多航天器姿态协同是指通过设计恰当的协同控制律，利用航天器之间的信息交互使得各航天器姿态保持一致。在航天器控制领域，姿态协同具有广泛的应用前景。多颗小卫星通过对卫星间的相对姿态进行协调，可以协同工作完成复杂的任务，具有成本低、研制周期短、应用方式灵活等优点^[1]；在航天器交会对接、卫星捕获等航天作业中，姿态协同也是一项关键技术，具有重要的研究意义^[2-3]。因此，多航天器系统的协同控制问题得到越来越多的重视和研究^[4-6]。
对于单个航天器的姿态控制问题，国内外****采用自适应控制^[7]、鲁棒控制^[8]、滑模控制^[9]等多种方法进行了研究，取得了丰富的研究成果。在上述方法中，航天器的姿态大多采用的是欧拉角、四元数^[10]或罗格里德参数模型^[11]，在姿态运动范围较小时可以取得良好效果，但仍存在一定的局限性。欧拉角模型在姿态角全局范围变化时会出现奇异，导致基于这种方法设计的控制器也只适用于某个范围内；采用四元数进行姿态表示的方法能够避免奇异，但其与旋转矩阵的映射不具有唯一性，用于控制时可能导致姿态散开，引起系统性能下降^[12]；罗格里德参数模型同样存在非全局与不唯一性。为了解决这些问题，文献[13-14]提出了基于特殊正交群(Special Orthogonal Group，SO(3))的姿态建模与控制方法。SO(3)与旋转矩阵是一一对应的，满足姿态描述的全局性，相比传统区分通道分别设计的方法更为统一，且不存在奇异问题。针对个体控制问题，SO(3)方法已经取得了一定的研究和应用成果。文献[14-15]采用旋转矩阵对航天器姿态进行建模，克服了姿态展开现象。文献[16]详细讨论了单刚体的SO(3)姿态跟踪控制问题，保证了系统的全局指数稳定性。
另外，在实际复杂的环境中，航天器系统不可避免地会受到干扰，而干扰会造成系统的稳定性能和协同效果下降。文献[17-18]分别考虑了存在执行器安装偏差和不确定性情形，提出了航天器鲁棒控制方法，属于对干扰的被动抑制。针对干扰的主动抑制控制，以扩张状态观测器(Extended State Observer, ESO)为核心的自抗扰控制方法近年来得到越来越多的关注。ESO将系统的不确定性和干扰等效为总干扰，以其作为扩张状态进行实时估计，进而在控制器设计中可以针对系统的总干扰进行补偿，提高系统的抗干扰能力。ESO的稳定性分析相对复杂，目前主要基于Lyapunov理论开展。文献[19]证明了可以通过严格构造Lyapunov函数完成对常值增益的线性ESO的收敛性分析。而对于非线性ESO则需要假设Lyapunov函数存在^[20]，不便于控制器设计和稳定性分析。因此在后续研究中，线性ESO已经得到了一定的实际应用^[21-23]。但需要注意的是，线性常值增益ESO在初值和系统初值不一致时，经常会出现峰化现象(peaking phenomenon)^[24-25]，对系统造成不利影响。
相比单个航天器，多航天器控制系统更为复杂^[26]。而对于多航天器系统的SO(3)建模、ESO设计以及协同控制问题，目前研究还比较有限。除了个体动力学外，航天器之间的通信拓扑也会对系统的整体行为产生影响。在多航天器SO(3)控制中，需要根据拓扑结构设计恰当的SO(3)形式的协同指令。同时，由于SO(3)模型中姿态采用矩阵而非向量表示，因此针对SO(3)模型的ESO也需要重新设计和分析。
考虑到上述问题，本文将SO(3)姿态描述引入到多航天器系统，结合航天器之间的有向通信拓扑建立其协同控制模型。在此SO(3)模型上设计了一种时变增益ESO对系统的总干扰进行估计，在保证观测误差收敛的同时，削弱常值ESO的峰化现象。进一步，利用相邻航天器的信息构造了SO(3)形式的协同控制指令，并设计了对应的协同控制器，从理论上证明了闭环系统的稳定性，所提出的方法能够实现干扰情形下多航天器系统的有效协同。以5个包含不同干扰和不确定性的航天器系统进行了仿真，验证了理论分析结果。
1 多航天器姿态模型建立 1.1 航天器姿态SO(3)模型 在三维空间中，姿态代表了航天器本体坐标系与惯性坐标系之间的旋转关系，而坐标系之间的旋转变换可以用一个正交变换矩阵R来表示，所有的正交变换矩阵构成了SO(3)群：

