1.Collaborative Innovation Center of Suzhou Nano Science and Technology, School of Physical Science and Technology, Soochow University, Suzhou 215006, China 2.Shenzhen Fantwave Tech. Co., Ltd., Shenzhen 518000, China 3.National Laboratory of Solid State Microstructures, School of Physics, Collaborative Innovation Center of Advanced Microstructures, Nanjing University, Nanjing 210093, China
Fund Project:Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 11474212)
Received Date:09 February 2020
Accepted Date:11 March 2020
Available Online:12 May 2020
Published Online:05 August 2020
Abstract:Weyl semimetal has the massless and chiral low-energy electronic excitation charateristic, and its quasi-particle behavior can be described by Weyl equation, and may lead to appealing transport properties, such as Fermi arc surface state, negative magnetic resistance, chiral Landau level, etc. By analogous with Weyl semimetal, one has realized Weyl point degeneracy of electromagnetic wave in an ideal Weyl metamaterial. In this article, by breaking the mirror symmetry of the saddle-shaped meta-atom structure, we theoretically investigate chirality-dependent split and shift effect of Weyl point frequencies which would otherwise be identical. The frequency shift can be tuned by the symmetry-broken intensity. Finally, we study the Fermi arc surface state connecting two Weyl points on $\left\langle {001} \right\rangle $ crystal surface. Keywords:Weyl point/ Chiral/ frequency shift/ Fermi arc
在满足时间反演对称的理想外尔超构材料系统里[19], 超构原子被设计为马鞍形金属结构(如图1(a)), 具有磁电耦合的有效电磁参数. 来自于磁电耦合特性和D2d的结构对称性, 由超原子排列而成的近立方晶格体系展现满足时间反演对称性的最少数目(4个)的外尔点, 手性不同的两对外尔点分别位于动量空间的ΓM和ΓM' 方向, 具有相同的频率. 理想外尔点的实现来自于超构材料里电磁纵模能带和横模能带的双带简并(沿ΓM和ΓM' ), 它们的稳定性受到D2d操作中沿这些方向的二度旋转对称性${C}_{2}^{\prime}$C保护——电磁纵模和横模的二度旋转算符的本征值分别是+1和–1; 相同手性的外尔点的频率一致是沿z方向的C2对称性和时间反演对称性的结果; 不同手性的外尔点的同频特性受D2d操作中关于x-z面和y-z面的镜面对称性保护[19]. 因此, 为设计频率分离的外尔点, 将马鞍形结构进行一定程度的变形, 保持旋转对称性但破坏其镜面对称性, 如图1所示. 不过时间反演对称性的存在限制我们不能在频率上分离手性相同的外尔点. 为了清晰表达形变微扰, 在图1(a)里画出一个晶胞, 从中取一个z方向截面, 得到图1(b), $ {l}_{1} $与$ {l}_{2} $标记截面里对角线方向上两个圆柱的距离, 当$ {l}_{1} $ = $ {l}_{2} $, 四个圆柱在截面上的分布为正方形(即参考文献[19]里的结构); 然后, 沿$ {l}_{1} $方向把圆柱向内部挤压, 保持$ {l}_{2} $长度不变就可以得到一个菱形分布, 如图1(c)所示; 用$ {l}_{2} $方向上的菱形内角$ \theta $来标记不同程度的形变, 可以看到$ {l}_{1} $方向的挤压导致$ \theta < {90^ \circ }$, 而拉伸导致$ \theta > {90^ \circ }$, 正方形分布对应于$ \theta = {90^ \circ }$. 图 1 (a)马鞍形超构原子, 灰色阴影为z方向的截面; (b)?(d)圆柱在截面上的正方形分布到菱形分布的变化过程 Figure1. (a) Unit cell where the gray surface is a cut plane along z direction; (b)?(d) the process of changing the positions of four metallic rods from square to rhombus structure.
接下来计算形变之后的超构材料的能带结构. 在图2(a)所示的晶胞中, 晶格常数$ {a}_{x} $ = $ {a}_{y} $ = 3 mm, $ {a}_{z} $ = 4.5 mm, 金属圆柱的高度h = 4 mm, 直径$ {d}_{1} $ = 0.5 mm, 直径$ {d}_{2} $ = 1 mm, 金属连接线沿y方向的长度D = $ {d}_{1} $, 圆柱的菱形分布里对角线$ {l}_{1} $ = 1.70 mm, 对角线$ {l}_{2} $ = 2.12 mm, 对应角度$ \theta $ = 77.31°, 原胞里金属部分近似为没有损耗的完美电导体(PEC), 其余部分均为空气. 图2(b)是晶胞的第一布里渊区, $ {k}_{x} $和$ {k}_{y} $及$ {k}_{z} $代表布洛赫波矢(后文出现的数值已默认为被$ \text{π}/{a}_{x} $, $ {\text{π}/a}_{y} $, $ {\text{π}/a}_{z} $归一化的值), 蓝点和红点表示为不同手性的外尔点的位置. 图2(c)展示了通过CST数值仿真软件计算得到的能带结构, 蓝色阴影代表只有外尔点简并能带出现的频率区间, 简称带宽. 对比镜面对称保持的超构原子(图3(a)), 可以清晰看到不同手性的外尔点在频率轴上发生了分离, 沿Γ → M方向的外尔点发生蓝移, 沿Γ → M' 方向的外尔点发生红移, 两个外尔点出现的位置与频率分别为: $ {k}_{x} $ = $ {k}_{y} $ = 0.432, $ {k}_{z} $ = 0, $ {f}_{1} $ = 16.07 GHz和$ {k}_{x} $ = $ {-k}_{y} $ = 0.432, $ {k}_{z} $ = 0, $ {f}_{2} $ = 15.33 GHz, 可以看到, 不同手性外尔点在动量空间中的位置到Γ点的距离是一致的, 它们的频率存在一个0.7 GHz左右的分离. 由于形变后的超构原子依然保留D2d操作里C2 (沿z方向)和2$ {C}_{2}^{\prime} $C (分别沿ΓM方向和ΓM' 方向)的旋转对称性, 四个外尔点仍然出现在ΓM和ΓM' 对角线上. 也在四个简并点附近做了详细的数值计算, 确认了外尔点是稳定存在的. 图 2 (a)$ \theta $ = 77.31°的晶胞结构; (b)第一布里渊区示意图, 蓝色点和红色点代表不同手性的外尔点, 分布在$ {k}_{z} $ = 0的切面; (c)数值计算的能带结构, 蓝色阴影代表只有外尔点简并能带出现的频率区间 Figure2. (a) Unit cell where $ \theta $ = 77.31°; (b) the first Brillouin zone where blue dots and red dots represent, respectively, the Weyl points of different chirality; (c) the numerically calculated band structure, where shaded region denotes the frequency range with only Weyl degenerate bands appears.
