现有关于硬涂层减振机理的研究，多认为硬涂层中微观颗粒之间的内部摩擦消耗基体振动能量是其产生减振能力的原因，Torvik[3]、Abu Al-Rub[4]、杜广煜[5]等分别创建了微观材料学表征模型来解释硬涂层的减振机理，并采用实验法确定了各类硬涂层的材料参数与阻尼性能参数。为了更好地进行硬涂层阻尼减振设计，需要建立宏观的硬涂层-基体复合结构动力学分析模型，并基于该分析模型来对硬涂层的减振性能进行有效预估与优化。孙伟等[6-7]针对硬涂层-薄板复合结构，采用修正的模态应变能法对其模态损耗因子进行预估，并与试验结果对比，验证了硬涂层的阻尼减振能力。高俊男等[8-9]基于有限元法建立了硬涂层-整体叶盘结构的动力学模型，求解获得了复合结构的模态特性和振动响应结果，与试验结果之间具有较好的一致性。目前，关于硬涂层减振设计的动力学建模与仿真计算方法研究已较为成熟，但相关优化设计理论和方法尚不充足。陈玉刚等[10]基于Reuss模型建立了硬涂层-薄板复合结构的力学特性计算模型，采用随机方向法对硬涂层的弹性模量、损耗因子以及涂覆厚度进行寻优设计，获得了较优的减振性能。但其优化对象为简单的单层薄板结构，对于不规则几何构型的复合材料蒙皮结构，该方法将难以适用。
本文针对典型民用飞机复材蒙皮结构，提出使用硬涂层进行阻尼减振的设计方法，建立复材蒙皮-硬涂层复合结构有限元模型，分析硬涂层对蒙皮结构固有特性和振动响应特性的影响，并对涂层结构参数进行优化以获得最佳减振性能。
1 硬涂层-复材结构振动响应求解 1.1 复合结构动力学模型建立 图 1(a)所示为民用飞机机翼几何构型不规则的复合材料蒙皮板，现在其外表面涂覆阻尼硬涂层，并使用四边形板单元建立该复合结构的有限元模型。对于任一离散的硬涂层-复材结构板单元，其结构如图 1(b)所示。基于弹性薄板理论，板单元上任一点(x, y, z)位置的x, y, z方向位移可使用挠度w(x, y)分别表示为
 | (1) |
 |
| 图 1 硬涂层-复材结构有限元模型及板单元 Fig. 1 Finite element model and plate element of composite structure with hard coating |
| 图选项 |
则该点处应变向量ε同样可由挠度表示为
 | (2) |
式中：εxx、εyy和εxy为ε的分量；L为二阶微分算子向量。
假设蒙皮平板与硬涂层厚度分别为h与hc，复材蒙皮的铺层数为N，自下至上各层厚度方向
坐标为z0，z1，…，zN，则其中第i层中应力与应变之间的本构关系可表示为[11]
 | (3) |
式中：σxx、σyy和σxy为应力分量；K(i)为第i层的复材刚度矩阵；Exi、Eyi分别为第i层铺层材料沿纤维方向和垂直纤维方向的弹性模量；μxyi为该层内泊松比；Gxyi为xy方向剪切模量；B=1/(1－μxyi2)。
对于硬涂层，可将其视为各向同性的第N+1层，其材料参数包含复弹性模量Ec*和泊松比νc，其中复弹性模量Ec*可表示为
 | (4) |
式中：Ec为硬涂层材料的弹性模量；ηc为硬涂层的损耗因子。
按照经典层合板理论，假设涂层前后蒙皮中性面位置不变，则结构单元动能T可表示为[12]
 | (5) |
式中：m为复合结构的单位面积质量，可表示为
 | (6) |
其中：ρi为第i层材料体密度。
结构单元的应变能U可表示为
 | (7) |
式中：D为复合结构的单元刚度矩阵，表达式为
 | (8) |
对于复材蒙皮-硬涂层复合结构有限元模型，各个离散的四边形单元节点横向振动位移向量w(e)和节点的形函数向量n可分别表示为
 | (9) |
 | (10) |
式中：xk和yk分别为第k号节点在总体坐标系下的坐标值。单元内任一点的横向振动位移w(e, in)和横向振动速度?(e, in)均可用节点位移进行插值：
 | (11) |
将式(11)代入式(7)和式(5)，可分别求得单元应变能U(e)和单元动能T(e)分别为
 | (12) |
