摘要:在相对论重离子碰撞早期, 会产生一个极强的磁场. 初始碰撞产生的粲偶素会受到磁场的影响, 进而携带磁场的信息. 本文利用磁场下的两体薛定谔方程研究磁场对粲偶素的影响. 利用角动量展开的方法, 数值计算了不同磁场强度下粲夸克偶素的能谱. 采取的方案是把三维波函数展开成不同轨道角动量以及自旋态的叠加, 实际计算过程中发现, 当$n\leqslant 2$, $l\leqslant 7$时能很好地满足精确度. 进一步, 哈密顿量可以写成$H=H_0+(qB)^2 H_1+qBP_{{\rm ps},\perp} H_2$形式, 其中$H_{0}$, $H_{1}$, $H_{2}$不依赖于B和$P_{{\rm ps},\perp}$, 因此只要计算出$H_{0}$, $H_{1}$, $H_{2}$就能求出任意B和$P_{{\rm ps},\perp}$下的哈密顿量. 这样的数值方法在保证计算精度的同时显著减少了计算量. 计算结果表明随着磁场和总动量的增加, 粲偶素的质量增大, 在磁场强度为$20m_{\pi}^{2}$, 总动量为$1.8\;{\rm {GeV}}$时, 质量的增加量为20%.
关键词: 束缚态/
自旋/
重粒子碰撞/
粲夸克

English Abstract

全文HTML

--> --> -->

夸克是目前人类认识到的最深层次, 描述夸克之间的相互作用的是量子色动力学(QCD)理论. QCD解禁闭相变被认为会发生在相对论重离子碰撞系统中^[1,2]. 重离子碰撞中产生的夸克胶子等离子体(QGP)是研究QCD性质的重要媒介. 粲偶素是粲夸克和反粲夸克组成的束缚态, 当其处在“夸克禁闭”解除的QGP中时, 粲夸克和反粲夸克之间的相互作用会由于周围大量色荷的德拜屏蔽效应而减弱, 当QGP的温度足够高, 色荷德拜屏蔽半径小于粲偶素的束缚半径的时候, 该束缚态将被分解, 其产额会被压低. 因此, 粲偶素在相对论重离子碰撞中产额相对质子-质子碰撞中产额的压低被认为是QGP产生的重要标志^[3]. 由于重离子都带有正电荷, 在重离子非对心碰撞过程中会产生强大的磁场. 对于$ J/\psi $粒子, 其主要来源为初始硬过程产生的粲夸克偶素对. 而在碰撞初期, 也正是碰撞产生的磁场最强的时刻. 磁场应该会影响$ J/\psi $粒子的产生, 由于磁场有一个特定的方向, 在该磁场影响下产生的$ J/\psi $粒子也可能存在各向异性^[4]. 为了定量研究$ J/\psi $粒子的演化, 了解磁场对夸克偶素的影响是必不可少的. 对于重夸克偶素这样由两个较重的粒子构成的束缚态, 利用薛定谔方程进行研究是合理的^[5]. 然而, 在有磁场的情况下, 角动量不再守恒, 数值求解的复杂度大大增加, 我们提出利用真空中的能量本征函数进行展开, 来实现计算的简化. 虽然碰撞产生的粲夸克偶素的整体动量可以很大, 但是由于粲夸克的质量较大, 在束缚态中正反粲夸克的相对运动速度并不会很大. 文献[6]中研究了粲夸克偶素束缚态的相对论修正, 其对介子能量的修正大约在10%左右.

真空中的夸克偶素的薛定谔方程可以写作^[7]:

$ \left [\frac{{\boldsymbol{p}}_{\rm a}^{2}}{2m_{\rm q}}+\frac{{\boldsymbol{p}}_{\rm b}^{2}}{2m_{\rm q}} +{\boldsymbol{V}}\right ]\varPhi \left ( {\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}} \right ) = \left [ E-2m_{\rm q} \right ]\varPhi \left ( {\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}} \right ), $

这里的能量本征值E不仅包含夸克偶素的动能, 也包含夸克偶素的静止质量, 动量$ {\boldsymbol{P}}_{\rm {kin}} = {\boldsymbol{p}}_{\rm a}+{\boldsymbol{p}}_{{\rm b}} $是守恒量. 考虑薛定谔方程处于稳恒磁场中的时候, 利用最小耦合有^[8]:

