此外，很多产品对于随机冲击还具有一定的承受能力，本文借鉴材料科学中冲击韧性的概念描述此种现象[4-5]。冲击韧性是指材料在冲击载荷作用下吸收塑性变形功和断裂功的能力，反映材料抵抗冲击载荷的能力。例如，某空间用存储芯片在设计时采用了冗余、限流电路、检错纠错码技术，使得该系统在遭受单粒子效应冲击后，能够自动采取纠正措施恢复正常运行。当然，由于各种限制因素，系统的冲击韧性是有限的，仅能够在一定范围内发挥作用。故而，在退化-冲击竞争失效建模过程中还需要考虑系统的冲击韧性。
退化-冲击竞争失效建模的关键是分别建立退化模型和冲击模型，并在此过程中对二者之间的相依关系进行考虑。目前，国内外研究者大都采用泊松过程建立冲击模型，以描述系统所经受的不同类型的冲击过程[6-7]。现有关于退化-冲击竞争失效建模的文献主要使用线性回归模型对系统的退化行为进行描述[8]，并在此基础上考虑随机冲击对退化过程的影响[9-12]。然而，线性回归模型假定系统退化过程是确定的。但在实际中，受产品运行环境的多样性、测量的不确定性、个体退化过程的差异性等不确定因素的影响，随机性是工程实际中产品退化的一个普遍现象与重要特点[13]。由于随机过程方法在描述退化过程的随机性方面具有天然的优势，采用随机过程建立退化模型是更理想的选择。文献[14-15]采用线性Wiener过程建立退化模型，文献[16]则采用伽马过程对退化过程进行建模，并假设随机冲击服从非齐次泊松过程，该冲击仍造成退化量阶跃式增加，基于这些假设建立竞争失效可靠性模型。但在实际工程中，由于系统结构和失效结构的复杂性，系统退化行为往往存在非线性[17]。所以，进行竞争失效系统退化过程建模，还应该考虑系统的非线性退化行为。另外，现有竞争失效研究仅考虑随机冲击对退化过程中退化量的影响，对退化速率的影响尚未涉及。事实上，随机冲击还可能对系统的退化速率造成影响。文献[3, 18-19]考虑随机冲击对线性回归退化模型中退化量和退化速率的综合影响，建立了相应的竞争失效模型。针对冲击韧性，目前相关研究非常少。文献[4]针对具有容错特点的竞争失效系统，使用Wiener过程对其退化过程建模，并针对系统的容错设计提出了m-δ冲击模型。
针对上述问题，本文使用非线性Wiener过程构建一种综合考虑退化过程非线性、系统冲击韧性、退化-冲击相依性的竞争失效系统可靠性评估模型，为更准确地分析系统的可靠性提供新的方法，对于指导系统的可靠性设计及制定科学合理的维修质保计划具有重要的参考意义。
1 系统总体描述 本文的研究对象是具有退化失效和突发失效竞争特点和冲击韧性的系统。例如，某空间用存储单元在服役过程中会发生性能退化现象，同时还会受到单粒子效应的冲击损伤。因为对系统进行了容错设计，单粒子效应导致的某些逻辑错误可以通过错误检测与纠正(Error Detection and Correction，EDAC)设备检测和纠正，系统具有一定的冲击韧性。但其容错能力受到分配资源的限制，当很短的时间内发生了多次错误，超过系统的容错能力，系统则发生突发失效。令m个连续冲击之间的时间间隔为Bj=tj+m-1-tj，tj表示第j次冲击的到达时刻，Wj表示第j次冲击的幅值，Yj表示第j次冲击造成的阶跃退化增量，j=1, 2, …, ∞，d为退化失效阈值。则上述冲击现象可表述为：当m个连续冲击之间的时间间隔Bj < δ时(或δ时间内发生的冲击数量大于或等于m时)，系统发生突发失效，称为m-δ模型[4]。其余情形下，因系统具有冲击韧性，冲击不会造成突发失效，但会对退化过程的退化增量和退化速率造成影响。如图 1所示，当m=4时，B1>δ、B2>δ，系统出现阶跃退化增量，且退化速率加快；B3 < δ，系统发生突发失效。
 |
| 图 1 考虑冲击韧性的退化-冲击相依竞争失效机制 Fig. 1 Degradation-shock dependence competing failure mechanism considering shock toughness |
| 图选项 |
针对上述具有冲击韧性的退化-冲击相依竞争失效系统，提出如下假设：
1) 系统状态可由一个性能参数表征，若该性能参数的累积退化量X(t)超过其临界退化失效阈值d，就会导致系统发生退化失效。
