摘要:连续变量量子态的制备与操控是进行量子通信、量子密钥分发以及量子网络构建的重要基础. 本文基于二阶非线性过程, 利用周期极化磷酸氧钛钾晶体构成的简并光学参量放大腔, 在实验上实现了1064 nm波段明亮压缩态光场的制备, 所制备的明亮压缩态光场在泵浦光功率为310 mW、分析频率为3 MHz处的压缩度为–11.6 dB. 当注入50 mW泵浦光时, 实现了压缩度为–6 dB, 纯度为98.5%的压缩态光场; 在此基础上, 利用光电调制器进行明亮压缩态光场的线性光学操控, 并基于平衡零拍探测系统的直流信号准确判断压缩态光场时域信号对应的相位, 之后结合极大似然估计算法实现压缩态的量子层析, 得到量子态的密度矩阵及相空间的Wigner函数, 从而获得量子态的光子数分布等全部信息.
关键词: 明亮压缩态/
量子层析/
Wigner函数/
极大似然估计/
线性操控

English Abstract

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连续变量压缩态光场的概念最初是由Schr?dinger^[1], Kennard^[2]以及Darwin^[3]在20世纪20年代提出, 但是直到1985年才在实验上成功制备^[4]. 压缩态光场具有在某一特定分量上突破量子噪声极限的特性^[5], 根据是否具有相干成分, 可以把压缩态光场分为压缩真空态光场和明亮压缩态光场. 在1981年, Caves^[6]在理论上提出通过利用压缩真空态光场填补激光干涉引力波测量仪的真空通道来提升引力波探测灵敏度的研究方案; 在2019年, 欧洲的研究小组将–10 dB的压缩真空态光场注入到激光干涉引力波探测器Virgo上, 最终实现了压缩真空态光场增强引力波探测灵敏度3.2 dB的提升, 随后利用此方案来操纵重量为42 kg的反射镜上的量子反作用力, 并观察到对应的量子噪声引起的位移频率为30—70 Hz^[7,8]; 此外, 压缩真空态光场还被运用到连续变量量子纠缠态光场制备^[9]、量子离物传态^[10]、量子信息^[11]以及量子增强光谱探测^[12]等量子信息前沿科学的研究. 然而, 由于明亮压缩态光场所具有的相干成分要远比压缩真空态光场大, 甚至可达百微瓦量级^[13], 所以其在量子密钥分发^[14]、量子密集编码^[15]、量子雷达^[16]以及量子传感与追踪^[17]等方面有着重要应用.
对于压缩态光场的制备, 基于二阶非线性相互作用进行参量下转换过程^[18-20]以及基于三阶非线性相互作用的四波混频过程^[21]是目前通用的制备压缩态光场的方法. 通常在原子系综中利用四波混频过程产生连续变量压缩态或者纠缠态光场, 其波长与原子吸收谱线对应, 可以很好地应用在轨道角动量操控^[22]以及量子存储操控等领域. 然而, 利用腔增强非线性相互作用进行参量下转换过程是最有效的压缩态光场制备方案. 基于此方法制备高压缩度压缩态光场的关键是减小压缩光产生、传输、探测过程中的损耗的相位噪声. 