摘要:光载流子辐射技术已广泛应用于半导体材料性能的表征, 本文基于一种包含光子重吸收效应的光载流子辐射理论模型, 对单晶硅中光子重吸收效应对光载流子辐射信号的影响进行了详细的理论分析. 分析结果表明, 光子重吸收效应对光载流子辐射信号的影响主要取决于样品掺杂浓度、过剩载流子浓度和过剩载流子的分布. 由于过剩载流子浓度及其分布与材料电子输运特性密切相关, 电子输运参数的变化将导致光子重吸收效应的影响随之变化. 进一步分析了光子重吸收效应对具有不同电子输运特性的样品的电子输运参数的影响, 并提出了减小光子重吸收效应影响的方法.
关键词: 光载流子辐射/
光子重吸收/
电子输运参数/
自由载流子吸收/
硅片

English Abstract

全文HTML

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半导体材料的电子输运特性, 如少子寿命($\tau $)、载流子扩散系数(D)和表面复合速率(S)对于模拟和分析光电探测器、太阳能电池等半导体器件的性能是至关重要的^[1]. 迄今为止, 用于测量表征半导体材料特性的非接触无损伤检测方法多种多样, 如光电导衰减(photoconductance decay)技术^[2]、光致发光(photoluminescence, PL)技术^[3,4]、光声光热(photoacoustic and photothermal)技术^[5-8]等.
光载流子辐射(photocarrier radiometric, PCR)技术^[5]作为光声光热技术的一种, 由于滤除了热波信号的影响, 理论模型和实验分析大大简化. PCR技术自提出以来, 已被广泛应用于单晶硅片^[9-13]、离子注入和退火硅片^[14-16]、太阳能电池^[17,18]、GaAs^[19]、PbS量子点薄膜^[20,21]等多种半导体材料的性能检测. 由于PCR技术测量的是整个探测区域内光激发过剩载流子的辐射复合发光, 材料体内的辐射光子将在材料内部传输一段距离后到达并透射出材料表面被探测装置(如探测器或相机)收集和探测, 辐射光子在向材料表面传输的过程中不可避免地要被材料重新吸收, 如带间吸收和带内自由载流子吸收. 对于间接带隙半导体材料, 如硅, 当掺杂浓度较低时, 辐射复合光子的重吸收系数较小, 光子重吸收(photon reabsorption, PR)对PCR信号的影响较小, 因此, 传统的光载流子辐射技术往往忽略了PR对测量结果的影响. 然而, 随着材料掺杂浓度的增加, PR的影响也逐渐增加. 同时, 对于不同特性的半导体材料, 光激发过剩载流子的浓度和分布也不尽相同, 导致PR的影响程度不同, 因此有必要对PR对PCR信号及其测量结果的影响进行详细分析, 以提高半导体材料特性参数的测量精度。
近年来, PR对PL谱和时间分辨PL信号的影响已被广泛研究^[22-25], 同时, 基于PR效应的检测方法^[26,27]及其对光电器件的性能调节技术^[28,29]也在不断地提出. 本文以单晶硅材料为例, 基于前期提出的含PR效应的PCR理论模型^[30], 详细分析了PR效应对传统频率扫描PCR信号及电子输运参数测量结果的影响, 并提出了减小PR效应影响的方法.

如图1所示, 当一束波长为$\lambda $的抽运光束照射到厚度为L的均匀半导体样品表面时, 如果抽运光束的光子能量高于被测半导体材料的禁带宽度, 样品将吸收光子能量而产生过剩载流子, 即过剩电子和空穴. 光激发过剩载流子由于浓度不均匀而向样品表面和体内扩散, 在扩散的过程中载流子通过多种复合机制进行复合, 如声子协助非辐射复合和发射光子的辐射复合. 假设抽运光束是半径为a₁的高斯光束, 光激发过剩载流子产生率为
图 1 PCR技术原理示意图
Figure1. Schematic diagram of PCR technique.

