分散控制一直是控制领域中的一个重要研究方向, 在其兴起早期, ****们主要关注线性定常系统分散控制[4]; 此后一些****开始关注含时滞或不确定性的线性系统分散控制[5-8]。对于控制系统的状态不可测情况, ****提出了基于观测器的不确定时滞大系统分散控制器[9-11]; 针对非线性系统控制问题, 科研人员提出了基于T-S模糊模型、神经网络、广义滑膜控制以及不确定参数上界的非线性分数控制方法[12-17]。
在上述文献所公布的研究中, 主要采用2种策略处理分散控制问题。第1种策略为“补偿策略”。这种策略将每个子系统分为标称子系统部分和满足“匹配条件”的耦合项、不确定项部分; 针对2部分分别设计控制器。控制器的第1部分用来稳定标称子系统, 第2部分用来抑制(或者补偿)耦合项和不确定项[8, 16-17]。第2种策略为“控制器参数求解策略”。这种策略中预先规定控制器的结构形式, 然后构造带未知参数的闭环控制系统, 基于Lyapunov稳定性理论推导闭环系统的稳定性条件。此条件通常是以线性矩阵不等式(LMI)的形式给出, 通过求解LMI可得到控制器参数[4, 12]。第1种策略允许设计者调整参数从而获得满意的动态性能, 然而对于不满足“匹配条件”的被控系统这种策略不再适用。第2种策略避免了“匹配条件”的限制, 但参数调整不够灵活。
为了免疫第1种策略“匹配条件”限制的同时, 增强第2种策略的参数调整的灵活性。本文引入动态响应指数收敛参数, 用来调整跟踪误差收敛速率。
此外由于航空发动机工作范围宽广, 其动态特性随着飞行条件、功率水平呈现大范围非线性变化特征。针对某一飞行条件某一功率水平下设计的控制器往往不能满足航空发动机全包线大范围跟踪控制要求。针对航空发动机全包线控制问题, 许多国内外****广泛开展了研究。Lin和Lee[18]针对J-85发动机全包线全功率水平下的50个设计点用Edmund方法设计控制器, 采用2种增益调度方法(扩展卡尔曼滤波和神经网络)得到非设计点控制器参数。李嘉等[19]提出了一种改进的Edmund方法设计单点控制器, 采用直接插值的方法完成增益调度。隋岩峰等[20]建立涡扇发动机多胞线性变参数(LPV)模型, 利用LMI方法, 对多胞的各顶点设计具有单一Lyapunov函数满足H∞性能且极点在给定区域的输出反馈控制器, 综合顶点控制器得到具有同样多胞结构的全局连续变增益控制器。姚华等[21]采用神经网络进行航空发动机全包线PID控制器参数整定。王海泉等[22]基于二自由度H∞鲁棒控制方法, 结合从粗到精、反复迭代的飞行包线划分方法完成航空发动机双变量全包线控制。吴斌和黄金泉[23-25]针对航空发动机变增益LPV控制方法开展研究, 先后提出结合多包型鲁棒变增益控制综合技术和基于系统广义距离的调度策略的航空发动机全包线控制方法、基于多项式平方和(Sum of Squares, SOS)的增益调度控制设计方法和基于切换LPV的发动机全包线中间状态控制方法。
上述航空发动机全包线控制方法中无论是基于插值的方法、离线神经网络映射方法, 还是LPV方法, 都是针对航空发动机在稳态点附近做小阶跃时设计跟踪控制器。针对大范围跟踪控制的仿真验证(如文献[24])中所采用的控制方法并不是针对大范围跟踪问题而研究的。本文在设计单点控制器时, 考虑各种不同的阶跃量进行控制器设计。具体方法为:在飞行包线内取53个点, 以油门杆角度(PLA)表征功率水平。在PLA为25°~65°之间每隔5°选取一个PLA作为一个设计功率水平, 将发动机从一个设计功率水平过渡到另一个设计功率水平的过程称为一个设计阶跃过程, 针对每个设计阶跃过程采用递进法设计一个分散鲁棒跟踪控制器。之后采用插值的方法求取非设计阶跃下的控制器参数。利用本文方法实现航空发动机PLA大范围变化时转速和压比的控制。
1 问题描述 1.1 相关定义及引理 考虑如下定常系统:
 | (1) |
式中:t∈R+表示时间; x∈Rn表示系统(1)的状态; u(t)∈Rm表示系统(1)的控制输入; x0为系统的初始条件; x(·):[t0, t1]→Rn表示系统(1)的解。
