超声切削加工系统一般包括超声波发生器、换能器、变幅杆和加工刀具等^[1-2]。由于换能器输出振幅不能满足刀具加工需要，需在换能器与加工刀具之间添加一种振幅放大机构，即变幅杆^[3]。
超声变幅杆是超声切削加工系统中的重要组成部件，其作用是把换能器输出端的振动位移或速度振幅进行放大，此外，超声变幅杆还可以作为机械阻抗变换器，在换能器和声负载之间进行阻抗匹配，使超声能量更有效地从换能器向负载传输^[4-6]。根据需求的不同，变幅杆可分为单一型和复合型^[7]。
变幅杆的振动特性理论分析，通常基于其波动方程，由边值问题定解^[8-9]。变幅杆的设计通常按照半波、空载考虑，实际应用时再加以调整^[10]。在高强度超声应用中，往往要求变幅杆末端具有较大的振动幅度，这就要求变幅杆的形状因数φ和放大倍数M_p的值都尽可能大^[11]。同时为了保证变幅杆能够持续工作较长时间，变幅杆工作时应具有较小的最大应力。为了兼顾以上优点，设计了一种新型复合变幅杆。
本文首先基于传统的振动理论，设计一种1/2波长大端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆(简称为新型复合变幅杆)；然后借助有限元分析软件验证其理论公式的正确性，并且与单一型变幅杆以及小端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆的性能参数进行比较，利用有限元分析软件对新型复合变幅杆进行优化设计，并通过实验验证了其振动情况。
1 新型复合变幅杆的理论模型 图 1为新型复合变幅杆的示意图，为了简化模型，假设变幅杆由均匀、各向同性材料构成。

图 1 新型复合变幅杆 Fig. 1 New compound horn

图选项

在简谐共振的条件下，变幅杆纵向振动的波动方程为^[12]

(1)

式中:S=S(x)为变幅杆的横截面积函数；ξ=ξ(x)为质点位移函数；k=ω/c，k为圆波数，ω为圆频率，c为纵波在变幅杆中的传播速度。
设Ⅰ段的末端为坐标原点，则各段的面积函数表达式为

(2)

式中:l₁、l₂分别为两段变幅杆的长度；锥度系数分别为首尾两端变幅杆的直径，面积系数分别为首尾两端变幅杆的横截面积。
将每段变幅杆的面积函数代入波动方程式(1)中，并联立式(3)~式(5):
自由边界条件为

(3)

变幅杆左端位移边界条件为

(4)

两段变幅杆之间的位移、应变连续条件为

(5)

解得每段变幅杆的位移函数为

(6)

应变分布的表达式为

(7)

式中：。
1) 频率方程
由式(7)和边界条件(3)可以推导出变幅杆的频率方程为

(8)

由式(8)求出根(kl₂)之后，可由式(9)求出l₂长度：

(9)

式中：λ为波长。
2) 位移节点x₀
由式(6)，当x=x₀时ξ=0得节点位移x₀为

(10)

3) 放大倍数M_p
由式(6)及边界条件ξ_Ⅱ|_x=l2=ξ₂可得

(11)

4) 输入力阻抗Z_i
由式(7)及边界条件可得

(12)

式中：F₁为输入端的力; E为弹性模量; tan α₁=tan 为变幅杆的材料密度。
5) 形状因数φ

当满足条件时，φ和包含应变极大点x_m的超越方程为

(13)

(14)

