摘要:研究了K分布强湍流下自由空间测量设备无关量子密钥分发协议模型, 采用阈值后选择方法来减少大气湍流对密钥生成率的影响, 对比分析了使用阈值后选择方法前后协议的密钥率和湍流强度之间的关系. 仿真结果表明, 使用阈值后选择方法可以有效地提高协议的密钥生成率, 尤其是在高损耗和强湍流区域, 而且其最佳阈值与湍流强度、信道平均损耗有关, 对实际搭建性能较好的自由空间测量设备无关量子密钥分发协议系统具有一定的参考价值.
关键词: 强湍流/
K分布/
测量设备无关量子分发协议/
自由空间

English Abstract

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量子密钥分发(quantum key distribution, QKD)^[1-6]以量子力学基本原理和性质为基础, 在理论上能够保证通信双方密钥分配的绝对安全性, 是量子保密通信领域^[7-10]的一个重要研究内容, 具有巨大的发展前景. 但实际QKD系统的设备往往与理想情况存在一些差距, 使得系统安全通信距离受到限制, 特别是光纤损耗已经成为限制QKD安全通信距离的主要原因, 使其很难实现广域量子通信组网. 2016年, 中国科学技术大学Pan课题组^[11]采用诱骗态测量设备无关量子密钥分发协议(measurement device independent quantum key distribution, MDI-QKD)优化方案并使用低损耗光纤实现了404 km的通信距离, 这也是目前通过光纤信道进行QKD实验能达到的最远安全通信距离. 为实现超远距离量子通信技术的突破, 已有研究试图利用高空平台建立高稳定低损耗的自由空间信道^[12-16]. 2015年, 意大利小组利用激光测距卫星Jason-2实现了平均量子误码率为6.5%的偏振编码QKD实验^[17]. 2017年, 日本小组利用微小卫星SOCRATES实现了平均量子误码率小于5%的偏振编码QKD实验^[18]. 中国成功发射的“墨子号”量子卫星完成了星地量子通信等多项实验^[19-22]. 可见, 基于卫星中继的自由空间QKD已经成为量子通信研究的一个热点问题.
虽然基于卫星中继的自由空间QKD存在很多优势, 但其在实际应用中仍会受到大气信道的限制^[23]. 大气温度和压力改变导致的大气折射率的随机变化会引起光束漂移和光强闪烁等大气湍流效应, 具体表现为光信号的光强起伏和相位噪声, 从而导致信道传输率随时间变化, 严重影响安全密钥产生速率. 在强湍流条件下, 光信号受到的影响和干扰将会更大. 针对不同的大气湍流强度, 已经提出了多种信道传输率分布模型, 如对数正态模型、K分布模型等^[24-26]. 其中, 在弱湍流情况下应用最为广泛的对数正态模型不能直接用来描述强湍流条件下大气信道传输率的分布. 而K分布模型主要用来描述强湍流情况下大气信道传输率的分布^[27-29]. 因此, 本文采用K分布信道传输率分布模型分析强湍流条件下的自由空间MDI-QKD协议的基本性能, 并使用阈值后选择方法来减少大气湍流对密钥生成率的影响^[30].

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2.1.强湍流条件下的MDI-QKD模型

为克服探测设备的非完美性问题, Lo等^[31]基于时间反演的Einstein-Podolsky-Rosen思想和纠缠分发协议, 于2012年首次提出MDI-QKD协议. 该协议在关闭探测端所有安全漏洞的同时提高了安全传输距离. 自由空间MDI-QKD系统模型如图1所示.
图 1 自由空间测量设备无关量子密钥分发模型示意图(BS, 50 : 50光分束器; PBS, 偏振光分束器; D_1H, D_2H, D_1V, D_2V, 单光子探测器; U1 (U2), Alice和Bob的大气信道)
Figure1. Free space MDI-QKD diagram. BS, 50 : 50 beam splitter; PBS, polarized beam splitter; D_1H, D_2H, D_1V, D_2V, single-photon detector; U1 (U2), Alice and Bob’s atmospheric channel.

