黏弹性接触界面端附近的奇异应力场 1)

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彭凡²⁾, 谢双双, 戴宏亮³⁾湖南大学汽车车身先进设计与制造国家重点实验室,长沙 410082

SINGULAR STRESS FIELD IN VISCOELASTIC CONTACT INTERFACE ENDS ¹⁾

Peng Fan²⁾, Xie Shuangshuang, Dai Hongliang³⁾State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China

收稿日期:2018-08-9接受日期:2018-10-22网络出版日期:2019-03-18

基金资助:

深海载人装备国家重点实验室开放基金资助项目.702SKL201705

Received:2018-08-9Accepted:2018-10-22Online:2019-03-18
作者简介 About authors
2)彭凡,教授,主要研究方向：疲劳与断裂.E-mail:fanpeng@hnu.edu.cn

3)戴宏亮,教授,主要研究方向：多场耦合力学.E-mail:hldai@hnu.edu.cn

摘要
研究蠕变加载条件下线黏弹性材料接触界面端附近的奇异应力场问题.考虑接触界面的摩擦,假设界面端的滑移方向不改变,相对滑移量微小,且其与位移同量级,由此线性化局部边界条件,根据对应原理得到Laplace变换域中的界面端应力场,导出时域中奇异应力场的卷积积分表达式.对卷积积分核函数进行数值反演,考虑接触材料的两类组合,一是持久模量具有量级上的差异,另一是持久模量接近相同.算例结果证实核函数可以用准弹性法求得的解析式较准确地近似.在此基础上,利用积分中值定理,并引入各应力分量的修正系数,得到黏弹性奇异应力场的简化式.结合核函数的数值反演结果分析修正系数表达式的取值范围,得到如下结论,若两相接触材料的持久模量相差很大,可以采用准弹性解的解析式较准确地描述界面端的奇异应力场;一般情况下,应力场不存在统一的奇异值和应力强度系数,当采用类似于准弹性解的表达式近似给出黏弹性应力场时,可以估计此近似描述的误差限.文中最后采用有限元分析黏弹性板端部嵌入部位的应力场,算例包括了黏弹性板与弹性金属支承、黏弹性板与黏弹性垫层所形成的滑移接触界面端,利用黏弹性有限元的数值结果验证理论分析所得结论的有效性.
关键词： 黏弹性;接触界面端;应力奇异性;卷积积分;准弹性解

Abstract
The paper concerns the problem of singular stress filed in viscoelastic contact interface ends under creep loading. The local boundary conditions taking into account the contact friction are linearized by the assumptions of tiny relative slip and invariant slip direction between interfaces. The solution of stress field at the interface end in the Laplace transform domain is obtained based on the correspondence principle, and the convolution integral expressions of the singular stress field in the time domain is developed. The numerical inversion of convolution integral kernel is made by considering two types of combinations of contact materials. One is that the durable modulus has a difference in magnitude, and the other is that the durable modulus is nearly the same. The results of inversion show that kernel functions can be approximated by analytical expressions obtained by the quasi-elastic method with a good accuracy. On this basis, simplified formulas of the viscoelastic singular stress field are developed by using the integral mean value theorem and introducing the correction coefficient of each stress component. The value range of expressions for correction coefficient is investigated in combination with the examination the numerical inversion results of the kernel functions, following conclusions are drawn as follows. If the durable modulus of the two-phase contact material differs greatly, the quasi-elastic solution can be used to describe the singular stress fields near the interface end; in general, there is no uniform singular value and no uniform stress intensity factor for stress fields; when the solution of viscoelastic stress is approximated by formulas similar to the quasi-elastic solution, the error limit can be estimated. In the last part of the paper, the viscoelastic stress analysis of viscoelastic plate at support ends is performed by means of finite element simulation as plane strain problem. The example includes two types of contact interface ends, one is constructed by the viscoelastic plate and an elastic metal support, the other is formed by a viscoelastic plate and viscoelastic cushion layers. The theoretical conclusions obtained in the front part of the paper are validated by the simulation results.
Keywords：viscoelasticity;contact interface end;stress singularity;convolution integral;quasi-elastic approach

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本文引用格式
彭凡, 谢双双, 戴宏亮. 黏弹性接触界面端附近的奇异应力场 ¹⁾. 力学学报[J], 2019, 51(2): 494-502 DOI:10.6052/0459-1879-18-264
Peng Fan, Xie Shuangshuang, Dai Hongliang. SINGULAR STRESS FIELD IN VISCOELASTIC CONTACT INTERFACE ENDS ¹⁾. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics[J], 2019, 51(2): 494-502 DOI:10.6052/0459-1879-18-264