当不满足条件时，则Ⅱ段没有应变极大点，应变最大点在x_m=l₂处，则φ=1。
2 变幅杆的动力学分析 利用ANSYS Workbench有限元分析软件对所设计的新型复合变幅杆进行动力学分析，通过比较各项参数，验证理论公式的正确性。
2.1 理论数据计算 在变幅杆设计中，需要进行大量的数学计算，其中包括求解超越方程。这些计算很难用手工精确和快速的进行，这就需要借助MATLAB软件计算。
由频率方程可知，变幅杆的各项参数不仅和面积系数N有关还与Ⅰ段l₁有关。
分别假设Ⅰ段长度l₁=31.25 mm以及面积系数N=3.5，变幅杆工作时的谐振频率FREQ=20 000 Hz，通过式(8)求得不同的面积系数N时圆锥杆的长度l₂以及不同的Ⅰ段长度l₁时圆锥杆的长度l₂，然后由式(11)、式(13)和式(14)分别求得相应的放大倍数M_p、形状因数φ和应变极大点x_m，结果如表 1、表 2所示。
表 1 N对变幅杆性能参数的影响 Table 1 Effect of N on performance parameters of horn

样本编号	N	l2/mm	Mp	φ	xm/mm
1	1.077	94.31	1.09	1.05	33.13
2	1.167	95.50	1.20	1.10	35.12
3	1.272	96.70	1.32	1.16	37.27
4	1.4	97.89	1.47	1.22	39.63
5	1.556	99.88	1.63	1.29	42.21
6	1.75	101.87	1.83	1.37	45.07
7	2	104.66	2.06	1.45	48.24
8	2.333	108.24	2.32	1.54	51.64
9	2.8	112.22	2.65	1.65	55.49
10	3.5	117.39	3.02	1.78	59.37
注：l1=31.25 mm，FREQ=20 000 Hz。

表选项






表 2 l₁对变幅杆性能参数的影响 Table 2 Effect of l₁ on performance parameters of horn

样本编号	l1/mm	l2/mm	Mp	φ	xm/mm
1	1.99	139.67	2.94	1.705	82.46
2	3.97	138.08	2.95	1.695	80.95
3	5.92	136.49	2.97	1.716	78.86
4	7.85	134.88	2.98	1.711	77.44
5	15.14	128.92	3.04	1.746	71.37
6	21.50	124.14	3.06	1.741	67.02
7	26.85	120.56	3.03	1.767	62.51
8	31.25	117.39	3.02	1.780	59.37
9	34.86	115.00	2.98	1.792	56.58
10	37.82	113.01	2.94	1.794	54.49
11	40.27	111.02	2.93	1.806	52.97
12	42.32	109.83	2.88	1.801	51.42
13	44.05	108.64	2.85	1.801	50.23
14	47.36	106.25	2.79	1.822	47.55
15	49.70	104.66	2.74	1.825	45.74
16	51.43	103.46	2.70	1.826	44.40
17	52.75	102.27	2.68	1.834	43.60
18	55.93	99.88	2.60	1.843	41.09
19	57.55	98.69	2.56	1.859	39.37
20	58.53	97.89	2.53	1.867	38.47
注：N=3.5，FREQ=20 000 Hz。

表选项






2.2 动力学分析结果与理论数据比较 由于变幅杆工作过程中一直处在高频的振动状态，因此所选材料必须具有一定的强度和韧性^[13]。试验选用性能优良的00Cr17Ni14Mo2材料来制作变幅杆，材料参数如表 3所示。
表 3 00Cr17Ni14Mo2材料参数 Table 3 00Cr17Ni14Mo2 material parameters

参数	数值
密度ρ/(kg·m－3)	8 000
弹性模量E/Pa	2.06×1011
泊松比μ	0.28

表选项






利用CAD软件对变幅杆建模，导入ANSYS Workbench软件中，对变幅杆进行模态分析，提取各阶模态，选取纵振情况下的谐振频率。在模态分析的基础上，选用Harmonic Response模块对变幅杆进行谐响应分析，法兰的位移为零，在变幅杆大端xy平面施加0.04 mm的位移载荷，得到变幅杆的放大倍数M_p、应变极大点x_m和最大应力σ_max。
对表 1、表 2不同结构参数的变幅杆进行动力学分析，结果如表 4、表 5所示。
表 4 N对动力学分析的影响 Table 4 Effect of N on kinetic analysis

