影响MSCSG实现高精度、高带宽控制的关键因素之一是高速磁悬浮转子的恒速与悬浮的精度和稳定度问题。磁悬浮转子系统是一个多变量、非线性、强耦合的复杂系统，在受到外部扰动作用时转子会产生暂态或稳态的位移，影响转子悬浮精度，故必须对外部的扰动作用进行抑制。针对磁悬浮转子的控制，目前有多种控制方法，大致分为2类，分别为需要系统精确模型和不需要系统精确模型的控制方法。
需要系统精确模型的控制方法主要包括滑模变结构法和逆系统法等。滑模变结构控制具有一定的抗扰动能力，且响应速度快，但存在难以抑制抖振的不足[4-5]，因此不可避免地影响解耦控制精度和鲁棒性。逆系统法已经成功应用于磁悬浮控制力矩陀螺的控制中[6]，然而对于MSCSG系统，要实现高精度、高带宽的力矩输出需要转子进行偏转，故转子工作非线性范围更大，干扰更多[7]，标定得到某种工作状态的模型可以实现，但得到精确模型有困难，鲁棒性很难得到保证。
不需要系统精确模型的控制方法主要包括分散PID加交叉反馈解耦控制和自抗扰控制器(ADRC)等。分散PID控制虽然能在一定程度上抑制转子系统的进动章动，但是也存在响应速度慢的问题[8]。常规ADRC控制虽然具有响应快、精度高、抗干扰能力强、算法简单等优点，但是存在以下2个缺点：①ADRC涉及的可调参数较多，只有选取合适的参数，才能实现良好的控制性能；②应对突变的外扰，ADRC由于无法实时调节参数，可能造成系统输出误差过大的情况[9]。
本文针对MSCSG解耦控制中的高精度、强鲁棒控制需求，提出了基于ADRC和径向基点数(RBF)神经网络的MSCSG控制方法，实现了控制器参数的实时在线调节，有效地实现了MSCSG的高精度强鲁棒解耦控制，并通过仿真验证了其有效性和优越性。
1 MSCSG转子数学模型 MSCSG是一种全新概念的惯性器件，集成了磁悬浮惯性执行机构力矩输出以及磁悬浮敏感陀螺姿态测量的功能。它以洛伦兹力磁轴承(LFMB)作为力矩器驱动转子沿径向偏转，其结构如图 1所示，lr为位移传感器到Z轴的距离，lm为LFMB定子半径，F为线圈所受安培力大小。
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| 图 1 MSCSG定子及径向磁轴承结构 Fig. 1 Stator and radial magnetic bearing structure of MSCSG |
| 图选项 |
MSCSG转子轴向平动是通过磁阻力磁轴承实现，轴向磁轴承的结构比径向磁轴承更简单，如图 2所示。
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| 图 2 MSCSG转子及轴向磁轴承结构 Fig. 2 Rotor and axial magnetic bearing structure of MSCSG |
| 图选项 |
根据安培定律，当流经LFMB线圈中电流为I时，线圈将受到的安培力作用，其表达式为
 | (1) |
式中：B为磁感应强度大小；L为与磁场垂直方向放置的线圈长度。当与磁场垂直方向放置的线圈通入电流时，线圈的上下两部分将分别产生垂直于线圈及磁场方向的安培力，合力大小为
 | (2) |
式中：N为LFMB中线圈匝数。将式(2)改写为
 | (3) |
式中：fX, fY分别为X, Y方向上的安培力；I1、I2分别为X轴正、负方向上的线圈驱动电流；I3、I4分别为Y轴正、负方向上线圈中的驱动电流。设I1=I3=Iα、I2=I4=Iβ，即当相对方向线圈通入大小相等、方向相反的电流时，线圈将产生大小相等、方向相反的安培力。
由此可得LFMB提供的X、Y方向偏转力矩为
 | (4) |
根据刚体的动量矩定理，MSCSG的动力学方程为
 | (5) |
式中：T为磁悬浮转子受到的控制力矩；Td为转子受到的干扰力矩；H为转子角动量；t为时间；J为转子相对于三自由度的转动惯量矢量，满足J=diag(JX, JY, JZ)，JX, JY, JZ分别为X, Y, Z轴的转动惯量；ω为转子在定子坐标系下三维角速度矢量，满足表达式
 | (6) |
代入式(5)可得
 | (7) |
将式(4)代入式(7)可得
 | (8) |
由式(8)可见，MSCSG输出控制力矩时，转子径向两自由度存在耦合。
2 RBF神经网络自抗扰控制系统设计 2.1 自抗扰控制器设计 ADRC工作原理[10]如图 3所示。二阶ADRC由跟踪微分器(ID)、扩张状态观测器(ESO)和非线性状态误差反馈控制律(NLSEF)3个部件组成：TD是一个过渡过程，可以得到系统输入信号的跟踪信号和一系列微分信号；ESO的作用是反馈系统状态变量和扰动观测，该扰动为系统内部扰动和外部扰动的总和[11]。图中：e1和e2分别为过渡过程与对象输出之间的误差及其微分；w为对象外部扰动；b为可调参数；y为对象输出；v0为磁悬浮转子该自由度上的参考输入偏转角；v1和v2分别为v0的跟踪信号和它的微分；e为观测误差；z1、z2为状态变量的观测量；z3为总扰动的观测量。