$\begin{split} & \bigg[ \frac{\left ( {\boldsymbol{p}}_{\rm a}-q_{\rm a}{\boldsymbol{A}}_{\rm a} \right )^{2}}{2m_{\rm q}}+\frac{\left ({\boldsymbol{p}}_{\rm b}-q_{\rm b}{\boldsymbol{A}}_{\rm b} \right )^{2}}{2m_{\rm q}} \bigg.\\ & \bigg.+{\boldsymbol{V}}\left ( {\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}} \right )-{\boldsymbol{\mu}} \cdot {\boldsymbol{B}}\bigg]\varPhi \left ( {\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}} \right ) \\=\; & \left [ E-2m_{\rm q} \right]\varPhi \left ( {\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}} \right ),\end{split} $

这里$ {\boldsymbol{\mu}} ={q}/{m_{\rm q}}\left ( {\boldsymbol{S}}_{\rm a}-{\boldsymbol{S}}_{\rm b} \right ) $是自旋磁矩. 此时, 很明显总机械动量$ {\boldsymbol{P}}_{\rm kin} = {\boldsymbol{p}}_{\rm a}+{\boldsymbol{p}}_{\rm b}-q_{\rm a}{\boldsymbol{A}}_{\rm a}-q_{\rm b}{\boldsymbol{A}}_{\rm b} $在该系统下不守恒. 考虑在真空条件下的静止质量$ m_{\rm m} = E-\dfrac{\left ( {\boldsymbol{p}}_{\rm a}+{\boldsymbol{p}}_{\rm b} \right )^{2}}{4 m_{\rm q}} $, 利用动能的期望值, 重新定义该系统下的静止质量

$m_{\rm m} = E-\dfrac{\left \langle {\boldsymbol{p}}_{\rm a}+{\boldsymbol{p}}_{\rm b}-q_{\rm a}{\boldsymbol{A}}_{\rm a}-q_{\rm b}{\boldsymbol{A}}_{\rm b} \right \rangle}{4 m_{\rm q}}^{2}. $

为了简化形式, 做如下坐标变换:

$ {\boldsymbol{R}} = \frac{1}{2}{\boldsymbol{r}}_{\rm a}+\frac{1}{2}{\boldsymbol{r}}_{\rm b}, $

$ {\boldsymbol{r}} = {\boldsymbol{r}}_{\rm a}-{\boldsymbol{r}}_{\rm b}. $

相应的动量表达形式如下:

$ {\boldsymbol{P}} = {\boldsymbol{p}}_{\rm a}+{\boldsymbol{p}}_{\rm b} = -{\rm i}\delta_{R}, $

$ {\boldsymbol{p}} = \frac{1}{2}{\boldsymbol{p}}_{\rm a}-\frac{1}{2}{\boldsymbol{p}}_{\rm } = -{\rm i}\delta_{r }. $

在相对论重离子碰撞中, 电磁场的变化是非常快速的, 但是其定量的衰减速度, 不同的模型给出的结果相差数个量级, 对应的电场强度也是如此, 根据文献[9]的计算结果, 电场强度相比于磁场强度仍较小; 粲夸克偶素的产生也是一个时间尺度非常短的强相互作用过程^[10]. 在本文的研究中, 假设后者的时间尺度短于前者, 因此在计算束缚态时可以将磁场近似看成是恒定磁场. 现在规定矢量势$ {\boldsymbol{A}} = \dfrac{1}{2}{\boldsymbol B}\times {\boldsymbol{r}} $, 两个夸克的带电量为$ q_{\rm a} = -q_{\rm b} = q $. 在这个情况下, 可以得出:

$ \begin{split} &\frac{\left ( {\boldsymbol{p}}_{\rm a}-q_{\rm a}{\boldsymbol{A}}_{\rm a} \right )^{2}}{2m_{\rm q}}+\frac{\left ({\boldsymbol{p}}_{\rm b}-q_{\rm b}{\boldsymbol{A}}_{\rm b} \right )^{2}}{2m_{q}} \\ = \;& \frac{{\boldsymbol{P}}^{2}+\dfrac{1}{4}q^{2}({\boldsymbol{B}}\times {\boldsymbol{r}})^{2}-q({\boldsymbol{B}}\times {\boldsymbol{r}})\cdot {\boldsymbol{P}}}{4m_{\rm q}}\\ & +\frac{{\boldsymbol{p}}^{2}+\dfrac{1}{4}q^{2}({\boldsymbol{B}}\times {\boldsymbol{R}})^{2}-q({\boldsymbol{B}}\times {\boldsymbol{R}})\cdot {\boldsymbol{p}}}{m_{\rm q}}\\ \equiv\;& \frac{{\boldsymbol{P}}_{\rm kin}^{2}}{4m_{\rm q}}+\frac{{\boldsymbol{p}}^{\prime2}}{m_{\rm q}}. \end{split} $

