飞机等复杂系统是先进技术的高度融合体，具有环境适应性强、可靠性要求高等特点^[1]，其在执行任务时，需要在任务间隙内对系统进行维修，以满足系统后续任务可靠性要求。由于任务间隙、维修费用等维修资源限制，不可能对所有组件维修。如何在有限维修资源内选择性维修，是值得研究的热门问题。
1998年，Rice等^[2]首次提出选择性维修，目前已经成为重要研究课题并取得一系列成果。Liu和Huang^[3]考虑基于Kijima type Ⅱ模型的不完全维修，提出了一种多态系统选择性维修模型；Pandey等^[4]考虑组件役龄和维修费用对不完全维修模型的影响，研究了一种新选择性维修模型；Pandey等^[5]考虑组件役龄对回退因子的影响，以维修费用和任务间隙为约束，建立了以系统可靠度为目标函数的选择性维修模型，并给出了求解算法；王少华等^[6]以最小维修、不完全维修和换件维修为维修策略，任务间隙为约束，系统可靠度最大化为目标，建立了选择性维修模型，并给出了相应的求解算法；Cao等^[7]研究了在数据不足、环境因素不确定条件下的模糊多态系统维修性问题；Djelloul等^[8]将任务周期假设为服从已知分布的随机变量，研究了一种以任务间隙和维修费用为约束，系统可靠度最小化为目标函数的选择性维修决策方法；Liu等^[9]考虑任务间隙和维修水平的不确定性，研究了一种含有序列规划的选择性维修模型；Dao和Zuo^[10]考虑系统组件的随机相关性，提出了一种以任务间隙和系统可靠度为约束，系统利润最大化为目标函数的选择性维修模型；Diallo等^[11]提出了一种将多维修任务分配给多维修人员的选择性维修模型；Khatab^[12]和Diallo^[13]等提出的选择性维修模型考虑了组件的不完全维修策略，能够将多维修任务分配给多维修人员。上述研究虽然取得了较好的成果，但针对多维修人员研究仍需加强，如文献[11]提出的维修模型只考虑组件换件维修，文献[12-13]虽然考虑了不完全维修策略，但没有建立组件维修前状态、有效役龄、维修费用和役龄回退因子的关系，只将役龄回退因子视为常数，忽略了维修对组件故障率的影响。
为弥补这些欠缺，本文考虑多维修人员提出一种基于粒子群优化(PSO)算法的复杂系统选择性维修模型。首先，考虑役龄回退因子和故障率函数修正因子对选择性维修的影响，以及不修、最小维修、换件维修和多中间维修水平，引入混合不完全维修模型；其次，提出多员维修系统组件维修分配算法，解决了如何将多维修任务分配给多维修人员，使得系统维修时间最小，并将所提算法引入到PSO算法中，求解考虑多维修人员和不完全维修条件下复杂系统选择性维修模型；最后，通过案例验证了所提模型和算法的有效性和优势。
1 复杂系统选择性维修模型 考虑不完全维修和多员维修的选择性维修模型，主要解决以下问题：①当有2个或多个维修人员时，确定哪些组件需要维修；②当有2个或多个维修人员时，确定被维修组件的维修水平；③确定各维修人员对应的维修任务和任务完成时间。技术路线如图 1所示。

