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引入失效情形下某型液压电机可靠性分析*

本站小编 Free考研考试/2021-12-25
随着科学技术的快速发展，产品的质量与可靠性水平不断提高，在定时截尾试验中某型高可靠性水平的产品会出现无失效数据的情形，导致传统的处理有失效数据定时截尾试验的统计方法不再适用[1]。如何在无失效数据情况下对产品的可靠性指标进行科学合理的评估，受到了工程界和统计****的广泛重视与研究，对这类问题的研究具有重要的理论和实用价值[2-4]。最早研究此类问题的是Martz和Waller[5]，茆诗松和罗朝斌[6]、张忠占和杨振海[7]、陈家鼎等[8]都从经典统计学分析方法角度出发对无失效数据问题进行了相关研究，但这些方法只有当样本量较大时才能得到较好的估计值。
文献[9]给出了只有一个失效数据时失效概率的期望Bayes (Expected Bayes，E-Bayes)估计和多层Bayes估计，指出E-Bayes估计法计算更加简便且结果更加稳健；文献[10]以航空发动机为例，提出采用不完全Beta分布作为故障概率的先验分布，给出了故障概率的Bayes估计、多层Bayes估计和可靠度的估计；文献[11-12]分别采用Bayes方法和E-Bayes方法对失效概率进行估计，结合最小二乘法对可靠度和可靠寿命进行估计。这些方法大多是直接用无失效数据得到参数估计，然后直接用于产品可靠性的评定，这就不可避免地存在一个问题，即在外推时间处并不能确定是否会有失效样品出现。若有，则会对产品可靠性评估带来很大影响。
因此考虑在一般的无失效数据问题中引入失效信息，然后进行综合处理。文献[13]针对指数分布分布情形，提出了引入失效信息后失效率的多层Bayes估计和综合Bayes估计法；文献[14-16]分别给出了引入失效信息后失效率的E-Bayes估计和加权综合Bayes估计法。
在引入失效信息的过程中，如何确定截尾试验时间tm+1和截尾试验样本数nm+1至关重要。本文在对寿命服从指数分布的某型导弹液压电机的失效率λ和可靠度R(t)(t为截尾试验时间)进行综合E-Bayes估计研究时，提出一种新的确定tm+1的方法，使得对失效率和可靠度的综合估计的结果更加稳健。
1 失效率的E-Bayes估计 已知某型导弹液压电机的寿命服从指数分布，其密度函数为
(1)

式中:t＞0, 0＜λ＜∞，λ为指数分布的失效率。
1.1 先验分布的确定 在Bayes统计推断中，参数的先验分布的选择至关重要，因其直接影响最终的统计推断结果。一般而言，对于如何选择和确定先验分布，一是基于先验信息，二是着眼计算方便。当前比较成熟的确定方法有多层先验分布、无信息先验分布、共轭先验分布等，本文考虑共轭先验分布。
通常，共轭先验分布中会含有超参数，确定先验分布的问题实际上就转化成为超参数的估计问题[17]。对于本文所讨论的指数分布及其失效率λ，其对应的共轭先验分布为Gamma分布[13, 17]，其先验密度函数为
(2)

式中:a＞0，b＞0，λ＞0，为Gamma函数，a和b为超参数。根据超参数的减函数构造法[13]，对密度函数关于λ求一阶导：

因而，当0＜a＜1，b＞0时，π(λ|a, b)为λ的减函数。基于对Bayes估计的稳健性的考虑，超参数b取值越大，先验分布的尾部将越细，这会使Bayes估计具有越差的稳健性[13]。因此对b设立一个上界s，s＞0为某一常数，由此确定超参数的取值范围为0＜a＜1，0＜b＜s。
1.2 失效率的E-Bayes定义 对(a, b)∈D，若是连续的，则
(3)

式中：为失效率λ的E-Bayes估计，其中是存在的，D为超参数a和b取值的集合(D?R2)，π(a, b)为a和b在集合D上的先验密度函数，为λ的Bayes估计。
1.3 无失效数据时失效率的E-Bayes估计 对寿命服从指数分布的产品进行m次定时截尾试验，试验结果是无任何产品发生失效，所获得的无失效试验数据为{(ni, ti), i=1, 2, …, m}，令，假设失效率λ的先验密度函数π(λ|a, b)由式(2)给出，则有如下结论：
1) 在平方损失下，λ的Bayes估计为