引言

工程中常见两物体呈现未粘接的接触,物体沿接触面产生相对滑移,此即所谓滑移接触,接触部位力学行为的分析一直是研究热点^[1-4]. 在接触界面的端部附近存在奇异应力场^[5-9],应力集中加速了材料磨损和开裂.Xu等^[5-6]假设相对滑移量微小,与位移同量级,从而线性化界面端附近的局部边界条件,然后由Goursat应力函数获得线弹性材料接触界面端的奇异应力场及确定奇异性指数的特征方程.文献[10,11,12]采用接触界面端的奇异应力场强度定量评估微动疲劳寿命.实际应用中,存在界面端材料呈现出固体流变特性的情形,如航空飞行器与水下潜航器用到的有机玻璃透明结构件与支承形成的黏弹性接触界面^[13-14]、高温环境中不同金属材料之间的接触界面蠕变问题.针对界面具有完全粘接,且材料具有与时间相关的力学行为的粘接界面端,已发表了下述应力奇异性分析及强度问题的研究结果.文献[15-17,19-20]分析了弹性/线黏弹性或双相线黏弹性粘接界面端应力场,作者们采用了一个基本相同的处理方法,直接将Laplace变换域中的Dunders参数反变换后代入相应线弹性解的特征方程,由此得到时域内的奇异指数;部分研究工作^[15-16,18]还进一步假设黏弹性奇异应力场的数学表达式与弹性解相似.然而,以上所述的确定奇异指数的弹性-黏弹性对应方法在数学上并不成立;另一方面,当以弹性解的相似形式描述黏弹性奇异应力场时,缺乏理论依据,将产生方法误差,其范围也需估计.Kuo等^[21]在Laplace变换域中采用Stroh公式求解双相各向异性黏弹性材料粘接界面端的位移场和奇异应力场,由Laplace数值逆变换得到时域中的数值解,显然,这种解法不能给出应力场的解析表达式.Kitamura等^[22]研究了弹性材料/非线性蠕变材料组成的粘接界面端问题,蠕变相材料的变形服从Norton律,由于获得奇异应力场的解析式困难,假设沿界面的应力场表达式在形式上与弹性解相同,通过有限元分析结果外推得到时间相依的奇异指数和相应的应力强度系数,需要指出的是,应力场沿界面的分布假设同样缺乏严密的论证.Takahashi等^[23]在文献[22]的基础上提出了弹性材料与非线性蠕变材料组成的界面端蠕变开裂的破坏条件.

目前,对界面具有滑移接触的黏弹性界面端奇异应力场问题所开展的研究工作还未见报道.黏弹性变形过程中界面之间的相对滑移,以及滑移方向的变化引起摩擦力方向的改变等因素的出现,导致边界条件非线性,使得问题的理论分析难以进行.文中考虑蠕变加载,首先对问题进行一定简化,线性化边界条件,由对应原理得到Laplace变换域中的接触界面端应力场,以卷积积分形式给出时域中奇异应力场的表达式;通过数值算例指出应力场的卷积积分核函数可以利用准弹性求解所得解析式来近似;在此基础上讨论应力场的奇异性特征,得到采用准弹性解相似形式的表达式描述黏弹性应力场的误差估计.最后,采用有限元法分析黏弹性板端部嵌入部位的奇异应力场,以数值结果验证理论分析所得结论的有效性.

1 接触界面端附近的黏弹性应力场

考虑平面问题,如图1(a)所示,两种黏弹性材料1和材料2在材料2端部附近接触,取x轴沿接触界面.对问题进行以下简化,一是假设在整个黏弹性变形过程中,接触界面端的相对滑移量是微小的,与变形位移同量级,且相对滑移方向不变;另一方面,如图1(b)所示,以$O$为原点,假定存在一个$r_{0}$,在$r \le r_{0}$的局部区域内,两种材料始终保持接触,摩擦系数不随时间而变;外部区域对该局部区域内的应力分布与变形的影响通过后者周边的位移边界施加.由此,我们可以用变形及滑移前的几何形状为基准来研究黏弹性材料接触界面端的变形与相对滑移.

图1

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图1接触界面端

Fig.1Contact interface ends

在$r \le r_{0}$的部区域内,与$O$相连边界的线性边界条件表示如下

(1)$$\left. {\begin{array}{l} \sigma _{\theta 1} (r,\theta ,t) + {\rm i}\tau _{r\theta 1} (r,\theta ,t) = 0\quad (\theta = \theta _0 ) \\ \sigma _{\theta 2} (r,\theta ,t) + {\rm i}\tau _{r\theta 2} (r,\theta ,t) = 0\quad(\theta =-π) \\ \sigma _{\theta 1} (r,\theta ,t) + {\rm i}\tau _{r\theta 1} (r,\theta ,t) =\\ \qquad \sigma _{\theta 2} (r,\theta ,t) + {\rm i}\tau _{r\theta 2} (r,\theta ,t)\quad (\theta = 0) \\ \tau _{r\theta 1} (r,\theta ,t) = \pm f\sigma _{\theta 1} (r,\theta ,t) \quad (\theta = 0) \\ u_{\theta 1} (r,\theta ,t) = u_{\theta 2} (r,\theta ,t) {\kern 1pt} \quad (\theta = 0) \\ \end{array}} \right\}$$

式中,$\sigma _{r}$和$\sigma _{\theta}$分别为径向和环向正应力,$\tau$}$_{r\theta}$为剪切应力,$u_{\theta }$为环向位移,f为接触面的摩擦系数,下标1和2分别对应于材料1和材料2.

