在潜望式粗指向装置的设计阶段，需要对其性能进行分析和优化。该方面，文献[5]研究了潜望式粗指向装置的反射镜受均匀温差与梯度温差作用时，镜面热变形对跟瞄误差的影响；文献[6]分析了在轨运行阶段，反射镜的固定方式对镜面热应力与应变的影响；文献[7]分析了反射镜安装方式对装置跟瞄性能的影响；文献[8]给出了波前畸变误差随SiC反射镜热变形的变化规律；文献[9]研究了多种粗指向平台的结构特点，并利用多目标拓扑优化方法对其反射镜组件进行了优化设计；文献[10]研究了空间热环境下，边缘铰链式反射镜的不同铰链参数对装置通信性能的影响；文献[11]对比了在轨运行阶段，不同材料的潜望式粗指向装置的指向性能受温度的影响。
文献[5-11]或仅以潜望式粗指向装置的反射镜组件为研究对象，或重点分析热载荷对装置性能的影响，未研究其他形式的载荷与装置主体结构变形对装置性能的影响。由于粗指向装置实际的工作环境复杂，且主体结构变形必然会引起反射镜形状与姿态的变化。因此，有必要考虑多种形式的载荷与主体结构的变形，分析并优化装置的性能。本文将基于有限元方法与拓扑优化方法开展上述研究工作。
1 有限元建模 1.1 潜望式粗指向装置结构 潜望式粗指向装置的主体结构包括：固定底座、连接镜筒、输出镜筒及2组轴承，另外有2个45°反射镜安装在主体结构之上，如图 1所示。其中，固定底座与卫星的星体固联；连接镜筒可绕固定底座转动，转动副为角接触球轴承，转轴定义为方位轴；输出镜筒可绕连接镜筒转动，转动副为角接触球轴承，转轴定义为俯仰轴。发射激光束时，激光束首先传入连接镜筒，经2个反射镜反射后，从输出镜筒射出。与上述过程相反，该装置也可接收外界发出的激光束。此外，2个转动副均装有驱动器，可实现两镜筒姿态的主动调节，进而控制激光束的传入传出方向[9]。
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| 图 1 潜望式粗指向装置的结构组成 Fig. 1 Periscopic coarse pointing mechanism structure |
| 图选项 |
1.2 有限元等效建模方法 为了实现装置的性能分析与优化，首先需要建立其有限元模型。由于固定底座和镜筒均为薄壳结构，故有限元建模过程中，使用壳单元对固定底座、输出镜筒和连接镜筒进行建模。对于反射镜和轴承，本文提出以下等效建模方法。
1) 反射镜等效建模方法：根据文献[12]，本文的研究对象采用背部框架固定的方式安装反射镜，如图 2所示。反射镜安装在支撑背板之上，支撑背板与反射镜框架固连。相比于其他构件，反射镜的刚度较低、可以忽略不计，因此建模时，将反射镜离散为多个附加在支撑背板上的质量点。离散质量点的总质量与反射镜质量一致。从而完成反射镜的等效建模。
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| 图 2 反射镜的固定方式 Fig. 2 Method for fixing reflection mirror |
| 图选项 |
2) 轴承等效建模方法：由于轴承结构复杂，完整的建模和分析需要消耗大量时间，本文将轴承等效为带孔圆板，其几何参数与材料参数由轴承刚度确定。轴承的轴向刚度Kα和径向刚度Kβ可分别表示为[12]
 | (1) |
 | (2) |
式中：a和b分别为带孔圆板的外径和内径；h为圆板厚度；ν为圆板泊松比；E为圆板弹性模量。
本文设定a、b为安装轴承的结构(镜筒和固定底座)的内外径，且使用控制变量法求解等效轴承的其余参数。根据式(1)和式(2)，Kβ与Kα的比值不随E的改变而变化，故先设置E为任意值，ν为0.3。在上述条件下Kβ与Kα的比值仅与h有关。而后，建立具有不同h的等效轴承的有限元模型，通过仿真计算可以得到不同Kβ与Kα的比值，将上述参数进行曲线拟合，如图 3所示。
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| 图 3 等效轴承径-轴向刚度与圆板厚度的关系 Fig. 3 Relationship between equivalent bearing diameter-axial stiffness and plate thickness |
| 图选项 |