样本编号	N	FREQ/Hz	Mp	σmax/MPa	xm/mm
1	1.077	20 431	1.14	23.99	34.46
2	1.167	20 355	1.25	25.416	36.45
3	1.272	20 318	1.36	26.926	38.56
4	1.4	20 330	1.50	26.341	41.05
5	1.556	20 273	1.66	27.002	43.51
6	1.75	20 275	1.86	28.745	45.97
7	2	20 239	2.08	30.578	48.80
8	2.333	20 180	2.35	32.287	51.98
9	2.8	20 250	2.66	34.035	55.71
10	3.5	20 330	3.02	34.65	59.49
注：l1=31.25 mm。

表选项






表 5 l₁对动力学分析的影响 Table 5 Effect of l₁ on kinetic analysis

样本编号	l1/mm	FREQ/Hz	Mp	σmax/MPa	xm/mm
1	1.99	20 518	3.00	35.85	81.25
2	3.97	20 489	3.02	35.85	79.84
3	5.92	20 474	3.02	35.81	77.79
4	7.85	20 455	3.04	36.01	76.46
5	15.14	20 449	3.07	35.93	70.57
6	21.50	20 414	3.07	35.76	66.35
7	26.85	20 352	3.05	35.17	61.91
8	31.25	20 330	3.02	34.65	59.05
9	34.86	20 296	2.98	33.94	55.78
10	37.82	20 282	2.94	33.32	53.68
11	40.27	20 311	2.90	32.74	51.98
12	42.32	20 275	2.87	32.35	50.42
13	44.05	20 260	2.83	31.87	49.23
14	47.36	20 263	2.76	30.88	46.58
15	49.70	20 254	2.70	30.35	44.54
16	51.43	20 251	2.66	29.65	43.18
17	52.75	20 276	2.63	29.25	42.14
18	55.93	20 295	2.54	28.91	39.59
19	57.55	20 316	2.50	28.58	37.87
20	58.53	20 359	2.47	28.15	36.82
注：N=3.5。

表选项






比较表 1和表 4求解的结果，Ⅰ段长度l₁保持不变时，谐振频率FREQ、放大倍数M_p和应变极大点x_m的相对误差如表 6所示。
表 6 N对相对误差的影响 Table 6 Effect of N on relative error

样本编号	N	FREQ相对误差Δ1/%	Mp相对误差Δ2/%	xm相对误差Δ3/%
1	1.077	2.16	4.59	4.01
2	1.167	1.78	4.17	3.79
3	1.272	1.59	3.03	3.46
4	1.4	1.65	2.04	3.58
5	1.556	1.37	1.84	3.08
6	1.75	1.38	1.64	2.00
7	2	1.20	0.97	1.16
8	2.333	0.90	1.29	0.66
9	2.8	1.25	0.38	0.40
10	3.5	1.65	0	0.20
注：l1=31.25 mm。

表选项






比较表 2和表 5的求解的结果，面积系数N保持不变时，谐振频率FREQ、放大倍数M_p和应变极大点x_m的相对误差如表 7所示。
表 7 l₁对相对误差的影响 Table 7 Effect of l₁ on relative error

样本编号	l1/mm	FREQ相对误差Δ1/%	Mp相对误差Δ2/%	xm相对误差Δ3/%
1	1.99	2.59	2.19	1.47
2	3.97	2.44	2.20	1.37
3	5.92	2.37	1.83	1.36
4	7.85	2.28	1.97	1.27
5	15.14	2.25	0.90	1.12
6	21.50	2.07	0.39	1.00
7	26.85	1.76	0.63	0.96
8	31.25	1.65	0.01	0.54
9	34.86	1.48	0.03	1.41
10	37.82	1.41	0.01	1.49
11	40.27	1.56	0.89	1.87
12	42.32	1.38	0.46	1.94
13	44.05	1.30	0.55	1.99
14	47.36	1.32	1.06	2.04
15	49.70	1.27	1.34	2.62
16	51.43	1.25	1.41	2.75
17	52.75	1.38	1.88	3.35
18	55.93	1.47	2.28	3.65
19	57.55	1.58	2.51	3.81
20	58.53	1.79	2.28	4.29
注：N=3.5。

