由于传统工艺的限制，点阵芯层结构形式种类较少。文献[2]列举了几种利用传统工艺生产制备点阵结构的方法，并对复合点阵芯层结构的主动换热特性进行了分析和讨论。文献[3-5]则提出了一种“冲压-折叠-焊接”的点阵芯层结构制备方法。文献[6-7]研究了超轻对角型点阵芯层结构的加工、有限元建模与分析等一系列问题，提出等效方法预测了对角型点阵结构的弹性模量，通过与有限元分析和物理实验结果对比，证明了等效方法的正确性。文献[8-10]提出了不同材料octet-truss型点阵结构的等效性能计算方法，并将等效预测值与试验结果进行了对比。文献[11]综合考虑芯子等效密度、剪切模量等设计参数，提出金字塔型点阵夹芯结构的精细优化设计方法。文献[12]将对角型点阵芯层结构用于制动盘的设计，通过有限元分析和物理实验证明了点阵结构的冷却性能优于传统制动盘结构。文献[13]将四面体等点阵夹芯等效为均匀连续体，基于傅里叶展开，分析了热力耦合条件下夹层板模型的临界热屈曲问题，并对比了不同点阵结构在热力耦合条件下的响应。
近年来，快速发展的增材制造技术为三维点阵结构提供了新的制造方式，也使得点阵胞元形式更加多样化、微小化。文献[14]建立了适用于增材制造工艺的多种新型点阵胞元结构的参数化模型，通过有限元分析，对比了多种点阵结构的力学性能。文献[15]针对基于增材制造的三维点阵结构，分别以数值计算和样机实验方法对结构力学性能进行了研究。另一方面，随着工程实际中对复杂点阵结构快速分析和设计需求的不断提高，准确有效的分析和优化方法需要更深入的研究。
为了进一步发挥点阵结构机械性能和功能特性的优势，提高点阵结构设计与分析效率，本文研究了三维点阵结构热传导特性，提出了一种热传导等效分析方法，通过数值算例验证了等效方法的有效性和准确性。基于等效方法建立了点阵结构热传导优化模型，并将以上方法应用于均热板点阵结构的轻量化设计。
1 三维点阵结构热传导模型 三维点阵结构的几何特征具有层级复杂性，其非等效有限元模型同时包括梁单元、面单元及实体单元。当一个特定功能结构由多个点阵结构组成时，其非等效有限元模型的数据存储成本及有限元计算成本将大幅增长。因此，有必要提出合理的等效方法以提升点阵结构的性能分析效率。本文重点研究三维点阵结构的热传导等效分析模型。以对角型三维点阵结构为例，传热模型如图 1所示，其中点阵结构杆件截面半径为r，包络尺寸由边长参数a、b、c确定。
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| 图 1 对角型三维点阵传热模型 Fig. 1 Heat transfer model of 3D lattice structure of diagonal-type |
| 图选项 |
当采用均质材料等效点阵结构时，在正交方向上，可转化为一维热传导问题，根据一维热传导公式：
 | (1) |
式中：ρ为材料密度；cm为材料比热容；k为热传导率；θ为温度。当ρ、cm、k确定时，均质材料等效模型在单一方向上的热传导特性确定。
当传热方向如图 1所示时，可以将三维点阵视为4根一维杆件，根据一维热率计算公式，对角型三维点阵的热率计算公式为
 | (2) |
式中：Q为热率；A=πr2为单一杆件的截面积；km为杆件材料热传导率。
若将点阵包络内等效为均质材料，则当传热方向如图 1所示时，其等效热率计算公式为
 | (3) |
式中：kxx为材料沿局部坐标系x轴方向的热传导率。
结合式(2)和式(3)，则有
 | (4) |
进而
 | (5) |
同理可得，材料沿局部坐标系y轴、z轴方向的热传导率kyy、kzz为
 | (6) |
特别地，当a=b=c时，点阵结构为各向同性热传导材料。
根据质量相等原则，点阵等效均质材料的等效密度为
 | (7) |
式中：ρe为等效密度；ρm为点阵材料实际密度。
根据热量计算公式：
 | (8) |
式中：Vm和Ve分别为单一点阵结构中材料实体体积和等效材料体积；ce为等效比热容。
结合式(7)和式(8)，可知
 | (9) |
进而结合式(5)~式(9)与有限元方法，可建立点阵胞元及结构的热传导等效分析模型。
