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--> --> --> -->2.1.大涡模拟
大涡模拟(large eddy simulation, LES)是介于直接数值模拟和雷诺平均方法之间的一种流体运动模拟方法, 其基本思想是通过精确求解某个尺度以上所有湍流尺度的运动, 以捕捉流场中出现的大尺度效应和拟序结构. 本文使用的LES程序是由上海交通大学航空航天学院刘洪教授课题组开发, 其可靠性和准确性已被多次验证[12,23,24], 此处不再对其进行介绍.图2是使用LES方法得到的超声速混合层流场, 它清晰展示了流场中不同空间尺寸的涡结构以及涡结构的生长过程, 从中能看到涡结构的生长是通过相邻两个涡结构的互相融合实现的[23]. 需要说明: 尽管LES计算时使用的是三维网格, 但考虑到研究的方便和各流向平面内的流场具有相似性, 本文以二维超声速混合层流场为研究对象. 如图2所示, 超声速混合层流场的几何尺寸为0.3 m (流向, x) × 0.048 m (纵向, y), 坐标原点(0, 0)也是混合层的源点; 随着流向距离的增加, 涡结构的空间尺寸也逐渐增加.
图 2 超声速混合层的涡量等值面
Figure2. The vorticity contour of a supersonic mixing layer simulated by LES.
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2.2.拉格朗日相干结构法
拉格朗日相干结构(Lagrangian coherent structures, LCS)法是一种流场后处理方法, 它与基于欧拉法的如Q准则作用相似, 用于展示流场中的流动结构. 与欧拉法不同的是, LCS是通过计算流场空间中粒子的运动轨迹来显示流场中流动结构的物质界面.通过计算流场的有限时间李雅普诺夫指数(finite-time Lyapunov exponent, FTLE)可获得流场的LCS. FTLE是一个标量, 它表征从t → t + T的一段时间内, 流场中某一流体质点和它周围流体质点运动轨迹之间的平均分离程度. FTLE的计算公式如下[25]:
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2.3.涡核位置提取方法
混合层流场中的涡结构在向下游移动的同时其自身也在进行着高速的旋转运动, 导致涡结构内部的流体往涡边界聚集, 使得涡核位置的流体密度较低而涡边界处的流体密度较高. 涡核位置提取方法就是基于这个物理实际, 采用光线追踪方法计算入射光线垂直穿越整个混合层流场的光程(optical path length, OPL). 由于每条光线的OPL与其在混合层流场中所历经的流体密度密切相关, OPL的大小就能够反映该条光线所历经流体的密度大小. 因此, 通过提取OPL分布上局部最小值所在的位置坐标就能获得各个涡结构涡核位置的信息, 该方法的具体介绍请参考文献[12,23].-->
3.1.涡结构的边界
从混合层流场的涡量等值面(见图2)能够看到流场中存在一系列不同空间尺寸的涡结构, 它们或独立“漂浮”在流场中, 或与周围的涡结构进行融合. 尽管从图2中能够辨识出每个涡结构的大致轮廓, 但较难准确地勾画出每个涡结构的边界. 为获得涡结构的边界, 使用2.2节提出的LCS法. 以图2中白色矩形框所标识的两个涡结构为例(见图3(a)), 通过计算它们所在区域的FTLE以获得该区域的李雅普诺夫指数场, 场中的脊线即表示该段流场中的LCS, 如图3(b)所示. 从所得到的LCS发现, 它能够较清晰地勾画出涡结构的边界, 但有时并不能给出一个封闭的涡边界; 给出的涡边界形状不是十分规整, 较难用一个简单的几何图形来描述. 因此, 在确定涡结构边界的过程中, 把混合层流场的LCS和其涡量等值面结合起来使用, 并用一个椭圆来近似表示涡结构的边界, 如图3(c)所示.图 3 涡边界椭圆模型的建立过程示意图 (a)两个涡结构; (b) LCS; (c)涡边界的椭圆模型
Figure3. Process of establishing an elliptic model for the vortex boundary: (a) Two vortices; (b) LCS; (c) elliptic model of vortex boundary