1.1 奇异应力场的黏弹性解

假设两种材料泊松比的时间相关性弱,近似为常量.各向同性平面应力问题的积分型线黏弹性本构关系可表示为

(2)$$ \left. {\begin{array}{l} \sigma _{rj} = \frac{1}{1-\nu _j^2 }\int_0^t {E_{j1} {\rm (}t{\rm-}\varsigma {\rm )}\left[ {{\rm d}\varepsilon _{rj} (\varsigma ) + \nu _j {\rm d}\varepsilon _{\theta j} (\varsigma )} \right]} \\ \sigma _{\theta j} = \frac{1}{1-\nu _j^2 }\int_0^t {E_{j1} {\rm (}t{\rm-}\varsigma {\rm )}\left[ {{\rm d}\varepsilon _{\theta j} (\varsigma ) + \nu _j {\rm d}\varepsilon _{rj} (\varsigma )} \right]} \\ \tau _{r\theta j} = \frac{1}{2(1 + \nu _j )}\int_0^t {E_{j1} {\rm (}t{\rm-}\varsigma {\rm )d}\gamma _{r\theta j} (\varsigma )} \end{array}} \right\}$$

式中,j=1,2代表两种接触材料,$v_{j}$是泊松比;$E_{j}(t)$表示松弛模量.分别用$E_j (t) / [1-\nu _j^2 ]$与$\nu _j / (1-\nu _j)$代替式(2)的$E_{j}(t)$和$v_{j}$即可得平面应变问题的本构关系.

$E_{j}(t)$用Prony级数表示如下式(3)$$E_j (t) = E_{j0} + \sum\limits_{k = 1}^{n_j } {E_{jk} {\rm e}^{-\tau _{jk} t}}$$

式中,$E_{j0}$,$E_{jk}$和$\tau$}$_{jk}$ (k=1,2,$\cdots$,$n_{j})$为材料参数,其中,$E_{j}(\infty )=E_{j0}$为持久模量.

将式(1)、式(2)作Laplace变换,且在变换域中取 Goursat 应力函数为

(4)$$ \varphi _j = A_j (s)z^{\lambda ^ * (s)}, ~~\psi _j = B_j (s)z^{\lambda ^ * (s)}~~~(j = 1,2)$$

式中,z =$r{\rm e}^{{\rm i}\theta}$,其中i为虚数单位,$s$为Laplace参数,$\lambda$}$^{\ast}$为指数,$A_{j}$与$B_{j}$为待定复系数.Laplace变换域中的应力和位移为

(5)$$\left. {\begin{array}{l} \sigma _{{\theta j} }^ * + {\rm i}\tau _{{r\theta j} }^ * = \lambda ^ * r^{\lambda ^ *-1}\Big[ A_j \lambda ^ * {\rm e}^{{\rm i}(\lambda ^ *-1)\theta } +\\ \qquad \bar{A}_j {\rm e}^{-{\rm i}(\lambda ^ *-1)\theta } + B_j {\rm e}^{{\rm i}(\lambda ^ * + 1)\theta } \Big] \\ \sigma _{_{rj} }^ *-{\rm i}\tau _{_{r\theta j} }^ * = \lambda ^ * r^{\lambda ^ *-1}\Big[ A_j \left( {2-\lambda } \right){\rm e}^{{\rm i}(\lambda ^ *-1)\theta } + \\ \qquad \bar {A}_j {\rm e}^{-{\rm i}(\lambda ^ *-1)\theta }-B_j {\rm e}^{{\rm i}(\lambda ^ * + 1)\theta } \Big] \\ 2\mu _{_j }^ * (u_{rj}^ * + {\rm i}u_{_{\theta j} }^ * ) = r^{\lambda ^ * }\Big[ A_j \kappa _j {\rm e}^{{\rm i}(\lambda ^ *-1)\theta }-\\ \qquad \bar {A}_j \lambda ^ * {\rm e}^{-{\rm i}(\lambda ^ *-1)\theta }-\bar {B}_j {\rm e}^{-{\rm i}(\lambda ^ * + 1)\theta } \Big] \end{array}}\right\} $$