随着损耗的不断减小和相位锁定技术的不断改进, 压缩度逐渐提高^[13,19,23], 最终达到–15 dB^[24]. 半整块腔型作为目前最有效的光学参量下转换腔型之一, 具有损耗小、结构稳定等优点, 是实现高压缩度1064 nm压缩态光源的常用腔型^[15]. 当同频种子光注入腔中, 参与参量下转换过程, 最终将产生具有一定相干成分的明亮压缩态光场; 同时, 光学参量振荡腔反射的种子光通过隔离器反射后可以用于锁定光学参量振荡腔的腔长以及种子光和泵浦光之间的相对相位; 此外, 明亮压缩态光场可以和本地振荡光场进行干涉耦合, 方便实现正交分量探测^[25,26]; 在没有同频种子光注入时则需要制备移频辅助光进行上述锁定与探测^[26], 这也是制备压缩真空态光场和明亮压缩态光场最大的区别, 所以明亮压缩态光场在制备、探测以及应用方面具有独特的优势.
对于压缩态光场的探测, 传统方法是通过频谱分析仪进行噪声方差的测量, 利用频谱分析仪的滤波和噪声分析等过程将时域信号转化为频域信号, 得到特定频率或者一定频率带宽内的噪声特性. 然而频谱分析无法获取量子态密度矩阵、光子数分布、平均光子数以及相空间Wigner函数等量子态的重要信息. 量子层析技术是通过采集平衡零拍探测系统(BHD)输出的时域信号, 计算出量子态边缘概率分布函数, 进而得到量子态密度矩阵及相空间Wigner函数, 从而获取量子态的全部信息^[27,28]. 目前常用的量子层析技术有两种, 分别为逆Radon变换算法^[29,30]和极大似然估计算法^[31,32]. 逆Radon变换算法的理论提出时间较早, 但不能排除探测系统量子效率低的影响; 极大似然估计算法通过多次迭代, 避免了上述问题, 最终得到与待测量子态最为接近的密度矩阵, 所得到的结果也更符合物理实际. 此外, 这两种算法都需要首先测量被测量子态与本地振荡光场在相对相位为0—2π之间的时域噪声分布数据, 进而才能得到不同相位下的边缘概率分布函数. 在目前一些压缩真空态光场的量子层析实验中^[33,34], 由于无相干成分, 故无法获取相应时域信号所对应的相位, 而是人为地给采集的时域信号均匀指定相位, 之后进行量子层析, 这种方法对于压电陶瓷扫描的均匀性要求很高, 存在一定的人为不确定性.
本文采用半整块腔型结构, 利用周期极化磷酸氧钛钾(PPKTP)晶体作为非线性介质, 通过腔增强参量下转换过程, 在同频种子光注入情况下, 锁定光学参量放大腔以及泵浦光与种子光之间的相对相位, 在泵浦光功率为310 mW时, 实验制备了–11.6 dB的明亮压缩态光场; 当泵浦光功率为50 mW时, 所制备压缩态光场的纯度为98.5%且压缩度为–6 dB, 此时利用光电位相调制器进行线性光学平移操控, 模拟操控相位信息, 进而利用高增益BHD测量操控前后量子态的时域信号, 通过BHD的直流信号精确获取时域信号对应的相位, 最后利用极大似然估计算法实现所测量明亮压缩态光场的量子层析, 得到明亮压缩态光场的密度矩阵及相空间的Wigner函数并获得量子态的光子数分布等全部信息.