参数a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴, 同时也表征了涡结构在流向和纵向的空间尺寸. 为了定量化分析混合层流场中的涡结构在不同情况下的形状变化, 使用数学上椭圆扁率(记为e)的计算公式,
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3.2.涡核的位置坐标
涡核是涡结构内部的一个特殊位置, 它既是涡结构内部流体的密度最低点也是涡结构的中心. 对于所建立的涡结构边界椭圆模型而言, 涡核的位置也就是椭圆的中心点. 基于涡核位置提取方法, 获取涡核位置坐标(xc, yc)的过程如图4所示, 阐述如下: 在纵向(即y方向)布置光线垂直入射混合层流场, 使用光线追踪计算每条出射光线的OPL, 进而得到所有光线穿越混合层流场之后的OPL分布. 由于涡核的流体密度最低, 则经过涡核的出射光线的OPL最小, 即OPL最小值的流向坐标就是涡核位置所对应的流向坐标xc; 同理, 在流向(即x 方向)布置光线垂直入射混合层流场, 则所有出射光线的OPL分布中最小值的纵向坐标就是涡核位置所对应的纵向坐标 yc. 通过使用两次涡核位置提取方法, 最终获得涡核的位置坐标(xc, yc), 也即是涡结构椭圆模型的中心点坐标.图 4 计算涡核位置坐标的原理图
Figure4. Schematic of calculating position coordinates of a vortex core.
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3.3.涡结构内部流体的密度分布表示方法
涡结构的高速旋转使其内部流体往涡边界聚集, 即涡结构内部流体密度分布的总体特征是涡边界处的流体密度大, 而涡核处的流体密度小. 因此, 获取涡核至涡边界路径上的流体密度数据对揭示涡结构内部流体的密度分布特性至关重要.基于3.1节和3.2节获得的涡结构边界和涡核位置坐标, 从涡核到涡边界引出一系列射线, 如图5所示. 其中, 中间的红点表示涡核的位置, 是每条射线的起点; 射线Line 1和Line 7的长度即为涡边界椭圆模型的长半轴a, 射线Line 4和Line 10的长度即为涡边界椭圆模型的短半轴b; 其他各条射线的长度介于长半轴a和短半轴b之间. 此外, 每条射线之间的夹角都是30°, 即12条射线是从流向开始沿着逆时针方向均匀布置在整个涡结构内部.
图 5 基于涡边界和涡核位置的涡结构内部流体密度分布表示方法
Figure5. Method of representing fluid density distribution inside a vortex based on its boundary and core location.
沿着图5中的每条射线提取涡结构内部流体的密度数据, 经过数据处理得到反映涡结构内部流体密度随着离涡核的距离和相对涡核的方位等参数变化的曲线图, 用于分析涡结构内部流体的密度分布特性. 理论上来讲, 从涡核位置引出更多的射线并提取沿着它们的流体密度数据用于分析会更详细地反映涡结构内部流体的密度分布特性. 然而, 考虑到涡结构在几何上近似具有对称性, 而且图5中射线所在的位置已经涵盖了涡结构内部的典型位置, 因此通过对这12条射线上流体密度数据的提取和分析能够获得涡结构内部流体的密度分布特性.
序号 | 混合层入流速度/m·s–1 | T∞/K | P∞/kPa | ρ∞/kg·m–3 | Mc | |
上层流体(U1) | 下层流体(U2) | |||||
1 | 605.6 | 403.7 | 281 | 89.9 | 1.107 | 0.3 |
2 | 740.2 | 403.7 | 281 | 89.9 | 1.107 | 0.5 |
3 | 1009.3 | 403.7 | 281 | 89.9 | 1.107 | 0.9 |
表1超声速混合层的入流参数
Table1.Inflow parameters of three supersonic mixing layers.
