}} + {\theta _{N - 1}}} \right)}}{\rm{sin}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right) + {\rm i}{\rm{cos}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _N}}} + {{\rm{e}}^{{\rm{i}}\left( {{\beta _{N - 1}} + {\theta _{N - 1}} + {\theta _N}} \right)}}{\rm{sin}}\left( {{\alpha _{N - 1}}} \right)}\end{array}} \right),\end{split}$

其中$ {\theta }_{N} $为移相器N的相位, 由加载在移相器N上的电流决定. 输出端Out1测得的分束比T为

$ \begin{split}\;&T=O_{\rm Out\,1}\cdot O_{\rm Out\,1}^{*} \\=\;&\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{cos}\left(2{\alpha }_{N-1}\right)\mathrm{cos}\left({\theta }_{N}\right)\\&-\frac{1}{2}\mathrm{sin}\left(2{\alpha }_{N-1}\right)\mathrm{cos}\left({\beta }_{N-1}+{\theta }_{N-1}\right)\mathrm{sin}\left({\theta }_{N}\right).\end{split} $

如图5所示, 通过联合扫描$ {I}_{N-1} $和$ {I}_{N} $, 寻找T的极小值, 可以得到两组$ T=0 $的结果, 即图5中的红色点, 分别对应:
图 5 级联N个移相器的$ 2\times 2 $光芯片分束比与移相器$ N-1 $的相位和移相器N的相位的关系图. 每改变移相器$ N-1 $的相位一次, 都完整扫描一遍$T\text{-}{\theta }_{N}$曲线, 并标记曲线的最低点为黑色. 两个红色点代表$ {T}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} $取最小值的情况, 白色点代表$ {T}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} $取最大值的情况, 此时白色点对应的$ {\theta }_{N}=0 $或π
Figure5. Splitting ratio $ 2\times 2 $ optical waveguide circuit versus phase shifter $ N-1 $ and phase shifter N. For every change of $ {\theta }_{N-1}, $ we scan a full $T\text{-}{\theta }_{N}$ curve and mark its lowest point black. The two red point represents the minimum of $ {T}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} $ while the white point represents the maximum of $ {T}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} $. The white point corresponding to $ {\theta }_{N}=0 $ or π.

$\begin{split} & \theta \left({I}_{N-1}^{\left(1\right)}\right)={-\beta }_{N-1}+2j{\rm{\pi }},\\& \theta \left({I}_{N}^{\left(1\right)}\right)=2{\alpha }_{N-1}+2k{\rm{\pi }} \end{split}$

和

$ \begin{split}&\theta \left({I}_{N-1}^{\left(2\right)}\right)=\pi {-\beta }_{N-1}+2l{\rm{\pi }},\\&\theta \left({I}_{N}^{\left(2\right)}\right)=-2{\alpha }_{N-1}+2m{\rm{\pi }}, \end{split}$

其中$ j, k, l, m $均为整数. 由$ {I}_{N}^{\left(1\right)} $和$ {I}_{N}^{\left(2\right)} $的值可以计算出:

$ {I}_{N}^{\left(3\right)}=\sqrt{\frac{{\left({I}_{N}^{\left(1\right)}\right)}^{2}+{\left({I}_{N}^{\left(2\right)}\right)}^{2}}{2}}, $

满足

$ \begin{split}\theta \left({I}_{N}^{\left(3\right)}\right)=\;&\frac{\theta \left({I}_{N}^{\left(1\right)}\right)+\theta \left({I}_{N}^{\left(2\right)}\right)}{2}\\=\;&\gamma _{N}{\left({I}_{N}^{\left(3\right)}\right)}^{2}+{\phi }_{N}={a}_{N}{\rm{\pi }}, \end{split}$

其中$ {a}_{N}=0 $或1. 对应与图5中的白色点. 将之前得到的$ {\gamma }_{N} $代入, 即可得到

$ {\phi }_{N}={a}_{N}{\rm{\pi }}-{\gamma }_{N}{\left({I}_{N}^{\left(3\right)}\right)}^{2}. $