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| 图 3 自抗扰控制器工作原理[10] Fig. 3 Working principle of auto disturbance rejection controller[10] |
| 图选项 |
非线性组合NLSEF的作用是将TD信号v1、v2与ESO状态变量信号z1、z2进行非线性组合，从而得到非线性状态误差反馈控制量u0，u0与总扰动补偿量结合星形成总控制量u。
根据自抗扰控制理论，磁悬浮转子不同自由度之间的耦合可以看作是一种外扰，这样便可以利用ESO对耦合作用进行实时估计及补偿[12]。因此，MSCSG转子动力学方程可以转化为
 | (9) |
式中：k1和k2分别为状态变量β和α的系数；w1和w2分别为转子径向两自由度的未知外扰；b1和b2分别为转子径向两自由度的控制量系数。
磁轴承转子系统被化为2个二阶单输入单输出系统，利用ADRC进行解耦控制，ESO对相应的系统总扰动进行实时估计并补偿，转子系统便进一步被化为二输入二输出的二阶无耦合线性系统。据此设计出的二通道自抗扰控制系统如图 4所示，xα和xβ分别为两通道的系统输入。
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| 图 4 二通道磁悬浮转子自抗扰控制系统 Fig. 4 Auto disturbance rejection control system for two-channel magnetic suspension rotor |
| 图选项 |
令解耦后的系统输出为
 | (10) |
则针对磁悬浮转子的某一个偏转自由度，ADRC的方程可表示为
TD：
 | (11) |
ESO：
 | (12) |
NLSEF：
 | (13) |
式中：I0为对象状态反馈控制量；I为实际控制量，其实际物理含义为洛伦兹力磁轴承的控制电流；m1、m2、m3、m4、m5、n1、n2、n3、R、δ1、δ2、δ3、b、kp、kd为可调参数[12]；sat(x)和fal(e, m, δ)的定义式分别为
 | (14) |
 | (15) |
可以看出，ADRC涉及的可调参数较多，实际控制时确定参数比较复杂。考虑到MSCSG系统的响应速度以及高带宽、高精度的力矩输出控制要求，经过仿真比对可以发现，对MSCSG转子控制影响较大的2个参数为b和kp。其中kp为非线性控制律中的比例增益，通常来说，kp越大，系统的响应速度越快，然而对于MSCSG系统而言，由于同时控制和敏感的控制要求，既需要系统能够输出高精度、高带宽的控制力矩，又需要系统对外界姿态变化作出快速响应，而高精度和高动态响应速度之间存在矛盾[13]，使得kp的调整范围有限，在实际系统中很难实现。
b值与控制量u有关，又与状态观测器的第3个状态变量z3相关，不同的b值使得总扰动量和补偿分量在不同范围内变化[14]。对于MSCSG系统，b值对应系统的刚度。当MSCSG输出高精度、高带宽的控制力矩时，系统需要较高的刚度；而刚度过高时，系统会发生超调从而影响控制精度，甚至会使系统失稳，因而在外界扰动变化的情况下，在线优化的变刚度调节就显得尤为重要。综合以上因素考虑，以b值为目标调整值建立RBF神经网络。
2.2 RBF神经网络ADRC器设计 由于MSCSG进行姿态测量时对转子的控制精度和鲁棒性要求较高，同时基于简化系统运算的目的，本文选择RBF神经网络作为学习网络。RBF神网络是一种三层前馈网络，其具有的显著优点是：①效率相对较高，具有其他前向网络所不具有的最佳逼近性能和全局最优特性；②结构相对简单，只有一个隐含层，学习效率较高。考虑到MSCSG系统所用DSP的运算性能有限，且训练样本数较少，选用三层结构的RBF神经网络可以达到增加控制效率和时效性的目的[15]，其结构如图 5所示[16]，图中wm为m个隐含层到输出层的权向量。
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| 图 5 RBF神经网络结构[16] Fig. 5 Structure of RBF neural network[16] |
| 图选项 |
在RBF神经网络结构中，n、m分别为输入层、隐含层的个数，X=[x1, x2, …, xn]T为网络输入向量，设RBF网络的径向基向量为H=[h1, h2, …, hm]T，其中hi为高斯基函数，则隐含层输出可表示为
 | (16) |
式中：Ci=[Ci1, Ci2, …, Cim]为网络第i个节点的中心向量；σ=[σ1, σ2, …, σm]为网络积宽向量。W=[w1, w2, …, wm]为隐含层到输出层的权向量，则RBF神经网络输出层可表示为
 | (17) |