(1)

任意姿态都与特定矩阵R∈SO(3)一一对应。因此，可以考虑采用SO(3)中对应的元素R来表示航天器的姿态。令Ω=[ω₁??ω₂??ω₃]^T，定义运算

(2)

为hat映射。hat映射的逆运算∨称为vee映射，其将任意三维反对称阵映射为三维向量，即

(3)

在本文中，对于一般矩阵X=(x_ij)∈R^3×3，其vee映射定义为X^∨=[x₂₁－x₁₂??x₁₃－x₃₁??x₃₂－x₂₃]^T。基于上述分析，考虑包含N个航天器的控制系统，建立航天器i的姿态动力学方程为

(4)

式中：Ω_i∈R³为航天器的角速度；τ_i∈R³为航天器的控制力矩；J_i为转动惯量；ΔJ_i为转动惯量不确定性；为外部干扰力矩，i=1, 2, …, N。
对式(4)进行展开后处理可得

(5)

记为不确定性、干扰等引起的总干扰力矩，则系统模型式(4)变为

(6)

对于干扰d_i，有如下假设^[19-20]。
假设1??存在常数M_d > 0，使得||d_i|| < M_d，。
1.2 多航天器通信拓扑描述 在多航天器控制系统中，除了每个航天器自身的动力学外，航天器之间的通信关系也会对协同控制性能产生重要影响。本文的设计方法避免了对系统全局信息的使用，同时考虑了通信传递的方向性。本文采用图论相关理论对通信拓扑进行描述，设表示一个加权有向图，为图的顶点集，为图的边集，为图的邻接矩阵。图的度矩阵。图的Laplacian矩阵定义为。在协同控制问题中，若，则表示边，即第i个航天器能够从第j个航天器获得信息，否则。进一步定义第i个航天器的邻居集为。
本文研究的姿态协同控制目标可以表述为：在存在干扰的情况下，考虑多航天器之间的有向通信拓扑，设计ESO对干扰进行观测和补偿，进而设计合适的协同指令与控制器，使得。
2 线性时变增益ESO设计 针对第i个航天器展开ESO设计及收敛性分析。考虑系统式(4)，令X_1i=R_i，X_2i=R_iΩ_i^∧，则有

(7)

选取扩张状态X_3i=D_i=X_1iJ_i^－1d_i^∧，系统式(7)就可以表示为

(8)

式中：X_1i, X_2i, X_3i∈R^3×3；g(X_1i)=X_1iJ_i^－1；f(X_1i, X_2i)=X_2iX_1i^TX_2i－X_1iJ_i^－1(X_1i^TX_2iJ_i(X_1i^TX_2i)^∨)^∧。
对于式(8)所示系统，考虑设计以下形式的ESO：

(9)

式中：L_ki(t)=diag{l_ki(t), l_ki(t), l_ki(t)}，l_ki(t)为时变增益系数，k=1, 2, 3。
根据SO(3)的性质，有||X_1i||=1。
假设2??存在常数M > 0，使得||X_2i||≤M，。
定义观测误差, k=1, 2, 3, 则误差系统可以表示为

(10)

系统式(10)对于Z_ki的每一个行向量而言是解耦的，记z_ki^(j)为Z_ki的第j个行向量，则有

(11)

式中：为的第j个行向量。

为了分析系统式(11)的稳定性，将其转换为标准型：

(12)

式中：

其中：a_ki(t)为与l_ki(t)有关的函数，且满足以下假设。
假设3??a_ki(t)有界且三阶连续可导，k=1, 2, 3。
系统式(11)的可控性矩阵记为U_i(t)=[p_1i(t)??p_2i(t)??p_3i(t)]，p_1i(t)=b_i，p_2i(t)=。根据A_i(t)和b_i的表达式可知：

(13)

同理，与系统式(12)对应的可控性矩阵为

(14)

则系统式(11)到系统式(12)的坐标变换矩阵为

(15)

根据假设3，F_i^－1(t)存在且有界，可以求出：

(16)

进一步，在系统式(11)中令Z_ji=[(z_1i^(j))^T??(z_2i^(j))^T??(z_3i^(j))^T]^T。根据ζ_ji=F_i(t)Z_ji可得

(17)

由F_i(t)、b_i和b_ci的表达式以及式(17)中的第1个式子可以得出：

(18)