图 1 选择性维修模型技术路线 Fig. 1 Selective maintenance model technology roadmap

图选项

步骤如下：
步骤1 ??定义系统维修行为，计算组件维修费用和时间；提出系统组件维修分配算法，由维修人员数量q、需要维修组件数量w和组件维修时间计算系统维修时间，详见1.1节。
步骤2 ??引入系统不完全维修模型，并建立系统可靠性评估模型，详见1.2节和1.3节。
步骤3 ??以步骤2得出的系统可靠性评估模型为目标函数，以步骤1得出的维修费用和时间为约束条件，构建维修决策优化模型，详见1.4.1节。
步骤4 ??采用MATLAB软件，用PSO算法求解维修决策优化模型，给出选择性维修决策优化方案，详见1.4.2节。
1.1 系统维修行为、费用和时间
1.1.1 系统维修行为 复杂系统由众多子系统和组件构成，内部不仅含串并联系统，还可能含桥路系统、k/n(G)表决系统等复杂结构。可根据结构和功能间的关系，利用特殊方法，如全概率分解法、最小路法等，将复杂系统结构转化为串并联结构。不失一般性，设系统由m个相互独立的子系统(i=1, 2, …, m)串联，子系统i由n_j(j=1, 2, …, n_i)个相互独立的组件并联，且执行第k(k=1, 2, …, n)次任务周期U_k后，都有一个任务间隙M_k对系统组件进行选择性维修。假设组件只有正常或故障2种状态，以0-1决策变量来定义组件E_ij的状态。

(1)

设第k次任务周期结束后，在任务间隙M_k内组件E_ij有L_ij(k)个维修水平{1, 2，…, l_ij(k), …, L_ij(k)}，表 1为l_ij(k)赋值对应的选择性维修水平。可知，l_ij(k)值越大，组件E_ij维修效果越好。不修和最小维修在执行前后并不改变组件役龄；最小维修只针对故障组件通过维修达到排除故障的目的，并不改变组件故障率；更换使组件役龄归零。
表 1 组件E_ij维修水平赋值 Table 1 Maintenance level assignment for component E_ij

维修水平		赋值
故障组件	不修	1
	最小维修	2
	?	?
	不完全修复性维修	lij(k)
	?	?
	不完全修复性维修	Lij(k)-1
	更换	Lij(k)
正常组件	不修	1
	不完全预防性维修	2
	?	?
	不完全预防性维修	lij(k)
	?	?
	不完全预防性维修	Lij(k)-1
	更换	Lij(k)

表选项







1.1.2 系统维修费用 在任务间隙M_k内，当组件E_ij被维修(l_ij(k)≥2)，对应组件维修费用为

(2)

式中：c_ij^fix为组件E_ij固定维修费用；c^k_{ij, lij}为组件E_ij维修水平为l_ij(k)的可变维修费用。组件E_ij可变维修费用c^k_{ij, lij}与其维修前状态Y_ij(k)和维修水平l_ij(k)有关，如表 2所示。表 2中：c_{ij, 1}^k=0表示组件E_ij不修，其值为0；c^k_{ij, Lij}=c_ij^R表示组件E_ij更换费用为c_ij^R；c_{ij, 2}^k=c_ij^MR表示故障组件最小维修费用为c_ij^MR。
表 2 可变维修费用c^k_{ij, lij}与维修水平l_ij(k)的对应关系 Table 2 Corresponding relationship between variable maintenance cost c^k_{ij, lij} and maintenance level l_ij(k)

可变维修费用		赋值
故障组件	cij, 1k=0	1
	cij, 2k=cijMR	2
	?	?
	ckij, lij	lij(k)
	?	?
	ckij, Lij=cijR	Lij(k)
正常组件	cij, 1k=0	1
	cij, 2k	2
	?	?
	ckij, lij	lij(k)
	?	?
	ckij, Lij=cijR	Lij(k)

表选项






故在任务间隙M_k内系统维修费用为

(3)

1.1.3 组件维修时间 在任务间隙M_k内，当组件E_ij被维修(l_ij(k)≥2)，对应组件维修时间为

(4)

式中：t_ij^fix为组件E_ij固定维修时间；t^k_{ij, lij}为组件E_ij在任务间隙M_k内维修水平为l_ij(k)的可变维修时间。组件E_ij可变维修时间t^k_{ij, lij}与其维修前状态Y_ij(k)和维修水平l_ij(k)有关，如表 3所示。表中：t_{ij, 1}^k=0表示组件E_ij不修；t^k_{ij, Lij}=t_ij^R表示组件E_ij更换时间为t_ij^R；t_{ij, 2}^k=t_ij^MR表示故障组件最小维修时间为t_ij^MR；其他中间维修水平对应维修时间。
表 3 可变维修时间t^k_{ij, lij}与维修水平l_ij(k)的对应关系 Table 3 Corresponding relationship between variable maintenance time t^k_{ij, lij} and maintenance level l_ij(k)

