基于辟谣机制的时滞谣言传播模型的动力学分析

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4.平衡点的稳定性分析

4.1.无病平衡点

$ {E}_{0}$

的稳定性分析

-->

4.1.无病平衡点$ {E}_{0}$的稳定性分析

系统(2)式在无谣言平衡点${E}_{0}$

的雅可比矩阵为

${ J}\left( {{E_0}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - u}&{ - ({m_1} + {m_2})\dfrac{\varLambda }{u}}&0\\0&{\dfrac{{{m_1}\varLambda }}{u} - u - r{{\rm{e}}^{ - \lambda \tau }}}&0\\0&{\dfrac{{{m_2}\varLambda }}{u} + r{{\rm{e}}^{ - \lambda \tau }}}&{ - u}\end{array}} \right].$

因此, 系统在平衡点${E}_{0}$

处的特征方程为

${(\lambda + u)^2}\left( {\lambda - \frac{{{m_1}\varLambda }}{u} + u + r{{\rm{e}}^{ - \lambda \tau }}} \right) = 0.$

显然, ${\rm \lambda }=-u$

是方程(11)的二重根, 接下来只需要考虑${\rm \lambda }-\dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u}+u+r{{\rm e}}^{-\lambda \tau }=0$

的特征根的正负情况.
当${\rm \tau }=0$

时, ${\rm \lambda }=\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u}-u-r$

. 因此, 若${R}_{0} < 1$

, 那么${\rm \lambda }=\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u}-u-r < 0$

, 意味着方程(11)的所有根的实部都小于0, 由特征值理论可知${E}_{0}$

是局部渐近稳定的. 相反地, 若${R}_{0} > 1$

, 那么方程(11)存在一个正根$\dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u}-u-r$

, 由特征值理论可知, ${E}_{0}$

是不稳定的.
当${\rm \tau } > 0$

时, 令

$\begin{split}& F\left({\rm \lambda }\right)=\lambda -\frac{{m}_{1}\varLambda }{u}+u+r{{\rm e}}^{-\lambda \tau }=0,\\& F\left(0\right)=u+r-\frac{{m}_{1}\varLambda }{u},\;\;\;\underset{{\rm \lambda }\to {\rm \infty }}{{\rm lim}}F\left(\lambda \right)=+{\rm \infty }.\end{split}$

若$F\left(0\right) < 0$

, 即${R}_{0} > 1$

时, 方程(12)至少有一个正根, 因此, ${E}_{0}$

是不稳定的.
证:　当$u > r, \dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u} < u+r$

且$\dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u} < u-r$

时, ${E}_{0}$

是局部渐近稳定的;
当$u-r < \dfrac{{m}_{1}\varLambda}{u} < u+r$

时, ${E}_{0}$

是不稳定的.
假设$\lambda ={\rm i}\omega ({\rm \omega } > 0)$

是方程(12)的解, 将其代入方程(12)可得

${\rm i}\omega - {{m}_{1}\varLambda }/{u}+u+r\left({\rm c}{\rm o}{\rm s}\left(\omega \tau \right)-{\rm i}{\rm s}{\rm i}{\rm n}(\omega \tau \right))=0.$

分离实部虚部并使等式两边平方相加我们可以得到

$ {\omega }^{2}+{ (u- {{m}_{1}\varLambda }/{u} )}^{2}-{r}^{2}=0.$

若${(u-{{m}_{1}\varLambda }/{u})}^{2} > {r}^{2}$

, 方程(13)不存在正解, 由平方差公式有

$\begin{split} \; & {\left(u- {{m}_{1}\varLambda }/{u}\right)}^{2}> {r}^{2}\Rightarrow \\ & \left(u- {{m}_{1}\varLambda }/{u}-r\right)\left( u- {{m}_{1}\varLambda }/{u}+r\right) > 0,\end{split} $

则有以下两种情况:
1) $u-\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u}-r > 0$

且$u-\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u}+r > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u} < $

$ u-r $

且$\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u} < u+r,$

2) $u-\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u}-r < 0$

且$u-\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u}+r < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u} > $

