计算机和通信技术的日趋成熟促进了网络化系统的快速发展。凭借其结构灵活、可扩展性强、运行成本低等优势，网络化系统被广泛应用于目标跟踪、组网导航、智能交通、工业控制等多个领域^[1-4]。网络化系统在带来诸多便利的同时，也带来了新的问题和挑战：数据通过网络传输时，由于通信故障、网络拥塞等因素的存在，不可避免地会出现丢包现象；由于网络带宽和传感器能量受限，信号在传输前需经过量化处理，由此引入的量化误差会对状态估计的鲁棒性造成较大的影响^[4-6]。另外，考虑状态估计的结构，分布式结构由于采用并行处理的方式，具有运算速度快、带宽要求低、容错性好等特点，更适合应用于网络资源有限的网络化系统^[4]。因此，研究带有随机丢包和数据量化的网络化系统分布式状态估计问题，具有很大的理论意义和工程应用价值。
近年来，众多****围绕网络化系统的状态估计问题开展了大量的研究工作。文献[7]采用输入保持策略处理丢包，用最近一次的观测值补偿丢失的测量数据，利用新息分析方法，通过求解Riccati方程得到了多丢包系统的最优线性估计器。文献[8]用丢失测量数据的预测值进行丢包补偿，给出了最小方差意义下的最优线性估计器。文献[9]采用文献[8]的丢包补偿方法，研究了基于预测补偿机制的多传感器分布式融合估计，给出了各局部估计器间的互协方差矩阵的递推公式，进而采用最小方差意义下的矩阵加权融合准则得到了全局估计。文献[10]采用对数量化器对观测值进行量化，设计了一种最优状态估计方法，并分析了量化密度和估计精度的关系。文献[11]研究同时存在随机丢包和数据量化的网络化系统滤波问题，设计了H_∞滤波器，并分析量化范围和连续丢包对估计器的影响，给出了误差系统稳定的充分条件。
在实际的网络化系统中，噪声通常是一些能量有限的信源，其方差等统计特性难以准确得到，这使得很多现有的状态估计方法不再适用。另外，实际系统普遍存在约束，如运动体的加速度约束、质量约束等，合理利用约束可以有效地提高状态估计的精度。滚动时域估计(Moving Horizon Estimation, MHE)是近年来发展迅速的一种方法，具有显式处理约束、滚动优化、对噪声统计特性无特殊要求等特点^[12-15]，在处理丢包和量化问题时具有较大的优势。本文研究基于MHE的网络化系统分布式状态估计，采用预测补偿策略进行丢包补偿，采用对数量化器对观测值进行量化，将带有随机量化误差的状态估计问题描述为min-max问题^[16-17]，通过最小化最坏情况下的代价函数得到局部估计值；在进行分布式加权融合时，为避免复杂的互协方差矩阵计算过程，采用协方差交叉(Covariance Intersection, CI)融合准则^[18]，通过最小化融合估计误差协方差的上界来得到最终的融合估计器。
1 问题描述 考虑如下多传感器系统：

(1)

(2)

式中：A_k、B_k、C_k^j为系数矩阵; 为k时刻的状态量；z_k^j∈R^p_j为k时刻传感器j的测量值；和分别为状态噪声和测量噪声；为满足如下条件的凸多面体集：

(3)

考虑到有限带宽等网络约束，各传感器的测量数据需要进行量化后再发送给估计器。本文采用对数量化器q(·)进行数据量化，其定义如下：

(4)

式中：δ=(1－ρ)/(1+ρ)，ρ为量化密度；u_i=ρⁱu₀，u₀为初始量化值。
根据文献[19]的结论，可对上述对数量化器作如下简化：

(5)

式中:Δ_k为量化引入的不确定参数。
量化后的数据通过网络传输，不可避免地会出现丢包。丢包现象可以用一个满足Bernoulli分布的随机变量γ_i来描述，γ_i具有以下性质：

(6)

式中：符号P(·)和E{·}分别表示求概率和均值；γ_i=1表示数据包正常传输，γ_i=0表示数据包丢失。
当出现丢包时，采用系统输出的一步预测值进行丢包补偿^[8]。综合考虑丢包和数据量化，可以得到以下观测方程：