可变维修时间		赋值
故障组件	tij, 1k=0	1
	tij, 2k=tijMR	2
	?	?
	tkij, lij	lij(k)
	?	?
	tkij, Lij=tijR	Lij(k)
正常组件	tij, 1k=0	1
	tij, 2k	2
	?	?
	tkij, lij	lij(k)
	?	?
	tkij, Lij=tijR	Lij(k)

表选项







1.1.4 系统维修时间和组件维修分配算法 在选择性维修中，系统维修时间由维修人员数量q、需要维修组件数量w和组件维修时间决定，分为以下3种情况：
1) q=1。系统需要维修的组件只能被一个维修人员维修，因此系统维修时间为所有需要维修组件的维修时间总和。若选择性维修方案L有w个组件需要维修，各组件对应维修时间为T=(t₁, t₂, …, t_i′, …, t_w)，则系统维修时间为

(5)

2) q=w且q>1。当维修人员数量和需要维修组件数量相等时，系统维修时间为所有需要维修组件维修时间的最大值：

(6)

3) q≠w且q>1。当维修人员数量与需要维修组件数量不相等时，选择性维修方案L有w个组件需要维修，对需要维修组件进行编号，即维修任务Task=[1, 2, …, w]，对应各组件维修时间为T=(t₁, t₂, …, t_i′, …, t_w)，维修人员用s(s=1, 2, …, q)表示，组件维修分配算法如下：
步骤1 ??对维修任务Task按照维修时间大小进行排序，相应组件维修时间为T′=(t′₁, t′₂, …, t′_w)。
步骤2 ?将前q个维修任务分别分配给q个维修人员，删掉Task中已分配任务，并更新Task。
步骤3??计算各维修人员的维修完成时间t_s，找到最小t_s对应的维修人员s_min，将Task中维修时间最大的维修任务分配给s_min。更新Task，并判断Task是否为空，若为空，则执行步骤4，否则返回步骤3。
步骤4 ??再次计算各维修人员的维修完成时间t_s，分别找到最小和最大t_s对应的维修人员s_min和s_max，二者完成维修时间记为t_min和t_max。
步骤5 ??统计s_min和s_max的任务量分别为φ_min和φ_max，相应组件维修时间集合为T_max和T_min。判断是否存在t_{max, x}∈T_max(x∈{1, 2, …, φ_max})，t_{min, x}∈T_min(x∈{1, 2, …, φ_min})，使得

(7)

式中：x₁, x₂∈{1, 2, …, φ_max}; y₁, y₂∈{1, 2, …, φ_min}。
若满足式(7)，将{t_{max, x1}, …, t_{max, x2}}与{t_{min, y1}, …, t_{min, y2}}对应维修任务调换，并返回步骤4；若不满足，则执行步骤6。
步骤6 ??统计各维修人员维修任务量和对应组件维修时间，并计算各维修人员任务完成时间，则系统维修时间为各维修人员任务完成时间的最大值，即

(8)

式中：q≠w；i′₁=1, 2, …, s₁；i′_s=1, 2, …, s_s；i′_q=1, 2, …, s_q，s₁、s_s和s_q分别表示维修人员1、s和q的维修任务量；t_i′1、t_i′s和t_i′q分别为维修人员1、s和q的第i′₁、i′_s和i′_q个维修任务对应组件维修时间。
由分析可知，q=1情况和q=w且q>1情况是q≠w且q>1情况的2种特殊情况。因此，只需验证q≠w且q>1情况的有效性，即可验证本节所提算法的有效性。任意举一个案例，并与枚举法计算结果对比。假设选择性维修方案中有9个组件(E₁, E₂, E₃, E₄, E₅, E₆, E₇, E₈, E₉)需要维修，各组件对应维修时间为1.5 h, 1.2 h, 2.3 h, 3.5 h, 1.5 h, 2.5 h, 3.3 h, 2.8 h, 3.1 h。当分别有2个和3个维修人员时，维修任务分配如图 2(a)、(b)所示。上述2种情况与枚举法计算结果完全一致，验证了所提算法的有效性。