Alice和Bob随机选择直角基($z$基)或对角基($x$基)对产生的相干光脉冲进行编码后将其发送至非可信的第三方进行Bell态测量. 第三方公布测量结果, Alice和Bob通过基对比过程对原始密钥进行筛选, 最终生成密钥. 基于三强度的诱骗态的MDI-QKD密钥率的公式为^[32]

$\begin{split}R \geqslant \;&{{\textit{μ}} _2}{\nu _2}{e^{ - {{\textit{μ}} _2} - {\nu _2}}}Y_{11}^Z\left[ {1 - H\left( {e_{11}^X} \right)} \right] \\ &- Q_{{{\textit{μ}} _2}{\nu _2}}^Zf( {E_{{{\textit{μ}} _2}{\nu _2}}^Z} )H( {E_{{{\textit{μ}} _2}{\nu _2}}^Z} ),\end{split}$

式中$Q_{11}^Z$为Alice和Bob都发送单光子态且选择Z基编码时的增益, $e_{11}^X$为Alice和Bob都发送单光子态且选择X基编码时的量子误码率, $Q_{{{\mu} _2}{\nu _2}}^Z$和$E_{{{\mu} _2}{\nu _2}}^Z$代表着Alice脉冲强度为${{\mu} _2}$和Bob脉冲强度为${\nu _2}$且两者均选择Z基编码时的增益和量子误码率, ${{\mu} _2}\left( {{{\mu} _1},{{\mu} _0}} \right)$和${\nu _2}\left( {{\nu _1},{\nu _0}} \right)$分别为Alice和Bob发送的相干光脉冲信号态(诱骗态、真空态)的强度. U1 (U2)是Alice (Bob)到第三方的大气信道, 本文假设两者信道是对称的, 即${\eta _{\rm{A}}} = {\eta _{\rm{B}}} = \eta $. 在实际的自由空间QKD系统中量子态的传输会受到大气湍流的影响, 即U1 (U2)信道传输率$\eta $不再是一个常数, 而是随时间发生改变, 可以得到MDI-QKD密钥率的公式为

$\begin{split} & R\left( \eta \right)\!=\!\iint\!{P_{\alpha ,{{\eta }_{0}}}\!\left( {{\eta }_{{\rm A}}} \right)}P_{\alpha ,{{\eta }_{0}}}\!\left({{\eta }_{{\rm B}}}\right)\!R\left({{\eta }_{{\rm A}}},{{\eta }_{{\rm B}}} \right){\rm d}{{\eta }_{{\rm A}}}{\rm d}{{\eta }_{{\rm B}}} \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \!=\!\iint{{{\left( P_{\alpha ,{{\eta }_{0}}}\left(\eta \right) \right)}^{2}}}R\left( \eta \right){\rm d}\eta {\rm d}\eta, \end{split}$

式中${{P}_{\alpha ,{{\eta }_{0}}}}\left( \eta \right)$为大气湍流信道传输率概率分布. 本文使用K分布模型来描述强湍流信道传输率概率分布, 其表达式为^[29]

${P_{\alpha ,{\eta _0}}}\left( \eta \right) = \frac{{2{{\left( \alpha \right)}^{\left( {\alpha + 1} \right)/2}}{\eta ^{\left( {\alpha - 1} \right)/2}}}}{{\Gamma \left( \alpha \right){\eta _0}^{\left( {\alpha + 1} \right)/2}}}{{\rm{K}}_{\alpha - 1}}\left( {2\sqrt {\alpha \frac{\eta }{{{\eta _0}}}} } \right),$

式中$\Gamma \left( \cdot \right)$为gamma函数; ${{\rm{K}}_{\alpha - {\rm{1}}}}\left( x \right)$是阶数为$\alpha - 1$的第二类修正贝塞尔函数; ${\eta _0}$是大气信道平均传输率, 对于一个100 km的大气信道来说, ${\eta _0}$的取值在10^–3—10^–4之间; $\alpha $是与闪烁系数$\sigma _{\rm{I}}^2$相关的一个信道参数(图2), 两者的关系为^[33]
图 2 $\alpha $与闪烁系数$\sigma _{\rm{I}}^{\rm{2}}$的关系
Figure2. Relationship between $\alpha $ and scintillation coefficient $\sigma _{\rm{I}}^2$.