由式(18)可知，l_ki(t)能够表示为a_ki(t)的函数，即可以通过设计a_ki(t)来保证系统式(12)稳定，进而保证ESO的稳定性。在确定合适的a_ki(t)后，ESO的参数也随之确定。于是，考虑与系统式(12)对应的PD特征值和SD特征值分别为ρ_ki(t)和μ_ki(t)^{[25, 27]}，定义：

(19)

(20)

(21)

则有如下关系成立：

(22)

式中：k, j=1, 2, 3；κ_{n, 0}(t)=0, κ_{n, n+1}(t)=0, n=0, 1, 2；Γ_2i(t)和Γ_3i(t)分别为T_2i(t)和T_3i(t)对应的行列式。根据式(22)可以递推计算出a_1i(t)=κ_{3, 1}⁽ⁱ⁾(t), a_2i(t)= κ_{3, 2}ⁱ(t), a_3i(t)=κ_{3, 1}ⁱ(t)。因此，对于观测器参数l_ki(t)的选择可以转化为对ρ_ki(t)的设计。
引理1??设ρ_ki(t)为实数且满足如下条件:
1) ρ_ki(t)有界且三阶连续可导；
2) 由式(19)~式(22)得到的a_ki(t)满足假设3；
3) 存在常数c > 0，使得ρ_ki(t)≤－c < 0。
则系统和是指数稳定的。
证明??根据条件1)~3)可知，T_3i(t)非奇异且连续可导，记χ_zi=T_3i^－1(t)χ_ci，则有

(23)

式中：A_zi(t)=diag{ρ_1i(t), ρ_2i(t), ρ_3i(t)}。根据条件3)，选取Lyapunov函数V₁(χ_zi)=χ_zi^Tχ_zi，对其求导数可得

(24)

即证明了χ_zi是指数稳定的。设的状态转移矩阵为Φ_zi(t, t₀)，存在常数k₁ > 0和k₂ > 0，使得||Φ_zi(t, t₀)||≤k₁e^{－k₂(t－t₀)}，?t≥t₀。
考虑χ_ci和χ_i系统的状态转移矩阵分别为Φ_χci(t, t₀)和Φ_χi(t, t₀)，同理可得

(25)

(26)

由于T_3i(t)、T_3i^－1(t)、F_i(t)、F_i^－1(t)均存在且连续有界，因此存在常数k₃ > 0和k₄ > 0, 使得：

(27)

(28)

从而证明了χ_i和χ_ci是指数稳定的。????证毕
在此基础上，关于观测误差的稳定性有如下定理成立。
定理1??若且满足引理1中的条件，其中c₁ > 0，0 < ε?1，记Z_i(t)=[Z_1i^T??Z_2i^T??Z_3i^T]^T，则有。
证明??考虑对称正定矩阵P_zi(t)=(T_3i^－1(t)·F_i(t))^T (T_3i^－1(t)F_i(t))，结合引理1中的条件，P_zi(t)有界连续可导。定义变量χ_zi=T_3i^－1(t)χ_ci=T_3i^－1(t)F_i(t)χ_i，对其求导数得到关系式：

(29)

式中：

(30)

由此可知：

(31)

令分别表示Z_1i、Z_2i、Z_3i、D_i中对应第(k, j)个元素，k, j=1, 2, 3。结合引理1中对系统式(11)的分析，选取Lyapunov函数为，并求得其沿时间t的导数：

(32)

易知存在常数c₂ > 0，使得

(33)

再根据P_zi(t)的性质可知，存在正常数c₃、c₄和c₅使得：

(34)

从而有

(35)

进一步，由于Z_i为矩阵，因此考虑将Z_i拉直后重新排列。记，j=1, 2, 3。选取对应的Lyapunov函数为，结合式(35)可得

(36)

根据hat变换的性质，有，进一步由假设1可知：

(37)

式中：，λ_2i为J_i的最小特征值。
将式(37)代入式(36)，则有

(38)

同时，根据，有如下关系：

(39)

最终得到

(40)