图 2 多维修人员维修任务分配图 Fig. 2 Maintenance task assignment chart with multiple repairpersons

图选项

1.2 系统不完全维修模型 目前，常用的系统不完全维修模型有以下2种^[6]：
1) 役龄回退模型。通过役龄回退因子b修正组件的有效役龄来改变组件可靠度。若组件E_ij役龄维修前为A_ij(k)，维修后为bA_ij(k)(0≤b≤1)，则维修后故障率函数为h(x+bA_ij(k))，x≥0，见图 3中h′_ij^k+1(x)=h_ij^k(x+bA_ij(k))。

图 3 混合不完全维修模型 Fig. 3 Hybrid imperfect maintenance model

图选项

2) 直接修正故障率函数模型。组件故障率函数维修前为h(x)(x＞0)，维修后为ah(x)(x＞0，a≥1)，a为故障率函数修正因子，见图 3中h″_ij^k+1(x)=ah_ij^k(x)。
实际工程中，维修不仅可减少组件役龄，还会增加组件故障率。因此，第k+1次任务周期组件故障率函数(见图 3中h_ij^k+1(x+B_ij(k)))取决于第k次任务周期结束时故障率函数和任务间隙M_k内对组件的维修活动。若在任务间隙M_k内组件E_ij维修前后有效役龄分别为A_ij(k)和B_ij(k)，其中，B_ij(k)=bA_ij(k) (0≤b≤1)。结合2种不完全维修模型特点，引入混合不完全维修模型：

(9)

式中：a≥1, x∈(0, k+1-k)，k和k分别为任务间隙M_k的初始时刻和结束时刻。
役龄回退因子b主要受组件维修前状态、维修费用和组件有效役龄的影响。消耗维修费用越多，b值越小，维修效果越好；对同一维修水平，维修前组件有效役龄越小，b值越小，维修效果越好。考虑到组件维修前状态对役龄回退因子b的影响，用文献[3-4]提出的方法计算组件E_ij在任务间隙M_k内进行维修的役龄回退因子：

(10)

式中：，，c_{ij, k}(l_ij(k))为组件E_ij在任务间隙M_k内维修水平为l_ij(k)的维修费用；m_Aij(k)为组件E_ij有效役龄为A_ij(k)时的特征指标，计算式如下：

(11)

式中：MRL为组件E_ij有效役龄为A_ij(k)时的平均剩余寿命；R_k(A_ij(k))为组件E_ij有效役龄为A_ij(k)时组件E_ij的可靠度；R_k(x)为第k次任务周期结束时有效役龄为x时组件E_ij的可靠度。
故障率函数修正因子用文献[5-6]提出的计算方法：

(12)

式中：p为与维修引入缺陷相关的量，由专家经验和工程实际给定。
1.3 选择性维修系统可靠性评估模型 系统可靠性是复杂系统的核心和基础^[14]，是系统整个寿命周期内一项非常重要的有关设计、分析、试验的技术指标，因此，研究以系统可靠性为中心的选择性维修决策显得尤为重要。由于组件故障率函数与其维修水平和维修前状态有关，由式(9)可知，对正常组件E_ij在第k+1(k=1, 2, …, n)次任务周期U_k+1内，故障率函数为

(13)

对故障组件E_ij在第k+1(k=1, 2, …, n)次任务周期U_k+1内，故障率函数为

(14)

由式(13)和式(14)得组件E_ij在第k+1次任务周期U_k+1的可靠度为

(15)