2) 系统在工作过程中还受到随机冲击的作用，若m次连续冲击之间的时间间隔大于阈值δ，即Bj>δ，则每次随机冲击将对退化过程造成2种影响：阶跃退化增量和退化速率增大；若m次连续冲击之间的时间间隔小于等于阈值δ，即Bj≤δ，则系统发生突发失效。
3) 随机冲击对退化过程的影响可通过退化速率影响因子和阶跃退化增量来表征，其中退化速率影响因子是与冲击损伤量值有关的函数，阶跃退化增量用复合泊松过程来表示。
4) 假设随机冲击到达速率λ(t)为一个随时间递增的函数，表征退化过程对于系统抵抗随机冲击能力的影响，即随着系统性能退化，其发生突发失效概率会增加。
5) 系统存在2种竞争失效机制：m-δ冲击导致的突发失效，以及系统性能参数的累积退化量超过其临界退化失效阈值导致的退化失效。
2 竞争失效可靠性分析 2.1 随机冲击模型 现有退化-冲击竞争失效研究中，基本上都是采用泊松过程建立冲击模型，以描述系统所经受的不同类型的冲击过程[6-7]。使用泊松过程对随机冲击过程建模主要基于以下几点考虑：①泊松过程是一种重要的点过程，用来表征随机冲击这种单事件效应现象是合理的；②泊松过程具有无记忆属性，换句话说，冲击是随机发生的[20]；③泊松过程的到达速率λ(t)可以是任意形式，如若选取得当，其可以很好地描述随机冲击的出现频次。
假设随机冲击到达次数服从强度为λ(t)=λ0+λ1t的齐次泊松过程{N(t), t>0}，λ0表示随机冲击的初始到达速率，λ1表示随机冲击受时间影响系数，N(t)表示t时刻随机冲击出现的次数，则发生m次随机冲击的概率可表示为
 | (1) |
因系统具有冲击韧性，即只有当m次连续冲击之间的时间间隔小于等于阈值δ，即Bj≤δ时，系统才会发生突发失效，因此本文采用m-δ冲击模型[4]描述此类冲击过程。
若随机冲击服从齐次泊松过程，则其到达时间服从指数分布。因此，m个连续冲击之间的时间间隔是独立同分布，且服从形状参数为m-1和尺度参数为1/(λ(t)δ)的伽马分布。据此，任意m个连续随机冲击的时间间隔小于等于δ的概率为[4]
 | (2) |
则在不考虑退化失效的条件下，系统在随机冲击作用下不发生突发失效的概率为
 | (3) |
2.2 退化过程模型 目前，大部分竞争失效研究采用线性回归模型X(t)=a+bt来描述系统的退化过程[8-12, 21-22]。但线性回归模型无法刻画系统退化过程中存在的波动性和非线性特征。本文采用非线性Wiener过程对退化过程进行建模，以更加准确地描述系统的退化行为。
基于非线性Wiener过程的退化模型M0为
 | (4) |
式中：X(t)表示t时刻退化过程的退化量，为了简化此处假设X(0)=0；μ为漂移系数，用来表征退化速率，μ(t; θ)=μdΛ(t; θ)/dt=μΛ′(t; θ)，Λ(t; θ)为非减时间尺度函数，表征退化过程的非线性特征，θ为时间尺度参数，如Λ(t; θ)=tθ；σB为扩散系数；B(·)为标准布朗运动。
退化量X(t)首次超过规定的临界退化失效阈值d，则判定产品发生退化失效。这个时间T被称为首穿时(First Passage Time，FPT)，可视为系统发生退化失效的寿命。对于退化模型M0，由于Λ(t; θ)的非线性影响，难以得到退化失效分布的概率密度函数(Probability Density Function，PDF)的封闭表达式。为此，文献[23]将其转化为标准布朗运动超过时变阈值的首穿时分布求解问题，并基于一个温和的假设，给出了退化失效概率密度函数的近似解析式为
 | (5) |
式中：
 | (6) |
 | (7) |
则X(t)首穿时分布的累积分布函数(Cumulative Density Function，CDF)的近似计算公式为
 | (8) |
2.3 冲击对退化过程的影响 当系统未经受随机冲击时，可采用退化模型M0描述其退化轨迹。然而在工程实际中，系统处于复杂的工作环境中，会不断遭受外界环境的随机冲击影响。根据前面的假设，冲击对退化过程有2种影响机制：阶跃退化增量和退化速率增大。本文将综合考虑这2种影响，通过对退化模型M0进行修正来表征退化与冲击间的相依性。