$\begin{split}g\left( {r,z,\omega } \right) = & \frac{{P\eta {\lambda _{{\rm{pump}}}}{\alpha _{{\rm{pump}}}}\left( {1 - {R_{{\rm{pump}}}}} \right)}}{{{\text{π}}{a_1}^2hc}}\\ & \times\left( {1 + {\rm{e} ^{{\rm{i}}\omega t}}} \right){{\rm e} ^{ - {\alpha _{\rm BB}}z - \frac{{{r^2}}}{{{a_1}^2}}}},\end{split}$

其中$\omega = 2{\text{π}}f$为角频率, f为抽运光束的调制频率, P为抽运光功率, $\eta $为光激发过剩载流子产生效率, $\lambda $_pump为抽运光波长, ${\alpha _{{\rm{pump}}}}$为样品在抽运光波长处的吸收系数, R_pump为样品前表面对抽运光的反射率, h为普朗克常数, c为真空中光速. 光激发过剩载流子浓度$\Delta $N(r,z,t)可表示为

$\Delta N\left( {r,z,t} \right) = \Delta {N_0}\left( {r,z} \right) + \Delta {N_1}\left( {r,z,\omega } \right){{\rm{e}}^{{\rm{i}}\omega t}},$

其中$\Delta $N₀(r,z)和$\Delta $N₁($\omega $,r,z)分别为光激发过剩载流子浓度的直流和交流部分, 可以通过求解载流子输运方程结合边界条件得到, 结果见附录A所示.
考虑PR效应, 探测范围内波长为$\lambda $的辐射光强度为

$\begin{split}{I_{{\rm{PL}}}}\left( \lambda \right) =\; & {\rm{const}} \cdot \!\!\int_0^{{a_2}}2{\text{π}}r{\rm{d}}r \int_0^L {\rm{d}}z\left( {{N_{\rm{D}}} + \Delta N\left( {r,z,t} \right)} \right)\\ & \times\Delta N\left( {r,z,t} \right) {f_{{\rm{esc}}}}\left( {r,z,\lambda } \right) ,\quad\quad\quad \quad \quad\;\; (3)\end{split}$

其中, const为常数, a₂为探测器的有效探测半径, N_D为掺杂浓度, f_esc(r, z, $\lambda $)为与PR和表面反射相关的辐射光子逃逸的可能性.
在实验测量中, 过剩载流子的近红外辐射光子通过InGaAs探测器进行探测, 并经锁相放大器进行解调, 因此一阶PCR信号可以通过将(3)式在探测器光谱响应范围进行积分得到,

$\begin{split}S\left( \omega \right) =\; & {\rm{const}} \cdot \int_{{\lambda _1}}^{{\lambda _2}}{\rm{d}}\left( \lambda \right)\int_0^{{a_2}}2{\text{π}}r{\rm{d}}r\int_0^L {{\rm d}}z \\ & \times \!\left( {{N_{\rm{D}}} \!+\! 2\Delta {N_0}\left( {r,z} \right)} \right)\!\Delta N\left( {r,z,\omega } \right) {f_{{\rm{esc}}}}\!\left( {r,z,\lambda } \right)\!,\end{split}$

其中, $\lambda $₁和$\lambda $₂分别为探测器可探测波长范围的上下限. 一般情况下, 近红外InGaAs探测器的光谱响应范围为0.7—1.8 μm.
为了测量样品的电子输运参数, 通过多参数拟合方式将测量的PCR数据拟合到上述理论模型中, 拟合中采用的目标函数为

${\rm{var}} = \frac{1}{M}\sum\limits_{i = 1}^M {{{\left[ {1 - \frac{{{A_{\rm{T}}}({f_i})}}{{{A_{\rm{E}}}({f_i})}}} \right]}^2} + \frac{{\sum\limits_{i = 1}^M {{{\left[ {{\varPhi _{\rm{T}}}({f_i}) - {\varPhi _{\rm{E}}}({f_i})} \right]}^2}} }}{{\sum\limits_{i = 1}^M {{{\left[ {{\varPhi _{\rm{E}}}({f_i})} \right]}^2}} }}} ,$

其中${A_{\rm{T}}}({f_i})$和${\varPhi _{\rm{T}}}({f_i})$分别为理论计算的调制频率为f_i时PCR信号的振幅和相位, ${A_{\rm{E}}}({f_i})$和${\varPhi _{\rm{E}}}({f_i})$分别为实验测量的调制频率为f_i时PCR信号的振幅和相位, M为数据点总数.
考虑辐射光在样品前后表面的多次反射, 对于常用的前表面抛光样品, (3)式和(4)式中的光子逃逸可能性f_esc($\lambda $, r, z)可表示为^[22,30]