式(13)~式(15)中，0≤x≤U_k+1。对于串并联系统，第k+1次任务周期U_k+1的系统可靠度为

(16)

1.4 维修决策优化模型及求解算法
1.4.1 维修决策优化模型 若已知系统第k次任务周期结束时各组件的状态和有效役龄，在有限维修资源条件下，以第k+1次任务周期内系统可靠性最大化为决策目标，考虑不完全维修和多维修人员条件下对系统选择性维修，得出选择性维修决策优化模型。
目标函数：

(17)

约束条件：

(18)

(19)

式中：C(k)为系统维修费用；C_k为第k个任务间隙内系统维修费用约束值；T(k)为多维修人员条件下系统维修时间。

1.4.2 求解算法 将系统选择性维修问题用PSO算法描述：设在D维空间内有n_p个粒子组成的种群X=(X₁, …, X_z, …, X_np)，其中，粒子X_z可表示为D维向量X_z=(X_z1, …, X_zd…, X_zD)，在选择性维修中代表一个潜在维修方案，即所求问题潜在解，X_zd代表其中一个组件的维修水平，X_zd值越大，对组件维修效果越好，1≤X_zd≤L_ij(k)。每个X_z都对应一个与选择性维修模型有关的适应度函数值(与目标函数密切相关的量)。每个粒子速度同样是D维向量V_z=(V_z1, …, V_zd…, V_zD)，其中，V_zu∈[V_min, V_max]，其个体极值为P_z=(P_z1, …, P_zd, …, P_zD)，所有粒子搜索到的适应度最优位置为P_g=(P_g1, …, P_gd, …, P_gD)，在选择性维修中，P_g表示系统最优维修决策方案。粒子X_z根据式(20)更新自身速度和位置：

(20)

式中：d=1, 2, …, D；z=1, 2, …, n_p；V_zd为当前粒子X_z速度矢量的第d维分量；V_zd^new为更新后粒子X_z速度矢量的第d维分量；P_zd为个体极值第d维分量；P_gd为群体极值第d维分量；学习因子c₁=c₂=1.494 45；r₁和r₂为区间[0, 1]内随机数。
选择性维修决策优化求解步骤如下：
步骤1 ??设置各项参数，包括系统参数(组件数、第k次任务周期结束时各组件状态及有效役龄)和算法控制参数(种群规模N、迭代次数M、c₁、c₂)，并对粒子群随机初始化。
步骤2 ??计算各粒子的适应度值。
步骤3 ??更新粒子速度和位置，由更新后的粒子找到对应各组件维修水平l_ij(k)，由式(4)计算各组件维修水平对应的维修时间，得出各组件维修时间矩阵[t₁₁, t₁₂, …, t_1n1, t₂₁, t₂₂, …, t_ij, …, t_mnm]，t_ij为组件E_ij维修时间。
步骤4 ??按1.1.4节多员维修系统组件维修分配算法，计算系统维修时间。
步骤5 ??判断进化后粒子是否满足约束，包括任务间隙、维修费用等约束，如果满足则更新组件役龄和状态，并重新计算进化后粒子的适应度值，执行步骤6；若不满足则转至步骤3。
步骤6 ??更新粒子个体历史最优位置和个体适应度最优值。
步骤7 ??更新粒子群体历史最优位置和群体适应度最优值。
步骤8 ??判断是否满足终止条件，若满足则输出最优选择性维修决策方案；否则转步骤3。
2 案例分析 本节先以文献[5]中案例验证本文所提模型的有效性，再将所提模型应用到某捷联惯导系统(SINS)的不完全维修决策优化问题中。
2.1 案例验证 将本文模型与文献[5]计算结果进行对比验证。该串并联系统由子系统1和子系统2串联，其中子系统1由组件E₁₁和E₁₂并联而成，子系统2由组件E₂₁和E₂₂并联而成，如图 4所示。假设组件故障时间服从威布尔(Weibull)分布，其中，β_ij为形状参数，α_ij为尺寸参数。