$u-r $

且$\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u} > u+r.$

从上面的分析中可知: 当${R}_{0} > 1$

时, ${E}_{0}$

是不稳定的, 因此舍弃情况2); 又因为${m}_{1}, \varLambda, u\geqslant 0$

, 所以$\dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u}\geqslant 0$

, 由$\dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u} < u-r$

可以得知$ u>r$

, 因此当$u > r, \dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u} < u+r$

且$\dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u} < u-r$

, ${E}_{0}$

是局部渐近稳定的.
若${\left(u- {{m}_{1}\varLambda }/{u}\right)}^{2} < {r}^{2} $

, 方程(13)存在正解${\omega }_{0}>0$

, 使得${\rm \lambda }={\rm i}{\omega }_{0}$

为方程(12)的解, 又

$\begin{split}\; & {\left(u- {{m}_{1}\varLambda }/{u}\right)}^{2} < {r}^{2}\Rightarrow \\ & \left(u- {{m}_{1}\varLambda }/{u}-r\right)\left( u- {{m}_{1}\varLambda }/{u}+r\right) < 0.\end{split}$

因为$r > 0$

, 上式中只可能是$u-\dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u}+r > 0$

, 因此有$u-\dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u}-r < 0$

且$u-\dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u}+r > 0$

. 简化后可得$u-r < \dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u} < u+r$

. 因此当$\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u} < u+r$

且$\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u} > u-r$

时, 方程(13)存在正解${\omega }_{0}$

, 也就是说方程(12)有一对纯虚根${\rm \lambda }=\pm {\rm i}{\omega }_{0}$

. 令

${\tau }_{n}\!=\! \frac{1}{{\omega }_{0}}\left({\rm a}{\rm r}{\rm c}{\rm c}{\rm o}{\rm s}\frac{\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u} \!-\! u}{r}\right)+\frac{2n{\text{π}}}{{\omega }_{0}},~n \!=\!{\rm 0,1},2,\cdots .$

接下来讨论${\left.\dfrac{{\rm d}{\rm \lambda }}{{\rm d}{\rm \tau }}\right|}_{\tau ={\tau }_{0}}$

的正负情况. 直接计算发现

$\frac{{\rm d}{\rm \lambda }}{{\rm d}{\rm \tau }}=-\frac{\dfrac{\partial F}{\partial \tau }}{\dfrac{\partial F}{\partial \lambda }}=-\frac{-\lambda r{{\rm e}}^{-\lambda \tau }}{1-\lambda \tau {{\rm e}}^{-\lambda \tau }}.$

由方程(12), 有$\dfrac{{m}_{1}{ \varLambda }}{u}-u-\lambda =r{{\rm e}}^{-\lambda \tau }$

, 因此

$\begin{split}{\left(\frac{{\rm d}{\rm \lambda }}{{\rm d}{\rm \tau }}\right)}^{-1}=\; &\frac{1}{\lambda r{{\rm e}}^{-\lambda \tau }}-\frac{\tau }{\lambda }=\frac{1}{\lambda \Big(\dfrac{{m}_{1}\varLambda }{u}-u-\lambda \Big)}-\frac{\tau }{\lambda } . \\& {\rm s}{\rm i}{\rm g}{\rm n}{\left\{\frac{{\rm d}\left({\rm R}{\rm e}{\rm \lambda }\right)}{{\rm d}{\rm \tau }}\right\}}_{\tau ={\tau }_{0}}\\=\; &{\rm s}{\rm i}{\rm g}{\rm n}{\left\{{\left(\frac{{\rm d}\lambda }{{\rm d}\tau }\right)}^{-1}\right\}}_{\tau ={\tau }_{0}}\\ =\; &{\rm s}{\rm i}{\rm g}{\rm n}{\left\{{\left( \dfrac{{\rm d}\lambda }{{\rm d}\tau }\right)}^{-1}\right\}}_{\lambda ={{\rm i}\omega }_{0}}\\ =\; &{\rm s}{\rm i}{\rm g}{\rm n}\left\{\frac{1}{{\left(\dfrac{{m}_{1}\Lambda }{u}-u\right)}^{2}+{{\omega }_{0}}^{2}}\right\} > 0.\\[-18pt]\end{split}$