$\begin{split}{f_{{\rm{ecs}}}}\left( {\lambda ,r,z} \right) =\; & C \cdot \left( {1 - {R_{\rm{f}}}} \right)\exp \left( { - \alpha z} \right) \\ & \times \left[ {1 + {R_{\rm{b}}}\exp \left( { - 3\alpha \left( {L - z} \right)} \right)} \right] \\ & \times \sum\limits_{i = 0}^\infty {{R_{\rm{f}}}^i{R_{\rm{b}}}^i\exp \left( { - 3i\alpha L} \right)},\end{split}$

其中R_f和R_b分别为样品前后表面对辐射光的反射率, C为常数, $\alpha $为PR系数. 由于辐射光子的能量位于样品带隙宽度附近, 辐射光子的重吸收过程中将包含两个方面: 带间吸收$\alpha $_BB和带内自由载流子吸收$\alpha $_FCA, 即$\alpha = {\alpha _{{\rm{BB}}}} + {\alpha _{{\rm{FCA}}}}$. 对于带间吸收, 样品吸收辐射光子后产生新的电子空穴对, 进而通过各种方式复合消失, 对于间接带隙半导体材料, 如单晶硅, 其辐射复合效率较低, 计算中忽略PR产生的电子空穴对再次辐射复合发射光子对信号的影响. 对于带间自由载流子吸收, 光子的重吸收仅在导带内或价带内进行, 并不会激发新的过剩载流子. 自由载流子吸收与辐射光子波长和样品内载流子浓度有关, 根据Green的经验公式可表示为^[23]

${\alpha _{{\rm{FCA}}}} = 2.6 \times {10^{ - 27}}n{\lambda ^3} + 2.7 \times {10^{ - 24}}p{\lambda ^2}, $

其中n和p分别为样品内电子和空穴的浓度, 单位为cm^–3, 波长${\rm{\lambda }}$的单位为nm.

仿真中样品对抽运光的吸收系数设置为6.6 × 10⁴ m^?1, 相应于单晶硅在830 nm波长处的吸收系数. 辐射光子重吸收中的带间吸收系数${\rm{\alpha }}$_BB采用文献[23]列出的Schinke等测量的数据, 自由载流子吸收系数$\alpha $_FCA利用(7)式计算得到. 图2给出了单晶硅样品的带间吸收系数和自由载流子吸收系数, 以及计算得到的未考虑PR效应时室温单晶硅样品的典型PL谱, 过剩自由载流子浓度设置为3 × 10¹⁵ cm^?3. 对于单晶硅样品, 其室温PL谱在900—1300 nm范围内, 因此发射光子被样品重吸收过程中将包含带间吸收和带内自由载流子吸收两个方面. 对于重掺杂样品, 在此光谱范围内, 辐射光子的重吸收既包含带间吸收也包含自由载流子吸收. 短波范围内, 带间吸收占主导; 长波范围内, 自由载流子吸收占主导. 仿真计算中, 除明确指出, 其他参数设置为如下: 样品厚度L = 525 μm, 掺杂浓度N_D = 1 × 10¹⁸ cm^?3, 载流子寿命和扩散系数采用文献中常用的参数值$\tau $ = 50 μs和D = 20 cm²/s ^[31]. 抽运光束半径a₁ = 25 μm, 探测器的有效探测半径a₂ = 55 μm. 抽运激光功率设置为P = 23 mW. 抛光面和粗糙面的复合速率分别设置为10和100 m/s, 反射率可根据菲涅耳反射定律和文献[22]分别设定为0.31和0.923. 由于过剩载流子浓度低于2 × 10¹⁷ cm^?3, 分析中不考虑俄歇复合的影响. 为了定量分析PR的影响, 定义相对误差$\Delta $ = (S_pr ? S₀)/S₀, 其中S_pr和S₀分别为考虑PR和不考虑PR时的PCR信号或PL信号. 尽管根据理论分析发现仿真参数变化时PR对PCR信号的影响程度有所变化, 但所得的结论是一致的, 因此上述设定的仿真参数具有一定的代表性.
图 2 单晶硅样品的带间吸收系数和自由载流子吸收系数及仿真的未考虑PR效应的PL谱
Figure2. Absorption coefficients ${\rm{\alpha }}$_BB and ${\rm{\alpha }}$_FCA for a silicon wafer and a simulated PL without PR.