根据式(40)易知，当t→∞时，||z_i(t)||→O(ε)，即||Z_i(t)||→O(ε)。????证毕
注1??定理1在引理1的基础上分析了时变增益ESO的收敛性。若ρ_ki(t)取1/ε的同阶量，则观测误差有界且趋于ε的同阶量。同时，在ρ_ki(t)确定后，通过式(18)和式(22)可以计算得到ESO增益l_ki(t)。
3 SO(3)协同控制器设计 本节首先对SO(3)中姿态误差定义以及协同指令进行推导。在基于SO(3)的控制方法中，姿态由R∈SO(3)来表示，对于每个航天器i，设协同指令R_di=[b_di⁽¹⁾??b_di⁽²⁾??b_di⁽³⁾]。由于R_di是正交矩阵，在[b_di⁽¹⁾??b_di⁽²⁾??b_di⁽³⁾]中给定其中2个变量后，可以由正交性计算出第3个变量。因此，R_di的设计包含2个自由度。由于在协同控制系统中，每个航天器只能获得其相邻航天器的状态信息，所以在协同指令设计时也需要考虑通信拓扑结构。为此，本文设计的协同指令b_di⁽¹⁾、b_di⁽²⁾和b_di⁽³⁾如下:

(41)

(42)

(43)

在姿态指令信号R_di的基础上，定义SO(3)中的相对姿态误差和角速度误差分别为

(44)

(45)

同时，根据R_di的性质有R_di^TR_di=I₃，等式两边同时对t求导可得。于是

(46)

根据式(45)和式(46)，航天器i的误差方程可以表示为

(47)

得到SO(3)姿态指令和姿态误差模型后，进一步设计航天器协同控制器以完成对指令的跟踪，同时实现姿态一致。同时，考虑ESO输出的扩张状态X_3i，由于X_3i=X_1iJ_i^－1d_i，则可以得到干扰观测值，并在控制器中进行补偿。因此，对于航天器i，其姿态控制输入设计为

(48)

4 闭环系统协同控制稳定性分析 定理2??在时变增益ESO式(9)和控制律式(48)的作用下，多航天器系统能够实现有效的姿态协同，闭环系统一致最终有界稳定，且稳定的界为。
证明??选取闭环系统的Lyapunov函数为

(49)

式中：，c₆为正常数，且满足，λ_1i和λ_2i分别为J_i的最大和最小特征值，。
首先证明V₄的正定性。易知

(50)

(51)

(52)

根据条件可知V₄是正定的：

(53)

进一步，考虑式(49)中Ψ(R_i, R_di)对时间t的导数：

(54)

而V₅(η_i)中c₆e_Ri^Te_Ωi沿时间t的导数为

(55)

式中：，并且有成立。
结合式(54)、式(55)对V₅(η_i)求导可得

(56)

式中：

(57)

同时，根据前述的分析可知：

(58)

进一步，根据Young不等式，有

(59)

(60)

将上述结果代入式(56)中可得

(61)

式中：

(62)

取，根据式(61)最终推导出：

(63)

式中：。由此可得，，有0。注意到，V₅(η_i)正定且径向无界，因此闭环系统一致最终有界稳定，且最终的界为。
进一步，需要证明多航天器在所设计的协同控制器作用下形成姿态协同，即证明在t→∞时，。由于能够实现对姿态指令的跟踪，可知：

(64)

式中：且满足。
记，将式(64)表示为矩阵形式：

(65)

下面要证明。由于||b_j⁽³⁾||=1，所以有。若，则由可知，存在某个b_i⁽³⁾中的元素的模大于1，与||b_i⁽³⁾||=1是矛盾的。进一步，记β=[(b₁⁽³⁾)^T??(b₂⁽³⁾)^T??…??(b_N⁽³⁾)^T]^T，式(65)可以表示为

(66)

若航天器之间的拓扑包含生成树，则有且只有一个零特征值且，其中，1₃和0₃分别为元素全为1和0的三维列向量。根据矩阵直积的性质可得，有3个零特征值，且几何重数为3。另外，的N个线性无关列向量构成了零特征值的特征向量空间，β作为对应的解向量就可以表示为, 即

(67)

所以，，b_i⁽³⁾与b_j⁽³⁾之间的误差在某个小邻域内。同理，对于b_i⁽¹⁾和b_i⁽²⁾有相同的结论，即证明了航天器的姿态能够达到稳定的一致。????证毕
注2??通过航天器模型式(4)和控制器式(48)设计过程可以看出，本文提出的SO(3)协同控制方法允许各航天器具有不同的总体和控制参数，即适用于航天器异构的情况，有利于本文方法在工程中的应用。
5 仿真验证 为了验证本文所提出的ESO设计方法和SO(3)协同控制方法的有效性，本节采用包含5个个体的多航天器系统进行仿真。各航天器的转动惯量标称值为J_i=diag{20, 10, 10} kg·m²，其不确定性ΔJ_i参数和初始条件在表 1中给出。外部干扰设置为。
表 1 航天器初始条件和参数 Table 1 Initial conditions and parameters of spacecraft