$\alpha = {2}/({{\sigma _{\rm{I}}^{\rm{2}} - 1}}).$

研究表明, 只有当闪烁系数$\sigma _{\rm{I}}^{\rm{2}}$取值在(2, 3)之间时, K分布模型才适用于强湍流模型^[27]. 由(4)式可知, 信道参数$\alpha $取值在(1, 2)之间, 且$\alpha $越大, 湍流强度越小. 本文在后续仿真中将$\alpha $随机选取3个值: 1.1, 1.5, 1.9.
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2.2.阈值后选择下的强湍流MDI-QKD模型

为缓解大气湍流效应对MDI-QKD协议性能的影响, 本文利用文献[14]中的预固定阈值实时选择方法对密钥进行后处理, 即设阈值为${\eta _{\rm{T}}}$, 当信道传输率$\eta \geqslant {\eta _{\rm{T}}}$时, 开始对信道信息进行采集, 同时丢弃$\eta < {\eta _{\rm{T}}}$的部分. 改进MDI-QKD密钥率的公式变为

${R_{{\rm{postselect}}}}\left( {{\eta _{\rm{T}}}} \right) = \displaystyle\int_{{\eta _{\rm{T}}}}^1 {\displaystyle\int_{{\eta _{\rm{T}}}}^1 {P_{\alpha ,{\eta _0}}^{}{{\left( \eta \right)}^2}R\left( {\left\langle \eta \right\rangle } \right){\rm{d}}\eta {\rm{d}}\eta } } ,$

式中$\left\langle \eta \right\rangle $为Alice和Bob与第三方间信道的平均传输率, 其计算公式为

$\left\langle \eta \right\rangle = \frac{{\displaystyle\int_{{\eta _{\rm{T}}}}^1 {\eta {P_{\alpha ,{\eta _0}}}\left( \eta \right){\rm{d}}\eta } }}{{\displaystyle\int_{{\eta _{\rm{T}}}}^1 {{P_{\alpha ,{\eta _0}}}\left( \eta \right){\rm{d}}\eta } }}.$

由(4)和(5)式可知, 当其他实验参数固定不变时, MDI-QKD密钥率只与阈值${\eta _{\rm{T}}}$有关, 即当${\eta _{\rm{T}}}$为最佳阈值时, ${R_{{\rm{postselect}}}}\left( {{\eta _{\rm{T}}}} \right)$取最大值且满足${\rm{d}}{R_{{\rm{postselect}}}}\left( {{\eta _{\rm{T}}}} \right)/{\rm{d}}{\eta _{\rm{T}}} = 0$. 根据该式对(5)式进行求导, 并代入(1)和(6)式可以得到最佳阈值$\eta _{\rm{T}}^{{\rm{opt}}}$:

$R\left( {\left\langle \eta \right\rangle } \right) + R\left( {\eta _{\rm{T}}^{{\rm{opt}}}} \right) = 0.$

而由(6)式可知, $\left\langle \eta \right\rangle $与信道参数$\alpha $、平均传输率${\eta _0}$有关. 利用(7)式, 通过仿真得到最佳阈值$\eta _{\rm{T}}^{{\rm{opt}}}$与信道参数$\alpha $、平均传输率${\eta _0}$的三维图, 如图3所示.
图 3 最佳阈值$\eta _{\rm{T}}^{{\rm{opt}}}$与信道参数$\alpha $、平均传输率${\eta _0}$的关系
Figure3. Relationship of optimal threshold value $\eta _{\rm{T}}^{{\rm{opt}}}$ to channel parameter $\alpha $ and average transmission rate ${\eta _0}$.