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3.1.PR对PCR信号的影响

图3给出了PR对PCR信号的影响, PR使得PCR信号的振幅明显下降, 相位滞后有所减小但变化并不明显. 通过图3(c)相对误差的计算可以看到, PR使得PCR信号振幅下降高于47%, 而对相位的影响仅在3%以下. 相对误差为负值表明重吸收使得PCR信号振幅和相位滞后减小. 由图3(a)和图3(b)可以看到, 随着调制频率的增加, PR对PCR信号的振幅和相位的影响均逐渐减小. 由于PCR信号为不同调制频率时在探测器光谱响应范围内PL谱的积分, 为了深入分析PR对PCR信号的影响, 图4给出了两组不同调制频率下PR对PL谱的影响. 可以看出, 在短波范围内(< 1100 nm)带间吸收占主导, PR对PL信号的影响随波长的减小逐渐增大, 这是由于带间吸收系数随波长的减小而增大. 在长波范围内(> 1100 nm)自由载流子吸收占主导, 此时由于自由载流子吸收系数随波长的增大而增大, PR对PL信号的影响随波长的增大逐渐增大. 对比振幅和相位信号, 可以看到PR对PL信号相位的影响较小, 尤其在长波范围内. 同时, 随着调制频率的增大, PR对PL信号的影响有所减小, 因此对PCR信号的影响也逐渐减小, 与图3结果相一致.
图 4 重吸收对PL谱的影响　(a)振幅; (b)相位
Figure4. Influence of PR on PL spectrum: (a) Amplitude; (b) phase.

图 3 PR对PCR信号的影响　(a)振幅; (b)相位; (c)相对误差
Figure3. Influence of PR on PCR signal: (a) Amplitude; (b) phase; (c) relative error.

由于PL信号源于过剩载流子的辐射复合, 同时PR中自由载流子吸收也与过剩载流子有关, 因此PR对PL信号和PCR信号的影响必然与过剩载流子有关. 图5(a)给出了不同调制频率时光抽运中心位置过剩载流子的纵向分布情况. 随着调制频率的增加, 过剩载流子浓度逐渐减小, 同时其分布更趋近于样品前表面. 为了便于分析过剩载流子的分布情况, 定义过剩载流子分布的平均深度为
图 5 r = 0 μm时 (a) 过剩载流子浓度纵向分布; (b)平均深度与调制频率的关系
Figure5. (a) Vertical excess carrier density distribution and (b) mean depth as a function of the modulation frequency at r = 0 μm.

$\bar d = \dfrac{{\displaystyle\int_0^L {z\Delta N\left( z \right)dz} }}{{\displaystyle\int_0^L {\Delta N\left( z \right)dz} }}.$

图5(b)给出了过剩载流子平均深度与调制频率的关系. 在低频范围, 平均深度受调制频率的影响不大, 但随着调制频率的进一步增大, 过剩载流子平均深度逐渐减小.
从图3到图5的结果和上述分析可以明显看出, PR对PCR信号的影响取决于过剩载流子浓度及分布情况. 随着调制频率的增加, 过剩载流子浓度及平均深度逐渐减小, 过剩载流子浓度减小导致自由载流子吸收减小, 平均深度的减小使得辐射复合光子重吸收距离减小, 二者共同使得PR对PCR信号振幅和相位的影响逐渐减小.
由于不同样品的电子输运参数不同, 而过剩载流子浓度及分布又与电子输运参数相关, 因此有必要分析电子输运参数对PR的影响程度. 图6给出了不同载流子寿命时PR对PCR信号的影响. 随着载流子寿命的增加, 过剩载流子浓度和扩散长度(${L_{{\rm{eff}}}} = \sqrt {{{\left( {1 + {\rm{i}}\omega \tau } \right)}/{D\tau }}} $)^[7]均增加, 前者导致自由载流子吸收增大, 后者导致更多过剩载流子扩散至样品内部而远离前表面, 使其平均深度增大, 二者共同导致PR对PCR信号的影响增大. 另外, 高频情况时, PR对PCR信号的影响受载流子寿命的影响较小.
图 6 载流子寿命变化时, PR效应对PCR信号的影响
Figure6. Influence of PR on PCR signal for silicon wafers with different carrier lifetimes.