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4.1.不同空间尺寸的涡结构
涡结构的空间尺寸是表征其几何特征的一个重要参数, 本节以不同空间尺寸的涡结构为对象, 研究涡结构空间尺寸变化对其内部流体密度分布的影响. 以Mc = 0.5的超声速混合层为例, 其某个瞬间的流场涡量等值面如图6(a)所示, 其中黑色虚线箭头表示两个涡结构互相围绕着高速旋转的融合状态. 从图6(a)看到, 尽管流场中各个涡结构的空间尺寸不同而且形态各异, 但它们可近似分为两类: 一类是单个涡结构自由“漂浮”状态, 如黑色虚线矩形框内的涡结构; 另一类是涡结构与其相邻涡结构互相围绕着高速旋转的融合状态.图 6 (a)对流马赫数0.5的超声速混合层; (b)涡结构 A; (c)涡结构B; (d)涡结构C
Figure6. (a)The supersonic mixing layer with Mc = 0.5; (b) Vortex A; (c) Vortex B; (d) Vortex C.
选取三个处于独立状态且空间尺寸不同的涡结构, 分别记为Vortex A、Vortex B和Vortex C, 局部放大如图6(b)—(d)所示. 其中, 黑色虚线表示的椭圆为LCS法和涡量等值面共同确定的涡结构边界. 各个涡结构的涡核位置坐标(xc, yc)由涡核位置提取方法获得. 这三个涡结构的相关几何参数列于表2, 从中发现: 涡结构的空间尺寸在随着流向距离的增加而增加的同时, 其扁率e也在逐渐增加. 这表明涡结构在生长的过程中, 其形状也在发生变化. 具体来说, 涡结构的扁率e由0.1844增加到0.5221, 即涡结构的形状变得越来越扁, 这表明涡结构在流向的生长速度要快于其在纵向的生长速度.
涡结构 | 中心点 | 长半轴a/m | 短半轴b/m | 扁率e | |
xc/m | yc/m | ||||
Vortex A | 0.1136 | –0.001762 | 0.003314 | 0.002703 | 0.1844 |
Vortex B | 0.1858 | 0.001635 | 0.006231 | 0.003877 | 0.3778 |
Vortex C | 0.2863 | 0.003296 | 0.010652 | 0.005091 | 0.5221 |
表2不同空间尺寸涡结构的几何参数
Table2.Geometric parameters of three vortices with different sizes.
图7为三种不同尺寸涡结构的内部流体密度在射线Line 1到Line 12上的数据随流向(x)和纵向(y)距离变化的曲线图, 其中ρc, ρb和ρa分别表示涡核、短半轴和长半轴与涡边界交点处的密度, 图7的流体密度值已经使用混合层入流密度进行了无量纲化. 以Vortex A为例, 容易发现其涡核处的密度(ρc = 0.577)最低, 流体密度随着离开涡核的距离增加而近似单调均匀地增加. 短半轴与涡边界交点处的密度ρb = 0.946, 而长半轴与涡边界交点处的密度ρa = 1.091, 这表明涡结构在流向边界处的密度要稍大于其在纵向边界处的密度. 这个现象的物理原因是涡结构的流向边界近似位于相邻两个涡结构的中间位置, 那里的流体因相邻涡结构的高速旋转而处于被挤压的状态. 同时也能够发现, 相对于x轴(流向)和y轴(纵向)对称的射线, 例如相对于x轴对称的Line 3和Line 11及相对于y轴对称的Line 3和Line 5, 流体密度在这些射线上的数据曲线近似重合(注:在涡结构的边界附近, 曲线的重合性稍差), 表明流体密度在射线Line 3、Line 5和Line 11上的分布近似相同. 进一步观察发现, 这个特点对于剩下的射线也是成立的, 这表明涡结构内部流体的密度分布具有既关于流向(x轴)对称又关于纵向(y轴)对称的特点.