2 三维点阵结构热传导数值算例 2.1 均热板点阵结构 为验证三维点阵结构热传导等效分析方法的准确性，本文以航天器中典型热力学结构——均热板为例进行研究，均热板结构如图 2所示。均热板结构尺寸为：长(Px)×宽(Py)×高(Pz)=300 mm×240 mm×40 mm。结构外部为蒙皮，内部为若干相同的对角型点阵胞元组成的点阵结构。
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| 图 2 均热板结构示意图 Fig. 2 Schematic of heating plate structure |
| 图选项 |
设制造点阵结构的材料为铝合金，热传导属性如表 1所示。
表 1 材料热传导属性 Table 1 Heat conduction property of material
| 参数 | 数值 |
| 热传导率/(mW·mm-1·K-1) | 201 |
| 密度/(t·mm-3) | 2.81×10-9 |
| 比热容/(mJ·K-1) | 9×108 |
表选项
为分析本文方法的等效精度与相关参数对等效精度的影响，分别从点阵胞元尺寸变化与等效有限元模型单元数量变化2个角度进行分析和讨论。
2.2 点阵胞元尺寸变化 当均热板内填充尺寸不同的点阵胞元时，均热板具有不同的热传导属性，设填充点阵胞元尺寸如表 2所示。根据表 1和表 2，并结合第1节的内容，计算不同尺寸点阵结构的等效均质材料热传导属性，如表 3所示。
表 2 点阵结构尺寸 Table 2 Size of lattice structure
| 点阵 类型 | 结构尺寸/ (mm×mm×mm) | 杆件半径/ mm | 胞元数量 |
| 1 | 15×10×8 | 0.25 | 20×24×5=2 400 |
| 2 | 10×10×10 | 0.25 | 30×24×4=2 880 |
| 3 | 7.5×6×8 | 0.25 | 40×40×5=8 000 |
表选项
表 3 点阵结构等效热传导属性 Table 3 Equivalent heat conduction property of lattice structure
| 点阵 类型 | 热传导率/(mW· mm-1·K-1) | 密度/ (10-11t· mm-3) | 比热容/ (108 mJ· K-1) | ||
| kxx | kyy | kzz | |||
| 1 | 1.50 | 0.667 | 0.427 | 3.627 35 | 9 |
| 2 | 0.911 | 0.911 | 0.911 | 3.822 58 | 9 |
| 3 | 1.97 | 1.26 | 2.25 | 7.663 09 | 9 |
表选项
根据表 2、表 3的数据，分别建立均热板内部点阵结构的热传导非等效有限元模型及等效有限元模型，如图 3、图 4所示。等效有限元模型中用等效单元替代非等效有限元模型中的点阵结构，通过改变材料属性，实现三维点阵结构的传热特性等效映射，非等效有限元模型中点阵胞元与等效有限元模型中单元一一对应。
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| 图 3 非等效有限元模型 Fig. 3 Non-equivalent finite element model |
| 图选项 |
 |
| 图 4 等效有限元模型 Fig. 4 Equivalent finite element model |
| 图选项 |
在非等效有限元模型和等效有限元模型的左侧面施加如式(10)所示的复合热载荷：
 | (10) |
式中：t为载荷作用时间；A1、A2为载荷分量振幅；T1、T2为载荷分量周期。本文设A1=250 W/mm2，A2=150 W/mm2，T1=25 s，T2=5 s。其他表面无载荷约束。
在上述载荷条件下，对非等效有限元模型和等效有限元模型进行100 s的瞬态热传导分析。测量均热板右侧中点的温度变化，分析结果如图 5所示。
 |
