伴随着日渐密集的任务需求，任务间隔紧密程度越来越高，系统中各项活动间的交互耦合关系愈加突出，使得用户对系统的时间特性提出了更为严苛的要求^[1]。包括飞机在内的复杂工业系统在执行任务过程中，各项活动的衔接耦合密切，执行时间紧凑，顺序要求严格，某一活动的参数发生波动，会引起与其共享同一资源的其他活动的执行，进而影响整条任务链的运行，甚至导致任务失败乃至事故。
目前可用于对系统任务流程的建模方法主要有CPM(Critical Path Method)/PERT(Program Evaluation and Review Technique)、IDEF3(Process Description Capture)、图示评审技术(Graphical Evaluation and Review Technique，GERT)、EPC(Event-driven Process Chain)和Petri Net等。CPM/PERT的网络结构限定在肯定型范围内，不允许存在回路^[2]，无法描述具有随机特性和有重复操作的任务活动；IDEF3本质上是一种图形化的建模语言，缺乏强有力的形式化支持，难以对任务过程进行定量分析与仿真^[3]；EPC是一种直观的图形化业务流程描述语言，对模型无法进行有效解析^[4]；Petri Net具有严格的数学基础，但建模困难、技术要求高，且模型复杂而不易理解^[5-6]。GERT模型解析求解的计算量会随网络规模扩大而增加，但作为一种强大的图示分析技术，GERT是在系统随机变化环境和内部随机变量共同作用下对系统的一种网络描述^[7]，它能够描述任务流程中活动之间的逻辑关系及状态的转移，并能有效地反映活动执行的随机特性。文献[8]提出用于评估GERT网络特性的一种新方法，基于可靠性理论通过对蒙特卡罗仿真结果的分析可实现快速准确地评估包括工期和项目成本等特性。文献[9-10]运用GERT随机网络模型，分析系统组成元件的可靠性对系统性能的影响。文献[11]针对使用梅森公式和矩母函数求解GERT模型易出现错判或遗漏的问题，利用矩阵形式表征GERT网络，设计了基于矩阵的GERT求解算法，提高求解模型的简便性和正确性。文献[12]利用MTP-GERT(Multiple Transfer Parameters Graphical Evaluation and Review Technique)，研究基于协方差的全局灵敏度分析方法，并与基于方差的单因素灵敏度分析方法进行了对比分析。
现有研究主要从作业时间的随机特性研究工程项目的工期或成本，或者从系统组件的逻辑结构分析各组件对系统性能的影响，但对于具备随机特性且需有序执行的活动而言，未能实现其求解与分析。此外，在系统任务流程中，各活动的执行时间受到诸多因素的影响，比如：由于系统中资源共享机制引起的活动排队处理的等待时间，以及为提高任务执行效率部分上下游活动之间存在重叠执行的情形。这些因素会对系统任务过程的执行时间产生影响，但目前研究尚未考虑上述问题。
为此，本文基于GERT方法构建系统任务流程的随机网络模型，采用排队论求解任务对象在执行各活动时的平均等待时间，并引入时间因子表示任务中上下游活动执行时间之间的关系，以修正GERT网络分支中的节点传递的时间参数，使建立的任务流程模型更贴近于真实的任务过程。通过不确定性分析，找出整个任务的关键环节，为系统任务优化提供有效的思路和建议。
1 任务流程的GERT模型 1.1 GERT模型的构建 系统在逻辑上可以分为任务层、功能层和资源层。任务流程是联系系统任务、功能与资源的桥梁，是系统演化的核心环节。描述系统任务流程通常从功能、活动、结构和状态4个方面展开^[13]，活动在依托于相应资源的基础上按照一定的逻辑结构有序执行就形成了任务流程。在系统任务执行过程中，系统的状态在一定范围内不断变迁，系统中各活动执行与否和执行时间均存在一定的随机性。
GERT的基本要素包括节点、枝线和流^[14]。在建模时，将系统中的各状态作为节点；枝线表示状态间的传递活动，活动间的逻辑关系通过GERT的不同节点类型得以表达；流反映各项活动的量化关系，构建系统任务流程的GERT模型。
基于GERT方法对任务流程进行建模主要包括2个步骤^[15]：
步骤1 ?分析任务流程中各项活动间的逻辑关系，依据GERT的不同节点类型构建任务流程随机网络的基本结构。
在随机网络模型中，当活动节点的输入逻辑为“异或型”，输出为“概率型”时，GERT网络可转化为一个线性系统，易于用数学方法处理。故在随机网络中，需通过适当的逻辑变换，将节点输入端的“与型”及“或型”转换为“异或型”，输出端的“确定型”转换为“概率型”，以方便模型的解析计算^[16]。
步骤2 ?收集必要的数据来描述网络分支。为求解系统任务完成时间，网络中各节点之间的传递时间以及各活动的发生概率是任务流程的随机网络模型的重要输入参数。此外也需要明确执行各活动所需的各类资源。
在收集数据的基础上，得到GERT网络的基本构成单元，如图 1所示。图中节点i、j是系统中的不同状态，活动(i, j)表示状态间的传递关系，即活动的执行过程，包括活动的执行时间和发生概率，其量化关系通过传递函数W_ij(s)表示，s为任意实数。图中：p_ij为活动(i, j)在前导节点i的状态实现的条件下发生的概率；t_ij为(i, j)的执行时间。