由于MSCSG系统的高响应速度控制要求，本文采用一维输入一维输出的RBF神经网络模型，在外部扰动不变的情况下，以磁悬浮转子二阶ADRC的b值作为网络输入，仿真系统的最大输出误差为网络输出，提取100组数据作为训练样本，100组数据作为测试样本，得到训练后神经网络的传递函数，将此传递函数嵌入仿真系统，得到引入RBF神经网络的ADRC，如图 6所示。
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| 图 6 基于RBF神经网络的自抗扰控制器 Fig. 6 Auto disturbance rejection controller based on RBF neural network |
| 图选项 |
该控制器以系统输出最大误差不变为目标，通过实时采集外部扰动信号的变化，经RBF神经网络训练生成的传递函数运算得到b值改变量反馈给控制器，达到实时调整控制器参数，保证系统输出最大误差不发生突变的控制目的。
3 仿真结果及分析 在扰动力矩突变的情况下，将一般的ADRC与笔者提出的引入RBF神经网络的ADRC进行仿真对比，比较二者的控制性能，仿真参数如表 1所示。表中，除第2节已介绍过参数外，TES为测试样本数，M为RBF神经网络最大学习次数，Lp为前期学习率，HID为隐节点个数。
表 1 系统仿真参数 Table 1 System simulation parameters
| 参数 | 数值 |
| JX/(kg·m2) | 0.009 7 |
| JZ/(kg·m2) | 0.028 7 |
| JY/(kg·m2) | 0.009 7 |
| lm/m | 0.115 8 |
| N | 200 |
| kp | 1 000 |
| R | 200 |
| Lp | 0.005 |
| Fr/Hz | 30 |
| B/T | 0.4 |
| TES | 400 |
| kd | 100 |
| M | 10 000 |
| HID | 20 |
表选项
3.1 突变的阶跃干扰力矩抑制比较 在0 s时给转子径向施加0.1 N·m的阶跃干扰力矩，在1 s时将干扰力矩的大小提高到1 N·m，2种控制器转子径向两通道位移波形图如图 7所示，hX和hY分别为转子在X方向和Y方向的位移。
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| 图 7 对突变阶跃扰动的抗扰性能对比 Fig. 7 Comparison of anti-interference performance of step disturbance to mutations |
| 图选项 |
由位移波形图可以看出，一般的ADRC没有抑制突变阶跃外扰的能力，其最大扰动在10-10数量级。而基于RBF神经网络的ADRC能够明显抑制突变的阶跃外扰，最大扰动在10-11数量级，明显优于一般的ADRC。
3.2 突变的正弦干扰力矩抑制比较 在0 s时给转子径向施加0.1 sin(5πt) N·m的正弦干扰力矩，在1 s时将干扰力矩的大小提高到sin(5πt) N·m，2种ADRC转子径向两通道位移波形图如图 8所示。
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| 图 8 对突变正弦扰动的抗扰性能对比 Fig. 8 Comparison of anti-interference performance of sinusoidal disturbance to mutations |
| 图选项 |
由位移波形图可以看出，一般的ADRC没有抑制突变正弦外扰的能力，其最大扰动在10-11数量级。而基于RBF神经网络的ADRC能够明显抑制突变的阶跃外扰，最大扰动在10-12数量级，明显优于一般的ADRC。
3.3 突变的随机干扰力矩抑制比较 在0 s时给转子径向施加[-0.1, 0.1] N·m的随机干扰力矩，在1 s时将干扰力矩的大小提高到[-1, 1] N·m，2种ADRC转子径向两通道位移波形图如图 9所示。
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| 图 9 对突变随机扰动的抗扰性能对比 Fig. 9 Comparison of anti-interference performance of random disturbances to mutations |
| 图选项 |
由位移波形图可以看出，一般的ADRC没有抑制突变随机外扰的能力，其最大扰动在10-11数量级。而基于RBF神经网络的ADRC能够明显抑制突变的随机外扰，最大扰动在10-12数量级，明显优于一般的ADRC。
4 结论 1) 基于RBF神经网络的ADRC对MSCSG转子上的突变干扰力矩有着很好的抑制作用。
2) 通过对磁悬浮转子进行解耦控制和扰动抑制，很好地消除了突变外扰对系统稳定性的影响，在ADRC的基础上进一步提升了系统的鲁棒性和稳定性，从而提高了MSCSG转子的控制精度。
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