式中,等号左边各项的上标"*"表示变换域中的对应力学量,其中$u_{rj}^{\ast}$是径向位移. 常系数$\kappa$}_j(j=1,2)在平面应力时为(3-$\nu$}_j)/(1+$\nu$}_j),平面应变时为(3$-$4$\nu$}$_{j})$;$\mu$}$_{j}^{\ast }$= sE}$_{j}^{\ast }$/[2(1+$\nu$}$_{j})$]为剪切模量,其中$E_{j}^{\ast}=L$[$E(t)$]为松弛模量的Laplace变换.类似文献^[5,6]的推导,利用式(5)和Laplace变换后的齐次边界条件(1),可导出确定式(4)中奇异性指数$\lambda$}$^{\ast }$的特征方程如下

(6)$ \begin{array}{l} \sin \lambda ^ * π [2f(1-\alpha ^ * )\lambda ^ * (\lambda ^ * + 1)\sin ^2\theta _0-4\beta ^ * f\sin ^2\lambda ^ * \theta _0-\\ \qquad (1-\alpha ^ * )(\lambda ^ * \sin 2\theta _0 + \sin 2\lambda ^ * \theta _0 )]+ \end{array} \\ 2(1 + \alpha ^ * )\cos \lambda ^ * \pi [(\lambda ^ * )^2\sin ^2\theta _0-\sin ^2\lambda ^ * \theta _0 ] = 0$

式中,$\alpha$}$^{\ast }$,$\beta$}$^{\ast}$为变换域中的Dundurs参数,分别为

$$\left.\begin{array}{lll} \alpha ^ * = \frac{\mu _1^ * (s)\left( {\kappa _2 + 1} \right)-\mu _2^ * (s)\left( {\kappa _1 + 1} \right)}{\mu _1^ * (s)\left( {\kappa _2 + 1} \right) + \mu _2^ * (s)\left( {\kappa _1 + 1} \right)}\\ \beta ^ * = \frac{\mu _1^ * (s)\left( {\kappa _2-1} \right)-\mu _2^ * (s)\left( {\kappa _1-1} \right)}{\mu _1^ * (s)\left( {\kappa _2 + 1} \right) + \mu _2^ * (s)\left( {\kappa _1 + 1} \right)}\end{array}\right\}$$

将变换域中的局部应力场写为以下向量形式

(7)$$ \left[ {\sigma _{r2}^ * ,\sigma _{\theta 2}^ * ,\tau _{r\theta 2}^ * } \right] = K_{\rm v}^ * (s)r^{\lambda ^ * (s)-1}\left[ {\varTheta _r^ * ,\varTheta _\theta ^ * ,\varTheta _{r\theta }^ * } \right]$$

式中,$K_{V}^{\ast }(s)$为比例因子;$\varTheta _r^ *$,$\varTheta _\theta ^ *$和$\varTheta _{r\theta }^ *$是$\lambda$}$^{\ast }$与$\theta$}的函数,参见附录.由式(7)可知,当Re[$\lambda$}$^{\ast}$]$<$1时,应力场具有奇异性, 可将$K_{v}^{\ast}(s)$理解为应力强度系数. 令

(8)$$ \left[ {\varGamma _r ,\varGamma _\theta ,{\rm }\varGamma _{r\theta } } \right] = L^{-1}\left\{ {\frac{r^{\lambda ^ * (s)-1}}{s}\left[ {\varTheta _r^ * ,\varTheta _\theta ^ * ,{\rm }\varTheta _{r\theta }^ * } \right]} \right\}$$

将式(7)作Laplace逆变换后得到

(9)$$\left[ {\sigma _{r2},\sigma _{\theta 2},\tau _{r\theta 2} } \right] = \int_0^t [ \varGamma _r (t-\varsigma ), \\ \varGamma _\theta (t-\varsigma ),\varGamma _{r\theta } (t-\varsigma ) ] {\rm d}K_{\rm v} (\varsigma )$$

式中,$\varGamma$}$_{r}$,$\varGamma$}$_{\theta}$和$\varGamma$}$_{r\theta }$为核函数,$K_{v}(t)$是$K_{v}^{\ast }$(s)的逆变换.式(9)和式(8)表明,奇异性隐含在卷积积分的核函数中,且具有"记忆"功能.

1.2 奇异应力场的准弹性解

将两种材料的本构关系式(2)由卷积形式简化为乘积形式,结合局部边界条件式(1),经时域中的Goursat应力函数法,可导出奇异应力场的准弹性解为

(10)$$ \left[ {\sigma _{r2}^q ,\sigma _{\theta 2}^q ,\tau _{r\theta 2}^q } \right] = \left[ {\varGamma }'_r,{\varGamma }'_\theta ,{\varGamma }'_{r\theta }\right]K_q (t)$$

式中,$K_{q}(t)$为准弹性解的强度系数,$\varGamma '_{r}$,$\varGamma '_{\theta }$和$\varGamma '_{r\theta }$以向量形式写为