极大似然估计算法是目前被广泛应用的量子层析技术之一^[31,32], 其经过迭代算法寻找与所测量量子态最匹配的密度矩阵, 量子层析结果更为精确. 目前已经利用这种方法实现了压缩态^[35,36]、单光子Fock态^[37]、光学热态^[38]、双光子Fock态^[39]等多种量子态的层析. 下面详细介绍极大似然估计算法的过程, 首先考虑一个待测量量子态$\left| \varphi \right\rangle $, 其在本地振荡光相对相位为${\theta _i}$时, BHD测量结果为${x_i}$出现的频率为${f_i}$, 可记录为$({\theta _i}, {x_i}, {f_i})$, 若总测量点数为N, 则测量结果中出现${x_i}$的次数为${n_i} = N \cdot {f_i}$. 定义量子态$\left| \varphi \right\rangle $的密度矩阵ρ的似然度$L({\boldsymbol{\rho}} )$为

$L({\boldsymbol{\rho}} ) = {\hat\varPi}_i {\left[ {P({\theta _i},{x_i})} \right]^{{f_i}}},$

其中, $P({\theta _i}, {x_i}) = \left\langle {{x_i}} \right|{\boldsymbol{\rho}} \left| {{x_i}} \right\rangle = {\rm{tr}}[\hat \varPi \left( {{\theta _i}, {x_i}} \right){\boldsymbol{\rho}} ]$, 是BHD探测结果的边缘分布; $\hat \varPi \left( {\theta, x} \right){{ = }}\left| {\theta, x} \right\rangle \left\langle {\theta, x} \right|$是BHD探测结果的投影算符.
对于波函数为$\left\langle {n|\theta, x} \right\rangle \!=\! {{\rm{e}}^{{\rm{i}}n\theta }}\dfrac{1}{{{\sqrt {\text{π}} {2^n}n!}}} {H_n} (x){{\rm{e}}^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}$ (其中$H(n)$为第n阶厄密多项式)的光子数态表象, 其投影算符的每个矩阵元${\varPi _{nm}}$为

${\varPi _{nm}} = \big\langle {n\big| {\hat \varPi ({\theta,x})}\big|m} \big\rangle = \left\langle {n\mid \theta,x} \right\rangle \left\langle {\theta,x\mid m} \right\rangle ,$

其中, n和m均为光子数.
由于平衡零拍探测结果为连续变量, 导致上述计算十分庞大, 因此需要进行一定的限制和近似, 即把上述连续的相对相位θ等分成5000份, 使得${f_i}$的值只为0或1. 此外, 引入一个迭代算符:

$\hat R(\boldsymbol \rho) = \sum\limits_i \frac{{\hat \varPi} (\theta _i,x_i)}{{P(\theta_i,x_i)}}. $

假设系统的初始密度矩阵为${{\boldsymbol{\rho}} ^{(0)}} = N[\hat 1]$, 其中N是归一化因子, 然后将迭代算符左乘/右乘密度矩阵, 再进行归一化. 经过多次反复的迭代后得到最接近真实系统的密度矩阵, 且迭代的次数越多, 得到的密度矩阵越接近真实的密度矩阵:

${{\boldsymbol{\rho}} ^{\left( {k + 1} \right)}} = N[\hat R({{\boldsymbol{\rho}} ^{\left( k \right)}}){{\boldsymbol{\rho}} ^{\left( k \right)}}\hat R({{\boldsymbol{\rho}} ^{\left( k \right)}})],$

此时, BHD测量结果为${x_i}$出现的频率${f_i}$与BHD探测结果的边缘分布$P({\theta _i}, {x_i})$成正比, 即${f_i}\! \propto\! P({\theta _i}, {x_i})$, 且$\displaystyle\sum\nolimits_i {{\hat\varPi}_i } \left( {{\theta _i}, {x_i}} \right) \! \propto\! \hat 1$, 最终导致$\hat R({\boldsymbol{\rho}} ) \! \propto\! \hat 1$, 因此任何算符再进行迭代均保持不变, 即$\hat R({{\boldsymbol{\rho}} _0}){{\boldsymbol{\rho}} _0}\hat R({{\boldsymbol{\rho}} _0}) \! \propto\! {{\boldsymbol{\rho}} _0}.$ 所以在进行量子态Wigner函数重构时, 所需的实验数据必须对应正确的相位, 才能保证基于极大似然估计算法的量子层析过程的正确性.