完成移相器N的标定后, 来对移相器$ N-1 $进行标定. 图4(b)展示的是光波导线路包含移相器$ N-2, N-1 $和N的部分. 类似地, 可以通过扫描移相器$ N-1 $的电流$ {I}_{N-1} $并测量相应的分束比T的值来确定$ {\gamma }_{N-1} $的值. 同样地, 把到达移相器$ N-2 $前的量子态记为$ \left| {{{\boldsymbol{\psi}} _{N - 2}}} \right\rangle = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{cos}}\left( {{\alpha _{N - 2}}} \right)}\\ {{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\beta _{N - 2}}}}{\rm{sin}}\left( {{\alpha _{N - 2}}} \right)} \end{array}} \right] $, 其中$ {\alpha }_{N-2}, {\beta }_{N-2} $为0到$ 2{\text{π}} $间的相位. 与前面的推理类似, 输出端Out 1测得的分束比T为

$ \begin{split} T=\;&\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{sin}\left({\beta }_{N-2}+{\theta }_{N-2}\right)\mathrm{cos}\left({\theta }_{N}\right)\mathrm{sin}\left(2{\alpha }_{N-2}\right)\\&+\frac{1}{2}\mathrm{sin}\left({\theta }_{N}\right)\mathrm{cos}\left(2{\alpha }_{N-2}\right)\mathrm{sin}\left({\theta }_{N-1}\right) \\ &-\frac{1}{2}\mathrm{cos}\left({\beta }_{N-2}+{\theta }_{N-2}\right){\sin}\left({\theta }_{N}\right)\\ &\times\mathrm{sin}\left(2{\alpha }_{N-2}\right)\mathrm{cos}\left({\theta }_{N-1}\right). \\[-10pt]\end{split} $

将$ {\theta }_{N} $设为$ {\text{π}}/2 $或$ - {\text{π}}/2 $, 联合扫描$ {I}_{N-2} $和$ {I}_{N-1} $, 也可以得到两组$ T=0 $的结果, 分别对应:

$ \begin{split}&\theta \left({I}_{N-2}^{\left(1\right)}\right)=-{\beta }_{N-2}+2j{\rm{\pi }},\\&\theta \left({I}_{N-1}^{\left(1\right)}\right)=-\frac{{\rm{\pi }}}{2}+2{\alpha }_{N-2}+2k{\rm{\pi }}\end{split} $

和

$ \begin{split}&\theta \left({I}_{N-2}^{\left(2\right)}\right)={\rm{\pi }}-{\beta }_{N-2}+2l{\rm{\pi }},\\&\theta \left({I}_{N-1}^{\left(2\right)}\right)=-\frac{{\rm{\pi }}}{2}-2{\alpha }_{N-2}+2m{\rm{\pi }} .\end{split} $

由$ {I}_{N-1}^{\left(1\right)} $和$ {I}_{N-1}^{\left(2\right)} $的值可以计算出:

$ {I}_{N-1}^{\left(3\right)}=\sqrt{ \Big[{{\left({I}_{N-1}^{\left(1\right)}\right)}^{2}+{\left({I}_{N-1}^{\left(2\right)}\right)}^{2}\Big]\Big/2}}, $

满足

$ \begin{split}\theta \left({I}_{N-1}^{\left(3\right)}\right)=\;&\frac{\theta \left({I}_{N-1}^{\left(1\right)}\right)+\theta \left({I}_{N-1}^{\left(2\right)}\right)}{2}\\=\;&{\gamma }_{N-1}{\left({I}_{N-1}^{\left(3\right)}\right)}^{2}+{\phi }_{N-1}\\=\;&\left({a}_{N-1}- {1}/{2}\right){\rm{\pi }}, \end{split}$