定义1??若存在2个标量μ≥1, α>0使得
 | (2) |
则系统(1)的解指数收敛。
引理1??对于定常系统(1), 若存在函数V(x)使得
 | (3) |
 | (4) |
式中:γ1、γ2和δ均为正数。则系统(1)的解指数收敛且有
 | (5) |
证明??对式(4)左右两边同时乘以e2δθ可得
 | (6) |
式中:θ为待积分变量。对式(6)从0到t积分有
 | (7) |
式(7)等价于
 | (8) |
由式(3)和式(8)可得
 | (9) |
证毕
由引理1可以获得系统(1)状态变量的指数收敛形式。参数δ表征了状态变量收敛的快慢。
引理2[26]?? Schur补:对给定的对称矩阵S=
 |
引理3[27]??给定具有适当维数的矩阵Q=QT、H和E, 则
 |
对所有满足FT(t)F(t)≤I的F(t)都成立的充要条件是存在一正数ε>0使得Q+εHHT+ε-1ETE < 0成立。
1.2 不确定性大系统 考虑不确定性大系统:
 | (10) |
式中:xi(t)∈Rni和xj(t)∈Rnj分别为第i和第j个子系统的状态量; uj(t)∈Rmj为第j个子系统的控制输入量; yi(t)∈Rri为第i个子系统的被控输出量; Aij=Aij+ΔAij, Aij∈Rni×nj为标称系统矩阵, ΔAij∈Rni×nj为系统矩阵的不确定项; Bij=Bij+ΔBij, Bij∈Rni×mj为标称输入矩阵, ΔBij∈Rni×mj为系统矩阵的不确定项; Cij=Cij+ΔCij, Cij∈Rri×nj为标称输出矩阵, ΔCij∈Rri×nj为输出矩阵的不确定项; Dij=Dij+ΔDij, Dij∈Rri×mj为标称直接传递矩阵, ΔDij∈Rri×mj为直接传递矩阵的不确定项。
在给出控制器之前, 先对被控系统参数做如下假设。
假设1??系统(10)中的不确定项满足匹配条件:
 | (11) |
 | (12) |
 | (13) |
 | (14) |
 | (15) |
式中:J、Eij1、Eij2、Eij3和Eij4为适维矩阵。
2 分散鲁棒跟踪控制器设计 定义第i个子系统的跟踪误差为
 | (16) |
式中:si和yi分别为第i个子系统的常值参考输入和输出。
令
 | (17) |
 | (18) |
则可将系统(10)化成
 | (19) |
这里ni*=ni+ri, nj*=nj+rj, mj*=mj, mi*=mi,
系统(19)中的不确定项参数满足匹配条件:
 | (20) |
 | (21) |
 | (22) |
这里
定理1??对于给定的正数δi, i=1, 2, …, N, 若存在正定对称矩阵Li∈Rni*×ni*, 矩阵Si∈Rmi*×ni*, i=1, 2, …, N, 正数ε, 使得式(23)和式(24)矩阵不等式组成立:
 | (23) |
 | (24) |
式中:
 |
则在分散控制器式(25)和式(26)的作用下:
 | (25) |
 | (26) |
系统(10)的跟踪误差指数收敛且有
 | (27) |
式中:
证明??将控制器(25)代入系统(19)中, 得到闭环系统为
 | (28) |
选取Lyapunov函数:
 | (29) |
则Lyapunov函数沿着闭环系统(28)的解对时间求导得
 | (30) |
式中:
 |
故
 | (31) |
式中:Λ=diag{2δ1P1, 2δ2P2, …, 2δNPN}。
当
 | (32) |
成立时, 有
 | (33) |
即式(4)成立, 从而由引理1可知闭环系统(28)的解指数收敛。
将不等式(32)两边同时乘diag{P1-1, P2-1, …, PN-1}, 令Li=Pi-1, Si=KiPi-1, 再结合引理2和引理3, 可将不等式(32)化成LMI式(23)的形式, 即不等式(23)与(32)等价, 不等式(24)是Lyapunov函数正定的充要条件。综上所述, 当给定正数δi, i=1, 2, …, N, LMI式(23), 式(24)有解Li、Si和ε时, 在分散控制器式(25)和式(26)的作用下, 系统(19)的解指数收敛且有