根据哈密顿原理[13]，构建单元拉格朗日函数G(e)=T(e)－U(e)，任意振动周期[t1, t2]时间内有
 | (13) |
式中：δ为变分算子。简化式(13)可获得复材蒙皮-硬涂层复合结构的单元质量矩阵M(e)和复刚度矩阵K*(e)：
 | (14) |
组集离散的单元质量矩阵和复刚度矩阵，可获得复材蒙皮-硬涂层复合结构的整体质量矩阵M(a)和复刚度矩阵K*(a)，动力学模型可表示为
 | (15) |
式中：w和f分别为有限元模型的横向位移向量和激振力向量。
1.2 固有特性与振动响应求解 设λ*为待求解的复特征值，由式(15)可得复材蒙皮-硬涂层复合结构的特征方程[13]，可表示为
 | (16) |
式中:φr和λr*分别为第r阶模态的特征向量和复特征值。求解特征方程可得复合结构的固有频率ωr与模态损耗因子ηr分别为
 | (17) |
式中：KR(a)和KI(a)分别为整体复刚度矩阵的实部和虚部。进一步采用模态叠加法可获得复合结构在简谐激励下的稳态振动响应w(s)，表达式为
 | (18) |
若激励角频率为ω，且该频率下存在系统的r阶固有频率，利用式(18)计算时，可取叠加模态数目F=r+1。
2 优化模型与设计流程 针对复材蒙皮结构采用硬涂层能进行阻尼减振的需求，通过优化设计合理确定设计参数，达到阻尼减振性能最优。图 2所示为本文提出的复材蒙皮-硬涂层阻尼减振优化设计思路。考虑到涂覆硬涂层造成的质量增加和固有特性变化，可能会对蒙皮结构的承载、气动等性能产生不良影响，故采用多参数优化方法，合理选取硬涂层的材料参数(弹性模量、损耗因子)和几何参数(涂覆厚度)，在保证阻尼减振性能最佳的同时，可将结构质量增加和固有频率变化控制在给定设计范围内，实现对复材蒙皮结构质量与振动特性的一体化设计。
 |
| 图 2 复材蒙皮-硬涂层阻尼减振优化设计思路 Fig. 2 Optimization concept for damping anti-vibration design of composite skin with hard coating |
| 图选项 |
2.1 优化设计的数学模型 优化设计问题的数学模型一般形式为[14]
 | (19) |
式中：q为目标函数；gm为约束方程；a1, a2, …, an为设计变量。
在复材蒙皮-硬涂层阻尼减振优化设计问题中，可针对某一阶共振峰值，也可选择多阶峰值。若要求降低结构的前Nc阶共振峰值，则设计变量为硬涂层材料弹性模量Ec、损耗因子ηc和硬涂层厚度hc，约束变量为结构质量相对增加Δm/m0和各阶固有频率相对变化abs(Δωi)/ωi，并设计目标函数qδ表征共振峰值振幅衰减程度：
 | (20) |
式中：δmax, oi、δmax, ci分别为涂层前后蒙皮的第i阶共振响应峰值。qδ值越低，则减振效果越好。因此，系统阻尼减振优化的数学模型可表示为
 | (21) |
式中：A、B分别为结构质量和固有频率相对变化量限制值。
考虑硬涂层材料制备和喷涂工艺限制，需给定结构设计变量的设计范围，即
 | (22) |
2.2 优化设计流程 针对本文提出的复材蒙皮-硬涂层阻尼减振设计思想，建立基于可行方向法的阻尼减振优化设计流程，如图 3所示，主要可以分为以下3个步骤：
 |
| 图 3 复材蒙皮-硬涂层阻尼减振优化设计流程 Fig. 3 Optimization process for damping anti-vibration design of composite skin with hard coating |
| 图选项 |
步骤1??试取一组结构设计变量ζ0=[Ec0, ηc0, hc0]。
步骤2??将设计变量代入式(15)求解复合结构的振动响应，可获得该条件下硬涂层减振性能参数。
步骤3??对振动响应的共振峰值降低量进行评估，若其满足收敛条件，则完成该优化设计，如不收敛则利用可行方向法重新选取设计变量值，重复步骤2直至优化完成。