此时, ${\boldsymbol{P}}_{\rm kin} = {\boldsymbol{P}}\!-\!\dfrac{1}{2}q{\boldsymbol{B}}\times {\boldsymbol{r}},~ {\boldsymbol{p'}} = {\boldsymbol{p}}\!-\!\dfrac{1}{2}q{\boldsymbol{B}}\times {\boldsymbol{R}}$, 因此有如下对易关系:

$ \left [ {\boldsymbol{P}}+\frac{1}{2}q{\boldsymbol{B}} \times {\boldsymbol{r}},{\boldsymbol{p}'} \right ] = 0\Rightarrow \left [ {\boldsymbol{P}}+\frac{1}{2}q{\boldsymbol{B}} \times {\boldsymbol{r}},{\boldsymbol{H}} \right ] = 0. $

因此, 动量$ {{\boldsymbol{P}}_{{{\rm ps}}}} \!=\! {\boldsymbol{P}}\!+\!\dfrac{1}{2}q{\boldsymbol{B}} \times {\boldsymbol{r}} \!=\! {{\boldsymbol{P}}_{{{\rm kin}}}}\!+\!q{\boldsymbol{B}} \times {\boldsymbol{r}} $是守恒量. 此外, 通过分离波函数中的R能发现:

$ \varPsi ({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}}) = {\rm e}^{{\rm i}\left( {{\boldsymbol{P}}_{\rm ps}-\frac{1}{2}q{\boldsymbol{B}} \times {\boldsymbol{r}}} \right)\cdot R}\,\psi ({\boldsymbol{r}}), $

$ {\boldsymbol{p}'}\varPsi({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}}) = {\rm e}^{{\rm i}\left( {{\boldsymbol{P}}_{\rm ps}-\frac{1}{2}q{\boldsymbol{B}} \times {\boldsymbol{r}}} \right)\cdot R}{\boldsymbol{p}}\,\psi ({\boldsymbol{r}}), $

$ {\boldsymbol{p}'}^{2}\varPsi ({\boldsymbol{R}},{\boldsymbol{r}}) = {\rm e}^{{\rm i}\left( {{\boldsymbol{P}}_{\rm ps}-\frac{1}{2}q{\boldsymbol{B}} \times {\boldsymbol{r}}} \right)\cdot R}\,{\boldsymbol{p}}^{2}\psi ({\boldsymbol{r}}). $

最后, 稳恒磁场中的薛定谔方程可以简化为^[11]:

$\begin{split} & \bigg[{{\boldsymbol{p}}^{2}}+m_{\rm q}V-q({\boldsymbol{S}}_{\rm a}-{\boldsymbol{S}}_{\rm b})\cdot {\boldsymbol{B}}\bigg.\\ & \bigg.+\frac{-2q{\boldsymbol{P}}_{\rm ps}\times{\boldsymbol{B}}\cdot{\boldsymbol{r}}+q^{2}({{\boldsymbol{B}}\times{\boldsymbol{r}}})^{2}}{4} \bigg]\psi({\boldsymbol{r}}) \\ =\; & \left [ m_{\rm q}E-2m_{\rm q}^{2}-\frac{{\boldsymbol{P}}_{\rm ps}^{2}}{4} \right ]\psi({\boldsymbol{r}}).\end{split}$

此时能量E对应哈密顿算符的本征态, $ m_{\rm q} $包含两体相互作用能和磁场中的塞曼能, 以及其他磁场的贡献. 磁场的影响包括以下三项: 第一项是$ -\dfrac{q}{m_{\rm q}}({\boldsymbol{S}}_{\rm a}-{\boldsymbol{S}}_{\rm b})\cdot{\boldsymbol{B}} $, 它是由夸克的自旋和磁场的相互作用引起的, 因此称为自旋磁场相互作用项; 第二项是$ -\dfrac{q}{2 m_{\rm q}}{\boldsymbol{P}}_{\rm ps}\times{\boldsymbol{B}}\cdot{\boldsymbol{r}} = \dfrac{qBP_{{\rm ps}, \perp }}{2 m_{\rm q}}r{\rm {sin}}\theta {\rm {sin}}{\varphi } $, 它是由Lorentz力引起的, 因此称为Lorentz项; 第三项是$ \dfrac{{q}^{2}}{4 m_{\rm q}}({\boldsymbol{B}}\times{\boldsymbol{r}})^{2} $, 该项在垂直于磁场方向附加了一个额外的势的约束, 称为约束项. 这里, $ P_{{\rm ps}, \perp } $表示$ {\boldsymbol{P}}_{\rm ps} $的投影垂直于磁场B, 即x-y平面. 为了简化, 选取$ P_{{\rm ps}, \perp } $的方向作为x轴, 有$ \left \langle {\boldsymbol{P}}_{\rm kin} \right \rangle = {\boldsymbol{P}}_{\rm ps}+ $$ qB\left \langle y \right \rangle e_{x} $^[12]. 这样定义了一个新的守恒动量$ {\boldsymbol{P}}_{\rm ps} $, 化简后的两体薛定谔方程只与两个粒子的相对坐标r有关, 而与它们的整体运动无关.