实验装置图如图1所示, 采用自主研发的1064 nm全固态连续单频激光器作为实验光源, 其输出功率可达2.5 W. 主激光首先通过一个隔离器(FI1), 防止从下游光路返回的激光影响激光器工作, 之后经过光电调制器(EOM1)调制后入射到第一个模式清洁器(MC1)中进行光学滤噪以及偏振过滤. EOM1的调制频率为52.6 MHz, 用于锁定MC1. 大部分MC1输出的1064 nm激光注入到倍频腔(SHG)中, 经过非线性转化制备532 nm激光^[40,41], 之后通过FI2以及532 nm MC后作为光学参量放大腔(OPA)的泵浦光; 其余1064 nm激光分为两路, 一路经过EOM2以及EOM3后作为种子光入射到OPA中, 其中EOM2的调制频率为32.6 MHz, OPA反射的激光通过FI3反射后入射到共振型探测器(PD2)进行OPA腔长及种子光和泵浦光相对相位的锁定; EOM3的调制频率为3 MHz, 用于进行压缩态光场线性平移操控. 另一路1064 nm激光再次经过MC2进行进一步降噪及空间模式优化, 之后作为本地振荡光场. 由于有种子光注入, 所以OPA制备的压缩态光场为明亮压缩态光场, 之后与本地振荡光在50∶50分束镜上干涉, 干涉效率为99.8%, 之后通过自主研发的BHD^[42,43]进行明亮压缩态光场的量子噪声探测.
图 1 实验装置图(SHG, 倍频腔; OPA, 光学参量放大腔; EOM, 光电调制器; MC, 模式清洁器; DBS, 双色镜; FI, 隔离器; PZT, 压电驱动器; PD, 光电探测器; BHD, 平衡零拍探测器; SA, 频谱分析仪; LPF, 低通滤波器; HPF, 高通滤波器)
Figure1. Experimental setup. SHG, second harmonic generation; OPA, optical parameter amplifier; EOM, electric-optic modular; MC, mode cleaner; DBS, dichroic beam splitter; FI, Faraday isolator; PZT, piezoe-lectric transducer; PD, photodetector; BHD, balance homodyne detector; SA, spectrum analyzer; LPF, low-pass filter; HPF, high-pass filter.

实验中采用标准PDH稳频技术进行锁定, 所使用的光电调制器均为自主研发的低剩余振幅调制器^[44], 其采用谐振电路设计, 可以在较低的调制驱动下得到较高的调制深度, 且具有极低水平的剩余振幅调制; 结合自主研发的共振型光电探测器^[45]进行微弱调制信号提取与解调, 并用于实验中各种腔长以及相位的锁定.
低损耗的OPA是制备高压缩度压缩态光场中的关键器件, 实验中采用的OPA是一个半整块腔, 由PZT驱动的凹面镜和尺寸为1 mm × 2 mm × 10 mm的PPKTP晶体组成. 晶体前端面为曲率半径为12 mm的凸面, 对基波具有高反射率(HR), 对于泵浦场具有高透射率, 用作腔端镜. 晶体的后端面为平面, 镀膜为基波和泵浦场的减反膜(AR). 曲率半径为30 mm的凹面镜作为输出耦合镜, 且对532 nm激光高反, 对1064 nm激光的透过率为18%. 晶体镀有减反膜的一面和输出耦合镜之间距离为27 mm, 即总腔长为37 mm.
BHD输出的信号分为直流信号和交流信号, 由于制备的明亮压缩态光场具有一定的相干振幅, 所以当扫描本地振荡光与压缩光之间的相对相位时, BHD输出的直流信号为较强的干涉信号, 可以用于测量明亮压缩态光场量子噪声对应的相位信息; BHD输出的交流信号包含压缩态的量子噪声信息, 传统测量方式是通过通用设备-频谱分析仪获取特定频率或者一定带宽的噪声谱信号, 然而这种测量方式无法获取量子态密度矩阵以及Wigner函数等概率分布, 量子层析技术可以很好地解决这些问题, 将平衡零拍探测器的交流信号先和特定分析频率的信号进行混频, 之后经过低通滤波以及高通滤波, 之后经过低噪前置放大器进行放大, 最后通过高性能示波器进行直流信号和量子噪声交流信号同时采集. 值得注意的是, 在利用光电位相调制器进行线性平移操控时, 所需的驱动信号和获取时域量子噪声信号所需的解调信号来自同一个信号源, 且需要让两个驱动信号为同频率同相位, 这样才能正确提取时域量子噪声信号^[5].

首先在不施加线性平移操控时, 利用频谱分析仪测量了明亮压缩态光场的压缩度, 实验结果如图2所示. 当OPA泵浦光功率为310 mW时, 在分析频率为3 MHz处, 明亮压缩态光场的压缩度为–11.6 dB, 反压缩为23 dB.
图 2 压缩和反压缩随泵浦功率的变化趋势图, 分析频率为3 MHz, 分辨率带宽(RBW)为300 kHz, 视频带宽(VBW) 200 Hz. 所有的数据点均包括探测器的电子学噪声的影响, 为直接测量结果
Figure2. Pump power dependence of anti-squeezed and squeezed quadrature variances. These measurements are recorded at a Fourier frequency of 3 MHz, with a resolution bandwidth (RBW) of 300 kHz and a video bandwidth (VBW) of 200 Hz. The data still include electronic noise, and represent direct observations.