 | (34) |
式中:
 |
从而
 | (35) |
证毕
由于定理1中求得分散控制器(25)是控制量的导数, 不能直接作用于被控系统(10), 将控制器增益分解为Ki=[Kix Kie], 得到
 | (36) |
将式(36)化成离散增量形式, 有
 | (37) |
式中:T为采样周期; k为仿真步数。
3 发动机分散鲁棒跟踪控制器设计 3.1 基于递进法的控制器增益整定 航空发动机工作范围宽广, 其动态特性随着飞行条件和工作状态的变化而不断改变。飞行包线内某一飞行条件下某一功率水平附近, 小区域线化模型设计的单点控制器不可能满足发动机全包线全功率水平下的控制要求。解决这一问题的有效途径是将飞行包线划分成若干个子区域, 并将功率水平从慢车状态到最大状态划分成若干小段, 将这些分隔点作为设计点, 针对这些设计点分别设计控制器, 并采用插值或拟合的方法求取非设计点处的控制器。这种增益调度方法在工程上能够取得较好的控制效果, 但常规的增益调度控制只适用于稳态控制或小阶跃跟踪控制, 对于大范围跟踪控制的控制效果不佳, 其本质原因在于常规的增益调度控制中设计点控制器均是小偏差控制器。
本文拟解决航空发动机在飞行包线内任意飞行条件下从任意起始工作状态快速平稳无稳态误差地过渡到另一工作状态这一控制问题。为实现上述控制目标, 在飞行包线内取若干个设计点, 以PLA表征功率水平, 每隔5°选取一个PLA作为一个设计功率水平, 针对从一个设计功率水平过渡到另一个设计功率水平的设计阶跃过程, 采用递进法设计分散鲁棒跟踪控制器, 使得每个设计阶跃过程满足动态、稳态要求。对于非设计阶跃过程, 采用插值的方法求取控制器参数。
为实现上述增益调度控制, 需解决一个关键问题—航空发动机“大偏离”建模问题, 即如何建立发动机的特性和参数在大范围内变化时发动机的动态模型。发动机的特性和参数在大范围内变化时, 发动机的动态特性不再能用线性关系式近似描述, 而必须用非线性关系式描述。而非线性模型不仅难以建立而且难以设计控制器。故本文并不建立发动机“大偏离”模型, 而是采用递进法来解决这一问题。递进法的具体步骤如下:
步骤1??采用第2节中提出的方法设计发动机在某设计飞行条件下某设计阶跃过程的分散鲁棒跟踪控制器。
步骤2??根据控制器各参数对被控量动态性能的影响规律调整控制器参数使得在不降低系统动态性能的同时控制器增益尽量小(小控制器增益带来的好处将在后文第4节详细说明)。
步骤3??将步骤2中得到的控制器作用于其相邻的设计阶跃过程, 观察系统的响应曲线, 根据各参数对被控量动态性能的影响规律调整控制器参数使得此时的被控系统具有与已设计好的阶跃过程相近的动态性能。
步骤4??之后的每个设计阶跃过程的控制器参数都是从其最相邻的已经设计好的设计阶跃过程的控制器出发通过参数调整而得到。
步骤5 ??将所有的设计阶跃过程的控制器参数按一定规律存储于一张二维插值表中。
上述递进法能够有效实施的根本原因在于航空发动机在相邻的阶跃跟踪控制过程中动态特性相差并不是很大且分散跟踪控制器本身具有一定的鲁棒性。此外, 递进法的核心思想是控制器参数调整, 控制器参数调整的基础是有一个使得控制系统稳定的初始控制器参数, 其具体操作是从这组初始控制器参数出发, 调整控制器参数, 使得控制系统具有更好的动态、稳态性能或使得控制器参数绝对值更小从而减小噪声存在时控制量的抖震(这点在第4节仿真实例部分将作详细说明)。
3.2 控制器增益调度策略 本文以某型涡扇发动机为研究对象, 以其部件级模型为仿真对象。研究其在全包线从慢车到中间状态范围内大范围跟踪控制问题。选择主燃油流量Wf和尾喷口喉道面积A8作为控制输入量, 选择高压转子转速nH和发动机压比EPR作为被控输出量, 选择高压转子转速nH和低压转子转速nL作为状态量。采用小扰动法加拟合法可建立某型涡扇发动机在某飞行条件下某功率水平附近小偏差线性化模型:
 | (38) |
式中:x1=nH, x2=nL, u1=Wf, u2=A8, y1=nH, y2=EPR。