将波函数在轨道角动量和自旋角动量的共同本征态上展开, 一方面能将三维的数值计算进行简化, 另一方面能使不同轨道角动量的波函数的物理意义更加清晰. 将中心势与自旋-自旋相互作用势一起考虑^[13,14]:

$ V{r} = V_{\rm c}(r)+V_{\rm s}(r){{\boldsymbol{S}}_{{\rm{a}}}}\cdot{{\boldsymbol{S}}_{\rm{b}}}. $

自旋-自旋相互作用使得三重态和自旋三重态相互分离; 三重态中$ T^{0} $和$ S^{0} $相互耦合不再是H的本征态, $ T^{+} $和$ T^{-} $仍是H的本征态, 产生了不同自旋成分的混合, 例如$\eta _{\rm c}$和$ J/\psi $, 定义自旋态:

$ |T^+\rangle\equiv |1,1\rangle = |\uparrow\downarrow\rangle, $

$ |T^-\rangle\equiv |1,-1\rangle = |\downarrow\downarrow\rangle, $

$ |T^{0}\rangle\equiv |1,0\rangle = \dfrac{|\uparrow\downarrow\rangle+\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt2}, $

$ |S^{0}\rangle\equiv |0,0\rangle = \dfrac{|\uparrow\downarrow\rangle-\downarrow\uparrow\rangle}{\sqrt2}. $

这样就能得到如下结果:

$ {{\boldsymbol{S}}_{{\rm{a}}}}\cdot{{\boldsymbol{S}}_{\rm{b}}}|T^{\pm,0}\rangle = \frac{1}{4}|T^{\pm,0}\rangle, $

$ {{\boldsymbol{S}}_{{\rm{a}}}}\cdot{{\boldsymbol{S}}_{\rm{b}}}|S^{0}\rangle = -\frac{3}{4}|S^{0}\rangle, $

$ {\boldsymbol{B}}\cdot({{\boldsymbol{S}}_{{\rm{a}}}}-{{\boldsymbol{S}}_{\rm{b}}})|T^{\pm }\rangle = 0, $

$ {\boldsymbol{B}}\cdot({{\boldsymbol{S}}_{{\rm{a}}}}-{{\boldsymbol{S}}_{\rm{b}}})|T^{0}\rangle = B|S^{0}\rangle, $

$ {\boldsymbol{B}}\cdot({{\boldsymbol{S}}_{{\rm{a}}}}-{{\boldsymbol{S}}_{\rm{b}}})|S^{0 }\rangle = B|T^{0}\rangle. $

从上面的结果可以看出, $ S_{z} = \pm 1 $的三重态仍然是H的本征态, 而$ S_{z} = 0 $的三重态是自旋单态和三重态的混合态, 因此它不再是H的本征态. 此外, 其他的两项还会打破空间的旋转对称性, 并且能量的本征态不再是轨道角动量的本征态, 可以用球谐函数${\rm{Y}}_{l}^{m}(\theta, \varphi )$来描述^[15]. 此外, 波函数$ \psi ({\boldsymbol{r}}) $还包含了轨道角动量分量. 于是, 我们在自旋和球谐波函数的共同本征态上将波函数展开.

$ \phi^{t\pm }({\boldsymbol{r}}) \equiv \frac{1}{r}\psi ^{t\pm}({\boldsymbol{r}}) = \sum\limits_{l,m}a_{l,m}^{t\pm }\phi _{l,m}^{t\pm }(r) {\rm{Y}}_{l}^{m}(\theta,\varphi ), $

$\begin{split} \phi^{s0,t0 }({\boldsymbol{r}}) \equiv\;& \frac{1}{r}\psi ^{s0,t0}({\boldsymbol{r}}) = \sum\limits_{l,m}a_{l,m}^{t0 }\phi _{l,m}^{t0 }(r) {\rm{Y}}_{l}^{m}(\theta,\varphi )\\ & + \sum\limits_{l,m}a_{l,m}^{s0 }\phi _{l,m}^{s0 }(r) {\rm{Y}}_{l}^{m}(\theta,\varphi ).\\[-20pt] \end{split}$

通过应用微扰法找出磁场的势能导致的所有作用. 为了方便, 把薛定谔方程写成如下形式:

$ \begin{split} 0 =\; & \Bigg\{-\dfrac{1}{m_{\rm q}}\dfrac{{\rm d}^{2}}{{\rm d}r^{2}}+\left ( \dfrac{1}{m_{\rm q}}{\dfrac{\hat{L}^{2}}{r^{2}}}+V_{\rm c}+V_{\rm s} \right)\bigg.\\ & \bigg.+\left( \frac{qBP_{{\rm ps},\perp }}{2m_{\rm q}}y \right)+\left [ -\dfrac{qB}{m_{\rm q}}(S_{{\rm a}z}-S_{{\rm b}z}) \right ]\\ & -\left [ E-2m_{\rm q}-\dfrac{P_{\rm ps}^{2}}{4m_{\rm q}} \right]\Bigg\}\phi (r)\\ =\; & \left( -\dfrac{1}{m_{\rm q}}\dfrac{{\rm d}^{2}}{{\rm d}r^{2}}+V+V_{\rm L}+V_{\rm B}+V_{\rm S}-E_{\rm eff} \right)\phi (r). \end{split} $

选择Cornell势和格点理论中的自旋-自旋相互作用势作为中心势^[16],

$ V_{\rm c}(r) = -\frac{\alpha }{r}+\sigma r, $

$ V_{\rm s}(r) = \beta {\rm e}^{-\gamma r}{{\boldsymbol{S}}_{{\rm{a}}}}\cdot{{\boldsymbol{S}}_{\rm{b}}}. $

对于粲夸克参数, m_c = 1.29 GeV, σ = 0.174 GeV², α = 0.312, β = 1.982 GeV, γ = 2.06 GeV.
对于不同的l和m, 薛定谔方程在该表象中的矩阵元可以通过下面的方式得到. 球谐函数的表达形式为:

$ {\rm{Y}}_{l}^{m}(\theta,\varphi ) = (-1)^{m}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(\cos\theta ){\rm e}^{{\rm i}m\varphi }. $

利用Legendre多项式的正交关系和递推关系^[17,18]:

$ \int_{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)p_{{l}'}^{m}(x){\rm d}x = \frac{(l+m)!}{(l-m)!}\frac{2}{2l+1}\delta _{{l}{l}'}, $

$ (2l+1)(1-x^{2})^{1/2}P_{l}^{m}(x) = P_{l+1}^{m+1}(x)-P_{l-1}^{m+1}(x), $

$\begin{split} & (2l+1)(1-x^{2})^{1/2}P_{l}^{m}(x) \\ =\; & (l+m)(l+m-1)P_{l-1}^{m-1}(x)\\ &-(l-m+2)(l-m+1)P_{l+1}^{m-1}(x),\end{split}$

可以得到

$\begin{split} & \left\langle {\rm{Y}}_{{l}'}^{{m}'}\left|-\frac{1}{m_{\rm q}}\frac{{\rm{d}}^{2} }{{\rm{d}} r^{2}}\right|{\rm{Y}}_{l}^{m} \right\rangle = 0,\\ & \left\langle {\rm{Y}}_{{l}'}^{{m}'}\left|\frac{1}{m_{\rm q}}\frac{\hat {L}^{2}}{r^{2}}+V_{\rm s}/4+V_{\rm c}\right|{\rm{Y}}_{l}^{m} \right\rangle = \frac{1}{r^{2}m_{\rm q}}l\left(l+1\right)\delta _{{l}'{l}}\delta_{{m}'{m}}+\left(\frac{-\alpha }{r}+\sigma r+\frac{1}{4}\beta {\rm e}^{-\gamma r}\right)\delta _{{l}'{l}}\delta_{{m}'{m}},\\ & \left\langle {\rm{Y}}_{{l}'}^{{m}'}\left|\frac{-qB}{m_{\rm q}}\left(S_{{\rm a}z}-S_{{\rm b}z}\right)\right|{\rm{Y}}_{l}^{m} \right\rangle = \pm \left(\frac{-qB}{m_{\rm q}}\right)\delta _{{l}'{l}}\delta_{{m}'{m}},\\ & \left\langle {\rm{Y}}_{{l}'}^{{m}'}\left|\frac{qBP_{{\rm ps},\perp }}{2m_{\rm q}}y\right|{\rm{Y}}_{l}^{m} \right\rangle \!=\! \frac{qBP_{{\rm ps},\perp }}{2m_{\rm q}}r\left\{ \sqrt{\frac{(l \!+\! m\! +\! 2)(l \!+\! m\!+\! 1)}{(2l \!+\! 3)(2l\!+\! 1)}}\delta _{{l}'+1,l} -\sqrt{\frac{(l-m)(l-m-1)}{(2l-1)(2l+1)}}\delta _{l'-1,l} \right\}\frac{\rm i}{2}\delta_{m,m'+1},\\ & \left\langle {\rm{Y}}_{l'}^{m'}\left|\frac{q^{2}B^{2}}{4m_{\rm q}}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right|{\rm{Y}}_{l}^{m} \right\rangle = \frac{q^{2}B^{2}r^{2}}{4m_{\rm q}}\left(A^{\prime}-B^{\prime}-C^{\prime}\right)\delta_{m,m^{\prime}+1},\\ & A^{\prime} = \bigg [\frac{\left(l+m+2\right)\left(l+m+1\right)}{(2l+1)\left(2l+3\right)}+\frac{\left(l-m\right)\left(l-m-1\right)}{(2l+1)\left(2l-1\right)}\bigg]\delta _{ll^{\prime}},\\ & B^{\prime} = \frac{1}{2l-1}\sqrt{\frac{1}{\left(2l-3\right)(2l+1)}\left(l+m\right)\left(l+m-1\right)\left(l-m\right)\left(l-m-1\right)}\delta _{l'+1,l-1},\\ & C^{\prime} = \frac{1}{2l+3}\sqrt{\frac{1}{\left(2l+5\right)(2l+1)}{\left(l+m+2\right)\left(l+m+1\right)\left(l-m+2\right)\left(l-m+1\right)}}\delta _{l'-1,l+1}.\end{split} $