图 1 GERT网络的一般要素 Fig. 1 General elements of GERT network

图选项

1.2 GERT模型的求解 仅包含“异或型”节点的GERT模型，可利用信号流图理论和矩母函数进行求解^[17]。具体求解过程如下：
1) 节点传递函数
节点间活动(i, j)的传递函数W_ij(s)为

(1)

式中：M_ij(s)为执行该活动(i, j)所消耗时间的矩母函数，可通过Laplace变换求得

(2)

式中：f_ij(t)为(i, j)作业时间t的概率密度函数。
2) 等效传递函数
引入传递函数W_ij(s)后，由GERT网络得到信号流图增益矩阵A为

从矩阵A得到传递矩阵Q_n×n、P_n×m，Q_n×n表征GERT网络中除源节点以外节点间的传递关系，n为除源节点外其他节点个数，P_n×m为m个源节点到剩余n个节点的传递函数矩阵。则GERT网络中任意源节点到终节点之间的增益矩阵G为^[18]

(3)

式中：I为n阶单位矩阵。
假设需要分析源节点i到终节点j的等价传递函数W_E(s)，则只需在增益矩阵G中找到节点j所在行数和节点i所在列数对应的元素即为任务流程随机网络的等效传递函数W_E(s)。
3) 求解任务执行时间
GERT网络实现时间的矩母函数M_E(s)为

(4)

式中：p_E为GERT模型的等价网络实现概率；W_E(0)为GERT模型在s=0时的等效传递函数。
进一步地，求得系统任务执行时间t的均值和方差分别为

(5)

(6)

2 修正节点传递时间 在任务执行过程中，活动依赖于资源得以执行，将每个资源作为一个服务窗口，由于其数量有限，执行该活动的系统单元会在服务窗口前排成等待队列，等待接受服务(即执行相应的活动)。每项活动的执行时间为从进入排队队列等待服务(即系统单元申请利用资源)到服务结束离开的时间间隔，包括服务时间和等待时间。此外，对于在逻辑上存在先后关系的活动，尽管无法完全并列执行，但在实际任务过程中会通过部分重叠来缩短任务周期。
本文考虑资源约束引起各项活动的排队执行以及上下游活动之间存在重叠的情形，基于排队论求解资源约束下的各项活动执行的平均等待时间，并引入时间因子表征活动重叠的影响，以修正GERT网络中节点间的传递时间。
2.1 服务时间 对于任务流程中的每一项活动，可认为任务对象的到达是一个泊松过程，即服务对象到达的时间间隔服从负指数分布，同样，资源对服务对象的服务时间也服从负指数分布^[19]。假设在系统任务中共有n项活动，第i项活动A_i的平均服务率为μ_i，则其服务时间s(A_i)的概率密度函数f_sAi(t)为

(7)

2.2 平均等待时间 假设系统任务中第i项活动A_i的到达速率为λ_i，资源在活动A_i中对任务对象的平均服务率为μ_i，活动A_i的资源数量为c_i，即在排队模型中有c_i个服务窗口，服务对象在第i项活动A_i中平均等待时间用D(A_i)表示。