航天器	不确定性 ΔJi/(kg·m2)	俯仰角/ (°)	偏航角/ (°)	滚转角/ (°)
1		50	30	10
2		15	10	20
3		0	-10	40
4		5	-8	20
5		-10	0	10

表选项






航天器之间的通信拓扑由图 1给出。相应的边的权重为。由此可以根据式(41)~式(43)得到姿态协同指令。

图 1 航天器通信拓扑 Fig. 1 Communication topology of spacecraft

图选项

在仿真算例中，选取各航天器的ESO采用相同的参数。根据引理1与定理1的相关分析，对于时变ESO参数可以取为为常数，表示ρ_ki(t)名义值，k=1, 2, 3。则根据式(22)可求得对应a_ki(t)的表达式为

l_ki(t)的表达式可以进一步通过式(18)得到。再根据定理1取ε=0.01，，可知ρ_ki(t)满足定理1中的条件。控制参数设计为k_Ri=0.4，k_Ωi=0.8。作为对比，常值增益ESO中采用ρ_ki(t)=ρ_ki，其他参数不变。
在协同控制器设计与仿真中，均采用R矩阵对航天器姿态进行描述，并基于SO(3)方法完成上述过程。为了便于结果呈现，本文在仿真结果图中将R转换为姿态角度进行表示。图 2给出了多个航天器的俯仰、偏航、滚转角度随时间变化曲线。可以看出，在存在干扰的情况下，多航天器系统能够以较快的速度实现稳定的协同，控制效果良好。

图 2 多航天器姿态角变化曲线 Fig. 2 Variation curves of attitude angles of multiple spacecraft

图选项

为了说明控制输入与ESO干扰观测情况，选取。本文以航天器4为例，在图 3中给出了的变化情况，其他航天器与之类似。可以看出，随着时间增长逐渐趋近于0，表明设计的ESO能够有效地对干扰进行观测，使得控制器中对干扰进行补偿，最终实现系统稳定。

图 3 考虑干扰补偿的控制力矩(航天器4) Fig. 3 Control moment with disturbance compensation (Spacecraft 4)

图选项

定义控制力矩范数为，图 4给出了本文中所设计的ESO和常值增益ESO的对比曲线。注意到，算例中观测误差初始值不为零。从图 4可以看出，常值增益ESO产生了峰化现象，在仿真开始的1 s内达到了45 N·m，而时变增益ESO削弱了峰化现象，最初的控制力矩在10 N·m附近，更符合实际情形。

图 4 控制力矩范数对比曲线 Fig. 4 Comparative curves of norms of control moment

图选项

进一步，为了定量描述各航天器姿态协同收敛情况，对比说明本文基于SO(3)方法的控制效果，定义：

(68)

式中：q_i=r_i－r₁，r_i=[φ_i??ψ_i??γ_i]^T，φ_i、ψ_i和γ_i分别为航天器的俯仰角、偏航角和滚转角。
根据Q的定义可知，若Q趋于0，则表示多航天器实现了姿态协同。在相同初始条件与ESO参数的情况下，文献[10]采用四元数模型，文献[11]使用罗格里德参数。从图 5可以看出，文献[10]方法和文献[11]方法的Q值收敛到1°的时刻分别为10.87 s和7.26 s，而本文方法为5.88 s，验证了本文方法的有效性和快速性。

图 5 不同方法Q值变化对比曲线 Fig. 5 Comparative curves of Q with different methods

图选项

6 结论 本文针对存在干扰情形下的多航天器系统，对其协同控制问题进行了研究。
1) SO(3)能够从整体的角度对姿态进行描述，结合有向通信拓扑建立了多航天器SO(3)控制模型，并以此提出了相应的控制策略。基于SO(3)方法的协同控制是可行的。
2) 模型不确定性和外部干扰可以等效为系统的总干扰。在此情形下，设计了适用于SO(3)模型的线性时变增益ESO，所提出的时变增益ESO能够完成对干扰的有效估计。相比常值增益ESO，时变增益ESO可以削弱峰化现象，降低了对控制力矩大小的需求。
3) 设计了SO(3)形式的协同指令，结合ESO可以对干扰进行观测并在控制器中补偿，保证干扰情形下多航天器的协同控制效果。本文给出了稳定性证明过程。
4) 仿真算例结果表明，多航天器系统能够实现稳定协同，验证了本文方法的有效性和快速性。

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