康普顿相机的成像分辨分析与模拟

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3.1.影响康普顿相机成像分辨本领的误差源

根据康普顿散射公式, 由散射探测器的能量测量误差(能量分辨)导致的散射角的不确定度$ \Delta\theta_{\rm E} $

为

$ \Delta\theta_{\rm E} = \frac{m_{\rm e}c^{2}\Delta E_{1}}{\sin\theta\left(E_{0}-E_{1}\right)^{2}}, $

其中 $ \Delta E_{1} $

表示散射探测器的能量分辨本领. (2)式表明, $ \Delta\theta_{\rm E} $

与$ \Delta E_{1} $

成正比例关系; 对于小散射角情形, $ \sin\theta $

项将导致非常大的散射角不确定度. 因此, 为了提高相机的分辨, 应该剔除真实事件中的小散射角情形; 分母中的$ (E_{0}-E_{1})^{2} $

项表明随$ \gamma $

射线能量的升高$ \Delta\theta_{\rm E} $

降低, 即康普顿相机更适合对高能$ \gamma $

射线成像.
除了探测器的能量分辨, 由于晶体具有一定的大小和厚度(探测器的位置分辨), 这将引起圆锥中轴线$ \overline{r_{1}r_{2}} $

的误差, 从而导致散射角不确定度$ \Delta\theta_{\rm P} $

$ \Delta\theta_{\rm P} = {\rm {arctan}}\frac{2\Delta x}{d}, $

其中$ \Delta x $

表示晶体的大小, $ d $

代表散射探测器与吸收探测器的距离. (3)式表明, 在一定性价比的情况下, 应尽量减小阵列探测器中每块晶体的大小; 在保持一定的探测效率的前提下, 应增大散射探测器与吸收探测器间的距离.
除此之外, 散射体(散射探测器)原子中电子的运动, 将使散射光子的能量发生多普勒展宽, 这种展宽的谱线轮廓, 称为康普顿轮廓. 实际上, 在非相干散射中, 康普顿散射公式(1)式的导出, 前提是假设散射体原子中电子为自由电子且动量为零, 而真实情形是散射体中电子为束缚电子、动量不为零且动量方向为任意方向. 因此, 由康普顿相机真实测量的($ r_{1}, E_{1} $

), ($ r_{2}, E_{2} $

)以及(1)式得出的散射角$ \theta $

, 即使假设($ r_{1}, E_{1} $

), ($ r_{2}, E_{2} $

)的测量无限精确, 也与真实的散射角有一定偏差, 称该偏差为$ \Delta\theta_{\rm C} $

, 其与散射材料本身及其所处的外界条件(温度、压强等)相关, 为一内禀误差.
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3.2.影响康普顿相机成像分辨本领误差源的Geant 4模拟

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3.2.影响康普顿相机成像分辨本领误差源的Geant 4模拟

根据第2节的分析, 康普顿相机的成像需要足够数目的有效事件. 因此, 为了定量研究影响康普顿相机成像分辨的每个源项, 应该观察其在大量有效事件中的分布曲线. 为此, 本工作用Geant 4软件包对各个源项进行了模拟.
为了能够模拟单一源项引起的误差, 即考虑某一源项时其他源项为一精确值, 建模如下: 康普顿相机的散射探测器由一整块Si晶体构成, 其尺寸为20 mm × 200 mm × 200 mm, 吸收探测器由一整块Ge晶体构成, 尺寸也为20 mm × 200 mm × 200 mm, 两者相距100 mm. 放射源为各向同性点源, 辐射的$ \gamma $

射线能量为100—1000 keV, 放置在散射探测器正上方30 mm 处. 模拟中选用的物理模型为penelope 包. 对于一次有效事件, 该简化的探测器排布可精确模拟得到($ r_{1}, E_{1} $