2.3.1 冲击对退化增量的影响 单个冲击对于退化过程的损伤是不同的，令每次冲击造成退化过程的阶跃退化增量为Yj。假设Yj服从正态分布，即Yj~N(μA, σA2)，将其对退化过程造成的累积退化增量记为S(t)，用一个复合泊松过程来表示，具体形式为
 | (9) |
式中：Y0=0表示没有冲击作用时的损伤量。
则根据正态分布的可加性，S(t)同样服从正态分布，即S(t)~N(kμA, kσA2)。
2.3.2 冲击对退化速率的影响 通常，冲击在影响系统退化增量的同时，还可能会改变其退化速率。针对系统受到冲击作用之后出现退化速率加速的现象，本文退化过程模型中引入退化速率影响因子Q(t)来考虑二者之间存在的相依性。
 | (10) |
式中：μ为漂移系数，表征t时刻的退化速率；μ0为初始退化速率；r表征了冲击对退化速率的加速效应，取值范围为[0, ∞)。
因此，考虑冲击对退化过程的上述2种影响，在经受N(t)=0, 1, 2, …, k次冲击后，系统退化过程可采用如下修正模型M1表示:
 | (11) |
2.4 M1模型首穿时分布推导 对于修正后的退化模型M1，在给定临界退化失效阈值d后，需要进一步推导其首穿时分布。
假设系统承受k次冲击后，系统发生退化失效的累积分布函数和概率密度函数分别为FD(t; k)和fD(t; k)。令
 | (12) |
式中：
 | (13) |
 | (14) |
由于S(t)服从正态分布，即S(t)~N(kμA, kσA2), 则ξ也是一个服从正态分布的随机变量，ξ~N(krμA, kr2σA2)。考虑到参数ξ的不确定性，退化失效概率密度函数fD(t; k)可由全概率公式得到[23]，即
 | (15) |
式中：f(ξ)为以ξ为自变量的概率密度函数；Eξ为以ξ为自变量的期望。
对一个服从正态分布的随机变量Z~N(μ, σ2)，文献[23]给出了如下定理：
 | (16) |
令ω=d-μ0Λ(t; θ)，A=0，B=1/r+μ0Λ(t; θ)，C=σB2t，则可利用该定理推导出式(15)中fD1(t; k)的解析表达，即
 | (17) |
同样，令A=1/r+μ0Λ(t; θ)-μ0Λ′(t; θ)t，ω、B、C不变，即可利用该定理推导出fD2(t; k)的解析表达式，即
 | (18) |
将式(17)和式(18)的计算结果代入式(15)，即可得到概率密度函数fD(t; k)的最终表达式。
则经受k次冲击后X(t)首穿时分布的累积分布函数为
 | (19) |
2.5 竞争失效系统可靠性模型 结合退化模型M1和m-δ冲击模型，构建退化-冲击相依竞争失效系统的可靠性模型，直接计算比较困难，因此根据随机冲击的出现次数，将该竞争失效过程的可靠度计算分为以下3种情况进行：
1) t时刻没有随机冲击出现时，系统的可靠性模型为
 | (20) |
2) t时刻随机冲击出现的次数N(t)位于[1, m)之间时，系统的可靠性模型为
 | (21) |
3) t时刻随机冲击出现的次数大于等于m时，系统的可靠性模型为
 | (22) |
式中：[t/δ]为t/δ的最大整数，表示到t时刻发生m次连续冲击事件的最大次数。因此，到t时刻最大可允许的冲击次数为(m-1)[t/δ]+m-1。
综合以上3种情况下的可靠度计算结果，考虑冲击韧性的系统可靠性模型可表示为
 | (23) |
该模型全面考虑了竞争失效系统中的退化过程非线性、退化-冲击相依性、系统冲击韧性等因素，具有一般性和通用性。对于一些对随机冲击具有一定的承受能力的产品来说，该模型更符合其可靠性分析与预测的特点，可以得到更为全面、客观的评估结果。
3 算例 某空间用存储芯片在服役过程中会同时经受空间辐射中单粒子翻转效应和总电离剂量效应的影响。单粒子翻转是会导致单元突发失效的事件，如存储器存储逻辑1或逻辑0，当单粒子翻转发生时，存储的逻辑值将变为0或1，该翻转事件可被视为一个冲击。单粒子翻转与总电离剂量密切相关，当重离子线性能量转移大于阈值时，可能会发生单粒子翻转。而当设备吸收大量电离剂量时，线性能量转移阈值通常会降低，设备更易发生单粒子翻转，表现为单粒子翻转的发生率增加。错误检测与纠正设备可在一定程度上防止单粒子翻转的影响，但由于资源限制，当m个连续冲击之间的时间间隔小于δ，仍然会发生故障；总电离剂量大于或等于预定值，存储芯片也将失效。