表选项






由表 6、表 7分析可知，解析法计算的结果与有限元分析的结果基本吻合，谐振频率FREQ的相对误差最大为2.59% < 5%，放大倍数M_p的相对误差最大为4.59% < 5%，应变极大点x_m的相对误差最大为4.29% < 5%。因此，在可允许的范围内，验证了理论公式的正确性。
3 变幅杆性能参数和最大应力对比 3.1 变幅杆的性能参数对比 以放大倍数M_p和形状因数φ作为关键参数，与单一型变幅杆以及小端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆进行比较，结果如图 2所示。

图 2 各类变幅杆性能参数对比 Fig. 2 Comparison of performance parameters of various horns

图选项

由图 2可知，随着面积系数的增大，小端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆的放大倍数增大且增大速率最快，但是形状因数明显小于其他3种型号的变幅杆且处于较低的水平。而新型复合变幅杆的放大倍数也随着面积系数的增大而增大，一直大于圆锥形变幅杆放大倍数，与指数形变幅杆接近，并且形状因数一直大于其他3种类型的变幅杆。新型复合圆锥形变幅杆两者兼顾，变幅杆末端能达到较大的振幅，因此设计的新型复合变幅杆综合性能最优。
3.2 变幅杆的最大应力对比 根据材料的疲劳-寿命曲线可知，材料的性能参数相同时，变幅杆工作时的最大应力直接影响到变幅杆的寿命，为了保证变幅杆能够持续工作较长时间，具有较长的使用寿命，所以在设计变幅杆时除了要满足振幅的设计要求以外，还要重点考虑变幅杆的最大应力^[14]。4种变幅杆的最大应力对比如图 3所示。

图 3 各类变幅杆最大应力对比 Fig. 3 Comparison of maximum stress of various horns

图选项

由图 3可以看出，随着面积系数的增大，各类变幅杆的最大应力都会增大。但明显可以看出，小端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆的最大应力随面积系数增大将快速增大，在面积系数大于1.5后明显大于其他3种变幅杆的最大应力，新型复合圆锥形变幅杆和圆锥形变幅杆的最大应力增加速度最为缓慢且一直处于较低的水平，符合设计的需求。
综合比较分析可知，新型复合变幅杆具有更好的综合性能和更小的最大应力，所以新型复合变幅杆的结构更优良。
4 新型复合变幅杆的实际应用 4.1 变幅杆的尺寸设计 为了降低换能器、刀具以及变幅杆大小端结合处的能量损耗，要求变幅杆大端直径D₁等于换能器输出端直径、小端直径D₂等于刀座直径^[15]。在实际设计中，对于20 kHz的超声振动切削系统，根据选定的换能器型号，变幅杆的面积系数要求为N=3.5，变幅杆大端直径D₁=56 mm，小端直径D₂=16 mm。同时为了保证刀具的输出振幅满足要求，变幅杆的放大倍数M_p≥3。
根据表 2可知，当面积系数N=3.5时Ⅰ段长度满足条件15.14 mm < l₁ < 31.25 mm，变幅杆的放大倍数可以达到M_p≥3，满足振幅的需要。当圆柱杆长度l₁=31.25 mm时，最大应力较小且形状因数φ较好。所以，新型复合变幅杆的尺寸初步设计参数如表 8所示。
表 8 新型复合变幅杆参数 Table 8 New composite horn parameters