由图3可知, 最佳阈值$\eta _{\rm{T}}^{{\rm{opt}}}$会随信道参数$\alpha $、平均传输率${\eta _0}$的改变而改变. 当确定平均传输率${\eta _0}$时, 随着信道参数$\alpha $逐渐增大, 即湍流强度逐渐减少时, 最佳阈值$\eta _{\rm{T}}^{{\rm{opt}}}$缓慢增大, 而当信道参数$\alpha $固定时, 随着平均传输率${\eta _0}$逐渐增大, 最佳阈值$\eta _{\rm{T}}^{{\rm{opt}}}$逐渐增大. 然而自由空间星地上行链路损耗一般为43 dB^[34], 取此时$\eta _{\rm{T}}^{{\rm{opt}}}$的最小值0.0018作为最佳阈值.

根据上述推导的公式, 可以得到阈值与强湍流下MDI-QKD密钥率、湍流强度与强湍流下MDI-QKD密钥率之间的关系. 在仿真过程中, 主要采用以下参数数据^[35]: ${p_{\rm{d}}} = 3 \times {10^6}$为每个探测器的背景计数率, f = 1.16是纠错效率, ${\eta _{\rm{d}}} = $ 14.5%是探测效率, ${e_{\rm{d}}} = $ 1.5%是Alice和Bob总的未对准误差, 信号态和诱骗态光强分别取0.2, 0.01.
图4给出了强湍流下MDI-QKD密钥率与阈值、信道参数的关系, 此时信道的平均损耗为43 dB. 由图4可知, 当信道参数$\alpha = 1.1$时, 使用阈值选择方法的MDI-QKD的密钥率随阈值的变化而变化, 在${\eta _{\rm{T}}}$趋近于0.0018时取最大值, 且此时的密钥率明显要高于原始的MDI-QKD模型. 当改变$\alpha $的值时, 本文的方案性能发生改变, 即当$\alpha $值增大(湍流强度变小)时, MDI-QKD密钥率整体有所下降, 最大密钥率对应的阈值逐渐增大.
图 4 强湍流下MDI-QKD密钥率与阈值、信道参数的关系
Figure4. Relationship of key rate of MDI-QKD under strong turbulence to threshold and channel parameters.

图5给出了强湍流下MDI-QKD密钥率与信道损耗间的关系, 此时阈值为$\eta _{\rm T} ^{} = 0.0018$. 由图5可知, 当信道损耗较小时, 使用阈值后选择方法的MDI-QKD与原始的MDI-QKD模型密钥率曲线几乎重合, 当信道损耗较大时, 使用阈值后选择方法的MDI-QKD性能更优, 最多能够抵抗52 dB的损耗, 比原始MDI-QKD大6 dB. 而且强湍流下MDI-QKD密钥率与信道参数有关, 即$\alpha $越小(湍流强度越大), MDI-QKD抗干扰能力越强. 说明阈值后选择方法能够有效地抑制湍流对MDI-QKD的影响, 且湍流强度越大, 抑制效果越好.
图 5 强湍流下MDI-QKD密钥率与信道损耗间的关系
Figure5. Relationship between key rate of MDI-QKD under strong turbulence and channel loss.

强湍流条件下的自由空间MDI-QKD在理论上是无条件安全的, 因为其采用的仍然是经典的MDI-QKD协议, 只是研究的信道由光纤变为了自由空间, 其后选择方案并没有发生改变, 而经典的MDI-QKD协议是利用该协议的后选择性关闭了探测器侧信道所有漏洞, 其安全性与信道类型无关, 因此自由空间MDI-QKD的安全性等同于经典的MDI-QKD协议^[31]. 但该协议在实际条件下的安全性问题还需要进一步深入研究, 本文就是利用阈值后选择技术降低误码率, 解决大气湍流引起的高损耗问题, 提高QKD系统的实际安全性.

本文研究了阈值后选择方法对强湍流条件下自由空间MDI-QKD的影响, 并分析了在K分布强湍流下自由空间MDI-QKD系统中, 采用阈值后选择方法产生的密钥率与信道损耗、信道参数α、阈值之间的关系. 仿真结果表明使用阈值后选择方法的MDI-QKD比原始MDI-QKD性能更优, 尤其是在高损耗和强湍流区域, 而且其最佳阈值与湍流强度、信道平均损耗有关, 对实际搭建性能较好的自由空间MDI-QKD协议系统具有一定的参考价值.