图7给出了不同载流子扩散系数时PR对PCR信号的影响. 随着扩散系数的增加, 过剩载流子浓度减小, 扩散长度增加, 前者导致自由载流子吸收减小, 使PR的影响减小, 后者导致更多过剩载流子扩散至样品内部而远离前表面, 使其平均深度增大, 使PR的影响增大. 从仿真结果来看, 当载流子扩散系数增大时, 短波范围内, PR对PL信号的振幅和相位的影响增大, 而长波范围内对振幅的影响减小, 对相位影响变化不大. 同时, PR对PCR振幅信号的影响减小, 而对PCR相位信号的影响增大, 这与PR对PL信号的影响相一致.
图 7 载流子扩散系数变化时, PR效应对PCR信号的影响
Figure7. Influence of PR on PCR signal for silicon wafers with different diffusion coefficients.

图8给出了不同前表面复合速率时PR对PCR信号的影响. 随着前表面复合速率的增加, 过剩载流子浓度减小, 导致自由载流子吸收减小, 同时过剩载流子的平均深度减小, 二者共同使得PR对PL和PCR信号振幅的影响减小, 对相位的影响增大. 当前表面复合速率变化时, PR对振幅的影响体现在几乎整个PL谱范围内, 而对相位的影响主要体现在短波范围内. 另外, 对于高频调制, 表面复合速率变化时, 由于过剩载流子浓度及分布的变化并不明显, PR对信号影响的变化相应减小.
图 8 前表面复合速率变化时, PR效应对PCR信号的影响
Figure8. Influence of PR on PCR signal for silicon wafers with different front surface recombination velocities.

图9给出了样品掺杂浓度变化时PR对PL和PCR信号的影响. 随着掺杂浓度的增加, 自由载流子吸收增强, 对于PL信号振幅, 在长波范围受光子重吸收的影响增大, 且较为明显, 而短波范围内的变化并不明显; 对于PL信号相位, 在长波范围受PR的影响减小, 而短波范围内的影响增大. 对于PCR信号, 掺杂浓度增大时, PR对其低频振幅和相位的影响均明显减小, 而对高频相位的影响减小程度较弱.
图 9 掺杂浓度变化时, PR效应对PCR信号的影响
Figure9. Influence of PR on PCR signal for silicon wafers with different doping densities.

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3.2.PR对电子输运参数($\tau $, D, S₁)测量结果的影响

对于样品的电子输运参数, 传统的频率扫描PCR技术是通过多参数拟合方式将测量的数据拟合到相应理论模型中得到. 通过上述分析发现, 电子输运参数的不同会导致PR对PCR信号的影响程度不同, 因此如果理论模型中忽略了PR效应, 拟合得到的电子输运参数将会产生误差, 偏离真实值. 为了分析这一影响, 我们仿真分析了传统未考虑PR效应时拟合得到的电子输运参数及其偏离真实值的情况. 首先采用更为完善的包含PR的模型计算相应数据, 然后采用未考虑PR的传统模型进行多参数拟合, 得到的电子输运参数通过公式 (P_pr ? P₀)/P₀计算相对误差, 其中P_pr和P₀分别为拟合和设置的电子输运参数值. 计算中, 样品掺杂浓度设置为N_D = 1 × 10¹⁸ cm^?3, 载流子寿命设置为10—100 μs, 前表面复合速率设置为1—100 m/s, 对于p型和n型样品, 扩散系数分别设置为12.5和35 cm²/s^[10], 其他参数设置不变. 图10给出了p型样品的计算结果, 可以明显看出, 样品具有不同电子输运参数时, PR对测量结果的影响具有较大的差别, 且对同一样品的不同电子输运参数测量结果的影响也各不相同. 对于载流子寿命较大的样品, 拟合的载流子寿命的相对误差较大, 而拟合的扩散系数和前表面复合速率的相对误差变化不大. 随着前表面复合速率的增大, 拟合的载流子寿命、扩散系数和前表面复合速率的相对误差均先减小后又有所增大. 从变化趋势上看, 拟合的扩散系数的相对误差随前表面复合速率的增大有所增大, 而拟合的载流子寿命和前表面复合速率的相对误差随前表面复合速率的增大有所减小. 比较三个电子输运参数的拟合误差发现, PR对载流子扩散系数拟合结果的影响最小, 而对前表面复合速率的影响最大.
图 10 p型单晶硅中PR对拟合的电子输运参数的影响 (a) $\tau $; (b) D; (c) S₁
Figure10. Influence of PR on the fitted electronic transport parameters for p-type silicon wafers: (a) $\tau $; (b) D; (c) S₁.