2.2.1 无资源共享的活动 对于无需与其他活动共享资源的活动，可将其视为单队列一类服务对象多服务台排队问题。
令ρ_i=λ_i/μ_i，由Little公式^[20]求得服务对象在活动A_i中的平均等待时间D(A_i)为

(8)

2.2.2 有资源共享的活动 若有2个以上的活动需要用到同一种资源，各项活动的执行时间不同，也就是资源对各活动中任务对象的服务时间不同，可将其视为单队列多类服务对象多服务台排队问题。
以共享资源R₁为例，设该类资源共有c₁个，有k项活动需要调用该类资源，即有k类服务对象，每类对象的到达速率为λ_i，则对该类资源来说，总的服务对象的到达速率为λ_R1为

(9)

第i项活动A_i的平均服务率为μ_i，则共享资源R₁相对于服务对象的平均处理速率μ_R1为

(10)

令ρ_R1=λ_R1/μ_R1，由Little公式^[20]求得这k项活动在资源R₁中的平均等待时间D(A_i)为

(11)

2.3 活动重叠影响 考虑到任务中活动之间存在重叠的情形，本文引入时间因子a_i表示活动A_i与其下游活动A_i+1之间执行时间的关系：

(12)

式中：d_Ai为活动A_i的执行时间；t_Ai为信息向下游活动A_i+1传递时活动A_i已执行的时间。
易知，0 < a_i≤1，时间因子a_i可用于修正活动之间存在重叠的情形，以表示上下游活动的执行时间关系：
1) 当a_i=1时，表示在活动A_i执行完成时向下游活动A_i+1提供信息，活动A_i+1在消息到达时开始执行。
2) 当0 < a_i < 1时，表示在活动A_i部分执行完成时向下游活动A_i+1提供信息，活动A_i+1在消息到达时开始执行。
2.4 建立任务流程的GERT模型 经过对GERT网络中节点传递时间参数的修正，构建任务流程的GERT网络模型，如图 2所示。图中，t_ij表示在系统任务中，信息向下游活动传递触发下游活动开始执行时，上游活动已执行的时间，由s_ij、D_ij和a_ij 3部分组成：s_ij表示在活动(i, j)中资源对服务对象的服务时间；D_ij表示资源约束下，服务对象在活动A_i中的平均等待时间；a_ij为时间因子，用于修正活动之间的重叠。t_ij在s_ij的基础上通过D_ij和a_ij得以修正。

图 2 任务流程的GERT网络模型 Fig. 2 GERT network model of task flow

图选项

根据矩母函数M_ij(s)的n阶导数在s=0的值等于自变量n次方的期望值，即

(13)

则GERT网络中节点之间传递时间的矩母函数M_ij(s)为

(14)

式中：活动服务时间的矩母函数M_sij(s)为

(15)

由此可得，GERT网络模型中节点之间的传递函数W_ij(s)为

(16)

在完成了节点传递时间的修正之后，可以利用1.2节中的模型求解算法对任务流程的随机网络模型进行求解和分析。
3 案例应用 本文以舰载机着舰过程为例开展案例应用分析，同时验证方法的适用性和有效性。
3.1 着舰模型构建 舰载机着舰任务可划分为返航、待机、进近与着舰4项功能，各项功能通过活动配合逻辑结构组成，主要包括：舰载机向舰船方向飞行、空中加油、待机飞行、进近、等待航线飞行、盘旋航线飞行、下滑降落、着舰、复飞等活动，这些活动需依赖于各类人员、保障设备等资源得以执行。具体着舰流程如图 3所示。

图 3 舰载机着舰流程 Fig. 3 Carrier-based aircraft landing process

图选项

通过分析各项活动间的逻辑结构关系，将舰载机着舰流程转化为GERT随机网络模型，如图 4所示。模型中的节点表示着舰任务过程中的不同状态，节点之间的枝线表示着舰任务中的各项活动。

图 4 舰载机着舰的随机网络模型 Fig. 4 Stochastic network model of carrier-based aircraft landing

图选项

3.2 着舰模型求解 经与装备研制单位设计人员交流，着舰任务中各项活动的执行时间(即资源对活动的服务时间)、发生概率以及资源需求情况如表 1所示。
表 1 舰载机着舰任务过程中的资源需求及基本参数 Table 1 Resource requirements and basic parameters of carrier-based aircraft landing mission