在飞行包线内选取N个点作为设计点, 油门杆从所研究的最小位置PLAmin到最大位置PLAmax之间每隔ΔPLA选取一个PLA作为设计PLA, 一共选取M个设计PLA, 其中
插值表做成之后可根据插值表插值得到飞行包线内任意一点处PLA从PLAmin到PLAmax中的任意初始位置PLAs推到PLAmin到PLAmax中的任意目标位置PLAe时分散鲁棒跟踪控制器参数。具体插值步骤为:①设计点插值, 其中设计点插值又包括高度插值和马赫数插值, 高度插值和马赫数插值都是两设计点之间线性组合, 每个设计点的控制器参数为一个M(M-1)×4的矩阵, 设计点插值最终得到一个新的M(M-1)×4的矩阵; ②初始油门杆角度PLAs插值, 每个初始PLA对应的控制器参数是一个(M-1)×4的矩阵, 初始PLA插值得到的是一个新的(M-1)×4的矩阵; ③目标油门杆角度PLAe插值, 每个目标油门杆角度对应的是一个1×4的数组, 目标油门杆角度插值后得到最终非设计阶跃的4个控制器参数。综上所述, 本文提出的航空发动机大范围分散跟踪控制器K的取值与H、Ma、PLAs和PLAe有关, 即K=f(H, Ma, PLAs, PLAe)。
本文中调度参量是PLA, 而被控变量是高压转子转速nH和发动机压比EPR。通过调节计划确定每个PLA所对应的nH和EPR。调节计划也是以插值表的形式给出。
航空发动机全包线增益调度控制系统框图如图 1所示。由PLAe、H和Ma插值得到当前参考输入r, 由H、Ma、PLAs和PLAe插值得到当前控制器增益K, 控制量u与跟踪误差e以及发动机状态x有关。
 |
| 图 1 航空发动机全包线增益调度控制系统 Fig. 1 Aircraft engine full envelope gain scheduling control system |
| 图选项 |
4 仿真结果及分析 第3节采用小扰动法加拟合法可建立某型涡扇发动机在高度H=0, 马赫数Ma=0, 油门杆角度PLA=65°附近小偏差线性化模型式(38)。
选取δ1=0.4, δ2=0.8, d=0.13, 求解LMI式(23)和式(24)可得:
 | (39) |
式中:nHr为高压转子转速指令; EPRr为发动机压比指令。
在高度H=0, 马赫数Ma=0处, PLA从65°拉到60°时, 在控制器式(39)的作用下, 发动机的被控输出响应曲线如图 2(a)所示, 控制输入曲线如图 2(b)所示。
 |
| 图 2 在H=0, Ma=0处, 当PLA从65°拉到60°时, 在控制器式(39)作用下系统仿真结果 Fig. 2 Simulation results under controller Eq.(39) at H=0 and Ma=0 when PLA being pulled from 65° to 60° |
| 图选项 |
经过控制参数调整之后, 控制器参数为K1=[-1 15], K2=[0.2 -0.3]。参数调整之后的控制器为
 | (40) |
同样在高度H=0, 马赫数Ma=0处, PLA从65°拉到60°时, 在控制器式(40)的作用下, 发动机的被控输出响应曲线如图 3(a)所示, 控制输入曲线如图 3(b)所示。
 |
| 图 3 在H=0, Ma=0处, 当PLA从65°拉到60°时, 在控制器式(40)作用下系统仿真结果 Fig. 3 Simulation results under controller Eq.(40) at H =0and Ma=0 when PLA being pulled from 65° to 60° |
| 图选项 |