本文选取Kα与Kβ分别为1×104 N/mm和1×105 N/mm的轴承为研究对象。鉴于Kβ与Kα的比值为10，根据图 3，可得h为2.946 mm。由于f(a, b, h, ν)和g(a, b, h, ν)的具体解析表达式不易求得，在确定a、b、ν、h、Kβ、Kα后，可再次利用有限元模型反求出E，进而确定等效轴承全部参数、完成建模。
综上，建立潜望式粗指向装置的有限元模型，如图 4所示。除轴承外其余部分使用SiC材料，其弹性模量为400 GPa、泊松比为0.25、密度为3 000 kg/m3、热膨胀系数为2.8×10-6/K。
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| 图 4 潜望式粗指向装置有限元模型 Fig. 4 Finite element model of periscopic coarsepointing mechanism |
| 图选项 |
2 多工况下的装置性能分析 2.1 工况介绍 考虑卫星的发射阶段和在轨运行阶段具有不同的力学环境，可能对装置产生不同的影响，因此本文同时考虑上述2个阶段，对装置进行性能分析。其中，发射阶段称为工况1，在轨运行阶段称为工况2。
工况1下，装置的镜筒通过锁定装置固定。火箭推力、冲击振动等载荷作用于整个装置。若此时反射镜产生的响应过大，将影响其精确安装甚至使其发生破坏。
工况2下，装置的镜筒可做两自由度旋转。由于潜望式粗指向装置安装在卫星舱外进行信号收发，在卫星环绕地球的过程中，粗指向装置受到的热载荷变化剧烈，反射镜面的热变形将严重影响指向精度。此外，其他星载设备的振动也会对指向精度产生影响。综上，本文设定工况1和工况2下装置的边界条件如图 5所示，G为发射过程中的加速度载荷，ΔT为工作状态中反射镜组件与镜筒的温差。
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| 图 5 边界条件 Fig. 5 Boundary conditions |
| 图选项 |
在固定底座完全约束的前提下，针对工况1，约束输出镜筒的下端面，并对装置施加10g的重力加速度载荷，用来模拟火箭发射过程中的准静态加速度载荷。实际上，火箭发射过程中，装置还受到随机振动载荷的影响。由于篇幅有限，本文的分析并未考虑随机振动载荷，但这并不影响本文述及的理论与方法。当考虑随机振动载荷时，可以先利用Miles公式将其等效为准静态载荷[13]，再代入本文所提出的等效模型进行分析即可。针对工况2，考虑驱动器自身刚度，整个装置类似于悬臂梁，本文参考文献[14]中的温度分布，不考虑额外的温控措施，拟定一种恶劣的热载荷工况。上述工况下，反射镜组件与其余部分存在10℃的温度差。恶劣的温差工况可以提高后续优化结果的可靠性。将图 5左侧的反射镜称为左反射镜、右侧为右反射镜。
2.2 结构性能判据 针对工况1，在加速度载荷下，由于反射镜为圆形，其关于安装位置中心对称，反射镜上的最大变形将出现在中心处。本文使用左、右反射镜中心的位移大小U1、U2评价加速度载荷对反射镜的影响。除上述方法外，也可采用反射镜的应力响应评价其受加速度载荷的影响。相比于应力响应，本文采用的反射镜等效建模方法可以更准确地计算镜面的位移响应。因此，本文利用反射镜的变形量来评价其抗破坏能力。
针对工况2，在温度载荷下，反射镜会产生热变形，光束经变形的反射镜反射后，会导致波前畸变，进而产生跟瞄误差。根据1.2节，本文使用支撑背板的变形代替反射镜的变形，并使用光学元件面型的均方根误差(Urms)来评价反射镜的热变形对指向精度的影响[15]。Urms的计算公式为
 | (3) |
式中：ui为第i个测点偏离反射镜理想中面的距离；N为总测点数。本文选取图 6所示的9个测点来计算Urms值。
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| 图 6 反射镜上的测点位置 Fig. 6 Position of measuring points on reflection mirror |
| 图选项 |
根据1.2节，本文利用支撑背板的变形代替反射镜的变形来求解U1、U2与Urms。同时，还使用工况1下的前三阶固有频率λ11、λ12、λ13与工况2下的前三阶固有频率λ21、λ22、λ23评价振动载荷对反射镜的影响。