图 4 串并联系统 Fig. 4 Series parallel system

图选项

对正常组件，L_ij(k)取6，即除了不修和更换，还有4种中间维修，有T_ij^R=T_ij^WR和C_ij^R=C_ij^WR，T_ij^WR和C_ij^WR分别为正常组件更换时间和费用；对故障组件，L_ij(k)取7，即除了不修、最小维修和更换外，还有4种中间维修，有T_ij^R=T_ij^FR和C_ij^R=C_ij^FR，T_ij^FR和C_ij^FR分别为故障组件更换时间和费用，T_ij^MR和C_ij^MR分别为故障组件最小维修时间和费用。假设中间维修水平相关时间和费用成线性变化，即对正常组件，t^k_{ij, lij}=(l_ij(k)－1)Δt_ij^W，c^k_{ij, lij}=(l_ij(k)－1)Δc_ij^W；对故障组件，t^k_{ij, lij}=T_ij^MR+(l_ij(k)－2)Δt_ij^F，c^k_{ij, lij}=C_ij^MR+(l_ij(k)－2)Δc_ij^F。系统各项参数如表 4所示^[5]。任务周期U_k+1为8个时间单位，任务间隙M_k+1为9个时间单位。当只有一个维修人员时，经计算得表 5。
表 4 系统参数及维修时间和费用^[5] Table 4 System parameters, maintenance time and cost^[5]

子系统	组件	βij	αij	Yij(k)	Aij(k)	TijMR	TijWR	ΔtijW	TijFR	ΔtijF	CijMR	CijWR	ΔcijW	CijFR	ΔcijF
子系统1	E11	1.5	15	1	15	3	5	0.25	1	0.25	6	12	2.00	12	1.0
	E12	1.5	15	1	20	3	5	0.25	1	0.25	5	12	1.75	12	1.0
子系统2	E21	3.0	20	0	8	2	4	0.20	2	0.20	5	14	1.50	14	2.0
	E22	3.0	20	1	15	2	4	0.20	2	0.20	6	15	1.60	15	1.5

表选项






表 5 系统选择性维修决策优化方案 Table 5 System selective maintenance decision optimization scheme

q	组件	维修水平lij(k)	tijE	tsys	XijE	Bija	Sa	R
1	E11	IM(5)	1.0	8.8	1	7.8	20.7	0.796 9
	E12	WR(6)	5.0		1	0
	E21	FR(7)	2.0		1	0
	E22	IM(5)	0.8		1	12.9

表选项






表 5中：IM为中间维修水平；WR为正常组件更换；FR为故障组件更换；t_ij^E为组件E_ij维修所需时间；t_sys为系统维修时间；X_ij^E为组件E_ij维修后状态；B_ij^a为组件E_ij维修后有效役龄；S^a为维修后各组件有效役龄总和；R为系统可靠度。本文模型计算出的l_ij(k)、t_ij^E、X_ij^E和R等结果与文献[5]完全相同，验证了本文模型的有效性。需指出，文献[5]中模型只是本文所提模型的一种特殊情况，但不影响验证本文模型有效。
2.2 捷联惯导系统案例分析 SINS系统是复杂导航设备。将本文模型应用到SINS系统的不完全选择性维修决策中，主要研究：①维修人员的数量对系统选择性维修决策的影响；②多维修人员下，维修资源对系统可靠性的影响。图 5为某SINS系统可靠性框图。

图 5 SINS系统可靠性框图 Fig. 5 System reliability block diagram of SINS

图选项

对正常组件和故障组件，L_ij(k)均取6。中间维修水平相关维修时间和费用采用文献[8]中定义方法，正常组件中间维修水平(2≤l_ij(k)≤5)的维修时间和费用分别为

(21)

(22)

故障组件中间维修水平(3≤l_ij(k)≤5)的维修时间和费用分别为

(23)

(24)