其中$ {a}_{N-1}=0 $或1. 将之前得到的$ {\gamma }_{N-1} $代入, 即可得到

$ {\phi }_{N-1}=\left({a}_{N-1}-\frac{1}{2}\right){\rm{\pi }}-{\gamma }_{N-1}{\left({I}_{N-1}^{\left(3\right)}\right)}^{2}. $

下面来讨论对其他移相器的标定方法, 如图6所示, 将$ {\theta }_{N-1} $和$ {\theta }_{N} $都设为$ 0 $或π, 等效于让移相器$ N-1 $、移相器N以及最后两个MMI实现Identity操作(或Swap操作), 这样移相器$ N-3 $和移相器$ N-2 $就相当于变成了最靠近输出端的两个移相器, 从而可以用前面的方法进行标定. 以此类推, 可以完成对所有移相器的标定.
图 6 级联移相器的标定顺序
Figure6. Calibration sequence of cascaded phase shifters.

由(14)和(20)式知, 目前标定得到的每个移相器的相位$ {\theta }_{i} $都有一个未定的相位差0或者π, 即:

$ {\theta }_{i}={\gamma }_{i}{I}_{i}^{2}+{\phi }_{i}+{a}_{i} \cdot {\rm{\pi }}, $

其中$ {a}_{i}=0 $或1. 下面要来确定每个移相器$ {a}_{i} $的具体数值.
首先讨论移相器数目为奇数的情况. 如图7(a)所示, 移相器数目$ N =2 P - 1 $ (P为正整数), 共有P个奇数项移相器和$ P-1 $个偶数项移相器. 对移相器$ {a}_{i} $的确定共分为4个步骤. 每个步骤中标黑色的移相器相位均设为0或π, 标红色与标蓝色的移相器相位设为$ 0.4{\text{π}} $或$ 1.4{\text{π}} $. 标蓝色的移相器在执行该步骤后可确定对应$ {a}_{i} $的具体数值. 这里要说明的是选取$ 0.4{\text{π}} $相位用来标定$ {a}_{i} $是为了方便, 实际上可取除0, $ \pm 0.5{\text{π}} $, $ \pm {\text{π}} $以外的任何其他相位用来标定$ {a}_{i} $.
图 7 确定$ {a}_{i} $的标定顺序, 其中颜色为黑色与绿色的移相器相位设为0, 其他颜色的移相器相位设为0.4π, 有下划线步骤可以确定下划线部分的$ {a}_{i}=1 $为奇数或偶数个, 箭头为标定方向, 蓝色移相器和绿色移相器为对应步骤可以完成标定的移相器　(a) 移相器数量为奇数的标定顺序; (b) 移相器数量为偶数的标定顺序
Figure7. Calibration sequence to determine $ {a}_{i} $, where the phase shifters with color black and green are set to phase 0 and the others are set to $ 0.4{\text{π}} $. Steps with underline can determine whether the red underline part of $ {a}_{i}=1 $ is an odd or even number of shifts. The arrow is the calibration direction. Phase shifters in blue color or red color are the phase shifters that can be calibrated in the corresponding steps. (a) Calibration sequence with an odd number of phase shifters; (b) calibration sequence with an even number of phase shifters.