(11)$$ {\rm [}{\varGamma }'_r,{\varGamma }'_\theta ,{\rm }{\varGamma }'_{r\theta }] = r^{\lambda _q (t)-1}[\varTheta _r^q ,\varTheta _\theta ^q ,\varTheta _{r\theta }^q ]$$

式中,右端$\varTheta _r^q$,$\varTheta _\theta ^q$和$\varTheta_{r\theta }^q$的形式分别对应附录中的$\varTheta _r^ *$,$\varTheta _\theta ^ *$和$\varTheta _{r\theta }^ *$,只须将后者的$\lambda$}$^{\ast}$替换为准弹性解的奇异性指数$\lambda$}$_{q}$,其由下述特征方程解出

(12)$$[2f(1-\alpha )\lambda _q (\lambda _q + 1) + 2(1 + \alpha )(\lambda _q )^2 cot \lambda _q π] sin ^2 \theta _0-[4 \beta f + 2(1 + \alpha ) cot \lambda _q π] sin ^2 \lambda _q \theta _0-(1-\alpha )(\lambda _q sin 2 \theta _0 + sin 2 \lambda _q \theta _0 )] = 0$$

式中,$\alpha$},$\beta$}为准弹性法的Dunders参数,有

$$\left\{\begin{array}{ll} \alpha = \frac{\mu _1 (t)\left( {\kappa _2 + 1} \right)-\mu _2 (t)\left( {\kappa _1 + 1} \right)}{\mu _1 (t)\left( {\kappa _2 + 1} \right) + \mu _2 (t)\left( {\kappa _1 + 1} \right)}\\ \beta = \frac{\mu _1(t)\left( {\kappa _2-1} \right)-\mu _2 (t)\left( {\kappa _1-1} \right)}{\mu _1 (t)\left( {\kappa _2 + 1} \right) + \mu _2 (t)\left( {\kappa _1 + 1} \right)}\end{array}\right.$$

其中,$\mu$}$_{j}=E_{j}(t)$/[2(1+$\nu$}$_{j})$].

1.3 黏弹性奇异应力场的近似表示

将式(11)左端各项视为准弹性解(10)式的核函数,比较式(9)与式(10)可见,黏弹性解是核函数与强度系数的卷积,而准弹性解是相应核函数与强度系数的直接乘积,但两者所对应的强度系数分别在变换域和时域中定义,显然,应力强度系数的时间相关性依赖于图1中$r=r_{0}$的位移边界条件.

下面通过数值算例来考察黏弹性解与准弹性解核函数的相近程度,式(8)的解析求逆困难,文中采用Bellman算法求其数值逆变换^[24-26],由以下形式表示

(13)$$ \sum\limits_{i = 1}^n {W_i^ * (X_i^ * )^{s-1}{\varPhi} (r,\theta ,t_i )} = \frac{r^{\lambda ^ * (s / A_0 )-1}}{A_0 }{\varPsi}^ * (\theta ,\lambda ^ * (s / A_0 ))$$

式中,$n$是求积节点个数,$s$=1,2,\ldots ,$n$;{{$\varPhi$}}(r,$\theta$},$t_{i})$=[$\varGamma$}$_{r}$, $\varGamma$}$_{\theta }$, $\varGamma$}$_{r\theta }$]$^{\rm T}$,{{$\varPsi$}}$^{\ast }$($\theta$},$\lambda$}$^{\ast })$=[$\varTheta$}$^{\ast }_{r}$, $\varTheta$}$^{\ast }_{\theta }$, $\varTheta$}$^{\ast }_{r\theta }$]$^{\rm T}$;$X_{i}^{\ast }$=(1+$X_{i})$/2,$W_{i}^{\ast }=W_{i}$/2,其中$X_{i}$和$W_{i}$分别是$n$阶高斯积分点和权重系数;$X_{i}^{\ast }$和$W_{i}^{\ast }$是移位后的高斯积分点和相应的权重系数,$A_{0}$($>$0)是移轴系数,调整该系数可改变离散时间点的分布区间,$t_{i}$=$-A_{0}$ln($X_{i}^{\ast })$是时域内的离散时间点.

考虑表1所示三种黏弹性材料的组合,取两组算例,算例1中,图1所示材料1取参数组group 3,材料2取参数组group 1,可见材料1的持久模量等材料2大近两个量级;算例2中,材料2的参数不变,但材料1取参数组group 2,此时材料2的持久模量小于材料1. 统一取摩擦系数f=0.3,图2~图5给出了算例1的核函数计算结果,其中,图2和图3分别是给定极径r=0.005 mm,0.01 mm,0.1 mm, 1 mm, $\theta$}=$-${π}/2时剪应力核函数相对比值与径向应力核函数相对比值随时间变化的关系。

Table 1
表1
表1材料参数组合
Table 1Material parameter group

	EVGPa	E_u/GPa	Ej/GPa	^/h-1	^T2jf^~^X	V
Group 1	3	2	1	0.03	0.05	0.35
Group 2	1	2	1	0.04	0.03	0.40
Group 3	140	40	20	0.04	0.03	0.30