观察图 2可知, 在控制器式(39)的作用下, 被控输出nH和EPR均在2 s左右无稳态误差的跟上指令输出。观察图 3可知, 在控制器式(40)的作用下, 被控输出nH和EPR也均在2 s左右无稳态误差的跟上指令输出。而对比控制器式(39)和控制器式(40)的控制器增益, 明显后者控制器增益较前者更小, 而控制效果相同。而采用更小的控制器增益将会减小噪声存在时控制量的抖震。为说明这个问题, 引入测量噪声, 再次分别进行控制器式(39)作用下和控制器式(40)作用下的数字仿真。两者输出响应对比如图 4(a)所示, 控制输入量对比如图 4(b)所示。其中下标1的表示控制器式(39), 下标2的表示控制器式(40);测量噪声选均值为0, 标准差为0.0015的随机数序列。由图 4可知, 当控制器增益较小时, 系统对测量噪声有更好的抑制效果, 且控制输入量的抖振较小, 工程上更易实现。由图 4(b)可知当控制器增益较小时, 测量噪声存在时控制输入量抖振较小, 使得工程上更易实现。
 |
| 图 4 存在测量噪声时控制器式(39)与控制器式(40)作用下系统仿真结果对比 Fig. 4 Comparison of simulation results between controller Eq.(39) and controller Eq.(40) when measurement noise exists |
| 图选项 |
本文取N=53, PLAmin=25°, PLAmax=65°, 从而可得M=9。调节计划插值表中为保证插值结果尽可能准确, PLA的间隔选为1°, 即PLA在25°~65°之间每隔1°计算一个对应的nH和EPR。53个设计点在飞行包线内的位置分布如图 5所示。采用第3节中递进法逐步得53×72个设计阶跃控制器参数, 列于72×212的插值表中。采用第3节中介绍的插值的方法得到非设计阶跃控制器参数。在飞行包线内选取3个点针对航空发动机部件级模型进行大范围阶跃跟踪控制仿真, 这3个点分别位于①(H=1 km, Ma=0.1), ②(H=15 km, Ma=1), ③(H=9 km, Ma=1.6), 仿真过程中PLA随时间的变化关系如图 6所示。在所有仿真点均加入了均值为0, 标准差为0.001 5的随机测量噪声。发动机在①号点处被控输出响应曲线如图 7(a)所示, 发动机在②号点处被控输出响应曲线如图 7(b)所示, 发动机③号点处被控输出响应曲线如图 7(c)所示。观察图 7可知本文设计的分散鲁棒跟踪控制器及增益调度方法在飞行包线内非设计点非设计阶跃下也能取得令人满意的控制效果。
 |
| 图 5 飞行包线设计点位置分布图 Fig. 5 Design point position distribution in flight envelope |
| 图选项 |
 |
| 图 6 仿真过程中PLA随时间变化关系 Fig. 6 Variation of PLA with time in simulation process |
| 图选项 |
 |
| 图 7 发动机在不同工作点处大范围阶跃跟踪控制仿真结果 Fig. 7 Simulation results in wide-range step tracking control at different operating points of engine |
| 图选项 |
5 结论 以某型双转子、小涵道比涡扇发动机为对象, 进行了基于多变量分散跟踪控制的全包线大范围增益调度控制器设计与应用研究。主要结论如下:
1) 设计了具有动态响应可调的单点分散鲁棒跟踪控制器, 并在此基础上采用参数调整法减小控制器增益从而抑制噪声存在时控制变量的抖动, 同时逐步推进得到相邻设计点分散鲁棒跟踪控制器参数。
2) 在飞行包线内取了53个设计点, 每个设计点设计了72种设计阶跃, 采用递进法得到所有设计点下所有设计阶跃的控制器参数, 并列于插值表中, 利用设计好的插值表得到航空发动机在任意飞行条件下从任意工作状态阶跃到另一工作状态时控制器参数。
3) 基于某型双转子、小涵道比涡扇发动机部件级模型, 进行PLA大范围变化时转速和压比控制仿真。通过设计点和随机选取的非设计点仿真结果表明:所设计的基于多变量分散跟踪控制的全包线大范围增益调度控制器能够保证航空发动机在飞行包线内任意飞行条件下从任意起始工作状态都能快速平稳无稳态误差地过渡到另一工作状态。
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