图11为PR对n型样品中电子输运参数测量结果的影响. 与p型样品结果比较发现, 二者的变化趋势基本一致. 由于载流子扩散系数的增大, PR的影响将受载流子浓度的减小和平均深度的增大两个方面共同影响, n型样品中PR对载流子寿命和前表面复合速率的影响更大, 尤其对于高寿命和低表面复合速率的样品, 而对扩散系数的影响变化不大, 均在10%以下.
图 11 n型单晶硅中PR对拟合的电子输运参数的影响 (a) $\tau $; (b) D; (c) S₁
Figure11. Influence of PR on the fitted electronic transport parameters for n-type silicon wafers: (a) $\tau $; (b) D; (c) S₁.

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3.3.减小PR影响的方法

由于PR对电子输运参数的测量均具有一定的影响, 且影响程度不同, 为了减小这一影响, 可以从以下两个方面考虑: 一是采用含PR的理论模型进行多参数拟合, 二是在实验中采用合适的滤光片减小PR的影响. 图12给出了在探测器前加入长波通滤光片前后PR对PCR信号振幅和相位的影响, 其中滤光片的截止波长设置为1100 nm. 从计算结果可以看出, 加入滤光片后PR的影响大大减小, 其中对相位的影响由原来未加入滤光片的负值变为正值, 表明加入滤光片后PR导致PCR相位滞后增大, 这一现象可以通过图4给出的PR对PL谱的影响进行解释, 加入长波通滤光片后, 滤除了对信号影响较大的短波范围辐射复合光, 因此减小了PR对信号的影响. 进一步对拟合的电子输运参数的影响进行分析发现, 对于$\tau $ = 50 μs, D = 20 cm²/s, S₁ = 10 m/s的样品, 加入滤光片前后拟合结果分别为55.66 μs, 19.98 cm²/s, 11.94 m/s和51.43 μs, 20.19 cm²/s, 9.88 m/s, PR导致的拟合参数值的相对误差分别为11.33%, 0.10%, 19.40%和2.86%, 0.95%, 1.23%. 尽管拟合的扩散系数的相对误差有所增大, 但均在1%以下, 而对载流子寿命和前表面复合速率的影响却大大减小. 可见, 在实验测量中加入合适滤光片可以有效减小PR对测量结果的影响. 然而, 在实际实验测量过程中, 使用滤光片时还需要考虑两个问题, 即滤光片的非理想透射谱的影响和滤光片对信号信噪比的影响. 前者可以通过理论仿真和实验测量方式加以详细分析, 后者可以通过优化信号收集装置和采用灵敏度更高的探测器(如光电倍增管)予以改善.
图 12 加入滤光片前后PR对PCR信号的影响
Figure12. Influence of PR on PCR signal with and without the filter.

需要指出的是, 样品厚度和表面形貌及抽运光功率和波长等其他条件的变化同样会引起PR对频域PCR信号和多参数拟合结果影响程度的变化. 由于其变化规律与文献[30]中分析的PR对空间分辨PCR成像技术的影响结果类似, 此处不再详细分析.

本文以单晶硅材料为例, 详细分析了PR效应对传统频率扫描光载流子辐射信号及电子输运参数测量结果的影响. 基于含PR效应的频域PCR理论模型, 综合分析PR对室温PL谱和PCR信号的影响及其与过剩载流子的关系, 结果表明, PR效应对PCR信号的影响主要取决于样品的掺杂浓度、过剩载流子浓度及其纵向分布情况, 过剩载流子的纵向分布情况可以通过定义的平均深度进行定量表征. 由于过剩载流子浓度及其平均深度与电子输运参数密切相关, 文中详细分析了电子输运参数变化时PR对信号的影响, 并进一步分析了PR效应对不同样品拟合得到的电子输运参数的影响, 最后提出了减小PR影响的方法.