利用索雷博功率计(Thorlabs S130 C)对每个泵浦光功率点进行10次测量, 并取平均值作为泵浦光功率, 但由于功率计存在 ± 3%的测量不确定度, 故图2中泵浦光功率越高, 测量误差越大, 横坐标误差棒相应变大; 此外, 随着泵浦光功率增加, 反压缩分量量子噪声方差急剧增加以及晶体非线性损耗增加, 致使锁定并测量反压缩分量时, 相位抖动要比测量压缩分量时要大, 导致反压缩分量误差棒大于压缩分量误差棒.
然而, 在泵浦光功率较大时, 虽然所制备压缩态的压缩度较大, 但此时反压缩分量噪声也较大, 其量子态纯度较低, 这样的量子态无法实现猫态、混合量子纠缠态以及幺正变换. 所以本文选取泵浦光功率为50 mW进行明亮压缩态光场的线性操控以及量子层析, 此时压缩度为–6 dB, 反压缩为6.13 dB, 纯度为98.5%.
紧接着利用示波器同时采集平衡零拍探测器输出的直流信号(图3(a)和图3(c)中黑色曲线)和解调出来的正交分量量子噪声分布交流信号(图3(a)和图3(c)中蓝色数据点), 值得注意的是图3(a)和图3(c)中蓝色数据点已经以量子噪声极限时域信号进行了归一化处理. 通过在EOM3上施加频率为3 MHz的正弦信号, 其调制深度远小于1, 进行压缩态光场线性平移操控, 由于是相位调制, 所以在相空间中是相位分量上的平移. 此时, 需要调节同频解调信号的相位使得相对相位为零, 之后通过示波器同时进行直流信号和量子噪声交流信号采集, 从而得到进行线性平移操控后明亮压缩态光场的量子噪声信号, 实验结果如图3(c)所示.
图 3 (a), (b)未进行线性操控的明亮压缩态噪声时域测量结果及量子层析后对应的密度矩阵; (c), (d)进行线性操控后的明亮压缩态噪声时域测量结果及量子层析后对应的密度矩阵
Figure3. (a), (b) Time domain signal and corresponding density matrix of bright squeezed state before linearly manipulating, respectively; (c), (d) time domain signal and corresponding density matrix of linearly manipulated bright squeezed state, respectively.

从图3(a)和图3(c)可以看出, 平衡零拍探测器直流信号实际是明亮压缩态光场与本地振荡光场之间的干涉信号, 干涉信号最大值或最小值对应压缩光和本地振荡光相对相位为0以及π的情况, 同时对应量子态正交振幅分量的量子噪声; 干涉信号曲线值为0, 则对应压缩光和本地振荡光相对相位为π/2以及3π/2的情况, 同时对应量子态正交位相分量的量子噪声. 此外, 从图3可知, 由于压电陶瓷伸缩量不均匀会导致扫描相位不均匀, 也就是说采集的量子噪声时域信号对应的相位关系不是均匀的, 如果采取均匀分配相位进行量子层析必将引入一定的人为误差; 然而, 通过采用直流信号幅值反推出相位信息则可以避免这一误差, 使得测量结果更具普适性和准确性.
紧接着选取出时域信号在一个完整周期(0—2π)的数据, 并拟合出直流干涉信号对应的函数以及通过反三角函数就可以算出量子噪声信号对应的相位. 之后, 通过极大似然估计算法得到对应时域数据的密度矩阵, 图3(b)和图3(d)分别为计算线性平移操控前后通过时域数据得到的密度矩阵的实部图. 在理论上, 由参量下转化过程制备的压缩态光场为偶光子数态, 然而, 实际实验中由于系统损耗和不完美的探测器量子效率等因素会导致奇光子数态的出现^[46]. 密度矩阵的对角元代表Fock态下光子数分布概率, 线性操控光学前后明亮压缩态光场在3 MHz分析边带的光子数分布概率如图4(a)和图4(b)所示.
图 4 明亮压缩态光场在3 MHz分析边带的光子数分布概率　(a)线性操控光学前; (b)线性操控光学后
Figure4. Photon number distribution of the bright squeezed state at 3 MHz: (a) Before linearly manipulating optics; (b) after linearly manipulating optics.