从而, 系统在$\tau ={\tau }_{0}$

附近发生Hopf分支现象.
综上所述, 令${R}^{c}=\dfrac{{m}_{1}\Lambda }{u(u-r)}$

, 我们得到以下定理.
定理4　1) 当$0 < {R}^{c} < 1$

且${R}_{0} < 1$

时, 无谣言平衡点$ {E}_{0}$

对所有的${\rm \tau }\geqslant 0$

都是局部渐近稳定的;
2) 当${R}^{c} > 1$

且${R}_{0} < 1$

时, 无谣言平衡点${E}_{0}$

对所有的$0\leqslant {\rm \tau } < {\tau }_{0}$

都是局部渐近稳定的; 当$ {\rm \tau } > {\tau }_{0}$

无谣言平衡点${E}_{0}$

不稳定, 换言之, 系统(2)在$\tau ={\tau }_{0} $

附近发生Hopf分支;
3) 当${R}_{0}>1$

时, 无谣言平衡点${E}_{0}$

是不稳定的.
2

4.2.谣言盛行平衡点

${E}_{1}^{*}$

的稳定性分析

-->

4.2.谣言盛行平衡点${E}_{1}^{*}$的稳定性分析

系统(2)式在谣言盛行平衡点${E}_{1}^{*}$

处的雅可比矩阵为

${ J}\left( {{E_1^*}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \left( {{m_1} + {m_2}} \right){I_1^*} - u}&{ - \left( {{m_1} + {m_2}} \right){S_1^*}}&0\\{{m_1}{I_1^*}}&{{m_1}{S_1^*} - u - \dfrac{{r{{\rm{e}}^{ - \lambda \tau }}}}{{{{\left( {1 + \alpha {I_1^*}} \right)}^2}}}}&0\\{{m_2}{I_1^*}}&{{m_2}{S_1^*} + \dfrac{{r{{\rm{e}}^{ - \lambda \tau }}}}{{{{\left( {1 + \alpha {I_1^*}} \right)}^2}}}}&{ - u}\end{array}} \right].$

直接计算可得其特征方程为

$\left({\rm \lambda }+u\right)\left[\left({\rm \lambda }+({m}_{1}+{m}_{2}){I}_{1}^{*}+u\right)\left({\rm \lambda }-{m}_{1}{S}_{1}^{*}+{u}+\frac{r{{\rm e}}^{-\lambda \tau }}{{\left(1+\alpha {I}_{1}^{*}\right)}^{2}}\right)+{m}_{1}\left({m}_{1}+{m}_{2}){I}_{1}^{*}{S}_{1}^{*}\right)\right]=0.$

化解得

$\left({\rm \lambda }+{\rm u}\right)[{\lambda }^{2}+{p}_{11}\lambda +{p}_{01}+\left({q}_{11}\lambda +{q}_{01}\right){{\rm e}}^{-\lambda \tau }]=0,$

其中

$\begin{split} &{p}_{11}=({m}_{1}+{m}_{2}){I}_{1}^{*}+2 u-{m}_{1}{S}_{1}^{*},\\&{p}_{01}=u\left[({m}_{1}+{m}_{2}){I}_{1}^{*}+u-{m}_{1}{S}_{1}^{*}\right],\end{split}$

$ \begin{split}& {q}_{11}=\frac{r}{{\left(1+\alpha {I}_{1}^{*}\right)}^{2 }},\\ & {q}_{01}=\frac{r}{{\left(1+\alpha {I}_{1}^{*}\right)}^{2}}\left[({m}_{1}+{m}_{2}){I}_{1}^{*}+u\right].\end{split}$

由(5)式中S的表达式可得$({m}_{1}+{m}_{2}){I}_{1}^{*}+$

$u=\dfrac{\varLambda }{{S}_{1}^{*}} . $

令

$\begin{split}& \qquad {{m}_{3}=\frac{r}{{\left(1+\alpha {I}_{1}^{*}\right)}^{2 }},\;{m}_{4}=\frac{\varLambda }{{{S}_{1}}^{*}}-{m}_{1}{S}_{1}^{*}.}\\& {{\rm G}\left({\rm \lambda }\right)={\lambda }^{2}+{p}_{11}\lambda +{p}_{01}+\left({q}_{11}\lambda +{q}_{01}\right){{\rm e}}^{-\lambda \tau }=0,}\end{split}$

其中

$\begin{aligned}& {{p}_{11}=u+{m}_{4},\;\;{p}_{01}=u{m}_{4},}\\& {{q}_{11}={m}_{3},\;{q}_{01}={m}_{3}\left[\left({m}_{1}+{m}_{2}{)I}_{1}^{*}\right)+u\right].}\end{aligned}$

当$\tau =0$

时, 方程(19)等价于

${\lambda }^{2}+({p}_{11}+{q}_{11})\lambda +{p}_{01}+{q}_{01}=0.$

其中

$\begin{aligned}& {{p}_{11}+{q}_{11}=u+{m}_{4}+{m}_{3},}\\& {{p}_{01}+{q}_{01}=u{m}_{4}+{m}_{3}\left[({m}_{1}+{m}_{2}){I}_{1}^{*}+u\right].}\end{aligned}$