2) 若超参数a和b的先验密度函数分别为[0, 1]和[0, s]上的均匀分布，则λ的E-Bayes估计为

证明 1)失效率λ的似然函数的确定。设随机变量Xi表示第i次定时截尾试验中发生失效的样品个数，则Xi~π(nitiλ)，即Xi服从参数为nitiλ的泊松分布：

式中：ri=0, 1, 2, …, ni，i=1, 2, …, m。事实上X1, X2, …, Xm是相互独立的，则失效率λ的似然函数表示为

在试验结果为无失效情形时，ri=0，i=1, 2, …, m，由此得到无失效情形下失效率λ的似然函数为

2) λ的后验分布的确定。若λ的先验密度函数由式(2)给出，则依据Bayes定理，λ的后验密度为
(4)

记(b+J)λ=ξ，代入式(4)推得

3) λ的Bayes估计。在平方损失下，λ的Bayes估计为
(5)

记(b+J)λ=ξ，代入式(5)右端的积分项进行化简和计算，并依据Gamma函数Γ(a)=及其递归性质可推得
(6)

4) λ的E-Bayes估计。若超参数a和b的先验密度函数分别为[0, 1]和[0, s]上的均匀分布，则λ的E-Bayes估计为
(7)

证毕
1.4 引入失效情形下失效率的E-Bayes估计 对寿命服从指数分布的产品进行m+1次定时截尾试验，试验结果是前m次试验没有任何产品发生失效，所获得的无失效试验数据为{(ni, ti), i=1, 2, …, m}。若在第m+1次试验中，截尾时间为tm+1，试验样品数为nm+1，失效产品个数为r。令，假设失效率λ的先验密度函数π(λ|a, b)由式(2)给出，则有如下结论：
1) 在平方损失下，λ的Bayes估计为

2) 若超参数a和b的先验密度函数分别为[0, 1]和[0, s]上的均匀分布，则λ的E-Bayes估计为

证明 1)似然函数的确定。类似1.3节中1)的推导，Xi~π(nitiλ)。在m+1次定时截尾试验中，前m次试验无产品失效，第m+1次试验有r个失效。由于X1, X2, …, Xm+1相互独立，故似然函数为

2) 失效率λ的后验分布的确定。依据Bayes定理，λ的后验密度为
(8)

记(b+K)λ=ξ，代入式(8)推得

3) 失效率λ的Bayes估计。在平方损失下，失效率λ的Bayes估计为
(9)

记(b+K)λ=ξ，代入式(9)右端的积分项进行化简和计算，并依据Gamma函数Γ(a)=及其递归性质可推得
(10)

4) 失效率λ的E-Bayes估计。若超参数a和b的先验密度函数分别为[0, 1]和[0, s]上的均匀分布，则λ的E-Bayes估计为
(11)

证毕
2 引入失效时可靠性参数综合估计 1.3节和1.4节分别给出了无失效情形下失效率λ的Bayes估计、E-Bayes估计和引入失效情形下λ的Bayes估计、E-Bayes估计。本文考虑λ在2种情形下的E-Bayes估计的综合，来给出最终的估计结果。
2.1 失效率的综合E-Bayes估计 称为寿命服从指数分布的产品在无失效数据时失效率的综合E-Bayes估计[14]，其中和分别由式(7)和式(11)给出，由式(12)给出:
(12)

式中：，r=0,1,…,nm+1。从定义可知，是和的加权平均，而为的加权平均。
2.2 可靠度的综合E-Bayes估计 产品寿命服从指数分布，则其可靠度函数为

由2.1节给出的λ的综合E-Bayes估计得出可靠度R(t)的综合E-Bayes估计为
(13)

2.3 截尾时间的确定 在引入失效情形下，第m+1次试验结果是:当截尾时间为tm+1，试验样品数为nm+1，失效产品个数为r。而实际上，第m+1次试验并未进行也不可能进行，故tm+1、nm+1和r依旧是未知的。文献[13]给出了一种确定nm+1、tm+1的方法(以下简称为方法一)：
(14)

(15)

式中:[]为取整符号。但这种方法在确定tm+1时，实际上只用到了t1和tm这2个数据，其他样本数据没有得到充分利用。因此本文提出另一种确定tm+1的方法。
记
(16)

(17)

(18)

式中：Ti为第i次和第i-1次试验的间隔时间；Δt为前m次定时截尾试验的平均试验间隔时间。式(18)表示前m+1次试验的平均试验间隔时间的波动大小与前m次试验的平均试验间隔时间的波动大小相等。因该方法着眼于平均试验间隔时间的波动大小，故下文称该改进后的方法为波动法。由式(16)~式(18)可推导得到
(19)

考虑到截尾时间tm+1取值保守会使得结果更加稳健，并且在计算时可能会出现的非整数的结果，因而对计算结果进行取整处理，得到
(20)