优化流程的重点在于使用可行方向法，求解满足质量约束条件和固有频率变化约束条件的设计变量(Ec, ηc, hc)值。其求解过程如下[15]：
步骤1??对于不满足共振峰值降低量收敛条件的初始结构设计值ζ0，根据增量步长dζ和搜索方向θ可确定新的设计值ζ1。若ζ1不满足质量与固有频率约束条件，则将步长减半重新计算；若满足，则需根据式(22)判断其是否满足设计变量变化范围，已对搜索方向θ进行修正。
步骤2??若ζ1满足边界条件，则将搜索方向θ修正为ζ0变化梯度反方向在边界上的投影；若ζ1不满足边界条件，则将搜索方向θ修正为ζ0变化梯度的反方向。
步骤3??通过可行方向法向主程序输入新的结构设计点ζ0和搜索方向θ。
3 算例分析 针对图 1(a)中的复材蒙皮-硬涂层复合结构有限元模型，对硬涂层材料参数和几何参数进行优化，使结构获得最佳的阻尼减振性能。
3.1 复材蒙皮结构振动响应分析 首先分析在未涂层条件下的复材蒙皮模型原结构振动响应特性，计算其前三阶模态频率以及在简谐面压力激励下的振动响应。有限元模型中，在蒙皮两端施加固定约束，在蒙皮上表面施加简谐变化的面压力，压强幅值为p=1000Pa，激励频率为ω=40Hz。其中，蒙皮使用T700碳纤维复合材料编织制成，铺层数目为5，单层厚度为0.2mm，复层角度为-45°→45°→－45°→45°→－45°，相关材料性能参数如表 1所示。
表 1 复材蒙皮材料(T700)参数 Table 1 Parameters of compositeskin material(T700)
| 参数 | 数值 |
| 密度/(kg·m-3) | 1800 |
| 弹性模量(平行纤维方向)/GPa | 115 |
| 弹性模量(垂直纤维方向)/GPa | 6.43 |
| 泊松比(平行纤维方向) | 0.28 |
| 泊松比(垂直纤维方向) | 0.34 |
| 材料损耗因子 | 0.003 |
表选项
计算获得异型蒙皮板的模态振型与振动响应。为便于后续优化方法编程计算，基于ANSYS 18.1平台使用shell163四节点板单元划分网格，后将节点和单元位置及尺寸数据导入MATLAB，构造模型的质量、刚度及阻尼矩阵，并求解系统模态与振动响应。为便于结果分析，将节点位移计算结果导入ANSYS有限元模型中进行显示。复材蒙皮结构模态振型及振动响应结果如图 4和图 5所示。
 |
| 图 4 复材蒙皮结构模态振型与频率 Fig. 4 Modal vibration shape and frequency of composite skin structure |
| 图选项 |
 |
| 图 5 复材蒙皮局部共振 Fig. 5 Local resonance of composite skin |
| 图选项 |
3.2 硬涂层结构参数优化设计 采用第2节中硬涂层阻尼减振优化设计方法，对该复材蒙皮-硬涂层复合结构的减振性能进行优化设计。以硬涂层的弹性模量、材料损耗因子和涂层厚度为结构参数设计变量，在其允许变化范围内，通过可行方向法确定合理的参数组合，使蒙皮的局部共振响应峰值达到最低，并且将结构质量和固有频率变化控制在设计范围内。各项控制参数设计范围如表 2所示。对设计变量进行寻优设计，使目标函数qδ达到最低。优化过程如图 6所示，可以看出，经过60次的迭代后，目标函数收敛并达到最低，硬涂层结构设计变量获得稳定的最优解。
表 2 优化设计控制参数 Table 2 Control parameters for optimization design
| 参数 | 数值 |
| 结构质量相对变化限制值A | 0.05 |
| 固有频率相对变化限制值B | 0.05 |
| 硬涂层弹性模量上下限([Ec]min, [Ec]max)/GPa | [1, 100] |
| 硬涂层损耗因子上下限([ηc]min, [ηc]max) | [0.001, 0.1] |
| 涂层厚度上下限([hc]min, [hc]max)/mm | [0.01, 1] |