活动编号i→j	活动名称	所需的资源	任务到达速率/min-1	资源服务率/min-1	执行概率
0→1	舰载机向舰船飞行	飞行员、空管员、通信导航设备	0.033	0.1	1
1→2	余油不足，空中加油	飞行员、空管员、通信导航设备	0.008	0.17	0.1
1→3	存在高威胁紧急着陆	飞行员、通信导航设备	0.01	0.5	0.01
1→4	在待机区飞行	飞行员、通信导航设备	0.025	0.1	0.89
2→4	加油后进入待机区	飞行员、空管员、通信导航设备	0.008	1	1
4→5	请求进近，进入等待航线	飞行员、空管员、通信导航设备	0.017	0.2	1
5→6	进入盘旋航线	飞行员、空管员、通信导航设备	0.001	0.2	1
6→7	减重(减掉多余燃油/炸弹)	飞行员	0.033	0.25	0.1
6→8	编队解散并下滑降落	飞行员、LSO、通信导航设备、菲涅尔透镜、减速板、拦阻钩、起落架	0.1	0.33	0.9
7→8	减重后进行下滑降落	飞行员、LSO、通信导航设备、菲涅尔透镜、减速板、拦阻钩、起落架	0.033	0.2	1
8→9	着舰	飞行员、LSO、拦阻锁、减速板、拦阻钩、起落架	0.1	2	0.98
8→11	复飞	飞行员、LSO、减速板、拦阻钩、起落架	0.008	2	0.02
9→10	迫降	飞行员、LSO、拦阻网	0.008	0.5	0.08
9→11	逃逸复飞	飞行员、LSO、减速板、拦阻钩、起落架	0.004	2	0.02
9→12	将舰载机停至指定停泊区	飞行员、引导人员、拦阻钩、机翼折叠	0.05	0.2	0.9
10→12	迫降成功停至指定区域	飞行员、引导人员、拦阻钩、机翼折叠	0.01	0.2	1
11→4	重新进入待机区	飞行员、空管员、通信导航设备	0.025	0.5	1
注：LSO(Landing Signal Officer)指航母舰载机着舰指挥官。

表选项






当不考虑舰载机着舰任务过程中的资源共享引起的排队以及活动重叠情况时，通过计算求得着舰任务的执行时间的均值和方差分别为

同时，构建舰载机着舰任务的Stateflow模型，如图 5所示。

图 5 舰载机着舰任务的Stateflow模型 Fig. 5 Stateflow model of carrier-based aircraft landing task

图选项

通过1 000次仿真得到任务执行时间的均值和方差分别为


将仿真结果与解析求解结果对比，发现任务执行时间的均值相差0.197%，方差相差1.078%，由此可验证文中所提解析求解方法的正确性。
然而，在实际着舰任务中，0→1、1→2、2→4、4→5、5→6和11→4活动均需要空管员(2名)的通信指挥，6→8、7→8、8→9、8→11、9→10和9→11活动均需要LSO(1名)的指挥引导。将空管员和LSO作为服务窗口，执行各项活动的舰载机作为服务对象，由于资源共享机制的存在，舰载机会在资源服务窗口形成排队，等待执行活动。
此外，为提高效率，部分上下游活动之间也会存在重叠的情况，利用时间因子a_ij从节点间信息传递的角度修正活动重叠的影响。其中，a_ij表示信息向下传递触发下游活动执行时上游活动的执行情况，由此可求得在GERT网络中各节点之间信息传递所花费的有效时间。
在活动分支处加入虚拟节点以区分活动分支的不同重叠情况。在节点1处添加虚拟节点1′和1″，以表示加油、紧急着陆和进入待机区3种不同重叠情况的支线；在节点6处添加虚拟节点6′，以表示减重和下滑降落2种不同重叠情况的支线；在节点8处添加虚拟节点8′，以表示下降高度适宜和着舰姿态太低/太高2种不同重叠情况的支线。将着舰任务过程中各项活动执行时间之间的重叠情况映射为矩阵形式:

在矩阵[a_ij]中对角线以下的元素表示信息由先发生的活动向后传递，属于信息前馈，对角线以上的元素表示信息反馈。
进一步地，可得舰载机着舰任务的GERT网络模型中各节点之间的传递函数W_ij(s)，并将舰载机着舰的GERT随机网络利用矩阵形式进行表征，得到信号流图增益矩阵A，删除模型中源节点0所在的行元素和列元素，得到传递矩阵Q，传递矩阵P为模型中源节点到剩余节点的传递函数所组成的，其表达式分别为