参数	数值
l1/mm	31.25
l2/mm	117.39
xm/mm	59.37
Mp	3.02
φ	1.780

表选项






由于变幅杆的大端面与换能器螺纹连接，变幅杆的小端面与刀具螺纹连接，所以需要在变幅杆的大端面和小端面各加工一个螺纹孔。
根据变幅杆设计的等效质量块法可知，为了抵消螺纹孔的影响，可以在变幅杆的小端面处沿轴向正方向增加一段短圆柱l₃。
固定大端直径D₁、小端直径D₂，以最大应力为优化目标函数，定义设计变量l₁、l₂、l₃，定义频率范围为19 000 Hz≤FREQ≤21 000 Hz，在保证放大倍数M_p≥3的条件下，进行变幅杆优化设计分析，优化后的变幅杆的有限元分析结果如图 4所示，得到优化后的尺寸如表 9所示。

图 4 优化后的变幅杆的有限元分析结果 Fig. 4 Finite element analysis results of optimized horn

图选项

表 9 变幅杆优化设计结果 Table 9 Results of horn design optimization

参数	优化前	优化后
l1/mm	31.25	32
l2/mm	117.39	120.51
l3/mm	4.61	4.39
FREQ/Hz	30 352	20 111
Mp	3.05	3.12
σmax/MPa	35.170	34.527

表选项






4.2 变幅杆的性能测试 根据优化设计结果，加工制作变幅杆，如图 5所示。

图 5 变幅杆实物 Fig. 5 Photo of horn

图选项

采用北京邦联时代电子科技有线公司PV70A的阻抗分析仪对换能器和变幅杆进行阻抗分析，如图 6所示。由图 6可知，变幅杆的导纳圆圆度较好，电导曲线正常。振动系统的机械品质因数较高，即系统的电声转化效率高，说明所设计变幅杆的尺寸及其结构都十分合理。变幅杆的实测频率20 013 Hz与理论设计频率20 000 Hz的误差在1%以内，进一步验证理论公式的正确性。

图 6 阻抗分析结果 Fig. 6 Result of impedance analysis

图选项

选用型号HK-008W的激光位移传感器对换能器和变幅杆的输出端进行振幅测试，在150 V驱动电压的激励下，测量换能器与变幅杆组件的输出振幅，卸载变幅杆后同样在150 V驱动电压的激励下，测量换能器的输出振幅，振幅测试的结果如图 7所示。由图 7可知：超声变幅杆系统振动状态稳定，实测变幅杆稳定输出振幅峰峰值为40 μm，换能器的输出振幅峰峰值为13 μm，变幅杆的放大倍数M_p=3.08，与理论计算结果基本吻合，证明了理论公式的正确性。

图 7 振幅测试结果 Fig. 7 Results of amplitude test

图选项

新型复合变幅杆的理论设计参数、有限元分析结果以及实测结果存在一定的误差。这主要由3方面因数造成：①理论计算时未考虑变幅杆首尾端连接螺纹孔以及窄端接修整杆l₃的存在；②实验测量的是整个声学系统的谐振频率，但是理论设计和有限元分析时未考虑换能器的影响；③未能同时测量换能器与变幅杆的输出振幅，变幅杆作为纯阻负载对实验结果造成一定影响，所以实际测得的振幅放大倍数存在误差。
5 结论 各种传统形状变幅杆各具有其优点，但是都不是最理想的：圆锥形和指数形的变幅杆的振幅放大倍数较低，小端接圆柱杆的复合圆锥形变幅杆虽然具有较大的振幅放大倍数，但它的形状因数较小以及工作时具有很大的最大应力。因此采用了解析法设计了一种既能满足振幅条件，工作时最大应力较小的新型复合变幅杆。借助有限元分析软件对其进行模态和谐响应分析，得到变幅杆的谐振频率、放大倍数及应力极大点位置，与理论值基本吻合。加工和测试优化设计后的新型复合变幅杆，实测结果与理论设计参数十分接近，进一步验证了理论公式的正确性。

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