图 3 (a)?(d) 不同$ \theta $角度下的能带结构, 分别对应$ \theta $ = 90°, 81.18°, 77.31°, 60°, 其中示意插图是超构原子的顶视图, 蓝色阴影代表只有外尔点简并能带出现的频率区间 Figure3. (a)?(d) Band structure with $ \theta $ = 90°, 81.18°, 77.31° and 60°, respectively. The inset is the top view of meta-atom, and the shaded region denotes the frequency range with only Weyl degenerate bands appears.
为了研究拓扑表面态, 在z方向设置了10层超胞结构用来模拟z方向有限厚度的样品, $ {z}_{\max} $和$ {z}_{\min} $表面定义为PEC ($ {z}_{\max} $和$ {z}_{\min} $分别表示计算模型在z方向的最大坐标和最小坐标), 距离超胞均为3 mm, x和y方向设为周期边界, 这样就构建出两个$\left\langle {001} \right\rangle $表面. 如果在周期边界条件里设定$ {k}_{x} $ = 0.432和$ {k}_{y}\in [-{1, 1}] $, 可以计算得到这个有限厚度的超胞结构的本征频率, 这些本征频率包括有限厚度引起的对$ {k}_{z} $求和的投影能带和$\left\langle {001} \right\rangle $表面态. 为了消除z方向有限厚度效应并减轻计算负担, 用一个晶胞来计算$ {k}_{x} $ = 0.432并沿$ {k}_{z} $方向投影的体能带结构, 整合两种方式的计算结果, 不但可以有效地改善超胞的有限厚度效应, 还可以方便地辨别位于体投影能带之外的表面态. 图4(a)给出了第一布里渊区里$ {k}_{x} $ = 0.432的切面, 图4(b)是单胞运算的体投影能带和有限厚度超胞运算的$\left\langle {001} \right\rangle $表面态. 因为$ {k}_{x} $ = 0.432的切面经过手性相反的外尔点, 因此图4(b)清楚地显示了它们在频率轴上的分离(15.33和16.07 GHz). 另外, 拓扑表面态也确定性地出现在带隙里并且把外尔点连接起来. 通过计算本征模式的电场分布确定了这些表面态出现的空间位置, 图4(b)的红色曲线表示在$ {z}_{\min} $端面的表面态, 蓝色曲线表示$ {{z}}_{\max} $端面的表面态, 图4(c)显示了几个代表性的电场分布图. 虽然在某些$ {k}_{y} $区间里表面态和体态融合在一起, 但表面色散曲线可以从$ {k}_{y} $ = –1一直延伸到$ {k}_{y} $ = 1, 这是理想外尔超构材料所具有的螺旋表面态的特征[19]. 图 4 (a) 第一布里渊区内两个切面示意图, 黄色平面代表$ {k}_{x} $ = 0.432的切面, 虚线代表两个切面的交线; (b) $ {k}_{x} $ = 0.432时的体投影能带(灰色曲线)和$\left\langle {001} \right\rangle $晶面的表面态(蓝色和红色曲线); (c) 相应的电场强度剖面图, 标记对应于(b)里的位置, 水平方向为z方向; (d) 第一布里渊区内两个切面示意图, 黄色平面代表$ {k}_{x}={k}_{y} $的切面, 虚线代表两个切面的交线; (e) Γ →M方向的体投影能带(灰色曲线)和$\left\langle {001} \right\rangle $晶面的表面态(桔色曲线); (f)相应的电场强度剖面图, 标记对应于(e)里的位置, 水平方向为z方向 Figure4. (a) Two cut planes in the first Brillouin zone where the yellow plane represents the plane of $ {k}_{x} $ = 0.432 and the dashed line denotes the intersecting line of two planes; (b) the projected bulk bands (grey curves) and the associated $\left\langle {001} \right\rangle $ surface state (blue and red curves) at $ {k}_{x} $ = 0.432; (c) the magnitude of E -fields of the eigenmodes for different marks in (b), where z axis is horizontal; (d) two cut planes in the first Brillouin zone where the yellow plane represents the plane of $ {k}_{x}={k}_{y} $ and the dashed line denotes the intersecting line of two planes; (e) the projected bulk bands (grey curves) and the associated $\left\langle {001} \right\rangle $ surface state (orange curves) along Γ → M; (f) the magnitude of E -fields of the eigenmodes for different marks in (e), where z axis is horizontal.
图 1 (a)马鞍形超构原子, 灰色阴影为z方向的截面; (b)?(d)圆柱在截面上的正方形分布到菱形分布的变化过程
图 2 (a)
图 3 (a)?(d) 不同
图 4 (a) 第一布里渊区内两个切面示意图, 黄色平面代表