图 7 不同尺寸涡结构内部流体的密度分布曲线 (a) Vortex A内部流体的密度随流向(x)距离变化的曲线图; (b) Vortex A内部流体密度随纵向(y)距离变化的曲线图; (c) Vortex B内部流体密度随流向(x)距离变化的曲线图; (d) Vortex B内部流体密度随纵向(y)距离变化的曲线图; (e) Vortex C内部流体密度随流向(x)距离变化的曲线图; (f) Vortex C内部流体密度随纵向(y)距离变化的曲线图
Figure7. Density distribution of fluid inside three vortices: (a) Density distribution of fluid inside Vortex A along the flow direction (x-axis); (b) density distribution of fluid inside Vortex A along the longitudinal direction (y-axis); (c) density distribution of fluid inside Vortex B along the flow direction (x-axis); (d) density distribution of fluid inside Vortex B along the longitudinal direction (y-axis); (e) density distribution of fluid inside Vortex C along the flow direction (x-axis); (f) density distribution of fluid inside Vortex C along the longitudinal direction (y-axis).
随着涡结构空间尺寸的逐渐增加(见Vortex B和Vortex C的密度数据曲线), 涡核处的流体密度ρc逐渐降低(分别为0.543和0.398), 减少量依次约为5.9%和31.0%; 短半轴与涡边界交点处的流体密度ρb也逐渐降低(分别为0.927和0.894), 减少量依次约为2.0%和5.5%; 而长半轴与涡边界交点处的流体密度ρa有轻微增加(分别为1.132和1.104), 增加量依次约为3.8%和1.2%. 这种现象的物理原因可解释如下: 随着涡结构空间尺寸的逐渐增加, 涡结构边界处的流体更有机会“深入”到混合层主流中, 而主流能量的输入会使涡结构的旋转速度增加, 进而使涡核及其附近的流体被往涡边界的方向输运; 涡结构旋转速度的增加也会使相邻两个涡结构之间的流体被更强烈的挤压.
随着涡结构空间尺寸的增加, 涡结构内部流体的密度分布仍然近似具有既关于流向(x轴)对称又关于纵向(y轴)对称的特点. 从密度曲线的重合性方面观察, 能够发现涡结构内部流体的密度分布关于流向(x轴)的对称性要好于关于纵向(y轴)的对称性. 需要指出的是: 所选的Vortex A、Vortex B和Vortex C是混合层流场中处于独立状态的涡结构, 它们受相邻涡结构的影响较小. 对处于融合状态的涡结构, 其内部流体密度的分布特性将在4.3节论述.
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4.2.不同压缩性流场中的涡结构
流场压缩性是影响混合层涡结构流动特性的一个重要参数, 必然也会影响涡结构内部流体的密度分布. 本节以不同压缩性流场中的涡结构为对象, 研究压缩性对涡结构内部流体密度分布的影响. 为了与4.1节得到的结论相比较, 以Mc = 0.5的超声速混合层为参考, 依次减弱(Mc = 0.3)和增强(Mc = 0.9)混合层流场的压缩性, 它们的涡量等值面如图8所示. 容易看到: 压缩性较弱的混合层流场中的涡结构形状较规整, 能够清晰地看到相邻两个涡结构的融合过程; 而强压缩性混合层流场中的涡结构在流向的空间尺寸显著大于纵向, 流场中也没有明显的相邻涡结构融合现象.图 8 不同压缩性的超声速混合层
Figure8. Supersonic mixing layers with different compressibilities
同样地, 选取流场中处于独立状态的涡结构, 记为Vortex D和Vortex E, 局部放大如图8右半部分所示. 其中, 黑色虚线表示的椭圆为LCS法和涡量等值面共同确定的涡结构边界, 涡结构的涡核位置坐标(xc, yc)由涡核位置提取方法获得. 这两个涡结构的相关几何参数列于表3, 从中发现: 强压缩性混合层流场中涡结构的空间尺寸远大于弱压缩性混合层流场中涡结构的空间尺寸, 而且形状也更加扁平. 需要指出: 对于强压缩性的混合层, 其流场中涡结构的形状已不规则, 其内部流体排列的规律性变差, 使得涡核位置偏离其几何中心. 对于Vortex E, 表3括号里的数据为使用涡核位置提取方法获得的涡核位置坐标, 它与椭圆几何中心之间的距离约为长半轴a的15.5%.