这里只给出矩阵$ l, m $的非对角项, 对角项$ l = l', m = m' $可以通过上式非常容易得到. 最终, 薛定谔方程可以化简为如下形式:

$ \left [ -\frac{{\rm{d}}^{2} }{{\rm{d}} r^{2}}+m_{\rm q}V_{\rm c}+\frac{1}{4}m_{\rm q}V_{\rm s}+\frac{1}{r^{2}}U+\frac{q^{2}B^{2}}{4}r^{2}V+\frac{qBP_{{\rm ps},\perp }}{2}rW-\lambda \right ]\phi^{\pm} (r) = 0, $

$ \left [ -\frac{{\rm{d}}^{2} }{{\rm{d}} r^{2}}+m_{\rm q}V_{\rm c}+\frac{1}{4}m_{\rm q}V_{\rm s}+\frac{1}{r^{2}}U+\frac{q^{2}B^{2}}{4}r^{2}V+\frac{qBP_{{\rm ps},\perp }}{2}rW-\lambda \right ]\phi^{t0} (r)-qB\phi^{s0}(r) = 0, $

$ \left [ -\frac{{\rm{d}}^{2} }{{\rm{d}} r^{2}}+m_{\rm q}V_{\rm c}-\frac{3}{4}m_{\rm q}V_{\rm s}+\frac{1}{r^{2}}U+\frac{q^{2}B^{2}}{4}r^{2}V+\frac{qBP_{{\rm ps},\perp }}{2}rW-\lambda \right ]\phi^{s0} (r)-qB\phi^{t0}(r) = 0, $

这里, 矩阵U, V, W分别被定义为:

$ \lambda = m_{\rm q}E-2m_{\rm q}^{2}-P_{\rm ps}^{2}/4, $

$ {\boldsymbol{U}}_{({{l}^{'2}+l'+m'+1},{{l}^{2}+l+m+1})} = l(l+1)\delta _{l,l^{'}}\delta_{m,m^{'}}, $

$ {\boldsymbol{V}}_{({{l}^{'2}+l'+m'+1},{{l}^{2}+l+m+1})} = u_{l,m}\delta_{l,l^{'}}\delta_{m,m^{'}}-v_{l,m}\delta_{l+2,l^{'}}\delta_{m,m^{'}}-v_{l-2,m}\delta_{l-2,l^{'}}\delta_{m,m^{'}}, $

$ \begin{split} {\boldsymbol{W}}_{({{l}^{'2}+l'+m'+1},{{l}^{2}+l+m+1})} =\;& \omega_{l-1,-m-1}\delta_{l-1,l^{'}}\delta_{m+1,m^{'}}-\omega_{l,m}\delta_{l+1,l^{'}}\delta_{m+1,m{'}}\\ &+\omega_{l-1,-m-1}\delta_{l-1,l^{'}}\delta_{m-1,m^{'}}-\omega_{l,-m}\delta_{l+1,l^{'}}\delta_{m-1,m{'}}, \end{split} $

参数$ \lambda = m_{\rm q}E-2 m_{\rm q}^{2}-{\boldsymbol{P}}_{\rm ps}^{2}/4 $, $ u_{l, m} = \dfrac{2(l^{2}+l-1_m^{2})}{(2 l-1)(2 l+3)} $, $ v_{l, m} = \dfrac{1}{2 l+3} \dfrac{\sqrt{((l+1)^{2}-m^{2})((l+2)^{2}-m^{2})}}{\sqrt{(2 l+1)(2 l+5)}} $, $\omega_{l, m} = \dfrac{\sqrt{(l+m+1)(l+m+2)}}{2 {\rm{i}}\sqrt{(2 l+1)(2 l+3)}}$.