因为$ {u}, {m}_{1}, {m}_{2}, {m}_{3}, {I}_{1}^{*} > 0 $

, 因此, 若${m}_{4} > 0 $

则${p}_{11}+{q}_{11} > 0, {p}_{01}+{q}_{01} > 0$

, 由赫尔维茨判据可知谣言盛行平衡点${E}_{1}^{*}$

是局部渐近稳定的.
当$\tau > 0$

时, 假设${\rm \lambda }={\rm i}\,{\rm \omega }\left({\rm \omega } > 0\right)$

是方程(19)的一个解, 将其代入方程(19)得

$ \begin{split}& {\left({\rm i}\omega \right)}^{2}+{p}_{11}{\rm i}\omega +{p}_{01}\\ +\, &\left({q}_{11}{\rm i}\omega +{q}_{01}\right)\left({\rm co}s(\omega \tau )-{\rm i}{\rm s}{\rm i}{\rm n}\left(\omega \tau \right)\right)=0. \end{split}$

分离实部虚部得

$\left\{\begin{aligned} & {\omega }^{2}-{p}_{01}={q}_{11}\omega \sin\left(\omega \tau \right)+{q}_{01}{\rm cos}(\omega \tau ),\\ & {p}_{11}\omega ={q}_{01}\sin\left(\omega \tau \right)-{q}_{11}\omega {\rm cos}(\omega \tau ).\end{aligned}\right.$

等式两边平方再相加得

${\omega }^{4}+\left({p}_{11}^{2}-2{p}_{01}-{q}_{11}^{2}\right){\omega }^{2}+{p}_{01}^{2}-{q}_{01}^{2}=0.$

令$T={\omega }^{2}$

, ${f}_{1}=\left({p}_{11}^{2}-2{p}_{01}-{q}_{11}^{2}\right), \;{f}_{2}={p}_{01}^{2}-$

${q}_{01}^{2} $

, 那么方程(22)等价于

$H\left(T\right)={T}^{2}+{f}_{1}T+{f}_{2}=0,$

其中${f}_{1}={u}^{2}+{m}_{4}^{2}-{m}_{3}^{2}, \;{f}_{2}={\left(u{m}_{4}\right)}^{2}-\dfrac{{\left({m}_{3}\varLambda \right)}^{2}}{{{(S}_{1}^{*})}^{2}}.$

引理1　1) 若${f}_{2}\geqslant 0$

, 方程(23)无正实根.
2) 若$ {f}_{2} < 0$

, 方程(23)总会有一个正实根.
证明　根据$0\leqslant {{S}_{1}}^{*}\leqslant \dfrac{\varLambda }{u}\Rightarrow 0\leqslant {\left({{S}_{1}}^{*}\right)}^{2}\leqslant \dfrac{{\varLambda }^{2}}{{u}^{2}}$

, 可得$ \dfrac{{\left({m}_{3}\varLambda \right)}^{2}}{{{{(S}_{1}}^{*})}^{2}}\geqslant {\left(u{m}_{3}\right)}^{2}$

.
因此, 若${f}_{2}={\left(u{m}_{4}\right)}^{2}-\dfrac{{\left({m}_{3}{\varLambda }\right)}^{2}}{{{{(S}_{1}}^{*})}^{2}}\geqslant 0$

, 则有${\left(u{m}_{4}\right)}^{2}\geqslant \dfrac{{\left({m}_{3}{\varLambda }\right)}^{2}}{{{{(S}_{1}}^{*})}^{2}}\geqslant {\left(u{m}_{3}\right)}^{2}$

.
由此可得${{m}_{4}}^{2}\geqslant {{m}_{3}}^{2}$

, 那么${f}_{1}={u}^{2}+{{m}_{4}}^{2}$

$ -{{m}_{3}}^{2}\geqslant 0 $

.
从上面的分析中可知, 当${f}_{2}\geqslant 0$

时, 有${f}_{1}\geqslant 0$

, 因此, 根据二次方程图像特征可知方程(23)没有正根, 这意味着不存在$\omega > 0$

满足$\lambda ={\rm i}\omega $

是方程(19)的一个解, 也就是说方程(19)不存在正根, 那么谣言盛行平衡点${{E}_{1}}^{*}$

是局部渐近稳定的. 相反地, 若${f}_{2} < 0$

, 易知无论$ {f}_{1} $

取何值时, 方程(23)至少存在一个正根, 也就是说方程(19)有一对纯虚根${\rm \lambda }=\pm {\rm i}{{\omega }_{0}}^{*}$