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图2

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图2算例1中剪应力核函数与时间的关系

Fig.2Kernel function of shear stress versus time for example 1

图3

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图3算例1中径向应力核函数与时间的关系

Fig.3Kernel function of radial stress versus time for example 1

图4

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图4算例1中剪应力核函数与极角的关系

Fig.4Kernel function of radial stress versus polar angle for example 1

图5

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图5算例1中剪应力核函数与极角的关系

Fig.5Kernel function of shear stress versus polar angle for example 1

其中,相对比值的基准是对应准弹性核函数在$t$=0时的取值,如图3中纵轴表示(0)$\varGamma_r (t) / {\varGamma }'_r$,分母表示径向应力的准弹性核函数;图4和图5分别是给定r=0.01 mm时径向应力和剪应力核函数与极角$\theta$}的关系.图6~图9是算例2的核函数图,分别与算例1对应.

图6

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图6算例2中剪应力核函数与时间的关系

Fig.6Kernel function of shear stress versus time for example 2

图7

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图7算例2中径向应力核函数与时间的关系

Fig.7Kernel function of radial stress versus time for example 2

图8

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图8算例2中剪应力核函数与极角的关系

Fig.8Kernel function of radial stress versus polar angle for example 2

图9

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图9算例2中剪应力核函数与极角的关系

Fig.9Kernel function of radial stress versus polar angle for example 2

由图2~图9可见,黏弹性解与准弹性解的核函数接近相同,尤其对算例1,两者基本吻合.算例2的差别略大,但相对于准弹性核函数的差值不超过4%.如前所述,两组算例中所取的材料1和材料2的黏弹性参数组合具有极端特点,更多的数值算例结果表明,对任选的黏弹性参数组合,两类核函数仍然是非常接近的.故可将准弹性解给出的核函数近似代替黏弹性解的核函数,由此,式(9)变化为

(14)$$\begin{array}{lll}\left[\sigma _{r2},\sigma _{\theta 2},\tau _{r\theta 2} \right] = \int_0^t r^{\lambda _q (t-\varsigma )-1}[ \varTheta _r^q (t-\varsigma ),\\ \quad \varTheta _\theta ^q (t-\varsigma ),\varTheta _{r\theta }^q (t-\varsigma )]{\rm d}K_{\rm v} (\varsigma)\end{array} {\begin{array}{rr}\\ \end{array}}$$

进一步,设$K_{V}(t)$的导数连续,则由积分中值定理,式(14)变为

(15)$$\left[ {\sigma _{r2},\sigma _{\theta 2} ,\tau _{r\theta 2}} \right] = \left[ {\varTheta _r^q {K}'_r ,\varTheta _\theta ^q {K}'_\theta ,\varTheta _{r\theta }^q {K}'_{r\theta } } \right]r^{\lambda _q (t)-1}K_V (t)$$

式中,$ K'_{r}(r$, $\theta$},$t)$,$ K'_{\theta }(r$,$\theta$},$t)$和$K'_{r\theta }(r$,$\theta$},$t)$是各应力分量所对应的核函数比值系数,分别有

(16)$$\begin{array}{lll}\left[ {{K}'_r ,{K}'_\theta ,{K}'_{r\theta } } \right] = \Bigg[ \frac{r^{\lambda _q (t-\xi _1 )}\varTheta _r^q (t-\xi _1 )}{r^{\lambda _q (t)}\varTheta _r^q (t)},\\ \quad \frac{r^{\lambda _q (t-\xi _2 )}\varTheta _\theta ^q (t-\xi _2 )}{r^{\lambda _q (t)}\varTheta _\theta ^q (t)},\frac{r^{\lambda _q (t-\xi _3 )}\varTheta _{r\theta }^q (t-\xi _3 )}{r^{\lambda _q (t)}\varTheta _{r\theta }^q (t)}\Bigg] \end{array} {\begin{array}{rr}\\ \\ \end{array}}$$

式中,0$ \le$$\xi$}$_{i} \le t$~(i=1,2,3)与时间$t$有关,也与坐标参数r,$\theta$}相关.式(15)、式(16)表明,一般情况下,在不同时刻,沿不同极角,各应力分量与极径r之间的奇异性特征是不同的,不存在统一的奇异指数和应力强度系数.数学上,式(15)是用类似于准弹性解的形式描述黏弹性应力场,其中的核函数比值系数可被解释成一种修正系数,

在图2~图5中进一步考察算例1的结果,核函数与时间的相关性弱,其随时间的相对变化范围很小,此时,式(16)所示修正系数略等于1,则式(15)可近似为

(17)$$ \left[ {\sigma _{r2},\sigma _{\theta 2},\tau _{r\theta 2} } \right] \cong \left[ {\varTheta _{r2}^q ,\varTheta _{\theta 2}^q ,\varTheta _{r\theta 2}^q } \right]r^{\lambda _q (t)-1}K_V {\rm (}t{\rm )}$$

可见,如聚合物材料与金属材料,两种接触材料的持久模量相差悬殊,接触界面端端部的奇异应力场可以采用类似于准弹性解的形式进行解析描述,此时的奇异指数是统一的,只与时间有关,且可以采用如式(12)所示的准弹性解法确定.