采用本文所提出的竞争失效模型对此类具有冲击韧性的系统进行可靠性建模，相关参数如表 1所示，其中退化模型M1中的时间尺度函数假设为Λ(t; θ)=tθ。
表 1 竞争失效系统可靠性分析的参数设定 Table 1 Parameter setting for reliability analysis of competing failure system
| 参数 | 数值 | 来源 |
| λ0 | 1.71 | Bentoutou[24] |
| λ1 | 5.3×10-5 | Bentoutou[24] |
| μ0 | 5.44×10-8 | 假设 |
| σB | 0.004 | 假设 |
| θ | 1.8 | 假设 |
| r | 0.5 | 假设 |
| μA | 0.04 | 假设 |
| σA | 0.06 | 假设 |
| d | 3.00 | 假设 |
| δ | 500 | 假设 |
表选项
图 2给出了考虑冲击韧性情形的m-δ冲击模型的竞争失效可靠度曲线及不考虑随机冲击影响的退化系统可靠度曲线。通过对比可以发现，当考虑随机冲击时，产品的可靠度要明显小于不考虑冲击作用时的可靠度。这表明外界冲击对退化过程的影响较大，不考虑随机冲击的情形过高地估计了产品的可靠性水平，有可能导致较为冒进的结果，对确定产品服役时间造成不利影响。计算结果可用于评价空间环境下器件的可靠性水平，帮助设计人员合理确定产品的服役时间，进而为制定设备在轨服务计划与寿命管理提供技术支撑。
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| 图 2 竞争失效系统的可靠度曲线 Fig. 2 Reliability curves of competing failure system |
| 图选项 |
在此基础上，为了分析竞争失效模型参数对系统可靠度的影响，对模型中的相关参数d、m进行了敏感性分析，结果如图 3和图 4所示。
 |
| 图 3 参数d的敏感性分析 Fig. 3 Sensitivity analysis of parameter d |
| 图选项 |
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| 图 4 参数m的敏感性分析 Fig. 4 Sensitivity analysis of parameter m |
| 图选项 |
图 3给出了性能参数的临界退化失效阈值d不同取值时对应的可靠度曲线。可以看到，临界退化失效阈值d对系统可靠度R(t)有显著影响，可靠度随着d取值增大而逐步增长。因为d取值越大，说明对退化增量的宽容度越大，可靠度越高。为了延长存储芯片的使用寿命，工程师必须考虑总电离剂量的影响，并进行适当的加固设计。
图 4对容错模型中的连续冲击次数m的影响进行了分析。可以看出，系统可靠度R(t)对m/δ的比率比较敏感，通过增加比率(δ固定为500，m从4增加到8)，R(t)的形状变化很大。因为m/δ表示单位时间内允许的最大随机冲击次数。具有较大m/δ的系统可具有更好的可靠性能。另外，m=7和m=8(δ固定为500)，可靠度曲线几乎重合，这表示当m≥7时，容错设备可以消除单粒子翻转引起的突发失效。
综上，随机冲击相关参数m和临界退化失效阈值d对于系统可靠性均有很大的影响，在设计过程中可以考虑通过控制相关参数进行改善。
4 结论 本文对于具有冲击韧性的退化-冲击相依竞争失效系统进行了可靠性分析，提出了一种基于非线性Wiener过程的竞争失效系统可靠性模型。该模型具有以下优势：
1) 使用非线性Wiener过程刻画竞争失效系统的退化行为，与现有的广义轨迹模型和线性Wiener过程相比，能够更准确表征系统退化行为中的随机性和非线性。
2) 综合考虑了随机冲击对退化过程的2种影响机制：退化量阶跃增加和退化速率加速，更符合工程实际。
3) 采用m-δ冲击模型描述了冲击韧性对于竞争失效系统可靠性的影响。
本文仅研究了含有一个退化过程和随机冲击的竞争失效可靠性模型，今后将考虑多性能参数同时退化的产品，如何进行随机冲击与多退化过程的相依竞争失效建模。
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