式中：[]为取整符号。
根据以上信息，可以得到改进后的λ的综合E-Bayes估计和R(t)的综合E-Bayes估计。
3 实例分析 某型导弹液压电机的无失效数据如表 1所示，该部件的寿命服从指数分布。
表 1 液压电机无失效数据[14] Table 1 Zero-failure data of hydraulic motor[14]
截尾试验次数i 截尾试验时间ti/h 截尾试验样本数ni
1 145 2
2 270 1
3 369 3
4 720 5
5 1 080 4
6 1 230 3


表选项






在引入失效情形下，根据表 1、式(15)和式(20)可得：t7=1 343 h，n7=3。对于不同的s取值，失效率的估计结果见表 2，为方法一的估计值。采用方法一和波动法得到的可靠度的综合E-Bayes估计值分别为和，根据无失效数据得到的可靠度估计值为，将3个估计值作对比，结果见于表 3。
表 2 失效率估计的计算结果 Table 2 Calculation results of failure rate estimation?10-5
失效率 s=50 s=200 s=800 s=1 200 s=2 000 s=3 000 s=4 000 s=6 000 失效率极差
3.758 8 3.737 8 3.656 8 3.605 3 3.507 9 3.395 3 3.291 8 3.107 3 0.651 5
(0) 2.885 0 2.872 6 2.824 4 2.793 4 2.734 1 2.664 4 2.599 2 2.480 5 0.404 5
(1) 8.655 0 8.617 8 8.473 1 8.380 2 8.202 2 7.993 2 7.797 6 7.441 4 1.213 6
(2) 14.425 14.363 14.122 13.967 13.670 13.322 12.996 12.402 2.023
(3) 20.195 20.108 19.771 19.554 19.138 18.651 18.194 17.363 2.832
8.655 0 8.617 8 8.473 2 8.380 2 8.202 1 7.993 2 7.797 6 7.441 3 1.213 7
4.898 7 4.873 9 4.778 1 4.716 9 4.600 8 4.465 7 4.340 8 4.116 3 0.782 4
6.291 5 6.259 6 6.136 1 6.057 3 5.907 7 5.733 8 5.572 9 5.284 1 1.007 4


表选项






表 3 3种类型可靠度的估计值 Table 3 Estimated values on reliability with three different types
可靠度 s=50 s=200 s=800 s=1 200 s=2 000 s=3 000 s=4 000 s=6 000 可靠度极差
(200) 0.992 5 0.992 6 0.992 7 0.992 8 0.993 0 0.993 2 0.993 4 0.993 8 0.001 3
(200) 0.983 2 0.983 3 0.983 6 0.983 9 0.984 3 0.984 7 0.985 1 0.985 9 0.002 7
(200) 0.990 3 0.990 3 0.990 5 0.990 6 0.990 8 0.991 1 0.991 4 0.991 8 0.001 5
(400) 0.985 1 0.985 2 0.985 5 0.985 7 0.986 1 0.986 5 0.986 9 0.987 6 0.002 5
(400) 0.966 7 0.966 9 0.967 5 0.968 0 0.968 8 0.969 7 0.970 5 0.972 0 0.005 1
(400) 0.980 6 0.980 7 0.981 1 0.981 3 0.981 8 0.982 3 0.982 8 0.983 7 0.003 1
(600) 0.977 7 0.977 8 0.978 3 0.978 6 0.979 2 0.979 8 0.980 4 0.981 5 0.003 8
(600) 0.950 5 0.950 8 0.951 7 0.952 3 0.953 5 0.954 8 0.956 1 0.958 3 0.007 8
(600) 0.971 0 0.971 2 0.971 7 0.972 1 0.972 8 0.973 6 0.974 3 0.975 6 0.004 6
(800) 0.970 4 0.970 5 0.971 2 0.971 6 0.972 3 0.973 2 0.974 0 0.975 4 0.005 0
(800) 0.941 6 0.941 9 0.943 2 0.943 9 0.945 4 0.947 1 0.948 7 0.951 5 0.009 9
(800) 0.961 6 0.961 8 0.962 5 0.963 0 0.963 9 0.964 9 0.965 9 0.967 6 0.006 0
(1 000) 0.963 1 0.963 3 0.964 1 0.964 6 0.965 5 0.966 6 0.967 6 0.969 4 0.006 3
(1 000) 0.927 6 0.928 0 0.929 5 0.930 4 0.932 2 0.934 3 0.936 3 0.939 7 0.012 1
(1 000) 0.952 2 0.952 4 0.953 3 0.953 9 0.955 0 0.956 3 0.957 5 0.959 7 0.007 5