在图6~图9中考察算例2的结果,核函数其随时间的相对变化范围相对较大,则式(16)所给出的3个系数的变化范围增大,且受坐标参数r和$\theta$}的影响,表明此情形下的各应力分量的奇异指数不相同,与准弹性解给出的奇异性指数的差别较大.若采用式(17)描述黏弹性奇异应力场,将存在一定的误差.利用附录所列的解析式不难得到这种方法误差的误差限.

2 黏弹性板端部嵌入部位的奇异应力场

如图10所示,黏弹性板的端部被嵌入固定的金属支承,两者在搭接部位的接触问题用接触界面端模型描述,并简化为平面应变问题.分析两组算例,算例A的板直接与金属接触,即图中的垫层不存在;算例$B$是在板与金属支承之间存在不同的黏弹性垫层,后者相对板的材料要"柔"一些.三种材料的弹性或黏弹性力学参数列于表2,其中设金属为线弹性材料.

Table 2
表2
表2算例材料参数
Table 2Material parameter combination in numerical example

	E0j/GPa E_u/GPa Ej/GPa	了1>^-1	^/h-1	V
plate	3.7 0.754 0.278	0.01	0.1	0.33
cushion	121	0.04	0.03	0.40
metal support	206 — —	—	—	0.30

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图10

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图10黏弹性板嵌入端示意图

Fig.10Illustration of fixed end for viscoelastic plate

取板、垫层和金属支承厚度分别为55 mm,8 mm与25 mm. 剪力为恒载$F_{s}$=78$H(t)$ kN,弯矩是阶梯型加载M=$M_{0}$[0.5$H(t)$+0.25$H(t-$75)+0.25$H(t-$150)],其中,$M_{0}$=8.3 kN$\cdot$m;$H(t)$为单位阶梯函数,时间$t$的单位为分钟.在局部接触区域加密有限元网格,最小网格尺寸0.005 mm.首先由黏弹性有限元得到两个算例中位移和应力场随时间演化的历史,然后,由$\theta$ }=-π}/2的径向节点上的剪应力和径向应力计算结果讨论黏弹性应力场的奇异性和近似重构.

给定$t$ =50 h,图11给出时接触界面的垂直位移分布,可见两组算例中都存在$r_{0}$=0.8 mm左右的接触区;图12是接触界面的相对滑移量分布,可见两组算例中的界面滑移量大小与位移同量级,正负符号无变化,即相对滑移方向没有改变.两图结果综合说明,式(1)所给出的接触位移条件是满足的.可以验证,不同时刻也存在相似结论.

图11

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图11$t$=50 h时接触界面的竖向位移分布

Fig.11Illustration of fixed end for viscoelastic plate

图12

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图12$t$=50 h时接触界面的相对滑移分布

Fig.12Distribution of relative slip along contact interface when $t$ =50 h

由式(15),沿$\theta$ =-π/2方向的应力与极径r的关系可以近似表示为

(18)$$ \left[ {\sigma _{r2},\sigma _{\theta 2},\tau _{r\theta 2}} \right] \cong \left[ {A_r r^{\lambda _r-1},A_\theta r^{\lambda _\theta-1},A_{r\theta } r^{\lambda _{r\theta }-1}} \right]$$

利用式(18),结合有限元分析结果外推得到对应极角$\theta$ }=-π}/2的奇异指数. 表3给出了两组算例在时刻$t$=50 min和$t$=100 min的结果,分别由剪应力与径向应力外推和准弹性解预测得到.从表中可见,算例A中的3种途径确定的奇异性指数接近相同,最大相差约4%;而算例$B$的差值较大,最大约18%.这是由于算例A是黏弹性板与弹性金属支承直接接触,模量差近40倍,奇异特征值和核函数基本上与时间无关.第二组算例中,黏弹性板与黏弹性垫层材料接触,模量变化范围相近,各应力分量的核函数随时间的变化范围明显增大,根据式(15)和式(16)可知,故此时各应力分量的奇异性指数不相同,且与时间的相关性增加.