| 图 5 不同点阵类型温度曲线 Fig. 5 Temperature curves of various types of lattice |
| 图选项 |
本文利用决定系数R2和均方误差RMSE检验等效有限元模型相比于非等效有限元模型的拟合精度，计算公式为
 | (11) |
 | (12) |
式中：n为采样时间点数量；yi为非等效有限元模型采样点数值；
表 4 等效有限元模型精度分析 Table 4 Precision analysis of equivalent finite element model
| 点阵类型 | 胞元数量 | R2 | RMSE |
| 1 | 2 400 | 0.999 994 | 0.000 340 |
| 2 | 2 880 | 0.999 976 | 0.000 698 |
| 3 | 8 000 | 0.999 989 | 0.000 494 |
表选项
2.3 等效有限元模型单元数量变化 根据有限元原理，进一步减少等效有限元模型中的单元数量，可以降低计算成本，提高数值计算速度。因此，以表 2所示点阵类型2的点阵结构为例，建立如表 5所示具有不同单元数量的等效有限元模型，以研究利用更少的均质单元等效点阵结构的可行性，均质单元的属性与表 3中的点阵类型2点阵结构一致。
表 5 等效有限元模型单元数量 Table 5 Number of elements of equivalent finite element model
| 单元数 | x、y、z方向的等效单元数 |
| 1 | 30×24×4=2 880 |
| 2 | 20×16×3=960 |
| 3 | 15×12×2=360 |
表选项
在与2.2节相同工况条件下，进行热传导分析，并同样以均热板右侧中点为观测点，得到分析结果如图 6所示。
 |
| 图 6 不同等效有限元模型温度对比曲线 Fig. 6 Temperature comparison curves of various equivalent finite element models |
| 图选项 |
同样采用决定系数R2和均方误差RMSE检验不同等效有限元模型拟合精度，并根据等效有限元模型节点数量和非等效有限元模型节点数量6 755，计算相比于非等效有限元模型的节点减少量，如表 6所示。可以得到，当等效有限元模型单元数量减少至70%~90%时，等效有限元模型精度有所下降，但依然满足R2≥0.99，RMSE≤0.01。等效有限元模型可以有效代替非等效有限元模型进行热传导计算。
表 6 等效有限元模型精度对比 Table 6 Precision comparison of equivalent finite element model
| 等效有限元模型 | 节点数量 | 节点减少比例/% | R2 | RMSE |
| 1 | 3 875 | 42.6 | 0.999 976 | 0.000 698 |
| 2 | 1 428 | 78.9 | 0.999 106 | 0.004 269 |
| 3 | 624 | 90.8 | 0.998 401 | 0.005 707 |
表选项
3 基于等效有限元模型的三维点阵结构优化 为得到轻质、热属性良好的三维点阵结构，以满足航空航天对结构热力学的需求，在已有的点阵结构设计基础上，需进一步进行结构优化设计。
根据式(5)与式(6)可得
 | (13) |
从而可知，在制造材料相同的情况下，点阵结构在不同方向上的导热性比值仅与其胞元包络尺寸有关。另一方面，当结构设计空间不变时，点阵胞元包络尺寸直接影响胞元在空间内的数量及整个结构的拓扑属性。采用非等效有限元模型进行分析时，若结构拓扑属性改变，需重新建立点阵结构模型。从而可知，相比于非等效有限元模型，采用本文提出的等效有限元模型进行点阵结构优化设计具有以下2个优势：①优化过程中，点阵数量改变会导致结构的拓扑属性，需要重新建立包含多杆特征的非等效有限元模型，根据2.2节、2.3节的内容，当等效有限元模型单元数量与点阵胞元数量不一致时，等效有限元模型可以有效代替多规格非等效有限元模型进行计算，不需要重新建立有限元模型；②采用等效有限元模型进行有限元热传导分析计算，可大幅减少有限元计算时间。