第一步, 按照图中Step 1标注的颜色对移相器设置相位, 通过测量分束比T可以确定奇数项中$ {a}_{i}=1 $的数量是奇数还是偶数;
第二步, 按照图中Step 2标注的颜色对移相器设置相位, 通过测量分束比T可以确定偶数项中$ {a}_{i}=1 $的数量是奇数还是偶数;
第三步, 按照图中Step 3标注的颜色对移相器设置相位, 通过测量分束比T可以确定蓝色移相器的$ {a}_{i} $的值, 按照箭头方向依次向左标定, 可以完成所有偶数项移相器的标定;
第四步, 按照图中Step 4标注的颜色对移相器设置相位, 通过测量分束比T可以确定蓝色移相器的$ {a}_{i} $的值, 按照箭头方向依次向右标定, 可以实现所有奇数项移相器的标定.
下面再来讨论移相器数目为偶数的情况. 如图7(b)所示, 移相器数目$ N=2 P $ (P为正整数), 共有P个奇数项移相器和P个偶数项移相器. 对移相器$ {a}_{i} $的确定共分为5个步骤. 每个步骤中标黑色和标绿色的移相器相位均设为0或π, 标红色的移相器相位设为$ 0.4{\text{π}} $或$ 1.4{\text{π}} $. 标绿色的移相器在执行该步骤后可以确定对应$ {a}_{i} $的具体数值.
第一步, 按照图中Step 1标注的颜色对移相器设置相位, 通过测量分束比T可以确定所有移相器中$ {a}_{i}=1 $的数量是奇数还是偶数;
第二步, 按照图中Step 2标注的颜色对移相器设置相位, 通过测量分束比T可以确定在下划线上的移相器中$ {a}_{i}=1 $的数量是奇数还是偶数;
第三步, 按照图中Step 3标注的颜色对移相器设置相位, 通过测量分束比T可以确定在下划线上的移相器中$ {a}_{i}=1 $的数量是奇数还是偶数;
第四步, 按照图中Step 4标注的颜色对移相器设置相位, 通过测量分束比T可以确定绿色移相器的$ {a}_{i} $的值, 按照箭头方向向左依次移动就可以完成对偶数项移相器的标定;
第五步, 按照图中Step 5标注的颜色对移相器设置相位, 通过测量分束比T可以确定绿色移相器的$ {a}_{i} $的值, 按照箭头方向向右依次移动就可以完成对奇数项移相器的标定.
这里要说明的是, 无论N是奇数还是偶数的情况下, 对第1个和最后1个移相器同时加π相位都不会对分束比T产生影响, 因此无需确定$ {a}_{1} $和$ {a}_{N} $的具体数值, 而只需要知道两者的关系即可. $ {a}_{1} $和$ {a}_{N} $具体关系可以从图7的标定步骤中推断出来. 综上所述, 使用上述方法可以确定所有移相器的$ {a}_{i} $的具体数值, 结合之前确定的$ {\gamma }_{i} $和$ {\phi }_{i} $, 从而可以完成所有移相器的相位标定.
这里将使用传统标定方法与使用该方法对N个级联移相器标定所耗费的资源进行一个简单的比较. 假设每个移相器加载的电流扫描$ 10 $个点, 使用传统的标定方法需要扫描$ {10}^{N} $个点, 使用我们的方法总共只需要扫描$ 111 N-1 $个点即可.

我们在程序中改变多个参数来模拟检验该方法的稳定性. 设置输入态为$\left( {\begin{array}{*{10}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right)$, 然后对所有移相器同时加电, 得到实验输出态$ \left| {{{\boldsymbol{\psi}} _{\rm{e}}}} \right\rangle $, 同时按照标定移相器的结果代入电流值来计算得到计算输出态$ \left| {{{\boldsymbol{\psi}} _{\rm{c}}}} \right\rangle $, 最后测量其保真度$ {\rm{Fidelity}} = {\left| {\left\langle {{{\boldsymbol{\psi}} _{\rm{e}}}|{{\boldsymbol{\psi}} _{\rm{c}}}} \right\rangle } \right|^2} $. 图8(a)展示的是一个级联20个移相器的2 × 2光波导线路, 将对这些移相器加载电流, 比较输出态相对于理想态的保真度, 来评估我们方法的有效性. 这里使用了两种加载电压的方式. 第一种方式是对每个移相器加载0 或3 V的电压, 共2²⁰ =1048576种加载电压的组合方式, 输出态的保真度分布如图8(b)所示, 保真度均大于0.999999. 第二种方式是对每个移相器随机加载0到9 V间某个电压, 选取了相同数量(1048576种)随机加载电压组合, 输出态的保真度分布如图8(c)所示, 保真度均大于0.999996. 可以看到, 输出态的保真度与加载电压的方式有关, 随机加载电压的方式保真度分布更分散, 但无论采用哪种方式, 输出态的保真度都非常高.
图 8 (a)级联20个移相器的2 × 2光波导线路; (b)每个移相器加载0或3 V的电压, 输出态的保真度分布; (c)每个移相器随机加载0到9 V间某个电压, 输出态的保真度分布
Figure8. (a) $ 2\times 2 $ optical waveguide circuit of 20-cascaded phase shifter; (b) the distribution of statistical fidelity of output state applying voltage of 0 or 3 V for each phase shifter; (c) the distribution of statistical fidelity of output state applying voltage randomly between 0 and 9 V for each phase shifter.