涡结构 | 中心点 | 长半轴a/m | 短半轴b/m | 扁率e | |
xc/m | yc/m | ||||
Vortex D (Mc = 0.3) | 0.1824 | –0.0008203 | 0.004854 | 0.003128 | 0.3556 |
Vortex E (Mc = 0.9) | 0.2607(0.2589) | –0.0012338(–0.0001429) | 0.013673 | 0.006051 | 0.5574 |
表3不同压缩性超声速混合层涡结构的几何参数
Table3.Geometric parameters of two vortices in the fields with different compressibilities.
图9为不同压缩性超声速混合层流场中涡结构的内部流体密度在射线Line 1到Line 12上的数据随流向(x)和纵向(y)距离变化的曲线图, 其中ρc, ρb和ρa分别表示涡核、短半轴和长半轴与涡边界交点处的密度, 流体密度值已经使用混合层入流密度进行了无量纲化. 对于弱压缩性混合层流场中的涡结构(见Vortex D的密度曲线图), 其涡核处的密度(ρc = 0.786)最低, 流体密度随着离开涡核的距离增加而近似单调均匀地增加. 短半轴与涡边界交点处的密度ρb = 0.975, 而长半轴与涡边界交点处的密度ρa = 1.038, 即涡结构在流向边界处的密度稍大于其在纵向边界处的密度. 对于强压缩性混合层流场中的涡结构(见Vortex E的密度曲线图), 其涡核处的密度(ρc = 0.343)最低, 流体密度随着离开涡核的距离增加而非单调地增加, 表明涡结构内部流体密度的变化不均匀且有波动性. 短半轴与涡边界交点处的密度ρb = 0.711, 而长半轴与涡边界交点处的密度ρa = 1.159, 即涡结构在流向边界处的密度显著大于其在纵向边界处的密度. 对比图7和图9能够得出如下的结论: 随着混合层流场压缩性的增加, 涡结构涡核位置的流体密度减小(Mc = 0.9时的密度值相对于Mc = 0.3减小约56.4%); 短半轴与涡边界交点处的流体密度也减小(Mc = 0.9时的密度值相对于Mc = 0.3减小约27.1%); 长半轴与涡边界交点处的流体密度有少量增加(Mc = 0.9时的密度值相对于Mc = 0.3增加约11.6%). 分析表1中的混合层入流速度能够发现这个结论背后的物理原因: 压缩性增加(由U1增加引起)能够让更多的主流能量进入涡结构, 使其旋转速度增加, 进而使涡结构内部更多的流体往边界方向聚集; 另一方面, 主流往下游移动的速度越高, 涡结构纵向边界附近的流体就更多地被“挟裹”着堆积在涡结构的流向边界.
图 9 不同压缩性流场中涡结构内部流体的密度分布曲线
Figure9. Density distribution of fluid inside two vortices in the supersonic mixing layers with different compressibilities.