表选项






由表 2可以看出：
1) 对于不同的s取值，失效率的各估计结果都是比较稳健的。
2) 对于不同的s取值，由波动法计算得到的失效率综合E-Bayes估计值小于方法一中的，且极差减小了22.33%，说明波动法计算的结果更加稳健。
由表 3可以看出：
1) 对波动法，s取不同值，在引入失效情形时，可靠度的综合E-Bayes估计的最大极差仅为0.007 5，说明该综合估计是比较稳健的，可靠度的综合E-Bayes估计法是有效的。
2) 在相同时间处和相同取值s时，波动法对可靠度的综合E-Bayes估计值要高于方法一的估计值，以t=1 000 h和s=2 000为例，由波动法所得估计值比方法一估计值提高2.45%，说明了波动法更加准确；且在相同时间处和不同取值s时，可靠度的极差要小于方法一的结果，以t=1 000 h为例，由波动法所得估计值的极差比方法一减小38.02%。这两点说明了由波动法得到的估计值更加稳健，从而说明了所提出的改进后的确定tm+1的波动法的合理性与可用性。
4 结论 1) 推导证明了超参数a和b分别服从均匀分布情况下，失效率λ在无失效数据时的E-Bayes估计和引入失效情形下的E-Bayes估计，并给出了失效率λ的综合E-Bayes估计，进而得到了可靠度的综合E-Bayes估计。
2) 同时提出了一种新的确定截尾试验时间tm+1的波动法，结合某型导弹液压电机的无失效数据，在s取不同值时，可靠性参数的综合E-Bayes估计值要高于方法一计算值，说明了波动法更加准确；且在相同时间处，其极差要小于方法一计算值，结果说明了波动法的合理性与可用性。
3) 鉴于先验分布中超参数a和b对最终可靠性参数估计的直接影响，下一步将考虑a和b分别服从不同的分布情况下，推导可靠性参数的E-Bayes估计以及引入失效情形下的综合E-Bayes估计结果。

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  • DRO计算及其在地月系中的摄动力研究*
    随着深空探测任务的开展，有许多不同的关键技术需要研究，首先需要解决的关键问题就是航天器的轨道设计问题。相较于近地空间，深空探测器所处的引力环境具有多样性，不再局限于经典的二体开普勒轨道，其基本动力学模型可简化为一个受摄的圆形限制性三体问题(CircularRestrictedThree-BodyPr ...
    北京航空航天大学论文文献 本站小编 Free考研考试 2021-12-25
  • 面向Web科学可视化的临近空间数据视频化方法*
    临近空间是指海拔高度在20~100km的空间，处于航空与航天的结合部，具有独特的优势和战略价值，有近空间、亚轨道、空天过渡区等别称，包括了平流层、中间层和电离层的部分区域[1-2]。临近空间数据的主要元素包括温度、密度、风场、压力、臭氧含量、电子密度、钠离子密度、流星通量和气辉辐射等[3]。临近空间 ...
    北京航空航天大学论文文献 本站小编 Free考研考试 2021-12-25
  • 基于QAR数据的碳当量值适航符合性验证方法*
    当下各国政府和民众对航空运输碳排放造成的气候变化问题重视程度日益提升，飞机碳排放水平除了和气候变化紧密相关之外，也作为表征飞机燃油经济性的一项性能指标，受到了飞机制造商和运营人的关注。国际民用航空组织(ICAO)历经多次讨论与方案修订[1]，于2017年3月审议通过了关于飞机碳排放的新国际标准——附 ...
    北京航空航天大学论文文献 本站小编 Free考研考试 2021-12-25
  • 飞机燃油质量特性计算的截面自适应分割法*
    飞机燃油质量特性是指飞机所载燃油在不同飞行姿态下的油量、重心、惯性矩、惯性积等特性[1]，对飞机燃油系统设计方案的可行性判定及在飞机飞行过程中改善飞行品质、保证飞行安全具有重要意义。在飞机燃油系统的方案设计阶段，通过计算燃油质量特性，能够确定燃油系统重心是否在允许范围之内，是判定燃油系统设计方案可行 ...
    北京航空航天大学论文文献 本站小编 Free考研考试 2021-12-25
  • 基于随机相关的电子部件二元加速退化可靠性评估*
    随着材料科学与生产制造工艺的发展进步，军工领域出现了越来越多的高可靠性长寿命电子产品。此类产品在额定工作应力下性能退化缓慢，仅仅依靠性能检测数据已经难以快速有效地进行可靠性评估。因而加速退化试验成为可靠性评估的有效途径。通常认为温度是导致电子部件退化失效的最主要环境应力类型，温度对多种失效机理具有较 ...
    北京航空航天大学论文文献 本站小编 Free考研考试 2021-12-25

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