这样, 就将一个三维薛定谔方程转化为一维的薛定谔方程, 能够求解它的本征函数和本征值. 在计算过程中要注意轨道角量子数l的截断, l要选取得足够大, 以至于$ a_{l, m} $的影响能够忽略^[19,20]. 此时的问题已经可以直接数值求解, 然而为了较为精确地求解径向微分方程, 离散化之后的格点数需要在$ 10^3 $—$ 10^4 $之间, 由于我们需要计算不同磁场强度以及$ {\boldsymbol{P}}_{\rm ps} $下的方程, 这样的计算仍显得较为繁琐. 为了进一步简化, 我们将径向波函数用无磁场的能量本征函数进行展开,

$ \phi^{\rm s}_{l,m}(r) = \sum\limits_n c^{\rm s}_{n,l,m}\phi^{\rm s}_{n,l}(r), $

此处s指代自旋指标. 注意到在无磁场时, 哈密顿量对m量子数是简并的, 因此径向本征函数不依赖于m. 由此, 最终可以将哈密顿量化为如下矩阵形式:

$ H_{nn'll'mm'}^{\rm +ss'} = \langle\phi^{\rm s'}_{n',l'}{\rm{Y}}_{l'}^{m'}|H|\phi^{\rm s}_{n,l}{\rm{Y}}_l^m\rangle. $

此时哈密顿矩阵的维度视求解的自旋态不同, 为$n(l \!+\! 1)^2$或$2 n(l \!+\! 1)^2$. 在实际计算中发现, 取$ n\leqslant 2 $, $ l\leqslant 7 $已经能够很好地满足计算精度. 因此矩阵维度在10²量级. 进一步, 注意到

$ H = H_0+(qB)^2 H_1+qBP_{{\rm ps},\perp} H_2, $

其中$ H_0 $, $ H_1 $, $ H_2 $均不依赖于B和$P_{{\rm ps}, \perp}$. 因此, 只要计算出$ H_0 $, $ H_1 $和$ H_2 $就可以得到任意B和$P_{{{\rm ps}, \perp}}$下的哈密顿量.

最终的数值计算流程可以总结如下:
1) 在无磁场的情况下使用有限差分方法计算能量本征值$ E_{n, l} $和本征函数$ \phi_{n, l} $^[21];
2) 利用$ E_{n, l} $和$ \phi_{n, l} $, 计算$ H_0 $, $ H_1 $和$ H_2 $的矩阵表示;
3) 选定不同的B和$ P_{{\rm ps}, \perp} $, 利用(6)式给出完整哈密顿量的矩阵形式, 并数值求解本征值和本征函数.
因此, 具体的数值任务就是求解矩阵的本征值问题, 由于我们只关注最低的几个本征能量和本征态, 利用逆幂方法可以很好地实现这个目标, 对于任意一个非简并的本征态有

$ \hat{H} \psi_{k} = \lambda _{k}\psi_{k}, $

这里$ \psi_{k} $构成一组正交归一完备集, $ \lambda _{k} $则是每一个波函数对应的本征值. 在等式两边分别减去一个特征值$ \tilde{\lambda} $, 并对其取逆次幂, 则有

$ (\hat{H}-\tilde{\lambda})^{-n}\psi _{k} = (\lambda_{k}-\tilde{\lambda})^{-n} \psi _{k}. $

对于任意一个波函数ψ, 均可以在$ \psi_{k} $的完备集上将其展开:

$ \psi = \sum\limits_{k}c_{k} \psi_{k}. $

代入(43)式有

$ (\hat{H}-\tilde{\lambda})^{-n}\psi = \sum\limits_{k} (\lambda_{k}-\tilde{\lambda})^{n} c_{k} \psi_{k}. $

如果满足$\big | \tilde{\lambda}-\lambda _{i} \big | < \big | \tilde{\lambda}-\lambda _{j\neq {i}} \big |$和$ c_{i}\neq{0} $, 即当本征态$ \psi_{i} $对应的本征值比其他所有的本征态对应的本征值更接近$ \tilde{\lambda} $时, 并且展开系数$ c_{i}\neq{0} $时, 在n趋近无穷的时候有:

$ \lim\limits_{n\rightarrow {\infty} }\frac{(\hat{H}-\tilde{\lambda})^{-n} \psi}{||(\hat{H}-\tilde{\lambda})^{-n}\psi||} = \psi _{i}. $

通过这个方法不仅可以得到H的基态波函数, 也可以通过改变$ \tilde{\lambda} $的值, 得到其不同激发态的波函数, 以及不同态对应的本征值. 对于薛定谔方程(34)式—(36)式, 在离散坐标空间中, 微分$ \dfrac{{\rm d}^{2}} {{\rm d}r^{2}}\psi $能够写成$ \dfrac{\psi(r+h)+ \psi(r-h)-2 \psi(r)}{h^{2}} $的形式, 其他的项也可以写成矩阵的形式. 因此哈密顿算符$ \hat{H} $能够写成矩阵的形式, 它的逆矩阵也很好得出, 可以使用逆幂算法.