式中：W_0→1为i=0，j=1时的W_ij，其余变量类似。经计算可求得GERT网络中任意源节点到终节点之间的增益矩阵G，矩阵G中第16行第1列的元素即为源节点0到终节点12的等价传递函数W_E(s)，GERT网络的等价实现概率P_E=W_E(0)，则舰载机着舰任务执行时间的期望值和方差分别为

由此，在舰载机着舰任务流程中，将资源共享引起的排队处理以及上下游活动之间存在重叠的情况考虑在内时，任务平均执行时间将增加22.9%，任务过程中的各类时延的影响不容忽视。
3.3 不确定性分析 为比较在舰载机着舰过程中各项活动执行时间的波动对整个着舰任务执行时间影响程度的大小，找出其中的关键活动，本文基于方差分析了各项活动的不确定性，其结果如图 6所示。

图 6 着舰任务中各项活动的不确定性结果 Fig. 6 Uncertainty results of various activities in carrier-based aircraft landing mission

图选项

由不确定性分析结果可得出如下结论：
1) 曲线整体呈现出由高到低的趋势，曲线前半段对应的活动不确定性较大，后半段较小。即在舰载机着舰任务中，编队解散进行下滑降落之前的活动执行时间波动影响较大，其之后的活动波动影响较小。
2) 2条曲线的变化趋势基本保持一致，且蓝色曲线在较多点处低于红色曲线。即考虑排队处理和活动重叠情况与否，各项活动执行时间的波动对整个着舰任务完成时间影响的整体趋势是一致的，当将这2个因素考虑在内时，由于受到排队现象以及活动之间重叠部分的影响，各项活动的执行时间出现较大的波动，不确定性会相应有所提高。
3) 根据2条曲线中活动不确定性的分布，将着舰任务中各项活动执行时间的波动影响分为3个等级：影响突出、影响较大和影响较弱。
当不考虑排队处理和活动重叠情况时：0→1、0→1′、0→1″、1→4和2→4对应的活动影响突出；1′→2、4→5、5→6、5→6′、6′→7、6→8、6→8′、7→8、7→8′、9→12和10→12对应的活动影响较大；1″→3、8→9、8′→11、9→10、9→11和11→4对应的活动影响较弱。
当考虑排队处理和活动重叠情况时：0→1、0→1′和0→1″对应的活动影响突出；1′→2、1→4、2→4、4→5、5→6、5→6′、6′→7、6→8、6→8′、7→8、7→8′、9→12和10→12对应的活动影响较大；1″→3、8→9、8′→11、9→10、9→11和11→4对应的活动影响较弱。
2种情况下，波动影响程度基本是一致的，只有1→4：待机飞行和2→4：加油后进入待机飞行这2个活动在考虑这2个因素后，其波动影响程度由影响突出变为影响较大。而且，在实际着舰任务过程中，待机飞行的波动影响确实不那么突出，亦即证明了有此考虑的必要性。
综上所述，舰载机着舰任务中最关键的一项活动是舰载机向舰船飞行，由于飞行中会有余油不足以及存在高威胁的特殊情况，其执行时间的波动较大，对整个着舰任务执行时间的波动影响也是最大的；其次对着舰任务影响较大的活动有：空中加油、待机飞行、减重、盘旋、下滑降落、以及迫降停机等，资源共享机制对这几项活动排队等待时间的影响是比较大的，进而对着舰任务的执行时间产生影响；其他几项活动执行时间的波动对整个着舰任务的完成时间影响比较小。
4 结束语 本文针对任务过程的动态性和随机性，利用GERT技术构建系统任务流程的随机网络模型，并考虑由于资源共享引起的排队处理以及部分上下游活动之间存在重叠的情况，对模型中节点之间的传递参数进行了修正，使所建立的模型更贴近于真实的任务过程，并通过不确定性分析，找出关键环节，为任务优化提供方向和思路。
目前本文解析求解方法仅适用于线性系统，且计算效率较低，后续将考虑采用仿真技术对模型进行求解分析，提高求解的效率以及结果的准确性。

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