从Vortex D内部流体密度数据曲线能够看到, 其内部相对于x轴(流向)和y轴(纵向)对称的射线, 例如相对于x轴对称的Line 3和Line 11及相对于y轴对称的Line 3和Line 5、Line 8和Line 12, 流体在这些射线上的密度数据曲线近似重合, 表明流体密度在这些射线上的分布近似相同. 实际上, 对于剩下的射线这个结论也是成立的, 这表明涡结构内部流体的密度分布具有既关于流向(x轴)对称又关于纵向(y轴)对称的特点. 同时也注意到, 涡结构内部流体的密度分布相对于流向(x轴)的对称性好于其相对于纵向(y轴)的对称性. 然而, 从Vortex E内部流体密度数据曲线发现, 此时涡结构内部流体的密度分布已经不具有关于流向(x轴)对称或关于纵向(y轴)对称的特点. 对比图7和图9能够得出如下的结论: 对于弱压缩性(Mc = 0.3)和中等压缩性(Mc = 0.5)的混合层流场, 其涡结构内部流体的密度分布具有既关于流向(x轴)对称又关于纵向(y轴)对称的特点; 而对于强压缩性(Mc = 0.9)的混合层流场, 其涡结构内部流体的密度分布不具有关于流向(x轴)对称或关于纵向(y轴)对称的特点.
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4.3.融合过程中的涡结构
从图2能够观察到超声速混合层流场中相邻涡结构之间的融合过程, 它是推动混合层生长的内在动力, 也是涡结构在演化过程中的一个典型环节. 本节以相邻两个涡结构的融合过程为例, 研究涡结构内部的流体密度在融合过程中的变化特性. 弱压缩性的超声速混合层在某时刻的流场等值面如图10(a)所示, 选取黑色虚线矩形框中配对完成的两个相邻涡结构(记为涡a和涡b), 它们在融合过程中的几个典型时刻(t1 → t6)如图10(b)所示.图 10 (a)弱压缩性的超声速混合层, Mc = 0.3; (b)其流场中相邻两个涡结构的融合过程
Figure10. (a) Supersonic mixing layer with Mc = 0.3; (b) two adjacent vortices during their merging process.
相邻两个涡结构的融合过程是一个动态的过程, 每个涡结构在不同时刻的空间尺寸和形状都会发生变化(见图10). 考虑到涡融合是两个涡结构的互相作用过程, 在建立涡结构的边界模型时, 把这两个涡结构视为一个整体. 具体来说, 涡a和涡b的涡核连线作为涡边界椭圆模型的长轴, 这两个涡核之间连线的中点作为涡边界模型的中心点, 椭圆短轴垂直长轴且过中心点; 在t1时刻建立的涡边界椭圆模型随涡融合的进程而保持同步旋转. 提取涡a和涡b在椭圆模型长轴和短轴上对应的流体密度数据, 它们在涡融合过程中的变化曲线如图11所示. 其中, 横坐标表示长轴和短轴上的流体质点离中心点(红色小圆点)的距离, 负号表示方向相反; 纵坐标是使用混合层入流密度进行无量纲化处理之后的流体密度值.
图 11 涡a和涡b在长轴和短轴上的流体密度在涡融合过程中的变化曲线
Figure11. Variation curve of the fluid density inside the vortex a and b during their merging process.
在两个涡结构融合的起始时刻(见t1时刻), 能够看到流体密度在短轴上的变化较平缓, 波动较小; 中心点处的流体密度值(约为0.98)与短轴两个端点处的密度值(ρb1和ρb2)大小相当, 稍小于长轴两个端点处的密度值(ρa1和ρa2). 此外, 涡a和涡b的涡核密度(ρca和ρcb)远小于中心点、短轴及长轴两端点的密度. 这表明t1时刻涡a和涡b之间的界面还没有被打破, 涡a内部的流体与涡b内部的流体还未发生融合. 在涡融合的过程中(见t2 → t5时刻), 中心点处流体密度依次约为0.924, 0.863, 0.881和0.894, 其密度值的小幅变化正是涡融合动态过程的体现. 同时也发现, 中心点附近长轴和短轴上的流体密度值都随着涡融合的发展而减小, 表明中心点附近的空间逐渐被来自涡a和涡b内部的流体所填充, 也是涡融合逐渐深入的体现. 在t6时刻, 长轴和短轴上的流体密度分布都只有一个共同的最小值, 而且它们的分布曲线都是关于中心点近似对称, 这表明此时刻涡a和涡b的融合几乎完成, 它们融合成了一个完整且更大的涡结构.