2.3 结构性能分析 对装置进行有限元仿真计算，得到如下仿真结果：在工况1下，U1、U2分别为0.026 9、0.030 7 mm，λ11、λ12、λ13分别为282.7、285.4、299.8 Hz，由模态振型可知，第一阶模态是反射镜所在区域的局部模态，因此可知外界振动易使反射镜产生共振；在工况2下，左、右反射镜的Urms分别为0.003 1、0.002 9 mm，λ21、λ22、λ23分别为53.99、71.11、157.9 Hz，此外，反射镜支撑背板在工况2下会发生中心凸起，严重影响其工作性能。因此为了进一步提升粗指向装置的性能，有必要对其进行优化设计。
3 多工况拓扑优化 考虑到粗指向装置对主体结构外形尺寸具有特定的要求，本文采用基于变密度法的拓扑优化方法对主体结构的材料分布进行优化[16]。该优化结果不改变装置整体尺寸，以保证装置的光学特性不在优化过程中失效。
3.1 优化目标、约束条件与设计区域 根据第2节的内容，本文确定拓扑优化的目标及约束如下：
针对工况1，本文选择U1、U2之和C1作为目标函数，其反映了加速度载荷对反射镜的影响。为了防止优化后U1、U2出现过大的差距，在优化过程中，约束U1、U2之差的绝对值与C1的比值L1小于许用值。C1和L1为
 | (4) |
 | (5) |
针对工况2，本文选择2个反射镜的Urms之和C2作为目标函数，其反映了热载荷对反射镜面型精度的影响。为了防止在优化后2个反射镜的Urms出现过大的差异，在优化过程中约束2个反射镜的Urms之差的绝对值与C2的比值L2小于许用值。C2和L2为
 | (6) |
 | (7) |
式中：Urms1为左镜的面型均方根误差；Urms2为右镜的面型均方根误差。
在2个工况中，利用平均频率来描述装置受振动影响的程度，根据文献[17]，平均频率计算公式为
 | (8) |
式中：C3为工况1下的平均频率；C4为工况2下的平均频率；m为所包含频率的阶数，本文中取3；λi为结构的第i阶频率的数值；λ0为指定的频率参考值，在工况1中取200，在工况2中取50。本文使用所提方法克服了在以频率为目标的优化过程中，目标函数振荡、收敛缓慢等问题。
综上，本文将最小化C1及最大化C3作为工况1下的目标函数，以尽量减小装置被发射阶段的冲击载荷及振动所破坏的可能性；将最小化C2及最大化C4作为工况2下的目标函数，以尽量减小装置在轨运行时的恶劣热环境和星体振动对指向精度的影响。为了防止优化过程中单侧反射镜失效，设定L1和L2的许用值为0.1。另外，优化过程中，还需约束装置的总质量保持不变。
为了避免优化结果影响反射镜、轴承的安装以及整个装置的锁定，在优化过程中，将等效轴承及相应的安装位置、2个反射镜的安装位置、固定底座与输出镜筒下端的锁定位置设置为非设计区域，如图 7中的浅色区域。其他部分为拓扑优化设计区域，如图 7中的深色区域。
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| 图 7 拓扑优化设计区域与非设计区域 Fig. 7 Design area and non-design area of topology optimization |
| 图选项 |
3.2 优化数学模型及求解 本文使用变密度法求解所述的拓扑优化问题[16]，且利用折中规划法将2个工况下的优化目标转换为单个优化目标[18-19]，转换公式为
 | (9) |
式中：F(ρ)为转换的优化目标函数；Ci(ρ)为第i个以ρ为变量的目标函数值；Ci0为目标函数Ci的乌托邦点近似值；n为目标函数的个数；q为指数系数，在本文中取2。
进而根据3.1节内容，建立优化数学模型如下：
 | (10) |
式中：K为刚度矩阵；M为质量矩阵；λ为模态特征值矩阵；φ为模态特征向量矩阵；U为结构位移向量；F为施加外力向量；ρe为单元密度；ρmin为单元密度的下界，其用于避免结构刚度矩阵的奇异；ve为单元体积；V为体积约束上界；e为单元序号；Ne为单元总数；Lj为第j个约束函数；j为约束函数的序号。
本文利用可行方向法完成优化迭代计算，设置总体积不变，最小板厚1 mm，最大板厚5 mm。通过优化计算，得到图 8所示的优化结果。其中，深色代表该区域板厚为5 mm，浅色代表该区域板厚为1 mm。
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| 图 8 主体结构多目标拓扑优化结果 Fig. 8 Multi-objective topology optimization results of main structure |