(7)

式中：为k时刻对z_i^j的丢包补偿，可利用k－1时刻的最优估计得到：

(8)

注1??实际应用中，在每一时刻，估计器都可通过一定的技术手段判断丢包是否发生，即γ_i^j的具体值已知。
注2?? 是随着每个时刻的最优估计而变化的，即。下标中的k-1表示该补偿项是利用k-1时刻的最优估计预测得到的。
采用分布式滚动时域估计(Distributed Moving Horizon Estimation, DMHE)方法进行状态估计，其结构框图如图 1所示。

图 1 分布式滚动时域估计示意图 Fig. 1 Schematic diagram of distributed moving horizon estimation

图选项

定义符号μ_{k－N, k}=col(μ_k－N, …, μ_k)，在k时刻，局部估计器j(j=1, …, L)利用时域窗口内的N+1个观测值组成信息向量y_{k－N, k|k}^j，结合状态x_k－N的预估值x_k-N^j构造代价函数，并通过极小化代价函数得到局部的滚动时域最优估计x_k－N|k^j*；再将估计值发送到融合中心，通过融合算法得到全局最优估计x_k－N|k^*，进而通过递推算法得到x_k－N|k^*。
2 局部估计器 2.1 局部估计器的设计 在局部估计器j(j=1, …, L)处，利用y_{k－N, k|k}^j和x_k-N^j构造如下代价函数：

(9)

式中：M^j、R^j为需要设计的正定参数矩阵，为了后文表述方便，假设权矩阵为对角阵，即M^j=m^jI，R^j=r^jI；由式(10)给出：

(10)

其中：满足以下递推公式：

(11)

预估值可通过以下方式得到：

(12)

注3??加权矩阵M^j、R^j可结合定理2??的结论进行离线设计，省去了传统MHE算法实时计算到达代价函数的过程，可大大提高解算效率。
结合式(9)~式(11)，代价函数可表示为。考虑到J_k^j中存在不确定参数，为增强算法的鲁棒性，需考虑影响最严重的情况，即求解以下约束min-max问题：

(13)

为了求解式(13)，首先给出以下引理。
引理1^[20] ??考虑鲁棒最小二乘问题：

(14)

式中：ΔB=HSE_b，ΔD=HSE_d，H、E_b、E_d为确定矩阵；S为不确定矩阵。
式(14)有唯一的全局最优解：

(15)

式中：；通过式(16)确定：

(16)

其中：R(λ)=R+RH(λI－H^TRH)⁺H^TR，z(λ)=(Q(λ)+B^TR(λ)B)^－1(B^TR(λ)D+λE_b^TE_d)，Q(λ)=Q+λE_b^TE_b。
在给出本节的主要结论前，定义以下矩阵：，，，。其中：满足。
结合上述参数定义，可将J_k^j表示为

(17)

局部最优估计可通过求解以下min-max问题得到：

(18)

结合引理1，可得以下结论。
定理1??给定ρ、γ、x_k－N^j和y_{k－N, k}^j，优化问题(18)具有以下形式的解析解：

(19)

式中：，，λ^j*通过式(20)获得：

(20)

其中：M^j(λ)=M^j+λF_Nk^jTF_Nk^j，R_N^j(λ)=R_N^j+R_N^jH_δ(λI－H_δ^TR_N^jH_δ)⁺H_δ^TR_N^j，z(λ)=(M^j(λ)+F_Nk^jTR_N^j(λ)F_Nk^j)^-1·[F_Nk^jTR_N^j(λ)(y_{k-N, k}^j-F_Nk^jTx_k-N^j)-λF_Nk^jTF_Nk^j_k-N^j]。
证明根据式(17)，J_k^j可表示成如下形式：

(21)