式(21)~式(24)中，C_ij^R=C_ij^WR=C_ij^FR。本案例假设t_ij^fix=0，c_ij^fix=0。如果第k次任务周期结束后，各组件状态为：{Y₁₁(k)=1, Y₁₂(k)=0, Y₂₁(k)=0, Y₂₂(k)=1, Y₃₁(k)=1, Y₃₂(k)=0, Y₃₃(k)=1, Y₃₄(k)=0, Y₄₁(k)=0, Y₄₂(k)=1, Y₄₃(k)=0, Y₄₄(k)=1, Y₄₅(k)=1, Y₄₆(k)=1, Y₅₁(k)=1, Y₅₂(k)=0, Y₆₁(k)=1, Y₆₂(k)=1, Y₇₁(k)=1}，SINS系统在第k+1次任务周期U_k+1运行时间为3 000 h，其他各项参数如表 6所示^[15]。
表 6 SINS系统参数及维修时间和费用^[15] Table 6 SINS parameters, maintenance time and cost^[15]

组件	βij	αij	Aij(k)/h	TijMR/d	TijWR/d	TijFR/d	CijMR/万元	CijR/万元
E11	2.5	25 000	2 000	4.5	14	10	0.4	1.2
E12	2.5	25 000	3 800	4.5	14	10	0.4	1.2
E21	1.8	9 000	3 000	3.5	9	7	0.5	1.6
E22	1.8	9 000	5 000	3.5	9	7	0.5	1.6
E31	3.5	11 750	1 500	4.0	15	12	1.2	4.6
E32	3.5	11 750	2 000	4.0	15	12	1.2	4.6
E33	3.5	11 750	2 000	4.0	15	12	1.2	4.6
E34	3.5	11 750	3 800	4.0	15	12	1.2	4.6
E41	2.2	11 000	1 500	3.5	10	8	0.2	0.6
E42	2.2	11 000	2 500	3.5	10	8	0.2	0.6
E43	2.2	11 000	3 000	3.5	10	8	0.2	0.6
E44	2.2	11 000	4 000	3.5	10	8	0.2	0.6
E45	2.2	11 000	3 500	3.5	10	8	0.2	0.6
E46	2.2	11 000	1 500	3.5	10	8	0.2	0.6
E51	1.9	8 700	3 000	3.5	13	10	0.6	3.0
E52	1.9	8 700	2 000	3.5	13	10	0.6	3.0
E61	3.5	12 000	2 000	4.0	10	8	5.0	20.0
E62	3.5	12 000	3 500	4.0	10	8	5.0	20.0
E71	2.1	24 000	2 000	3.0	8	6	1.0	5.0

表选项







2.2.1 维修人员数量对选择性维修决策的影响 当任务间隙M_k+1为25 d，分析维修人数q从1增加为3时，维修人员数量对SINS系统选择性维修决策的影响，计算结果如表 7所示；分别有2个和3个维修人员时维修任务分配如图 6所示。由表 7和图 6可知，在一定任务间隙下：
表 7 维修人员数量对SINS系统选择性维修决策的影响 Table 7 Influence of number of repairpersons on SINS selective maintenance decision