Wigner 函数是量子态在相空间的一种准概率分布函数, 其与量子态密度矩阵的关系可表示为

$W(q,p) = {\rm{tr}}[{\boldsymbol{\rho}} \varDelta (q,p)],$

其中$\varDelta (q, p) = \exp [ - 2({\hat a^{\dagger} } - {\alpha ^*})(\hat a - \alpha )]/\pi $为Wigner算符, ${\hat a^{\dagger} }$和$\hat a$分别为光场的产生和湮灭算符, 相干态的幅度$\alpha = (q + {\rm i}p)/\sqrt 2$. 将极大似然估计重构得到的密度矩阵代入(5)式, 计算出对应的Wigner函数, 结果如图5所示. 图5(c)和图5(d)中红虚线为Wigner函数取最大值时对应的振幅分量(p)和位相分量(q)坐标, 用来直观地表征线性平移操控的效果; 黑色虚线圆是真空态的量子噪声起伏范围(半径为1的圆), 用于直观表征压缩态与真空态在相空间的分布. 作为对比, 将同一信号进行传统均匀相位分配方法进行量子层析过程, 实验结果如图5(e)以及图5(f)所示, 从实验结果可知, 当扫描相位近似为均匀扫描时, 利用均匀相位分配法才可以得到正确的量子层析结果, 然而实验环境中受压电陶瓷性能影响, 很难实现均匀扫描; 但是通过直流信号反推出相对相位则可以避免上述问题, 从而实现正确量子层析过程. 对于真空压缩态光场的量子层析过程, 也可以使用拍频信号反推出相对相位信息^[47].
图 5 (a), (c)从极大似然估计重构得到的无调制时的明亮压缩态Wigner函数和等高线图; (b), (d)从极大似然估计重构得到的光电相位调制器操控后的明亮压缩态Wigner 函数和等高线图; (e), (f)利用均匀相位分配法重构得到的无操控时以及操控后的明亮压缩态Wigner函数的等高线图
Figure5. (a), (c) Wigner function and the contour plot of the bright squeezed state obtained by maximum likelihood estimation without linearly manipulating optics, respectively; (b), (d) Wigner function and the contour plot of the squeezed state obtained by maximum likelihood estimation with linearly manipulating optics, respectively; (e), (f) Wigner functions of the bright squeezed state obtained by the method of artificially homogeneous phase distribution without or with linearly manipulating optics, respectively.

利用PPKTP晶体作为非线性晶体, 采用半整块腔型设计, 通过腔增强参量下转换过程制备明亮压缩态光场. 在有种子光注入参量振荡腔时, 通过自主研发的全套锁定环路进行参量振荡腔腔长以及种子光与泵浦光之间相对相位的锁定, 在泵浦光功率为310 mW时, 实验制备了–11.6 dB的明亮压缩态光场; 之后选择泵浦光功率为50 mW, 所制备的压缩态纯度较高, 并利用光电相位调制器进行压缩态光场操控, 实现相空间中压缩态光场的平移操控, 进而模拟调制相位信息. 通过采集平衡零拍探测系统的直流信号精确获取时域噪声信号对应的相位, 消除本地振荡光扫描不均匀引入的人为误差因素, 进而利用极大似然估计算法实现所测量明亮压缩态光场量子层析, 得到明亮压缩态光场的密度矩阵及相空间的Wigner函数并获得量子态的光子数分布等全部信息.