然后模拟了不同的实验测量误差对标定结果的影响, 如图9(a)所示, 本文设置的实验中的测量误差$ \varepsilon $从0%增加到9%, 模拟级联了8个移相器, MMI的η设为0.5, 每个移相器的取点数为81, 这里设置的实验误差是实验上测量光功率时的误差(比如光纤发生微小的抖动). 从图9(a)可以看到, 该方法对实验测量误差的容忍度非常好, 在0%—9%的实验测量误差范围内输出得到的态的保真度始终大于99.9999%. 此外, 还研究了采样点数量对输出态保真度的影响. 如图9(b)所示, 这里模拟的是对级联8个移相器的2 × 2光波导线路的标定, MMI的η设为0.5, 光功率测量误差为5%, 可以看到当每个移相器的采样点数量大于10时, 可以实现大于99.99%的保真度, 当采样点数量大于20后保真度的值趋于稳定.
图 9 (a)不同实验测量误差对保真度的影响; (b)不同取点数量对保真度的影响; (c)不同数量移相器对保真度的影响; (d)不同的MMI分光比η值对保真度的影响
Figure9. (a) Effect of different experimental measure errors on fidelity; (b) effect of different number of points on fidelity; (c) effect of different numbers of phase shifters on fidelity; (d) effect of different values of the MMI spectral ratio η on fidelity.

还模拟了光芯片包含的移相器数量对标定精度的影响, 结果如图9(c)所示, 级联的移相器数量分别为5, 8, 11, 14, 17, 20, 这里设置的实验测量误差为5%, 每个移相器的取点数为81. 从图9(c)可以看到, 随着级联移相器数量的增多, 输出态的保真度只是缓慢下降, 经过直线拟合发现, 当移相器数量达到17600时输出态的保真度仍然可以达到99.9%.
在实际制备的光芯片中, MMI的分光比由于工艺误差可能不是设计的50∶50 ($ \eta =0.5 $). 此外, 不同MMI的分光比之间可能也有一定的差异. 我们对这种情况下的移相器标定也进行了模拟, 如图9(d)所示, , 模拟级联8个移相器, 光功率测量误差为5%, 每个移相器的取点数为81. 图9(d)中红线对应每个MMI的η值相同且已知的情况, 即$ \text{δ}{\eta }_{1}=0 $, 黑线表示每个MMI的η值在给定的η 附近有$ \pm $2%波动的情况, 即$ \text{δ} {\eta }_{2}= $2%. 由图9(d)可看到, 对于不同MMI的分光比相同的情况下, 即使η取到了0.45或0.55这样的值, 得到的保真度依然可以超过99.95%. 对于MMI分光比不同的情况, 保真度只是略有下降, 仍然可以超过99.8%.

本文提出了一种用于标定级联多个移相器的光波导线路的方法. 相比于传统标定方法^[25], 该方法在标定效率上相比传统方法有指数级的提升. 例如对于N个级联移相器, 传统的标定方法需要扫描$ {10}^{N} $个点, 而该方法仅需扫描$ 111 N- 1$个点即可. 我们在计算机上模拟了使用该方法对级联20个移相器的光波导线路的标定, 实现了传统标定方法无法完成的任务. 本文提出的标定方法将极大地降低标定所需要的时间以及数据存储量, 有望在光量子信息处理、光计算处理等方面得到应用.