Table 3
表3
表3沿极角0=-n/2奇异特征值2
Table 3Singular eigenvalues A at polar angle 0 =-n/2 t /min A by radial stress A by shear stress A by Eq.(12)

	50	0.578	0.549	0.555
example A
	100	0.534	0.555	0.555
	50	0.683	0.582	0.675
example B
	100	0.602	0.562	0.681

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下面近似重构接触界面端的黏弹性奇异应力场,首先利用式(12)确定奇异性指数$\lambda$}$_{q}$,再由式(17)中的剪应力分布公式确定系数$K_{V}(t)$,再将此系数回代入式(17),获得其余应力分量的近似表示.对应算例A,图13和图14分别给出沿$\theta$ }=-π}/2方向在两个时刻的剪切应力与径向正应力分布;图中的黏弹性解是有限元数值解,近似解表示应力场重构的结果,此两图所示结果表明,数值解与近似解基本吻合,径向应力的最大相对误差约为5%.而针对算例B,图15和图16显示了数值解和近似解的较大差异,径向应力的相对误差达到18%.两组算例结果的区别实际上是由各自核函数的时间相关性强弱所决定的.

图13

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图13算例A中剪应力与极径的关系

Fig.13Shear stress versus polar radius for example A

图14

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图14算例A中径向应力与极径的关系

Fig.14Radial stress versus polar radius for example A

图15

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图15算例B中剪应力与极径的关系

Fig.15Shear stress versus polar radius for example B

图16

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图16算例B中径向应力与极径的关系

Fig.16Radial stress versus polar radius for example B

3 结论

基于相对滑移量非常微小、滑移方向不变,以及存在局部的不变接触区域的简化假定,分析蠕变载荷作用下的线黏弹性接触界面端奇异应力场.数值算例中分别考虑接触材料的模量相差悬殊和模量接近这两种情形,得到以下结论.

(1)奇异应力场卷积积分解与准弹性解的核函数接近相同,可以用具有解析表达的准弹性解核函数代替卷积积分解中的核函数.

(2)在给定时刻,黏弹性应力场的奇异性与应力分量、极角有关.严格意义上,不存在统一的奇异值和应力强度系数.

(3)采用类似于准弹性解的解析式描述黏弹性奇异应力场将产生一定的误差,依据文中方法可以得到相应的误差限估计.若接触材料的持久模量相差悬殊,因核函数随时间的变化范围小,故能利用类似准弹性解的解析式较准确地表示奇异应力场,此时有统一的奇异指数和应力强度系数.

附录

$$ \varTheta _r^ * =-\{(3-\lambda ^ * )(F^ * + \lambda ^ *-\cos 2\lambda ^ * π)\cos (\lambda ^ *-1)\theta +$$

$$[F^ * (\lambda ^ * + \cos 2\lambda ^ * π) + \lambda ^ {* 2}-1]\cos (\lambda ^ * + 1)\theta\}/$$$$[(F^ * + \lambda ^ *-1)\sin 2\lambda ^ * π]-$$

$$ \frac{(3-\lambda ^ * )\sin (\lambda ^ *-1)\theta-F^ * \sin (\lambda ^ * + 1)\theta }{(F^ * + \lambda ^ *-1)} ~~~$$

$$ \varTheta _\theta ^ * =-\{(1 + \lambda ^ * )(F^ * + \lambda ^ *-\cos 2\lambda ^ * π)\cos (\lambda ^ *-1)\theta-$$

$$ [F^ * (\lambda ^ * + \cos 2\lambda ^ * π) + \lambda ^ {* 2}-1]\cos (\lambda ^ * + 1)\theta\}/~~~$$

$$[(F^ *+ \lambda ^ *-1)\sin 2\lambda ^ * π]-$$

$$ \frac{(1 + \lambda ^ * )\sin (\lambda ^ *-1)\theta + F^ * \sin (\lambda ^ * + 1)\theta }{(F^ * + \lambda ^ *-1)}$$

$$\varTheta _{r\theta }^ * =-\{(1 + \lambda ^ * )(F^ * + \lambda ^ *-\cos 2\lambda ^ * π)\sin (\lambda ^ *-1)\theta-$$

$$[F^ * (\lambda ^ * + \cos 2\lambda ^ * π) + \lambda ^ {* 2}-1]\sin (\lambda ^ * + 1)\theta\}/$$$$[(F^ * + \lambda ^ *-1)\sin 2\lambda ^ * π]+$$

$$ \frac{(\lambda ^ *-1)\cos (\lambda ^ *-1)\theta + F^ * \cos (\lambda ^ * + 1)\theta }{(F^ * + \lambda ^ *-1)}$$

$$F^ * =-\lambda ^ *-1 + \frac{2\cos \lambda ^ * π }{f\sin \lambda ^ * π + \cos \lambda ^ * π }$$

The authors have declared that no competing interests exist.

作者已声明无竞争性利益关系。

参考文献原文顺序
文献年度倒序
文中引用次数倒序
被引期刊影响因子

[1]

孙见君, 嵇正波, 马晨波 . 粗糙表面接触力学问题的重新分析
力学学报, 2018,50(1):68-77