| 增量步长比|dζ|/|ζ0| | 0.1 |
| 硬涂层材料密度/(kg·m-3) | 5600 |
| 硬涂层材料泊松比 | 0.3 |
表选项
 |
| 图 6 目标函数的优化过程 Fig. 6 Optimization process of objective function |
| 图选项 |
表 3中给出无涂层状态以及涂层后优化前与优化后条件下的结构质量、固有频率、局部振动响应峰值的结果对比。可以看出，涂覆硬涂层后，蒙皮的局部共振响应峰值有所下降，并且通过对硬涂层结构参数进行优化设计后，复合结构共振峰值相对下降量由初始方案的33.998%提高到79.500%，硬涂层的减振性能明显增加。
表 3 无涂层和涂层优化前后模型的固有频率与振动响应结果对比 Table 3 Comparison of natural frequency and vibration response results among uncoated model, unoptimized coated model and optimized coated model
| 方案 | 硬涂层材料 弹性模量/GPa | 硬涂层材料 损耗因子 | 涂层厚 度/mm | 结构 质量/kg | 第1阶固有 频率/Hz | 第2阶固有 频率/Hz | 第3阶固有 频率/Hz | 蒙皮局部共振 响应峰值/mm | 共振峰值相对 降低量/% |
| 无涂层状态 | 14.537 | 3.865 | 15.202 | 27.033 | 43.273 | ||||
| 涂层优化前方案 | 10 | 0.01 | 0.5 | 15.502 | 4.092 | 16.225 | 29.421 | 28.561 | 33.998 |
| 涂层优化后方案 | 54.494 | 0.081 2 | 0.313 | 15.141 | 3.999 | 15.767 | 28.383 | 8.871 | 79.500 |
表选项
考察不同涂层方案下蒙皮结构的质量和固有频率相对于无涂层时的变化，由表 4可见，初始方案中硬涂层带来的质量增加的固有频率相对变化量均超过了5%，通过优化设计，不仅进一步降低了振动响应，并且将各项约束参数相对变化量控制在给定设计范围内，验证了优化方法的有效性。
表 4 无涂层和涂层优化前后模型的约束参数相对变化量对比 Table 4 Comparison of relative variation of constraint parameters among uncoated model, unoptimized coated model and optimized coated model
| 方案 | 结构质量相对 变化量/% | 第1阶固有频率 相对变化量/% | 第2阶固有频率 相对变化量/% | 第3阶固有频率 相对变化量/% |
| 涂层优化前方案 | 6.639 | 5.863 | 6.732 | 8.834 |
| 涂层优化后方案 | 4.155 | 3.467 | 3.717 | 4.994 |
表选项
4 结论 1) 针对民用飞机蒙皮局部振动过大问题，提出了涂覆硬涂层的减振设计方法，并基于经典层合板理论和有限元法建立了适用于蒙皮结构的复材蒙皮-硬涂层复合结构动力学模型，计算获得复合结构的固有频率和振动响应，验证了硬涂层具有阻尼减振性能。
2) 基于可行方向法建立了复材蒙皮-硬涂层阻尼减振优化方法，并在算例中对涂层材料参数和涂层厚度进行了寻优设计，验证了所提方法的有效性，计算结果表明使用该优化方法可在提高硬涂层减振性能的同时，将涂覆涂层对蒙皮的结构质量和固有频率影响控制在给定范围内。
本文对硬涂层材料的阻尼减振性能进行了研究，而在实际工程应用中还需考虑其强度、寿命、与基体材料的契合特性等问题，相关研究有待在后续工作中逐步开展。
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