.
直接计算可得

$\begin{split}{\tau }_{k}=\;&\frac{1}{{{ \omega }}_{0}^{{\rm *}}}\left({\rm a}{\rm r}{\rm c}{\rm c}{\rm o}{\rm s}\!\frac{{{q}_{01}}^{2}{\left({({\rm \omega }}_{0}^{{\rm *}}\right)}^{2}\!-\!{p}_{01})\!-\!{p}_{11}{q}_{11}{{({ \omega }}_{0}^{{\rm *}})}^{2}}{{{q}_{01}}^{2}+{{q}_{11}}^{2}{{({ \omega }}_{0}^{{\rm *}})}^{2}}\right)\\ &+\frac{2n{\text{π}}}{{{ \omega }}_{0}^{{\rm *}}},~~{ k}={\rm 0,1},2,\cdots .\\[-18pt]\end{split}$

接下来讨论${\left.\dfrac{{\rm d}{\rm \lambda }}{{\rm d}{\rm \tau }}\right|}_{\tau ={\tau }_{0}}$

的正负情况, 显然

${\left(\frac{{\rm d}{\rm \lambda }}{{\rm d}{\rm \tau }}\right)}^{-1}\!=-\frac{2\lambda +{p}_{11}}{\lambda \left({\lambda }^{2}+{p}_{11}\lambda \!+\!{p}_{01}\right)}\!+\!\frac{{q}_{11}}{\lambda \left({q}_{11}\lambda \!+\!{q}_{01}\right)}-\frac{\tau }{\lambda } . $

从而有

$\begin{split}&{\rm s}{\rm i}{\rm g}{\rm n}{\left\{\frac{{\rm d}\left({\rm R}{\rm e}\lambda \right)}{{\rm d}{\rm \tau }} \right\}}_{\tau ={\tau }_{0}^{*}}\\=\; &{\rm s}{\rm i}{\rm g}{\rm n}{\left\{{\left( \frac{{\rm d}\lambda }{{\rm d}\tau }\right)}^{-1} \right\}}_{\tau ={\tau }_{0}^{*}}={\rm s}{\rm i}{\rm g}{\rm n}{\left\{{\left( \frac{{\rm d}\lambda }{{\rm d}\tau }\right)}^{-1} \right\}}_{\lambda ={{\rm i}\omega }_{0}^{*}}\\=\; &{\rm s}{\rm i}{\rm g}{\rm n}\left\{\frac{2{\left({\omega }_{0}^{*}\right)}^{2}+{{p}_{11}}^{2}-2{p}_{01}}{{({p}_{01}-{\left({\omega }_{0}^{*}\right)}^{2})}^{2}+{{p}_{11}}^{2}{\left({\omega }_{0}^{*}\right)}^{2}}\right.\\ & \left.-\frac{{{q}_{11}}^{2}}{{{q}_{01}}^{2}+{{q}_{11}}^{2}{\left({\omega }_{0}^{*}\right)}^{2}} \right\}.\\[-18pt]\end{split}$

由(21)式, 有

${({p}_{01}-{\left({\omega }_{0}^{*}\right)}^{2})}^{2}+{{p}_{11}}^{2}{\left({\omega }_{0}^{*}\right)}^{2}={{q}_{01}}^{2}+{{q}_{11}}^{2}{\left({\omega }_{0}^{*}\right)}^{2}.$

因此,

$\begin{split} &{{\rm s}{\rm i}{\rm g}{\rm n}\left\{\frac{{\rm d}\left({\rm R}{\rm e}\lambda \right)}{{\rm d}{\rm \tau }}\right\}}_{\tau ={\tau }_{0}^{*}}\\=\; &{\rm s}{\rm i}{\rm g}{\rm n}\left\{\frac{2{\left({\omega }_{0}^{*}\right)}^{2}+{p}_{11}^{2}-2{p}_{01}-{q}_{11}^{2}}{{q}_{01}^{2}+{q}_{11}^{2}{\left({\omega }_{0}^{*}\right)}^{2}}\right\}\\ =\;&{\rm s}{\rm i}{\rm g}{\rm n}\left\{\frac{{H'}\left({\left({\omega }_{0}^{*}\right)}^{2}\right)}{{q}_{01}^{2}+{q}_{11}^{2}{\left({\omega }_{0}^{*}\right)}^{2}}\right\} > 0.\end{split}$

从而, 系统在$\tau ={\tau }_{0}^{*}$