本文首先验证了对于角量子数的阶段是否合理, 选取了$ l\leqslant 7 $, 图1分别给出了$ qB = 10 m_{\pi}^{2} $, $P_{\rm kin} = 1\; {\rm GeV}$, 在$ l = 7 $和$ l = 6 $两种情况下求解基态本征波函数. 图中红色曲线是$ l = 6 $的波函数, 蓝色是$ l = 7 $的波函数, 可以看出, 两种情况下的本征态基本重合在一起, 即波函数(25)式和(26)式中的展开系数$ a_{l, m} $在$ l = 7 $的时候趋近于零, 所以在计算过程中选取l截断到7是完全合理的. 由于图1中的两条曲线完全重合, 因此定义参数$A = $$ \displaystyle\int_{-\infty }^{\infty} \left ( \psi _{l = 6} - \psi _{l = 7} \right )^2 r^2 {\rm d}r$, 计算$A = 8.79481052^{-13}$, 其他的物理量的变化与图1中的变化相似.
图 1 $qB=10 m_{\pi}^{2}$, $P_{\rm kin}=1\; {\rm GeV}$时$l=7$和$l=6$的本征态
Figure1. The eigenstates of $l=7$ and $l=6$ at $qB=10 m_{\pi}^{2}$ and $P_{\rm kin}=1 \; {\rm GeV}$

图2给出了磁场基态波函数对质量和极化动量的依赖性. 对于粲偶素而言, 随着介子动量的不断增加, 洛仑兹力也不断增大, 将夸克拉扯得更大. 同时介子的质量$ m_{\rm q} $也会随着总动量的增加而不断变大, 这个增加的效应会在磁场越大的时候愈发明显. 当磁场强度$ eB = 20 m_{\pi}^{2} $, $ P_{\rm kin} = 1.8\; {\rm GeV} $时, 介子的质量增加了$ 1/5 $. 而对于磁场较弱或者$ P_{\rm kin} $较小的情况, 质量的增加量则有所减小. 这样一个非平庸的色散关系将会有一些非常有趣的物理后果. 例如, 一些在一般情况下由于能动量守恒而被禁戒的衰变模式, 如$ J/\psi\to J/\psi\gamma\gamma $, 在磁场中就有可能发生, 如果能够用类似的方法进一步研究D介子的能谱, 也可以探讨$ J/\psi\to D\bar{D} $的可能性.
图 2 $qB=0 m_{\pi}^{2}$(红色), $qB=5 m_{\pi}^{2}$(蓝色), $qB=10 m_{\pi}^{2}$(黑色), $qB=15 m_{\pi}^{2}$(橙色), $qB=20 m_{\pi}^{2}$(绿色)下, $J/\psi^{}$粒子的质量随$\langle P_{{\rm kin}, \perp}\rangle$的变化图像
Figure2. The momentum $\langle P_{{\rm kin}, \perp}\rangle$ dependence of mass m and electric dipole moment $q \langle y \rangle$ for $J/\psi^{\pm}$ in magnet field with $qB = 0$(dashed black), 5(red), 10 (blue), 15 (violet) and 20 (orange)$m_{\pi}^{2}$

利用薛定谔方程研究磁场中的粲偶素本征态. 通过将波函数及哈密顿量在无磁场的能量本征态上展开, 能在大大减少计算量的同时保证结论的有效性. 通过逆幂算法能够求解薛定谔方程, 得到不同磁场和不同总动量情况下的本征态与本征值, 计算结果表明随着磁场和总动量的增加, 粲偶素的质量增大, 逐渐增大的Lorentz力会使得粲偶素的体积增加. 当外磁场强度为零时, 增加总动量$ P_{\rm kin} $不会改变粲偶素的质量, 而在外磁场强度越大的情况下, 随着总动量$ P_{\rm kin} $增加, 粲偶素质量的增加量会成指数级增大. 在$ B = 20 m_{\pi}^{2}, \;P_{\rm kin} = 1.8\; {\rm GeV} $时, 质量增加了约20%.
感谢马治民在编程方面给予的帮助.