作变量代换：，B←F_Nk^j，D←y_{k－N, k|k}^j－F_Nk^jx_k－N^j，H←H_δ，，E_b←F_Nk^j，E_b←－F_Nk^jx_k－N^j，Q←M^j，R←R_N^j，可将式(21)写成式(14)的形式，根据引理1，可得定理1??的结论。????证毕
如果λ≠δ²r^j，则可以精确得到的表达式：

(22)

在每一时刻，λ^j*的在线计算会占用很多时间和处理内存，工程应用中，可采用以下近似处理^[21]：

(23)

式中：α的值可通过离线仿真等方式进行调整。
将式(22)、式(23)代入式(19)可得

(24)

2.2 局部估计器稳定性分析 本节对2.1节所提算法的稳定性进行分析，首先作如下假设：
假设1?? 为紧集。
假设2??系统(1)是二次稳定的，即?P>0，s.t.ATPA－P < 0。
定义以下变量：Λkj=diag(I+Δk－Nj, I+Δk－N+1j, …, I+Δkj)，Skj=diag(γk－NjI, γk－N+1jI, …, γkjI)，，HNkj=，，，fNkj=||FNkj||，，ρ1j=3rj[3(N+1)(1+δ)2ηvj2+++，，=。
定义k时刻局部估计器的估计误差为

(25)

则关于e_k－N^j有以下结论。
定理2??对于式(1)和式(7)表示的系统，如果M^j、R^j的选取满足以下不等式：

(26)

则有

(27)

式中：E{||e_k－N^j||²}满足以下不等式：

(28)

其中：具有如下形式：

(29)

证明??由的最优性可得，J_k^j*≤ ，即

(30)

根据前文变量的定义及γ_i^j、Δ_i^j的性质得

(31)

由代价函数的性质得

(32)

式中：可写成如下矩阵形式：

(33)

其中：。
考虑以下式子：

(34)

结合式(25)、式(33)和式(34)可得

(35)

结合前文参数定义可得

(36)

同理，对项作上述分析可得

(37)

联立式(32)、式(36)、式(37)得

(38)

联立式(31)和式(38)得

(39)

当k>N时，

(40)

式(40)代入式(39)得

(41)

式(41)中包含变量γ_{k－N, k}^j，不等号两边求期望得

(42)

由定义可知，，代入式(42)得

(43)

结合前文的参数定义可得

(44)

当k=N时，由式(39)得

(45)

式(28)、式(29)得证。
根据式(29)，可写成以下形式：

(46)

显然，如果式(26)成立，则式(27)成立。
??????????????????证毕
注4??根据定理2，受Δ_i^j、M^j、R^j、γ_i^j等多个变量共同影响。通过合理调节权矩阵M^j、R^j，可以有效降低丢包和数据量化对估计性能的影响。
3 分布式融合估计 3.1 局部估计器误差协方差的计算 本节对2.1节所提状态估计器的误差协方差进行研究，首先给出以下引理。
引理2^[13]??对于满足的不确定矩阵，如果常数ε满足ε>0且，则有下式成立：

(47)

式中：Φ、、Ψ为具有适当维数的矩阵；Σ为正定矩阵。
假设已知x_k-N^j，将式(24)代入预估值的递推公式可得

(48)

式中：；。
结合前文参数定义，y_{k－N, k|k}^j可表示成以下形式：

(49)

将式(49)代入式(48)，可得以下预估值公式：

(50)

定义e_k-N^j=x_k-N-x_k-N^j，可得

(51)

(52)

构造矩阵，由式(51)和式(52)可得

(53)

式中：=，，。
定义如下变量：= = =。令，表示Σ_k－N^j的上界，则的递推形式可通过以下定理求出。
定理3?? 具有如下递推形式：

(54)

式中：ε₁^j和ε₂^j满足以下条件：

(55)

(56)

证明 ??根据式(53)，Σ_k－N+1^j可表示如下：

(57)

式中：。
由引理2可得

(58)

(59)

联立式(58)和式(59)可得定理3??的结论。
????????证毕
定义以下变量：- - ，并用和分别表示P_k－N+1^j和P_k－N|k^j的上界，则有以下结论：

(60)

(61)

3.2 CI融合估计器 在时刻k，融合中心利用局部估计值和估计误差协方差上界进行CI融合，得到融合滤波器。

(62)