为了定量化分析涡结构内部流体的密度在融合过程中的变化特性, 以涡a和涡b的涡核密度、短轴和长轴端点密度为特征点密度, 它们在融合过程中的变化曲线如图12所示. 整体上, 它们在涡融合过程中均表现出小幅度波动的变化特性. 以涡融合开始的t1时刻为参考, 两涡融合形成新涡的涡核密度相对于涡a和涡b的涡核密度分别降低约4.6%和8.2%. 在相邻两个涡结构的融合过程中, 短轴和长轴端点处的流体密度变化量不超过3.0%. 从上述分析能够发现: 在涡结构的融合过程中, 涡a和涡b内部流体的密度变化比较轻微, 这表明相邻两涡的融合过程很可能是涡a和涡b内部流体的对等组合过程(即涡核与涡核的流体组合、边界与边界的流体组合), 没有看到较强的流体挤压和涡结构内部流体重新分配等现象.
图 12 特征点密度在涡融合过程中的变化
Figure12. Variation of fluid density at several characteristic points during their merging process.
在以上的研究中, 超声速混合层上下两层来流的密度相同. 然而, 对于图1所示的由制冷射流和外部主流形成的超声速混合层, 射流和主流的密度可能并不相同, 这里简要讨论此情况下涡结构内部流体的密度分布特性. 以文献[23]中表1描述的超声速混合层为例(Mc ≈ 0.46), 其流场某时刻的涡量等值面如图13(a)所示. 选取一个处于独立状态的涡结构(记为Vortex F), 其内部流体的密度在射线上沿纵向(y)和流向(x)的变化曲线分别如图13(b)和(c)所示, 其中ρc, ρ1和ρ2分别表示涡核、上层来流和下层来流的密度.
图 13 (a)上下层来流密度不同的超声速混合层; (b)涡结构内部流体的密度沿纵向(y)分布曲线; (c)涡结构内部流体的密度沿流向(x)分布曲线
Figure13. (a) The supersonic mixing layer with different inflow density of its upper and lower layers; (b) density distribution of fluid inside the vortex along the longitudinal direction (y-axis); (c) density distribution of fluid inside the vortex along the flow direction (x-axis).
以关于纵向(y)对称的两组射线(Line 2、Line 6和Line 9、Line 11)为例, 涡核位置的流体密度约为0.368, 射线Line 2和Line 6上的流体密度沿纵向(y)的变化曲线具有较好的重合性, 射线Line 9和Line 11上的流体密度变化也具有相似的特性. 具体来说, 随着离开涡核距离的增加, 射线Line 2和Line 6上的流体密度先逐渐增加后逐渐减小, 端点(涡边界)位置的流体密度约等于ρ1; 射线Line 9和Line 11上的流体密度整体上逐渐增加(中间部分的流体密度有小幅波动), 端点(涡边界)位置的流体密度约等于ρ2. 上述分析表明: 涡结构内部流体的密度分布仍近似具有关于纵向(y)对称的特性; 涡核附近流体的密度线性增加, 而远离涡核的流体密度受上层或下层来流的影响较大, 即涡结构上边界附近的流体密度趋近于上层来流的密度, 而涡结构下边界附近的流体密度趋近于下层来流的密度, 这种现象的原因可能是涡结构高速旋转使混合层的上层和下层流体被不断地“卷吸”进涡结构内部. 因此, 涡结构内部流体的密度分布也就不再具有关于流向(x)对称的特性(见Line 3和Line 11上的流体密度变化曲线).
此外, 对比图7和图13中的密度变化曲线能够发现, 超声速混合层上层和下层来流密度的差异会使涡结构内部流体的密度变化出现波动. 能够推测, 上层和下层来流密度的差异越大, 涡结构内部流体的密度波动就会越剧烈. 因此, 从降低超声速混合层气动光学效应的角度, 制冷射流的密度应尽可能地接近外部主流的密度.