通过求解三维载流子输运方程, 结合边界条件, 通过Hankle变换及逆变换可以得到光激发过剩载流子浓度为:

$ \begin{split}\Delta {N_0}\left( {r,z} \right) =\; & \int_0^\infty {\left[ {{C_{10}}{\rm{e} ^{{k_0}z}} + {C_{20}}{\rm{e} ^{ - {k_0}z}} + {C_{30}}{\rm{e} ^{ - {\alpha _{BB}}z}}} \right]}\\ & \times{J_0}\left( {\xi r} \right)\xi {\rm{d}}\xi ,\end{split}\tag{A1}$

$ \begin{split}\Delta {N_1}\left( {r,z,\omega } \right) =\; & \int_0^\infty {\left[ {{C_1}{\rm{e} ^{kz}} + {C_2}{\rm{e} ^{ - kz}} + {C_3}{\rm{e} ^{ - {\alpha _{BB}}z}}} \right]}\\ & {J_0}\left( {\xi r} \right)\xi {\rm{d}}\xi ,\end{split}\tag{A2}$

其中

$ \begin{split} & {C_{30}} = \frac{{ - {\alpha _{{\rm{BB}}}}P\eta \left( {1 - {R_{{\rm{laser}}}}} \right)}}{{8{\rm{\pi }}\hbar {\omega _{{\rm{laser}}}}D\left( {{\alpha _{{\rm{BB}}}}^2 - k_0^2} \right)}}{{\rm{e}}^{ - \frac{{{\xi ^2}{a_1}^2}}{4}}}, \\ & {C_{10}} = \frac{{{b_1} - {b_2}{{\rm{e}}^{ - \left( {{\alpha _{{\rm{BB}}}} - {k_0}} \right)L}}}}{{{A_1} - {A_2}{{\rm{e}}^{2{k_0}L}}}}{C_{30}}, \\ & {C_{20}} = \frac{{{A_2}{b_1}{{\rm{e}}^{2{k_0}L}} - {A_1}{b_2}{{\rm{e}}^{ - \left( {{\alpha _{{\rm{BB}}}} - {k_0}} \right)L}}}}{{{A_1} - {A_2}{\rm{e} ^{2{k_0}L}}}}{C_{30}}, \end{split} \tag{A3}$

$ \begin{split} & {C_3} = \frac{{ - {\alpha _{{\rm{BB}}}}P\eta \left( {1 - {R_{{\rm{laser}}}}} \right)}}{{2{{\rm{\pi }}^2}\hbar {\omega _{{\rm{laser}}}}D\left( {{\alpha _{{\rm{BB}}}}^2 - {k^2}} \right)}}{{\rm{e}}^{ - \frac{{{\xi ^2}{a_1}^2}}{4}}}, \\ & {C_1} = \frac{{{b_1} - {b_2}{e^{ - \left( {{\alpha _{{\rm{BB}}}} - k} \right)L}}}}{{{A_1} - {A_2}{{\rm{e}}^{2kL}}}}{C_3}, \\ & {C_2} = \frac{{{A_2}{b_1}{{\rm{e}}^{2kL}} - {A_1}{b_2}{{\rm{e}}^{ - \left( {{\alpha _{{\rm{BB}}}} - k} \right)L}}}}{{{A_1} - {A_2}{{\rm{e}}^{2kL}}}}{C_3}, \end{split} \tag{A4}$

和

$ \begin{split} & {A_1} = \frac{{Dk - {S_1}}}{{Dk + {S_1}}},{A_2} = \frac{{Dk + {S_2}}}{{Dk - {S_2}}},\\ & {b_1} = \frac{{D{\alpha _{{\rm{BB}}}} + {S_1}}}{{Dk + {S_1}}},{b_2} = \frac{{D{\alpha _{{\rm{BB}}}} - {S_2}}}{{Dk - {S_2}}}, \end{split}\tag{A5}$

此处$k_0^2 = {\xi ^2} + {1/{\left( {D\tau } \right)}}$, ${k^2} = {\xi ^2} + {{\left( {1 + {\rm{i}}\omega \tau } \right)}/{\left( {D\tau } \right)}}$, S₂为后表面复合速率, J₀($\xi $r)为第一类零阶Bessel函数.