)和($ r_{2}, E_{2} $

), 再由(1)式得到散射角$ \theta $

.
对于探测器的能量分辨导致的散射角不确定度$ \Delta\theta_{\rm E} $

, 模拟中, 以精确值$ E_{1} $

为中心, $ \Delta E_{1} $

为半高全宽(FWHM), 随机产生一个能量值用E^rand代替(1)式中的$ E_{1} $

, 计算得到$ \theta _{\rm E} $

, 从而$ \Delta\theta_{\rm E} = \left| \theta - \theta _{\rm E} \right| $

. 在以上条件下, 本工作模拟了相对能量分辨从0.3%—5%时$ \Delta\theta_{\rm E} $

的分布曲线, 如图2所示. 可以看出, $ \Delta\theta_{\rm E} $

的分布为指数衰减函数, 且随探测器能量分辨本领的提高, 指数衰减因子变大. 当相对分辨本领为0.3%时, $\Delta\theta_{\rm E}$

集中分布在非常窄的范围内(最大几十$ \rm {mrad} $

). 模拟结果与(2)式预测的“$ \Delta\theta_{\rm E} $

与$ \Delta E_{1} $

成正比例关系”一致. 考虑到实际制作工艺, 要求制作的探测器的能量分辨本领达到1%的水平. 对于不同能量的$ \gamma $

射线, 随着射线能量的升高, $ \Delta\theta_{\rm E} $

分布的指数衰减因子增大, 如图3 所示. 这与(2)式的预测结果一致.

图 3 康普顿散射角不确定度$ \Delta\theta_{\rm E} $

分布的模拟结果, 相对能量分辨为1.0%, 初始$\gamma$

射线能量分别为100 和1000 keV
Figure3. Simulated distribution of $ \Delta\theta_{\rm E} $

. The relative energy resolution is fitted to 1.0%, the initial $\gamma$

-ray energy is 100 and 1000 keV, respectively.

图 2 康普顿相机的能量分辨本领引起的康普顿散射角不确定度$ \Delta\theta_{\rm E} $

分布的模拟结果, 相对能量分辨$\Delta E/E$

取值从0.3%至5%, 初始$\gamma$

射线能量为600 keV
Figure2. Simulated distribution of the uncertainty of Compton scattering angle caused by the resolving power of Compton camera. The value of $\Delta E/E$

is from 0.3% to 5%. The initial $\gamma$

-ray energy is 600 keV.

对于探测器的位置分辨引起的不确定度$ \Delta\theta_{\rm P} $

分布, 由模拟中精确得到的$ (r_{1} $

, $ r_{2}) $

以及$ \gamma $

射线的初始位置$ r_{0} $

, 根据三角关系得到散射角$ \theta $

. 另外, 以精确值$ r_{1} $

, $ r_{2} $

为中心, $ \Delta x $

为FWHM, 分别随机产生随机值$ r_{1}^{\rm {rand}} $

和$ r_{2}^{\rm rand} $

, 再结合$ r_{0} $

三点求得同一事件的$ \theta_{\rm P} $

, 从而$ \Delta \theta_{\rm P} = \left| \theta-\theta_{\rm P} \right| $

. 模拟结果如图4所示. 由图可知, $ \Delta \theta_{\rm P} $

也呈指数衰减分布, 且随着$ \Delta x $

的减小, 指数衰减因子迅速增大. 这意味着实际制作探测器时, 探测单元尺寸应该尽可能做小. 对比图2的结果, 当$ \Delta x $

= 2.0 mm时, 引起的散射角误差接近$ \Delta E/E $

= 5%时导致的误差. 考虑到实际制作工艺、$ \gamma $

射线在探测器中的多次响应及后续电子学读取系统的复杂性, 散射晶体单元尺寸$ \Delta x $

=2.0 mm是实际可行的, 这时候只要能量分辨本领小于5%, 位置分辨导致的散射角不确定性即为主要因素.

图 4 康普顿相机的位置分辨本领引起的康普顿散射角不确定度$ \Delta\theta_{\rm P} $

分布的模拟结果, 位置分辨$\Delta x$

取值范围为0.5—3.0 mm. 初始$\gamma$

射线能量为600 keV
Figure4. Simulated distribution of the uncertainty of Compton scattering angle caused by the position resolving power of Compton camera. The value of $\Delta x$