本节同样以第2节所述的均热板为例，开展三维点阵结构热传导优化问题的研究，并考虑了蒙皮的影响。设初始设计的蒙皮厚度为tp=0.5 mm，点阵胞元包络尺寸为abc=10 mm×10 mm×10 mm，整体结构质量M=0.373 kg。以某实际工况为例，结构上表面子区域内具有时域周期Tload=1 h，峰值Aload=5 kW的热载荷，结构受0.2 MPa内压。偏置载荷作用区域如图 7所示，载荷曲线如图 8所示。本文利用结构的整体温度方差最大值表示其均热性，热载荷持续时间内，初始设计的结构整体温度方差最大值Varmax0=5.364 K2。
 |
| 图 7 载荷作用区域 Fig. 7 Loading area |
| 图选项 |
 |
| 图 8 热载荷变化曲线 Fig. 8 Variation curve of thermal load |
| 图选项 |
为了进一步提升均热板的性能，在相同工况下，以结构整体温度方差最大值不超过5 K2为约束条件，以结构质量最轻为优化目标，对均热板进行优化设计，设计变量为点阵结构在x、y、z方向上的胞元数量Nx、Ny、Nz及蒙皮厚度tp。点阵结构均热板的实际加工过程中，杆件的半径尺寸控制效果低于蒙皮厚度的尺寸，因此不选择半径尺寸作为优化参数之一。根据第2节中的分析，点阵胞元包络尺寸与Nx、Ny、Nz存在如下关系：
 | (14) |
进而建立优化模型为
 | (15) |
模型中的优化变化范围由以下规则确定：
1) 根据2.3节，点阵胞元数量与等效有限元模型单元数量的变化值控制在50%以内。
2) 在上述参数变化范围内，经计算结构受0.2 MPa压力情况下极限局部最大应力为130 MPa，小于材料极限屈服应力160 MPa，即均热板满足结构强度需求。
模型中，本文采用混合整数序列二次规划(MISQP)算法进行全局优化求解，终止准则为迭代最优解变化比小于指定精度。优化迭代历程如图 9所示。迭代计算收敛于(Nx, Ny, Nz, tp) =(23, 16, 2, 0.599 mm)，此时Mmin=0.361 kg，Varmax=5.000 K2。
 |
| 图 9 最优解优化过程 Fig. 9 Optimization process of optimal solution |
| 图选项 |
对比优化前后的均热板性能如表 7所示。可知，优化后的均热板温度方差最大值在约束范围之内，同时质量比初始设计下降3.2%，均热板的性能得到提升。
表 7 优化结果与初始设计对比 Table 7 Comparison of optimization results and initial design
| 设计状态 | Nx, Ny, Nz | tp/mm | Varmax/K2 | M/kg |
| 优化前 | 30, 24, 4 | 0.5 | 5.364 | 0.373 |
| 优化后 | 23, 16, 2 | 0.599 | 5.000 | 0.361 |
表选项
4 结论 本文根据结构热传导原理，提出一种简单的点阵结构热传导等效分析方法，并将其应用于均热板点阵结构的导热性能分析与优化设计，得到以下主要结论：
1) 基于热力学原理，推导了点阵结构热传导等效计算公式，提出了点阵结构热传导等效分析模型的建模方法，将该方法应用于点阵结构的热传导分析过程中，在保证分析精度的同时大幅度提高了分析效率。
2) 将等效分析方法应用于均热板结构的优化设计过程中，提出了点阵结构等效优化计算方法，通过优化计算，给出了点阵结构的最优设计方案，在保证均热性能的同时，使得均热板的质量得到了降低，实现了轻量化设计。
3) 本文所提出的等效方法和优化模型计算成本低、效率高，不仅限于对角型点阵结构和均热板结构，可进一步拓展以适用于其他类似均质点阵结构的性能分析与优化设计，为点阵结构的研究提供了思路。
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