(63)

式中：0≤w_k^j≤1，，w_k^j可通过以下式子得到：

(64)

4 仿真分析 考虑以下目标跟踪系统：

(65YJ)

(66)

式中：T为采样周期，仿真中取T=0.1。初始状态x₀=[10 ??10??10??－2??－2??－2]^T。
定义截断正态分布的概率密度函数为

(67)

式中：为正态分布的概率密度函数，m和C分别为变量的均值和方差；S为变量方差界限的集合。
w_k、v_k¹和v_k²为相互独立的随机变量，概率密度函数分别为

(68)

(69)

(70)

式中：σ_w=0.5，σ_v¹=0.6，σ_v²=0.7。
4.1 局部估计器性能验证 以局部估计器1为例，根据式(26)选取加权矩阵M=I、R=10I，采用式(5)所示的对数量化器，分别取ρ为0.5、0.8、0.9和1，研究量化密度对局部估计器的影响。除量化密度外，4种情况下的丢包概率、噪声统计特性、系统初始状态取值相同。实验中，设定丢包率γ¹=0.8，系统过程噪声和量测噪声分别满足式(68)、式(69)所示的概率密度函数，初始状态x₀=[10 ??10?? 10?? －2?? －2?? －2]^T。进行100次蒙特卡罗仿真，并计算状态估计的均方根误差(Root Mean Square Errors，RMSE)，结果如图 2所示。与量化密度为1(无量化)时相比，量化密度为0.9和0.8时，RMSE值增加并不明显，说明估计算法对量化误差具有较好的处理效果。量化密度为0.5时，RMSE值明显增大，且RMSE曲线波动较大，说明算法对量化误差的处理能力有一定的限度。实际应用中，仍需要通过优化网络协议和增加带宽等手段来控制量化误差。

图 2 量化密度对局部估计器的影响 Fig. 2 Influence of quantification density on local estimator

图选项

取丢包率为0.8，量化密度为0.9，研究补偿策略对局部估计器性能的影响。图 3给出了基于预测补偿策略和输入保持策略^[22]的估计算法的性能曲线。显然，基于预测补偿策略的算法具有更好的效果。

图 3 补偿策略对局部估计器的影响 Fig. 3 Influence of compensation strategy on local estimator

图选项

4.2 分布式MHE性能验证 设定丢包率γ¹=γ²=0.8，量化密度ρ=0.9，初始方差。进行100次蒙特卡罗仿真，并计算RMSE来验证算法的性能。图 4对比了各局部估计器与融合估计器的性能，显然，融合估计器性能优于局部估计器。图 5将分布式MHE与卡尔曼滤波和集中式MHE的性能进行了对比。可以看出，分布式MHE算法的性能优于卡尔曼滤波算法，与集中式MHE算法差别不大。在估计精度变化不大的前提下，分布式MHE算法在计算量、故障隔离等方面比集中式MHE算法有明显优势，因此，分布式MHE算法具有较大的应用前景。

图 4 局部估计器与融合估计器性能对比 Fig. 4 Comparison of performance of local estimators and fusion estimator

图选项

图 5 不同估计算法性能对比 Fig. 5 Comparison of performance among different estimation algorithms

图选项

5 结论 1) 设计了丢包和量化影响下的局部估计器，采用预测补偿机制处理丢包，并考虑量化误差最严重的情况，通过求解固定时域内的min-max问题得到滚动时域估计器。仿真结果表明，该估计器能有效处理丢包和数据量化对状态估计造成的影响。
2) 分析局部估计器的稳定性，得到了局部估计误差范数平方期望收敛的充分条件。结合这一充分条件可以对滚动时域估计中的加权矩阵进行离线设计，省去了传统MHE算法实时计算到达代价函数的过程，提高了解算效率。
3) 推导了基于滚动时域算法的局部估计器误差协方差矩阵上界的递推形式，并在此基础上采用协方差交叉融合算法得到了分布式融合估计器，该分布式估计器的估计效果明显优于各局部估计器。

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