| 图选项 |
重新设计后的潜望式粗指向装置主体结构如图 9所示。
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| 图 9 优化后的潜望式粗指向装置主体结构 Fig. 9 Main structure of optimized periscopic coarse pointing mechanism |
| 图选项 |
3.3 优化前后结果对比 针对2个工况，对比优化前后反射镜的形变指标，如图 10所示。优化后，左、右反射镜中心因加速度载荷产生的位移值分别下降了25.8%、31.0%。左、右反射镜因热载荷产生的面型误差分别下降了8.18%、32.9%。
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| 图 10 反射镜响应在优化前后的对比 Fig. 10 Comparison of reflection mirror response before and after optimization |
| 图选项 |
优化后反射镜在工况2下不再产生中心凸起，优化前后的仿真结果如图 11所示。
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| 图 11 优化前后工况2的镜面变形对比 Fig. 11 Comparison of mirror deformation under working condition 2 before and after optimization |
| 图选项 |
此外，针对2个工况，对比优化前后装置的振动特性，如表 1所示。
表 1 优化前后前三阶频率对比 Table 1 Comparison of the first three orders frequencies before and after optimization
| 参数 | 优化前频率/Hz | 优化后频率/Hz | 频率变化率/% |
| λ11 | 282.7 | 283.8 | +0.4 |
| λ12 | 285.4 | 316.8 | +11.0 |
| λ13 | 299.8 | 340.1 | +13.4 |
| λ21 | 53.99 | 55.19 | +2.2 |
| λ22 | 71.11 | 72.43 | +1.9 |
| λ23 | 157.9 | 166.0 | +5.1 |
表选项
表 1显示，优化后，工况1下的前三阶频率分别提升0.4%、11.0%、13.4%，工况2下的前三阶频率分别提升2.2%、1.9%、5.1%。工况2下的模态主要受连接镜筒上轴承轴向刚度的影响，而在优化过程中，轴承为非设计区域，故工况2下的模态提升程度相对较低。经过优化，工况1下的第一阶模态从反射镜的局部模态变成了沿俯仰轴转动的整体模态，如图 12所示，说明优化结果可以降低反射镜发生共振的可能性。
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| 图 12 优化前后工况1的第一阶振型对比 Fig. 12 Comparison of first-order modes of vibration under working condition 1 before and after optimization |
| 图选项 |
综上，优化后反射镜在发射过程中受破坏的可能性得到了降低，在工作过程中指向精度受热环境与振动载荷的影响也得到了降低，优化效果明显。
4 结论 1) 本文提出了潜望式粗指向装置的有限元建模方法，建立了相应的有限元模型，分析了装置在发射阶段和在轨工作阶段2种工况下的性能。结果表明，加速度载荷与热载荷对装置性能的影响较大。
2) 提出一种多工况拓扑优化方法，对装置的主体结构进行优化设计。在本文的算例中，优化后的粗指向装置在重量不变的前提下，反射镜受加速度载荷产生的变形量减少31.0%、受热变形影响产生的面型误差降低32.9%；装置在发射阶段的前三阶频率分别提升0.4%、11.0%、13.4%，在轨工作阶段的前三阶频率分别提升2.2%、1.9%、5.1%；优化效果明显。
3) 本文的建模、分析与优化方法可以为同类型粗指向装置的设计提供参考。
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