q	组件	维修水平lij(k)	tijE	Sa	R
1	E11	DN(1)	0	40796	0.9074
	E12	DN(1)	0
	E21	IM(4)	3.5
	E22	WR(6)	9.0
	E31	DN(1)	0
	E32	DN(1)	0
	E33	DN(1)	0
	E34	DN(1)	0
	E41	DN(1)	0
	E42	DN(1)	0
	E43	DN(1)	0
	E44	DN(1)	0
	E45	DN(1)	0
	E46	DN(1)	0
	E51	DN(1)	0
	E52	FR(6)	10.0
	E61	DN(1)	0
	E62	DN(1)	0
	E71	IM(2)	1.6
2	E11	DN(1)	0	33068	0.9447
	E12	DN(1)	0
	E21	FR(6)	7.0
	E22	WR(6)	9.0
	E31	DN(1)	0
	E32	DN(1)	0
	E33	DN(1)	0
	E34	DN(1)	0
	E41	DN(1)	0
	E42	DN(1)	0
	E43	IM(4)	4.0
	E44	DN(1)	0
	E45	DN(1)	0
	E46	DN(1)	0
	E51	WR(6)	13.0
	E52	FR(6)	10.0
	E61	IM(2)	2.0
	E62	DN(1)	0
	E71	IM(4)	4.8
3	E11	DN(1)	0	23104	0.9528
	E12	DN(1)	0
	E21	FR(6)	9.0
	E22	WR(6)	9.0
	E31	DN(1)	0
	E32	DN(1)	0
	E33	DN(1)	0
	E34	DN(1)	0
	E41	IM(3)	2.5
	E42	IM(2)	2.0
	E43	IM(3)	2.5
	E44	IM(5)	8.0
	E45	IM(2)	2.0
	E46	IM(2)	2.0
	E51	WR(6)	13.0
	E52	FR(6)	13.0
	E61	IM(2)	2.0
	E62	IM(2)	2.0
	E71	WR(6)	8.0

表选项

图 6 SINS多维修人员维修任务分配图 Fig. 6 Maintenance task assignment chart with multiple repairpersons of SINS

图选项

1) 随着维修人员数量增加，SINS系统组件有效役龄总和大幅度降低，系统可靠度明显增加。
2) 随着维修人员数量增加，更换组件的数量和组件的维修水平呈现增加趋势，如当维修人员数量为1时，只有2个组件被更换，当维修人员数量为3时，有5个组件被更换。
3) 当维修人员增加到一定数量时，SINS系统所有组件都被更换，得到系统可靠性最大值；如再增加维修人员数量，不能增加系统可靠性，只能使得系统维修时间减少。

2.2.2 维修资源对系统可靠性敏感度分析 研究多员维修下，维修资源变化对系统可靠性的影响，以便实现维修资源最优配置。在q=2(2名维修员)和不同任务间隙(15, 25, 30, 45)d下，SINS系统可靠性随维修费用变化关系如图 7所示。可见：

图 7 维修资源变化对系统可靠性的敏感度分析 Fig. 7 Sensitivity analysis of system reliability to maintenance resource variation

图选项

1) 限制一种维修资源，增加另一种维修资源，能有效增加系统可靠性，但系统可靠性会增加到某一极值，如当任务间隙分别为15, 25, 30和45 d时，增加维修费用能够有效增加SINS系统可靠性，但最后SINS系统可靠性不变。
2) 当维修费用为5万元时，随着任务间隙增加，系统可靠性不变。由于该种情况下维修费用是限制系统可靠度的因素，任务间隙不是主要因素。
3) 当任务间隙为15 d时，随着维修费用增加，SINS系统可靠性也随之增加，但系统可靠性明显比任务间隙为25, 30和45 d时低。说明该种情况下任务间隙是限制SINS系统可靠性的主要因素，若要有效增加SINS系统可靠性，必须增加任务间隙或维修人数。
当q>2时，任务间隙和维修费用对SINS系统可靠性影响分析方法与q=2时一致。
3 结论 1) 提出了一种复杂系统组件不完全维修模型，该模型不仅考虑不修、最小维修、换件维修和多中间维修水平，还将组件维修前状态、有效役龄和维修费用等因素引入，更符合工程实际。
2) 提出了一种多员维修系统组件维修分配算法，解决了如何将多维修任务分配给多维修人员，使得系统维修时间最小。将所提算法引入到PSO算法中，求解考虑多维修人员和不完全维修条件下复杂系统选择性维修模型。
3) 本文算法使用PSO算法求解多员维修系统组件维修分配问题。案例表明，本文模型和求解算法有效，能够为考虑多维修人员和不完全维修条件下的复杂系统提供切实可行的维修决策方案。

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