无人水面艇(Unmanned Surface Vehicle，USV)作为一种小型水面智能任务平台，具有体积小、成本低、高速智能、雷达反射面积小、无人员伤亡等优势，在军用和民用领域具有广泛的应用前景^[1]。同时，USV还是整合低空无人机和水下机器人跨网络的关键节点，备受世界各国科研人员的关注^[2]。路径跟踪是USV完成各项使命任务的关键技术之一，定义为USV在控制系统的驱动下，不考虑时间约束，从任意初始位置出发，驶入预先设定的期望航线，并沿此航线最终到达指定位置^[3]。不具有侧向推进器或侧向推进器在高速航行时失效的USV是一类典型的欠驱动系统，由于控制输入个数少于其所需控制的自由度个数，故该类系统存在不可积的加速度约束^[3]。目前国内外对于欠驱动USV路径跟踪控制已有较多的研究成果。
Caharija等设计了基于坐标变换的全局k-指数直线路径跟踪控制器和海流观测器，但并未考虑更为一般的曲线路径跟踪控制问题^[4]。田勇等基于视线导引策略和抗饱和PID控制算法设计了直线航迹跟踪控制器，并进行湖上试验验证，但并未考虑外界扰动的影响^[5]。Fossen和Lekkas考虑海流等外界干扰对USV运动学模型的扰动, 进行了路径跟踪控制研究，但并未考虑USV模型的非对称特性^[6]。B?rhaug等提出了用于补偿外界环境干扰的积分视线(Integral Line-of-Sight，ILOS)导引策略，并给出系统的稳定性证明^[7]。文献[8]设计了基于相对速度模型的路径跟踪ILOS导引策略，并证明了控制系统是全局k-指数稳定(Global k-Exponential Stable, GKES)的，但只实现直线路径跟踪。
本文在研究国内外现有成果的基础上，提出了2种改进ILOS导引策略，之后综合考虑USV的欠驱动性和不对称性以及外界扰动的影响，基于改进ILOS导引策略和反馈控制思想实现了USV水平面内的直线和曲线路径跟踪控制，并利用级联系统理论证明了当所有控制目标实现时，控制系统为全局k-指数稳定的。仿真对比实验表明了算法的有效性和先进性。
1 USV运动数学模型及问题描述 1.1 USV运动建模 欠驱动USV的水平面三自由运动学和动力学模型^[3]如下：

(1)

式中:η=[x, y, ψ]^T为大地坐标系i下USV在水平面的位置(x, y)和航向角ψ；J(ψ)为旋转矩阵；v=[u, v, r]^T为USV的纵向、横向线速度(u、v)及航向角速度(r)；f=[T_u, T_r]^T为控制输入矩阵，T_u和T_r分别为前进推力和转艏力矩；B为控制输入配置矩阵；M为惯性参数矩阵；C(v)=C_RB(v)+C_A(v), C_RB(v)和C_A(v)分别为刚体自身和附加的科氏力和向心力矩阵; D(v)为阻尼参数矩阵。各矩阵定义如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

上述USV模型中没有考虑作用在艇体上的外界干扰，因此以上模型中的速度均为绝对运动速度。考虑存在海流等外界干扰的情况，若满足以下2个条件：
条件1??在大地坐标系i中，海流速度V_c=[V_x, V_y, 0]^T为常值无旋，合速度，存在常值V_max＞0，使V_max≥U_c，且，其中V_c=‖V_c‖。
条件2??C_RB(v)与速度u、v无关，即C_RB(v)=C_RB(v_r), 其中v_r为相对运动速度。
此时可通过在USV运动数学模型中加入海流速度V_c=[V_x, V_y, 0]^T的方式，直接用相对运动速度v_r=[u_r, v_r, r]^T替代式(1)中的绝对运动速度v=[u, v, r]^T，模型如下：

(7)

模型式(7)不仅可避免同时使用绝对前进速度u和相对前进速度u_r给控制器设计带来的复杂公式推导，而且由于T_u作用于船体产生的速度为u_r，而不是u，因此可通过控制总能量消耗直接控制USV的相对前进速度u_r。
1.2 USV模型坐标变换 为便于2.3节欠驱动USV航向、航速控制律的设计，本文将船体坐标系的原点变换到船体枢心位置处，去除偏航力矩对横向运动的直接影响^[9]。
定义：

(8)

式中：ε=-(m₃₃b₂₂-m₂₃b₃₂)/(m₂₂b₃₂-m₂₃b₂₂)。坐标变换后，式(7)可写为

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

其中：

(15)

(16)

(17)

(18)

由式(13)可以看出，经过坐标变换，表达式中没有直接驱动力，因此本文中的USV具有欠驱动性。
1.3 问题描述 考虑计划航线为由一系列航路点(x_p(θ), y_p(θ))相连组成期望路径P(θ)，其中θ为大于0的路径参数变量，且对于非闭合曲线路径θ满足，，，为USV在大地坐标系i中的绝对运动合速度；γ_p(θ)为参数路径上任一点(x_p(θ), y_p(θ))处的切线方向与固定坐标系i纵轴y_i之间的夹角，顺时针为正，表达式如下：

(19)

为便于USV路径跟踪误差的描述，基于Serret-Frenet坐标系来描述路径跟踪误差，如图 1所示。该坐标系以期望路径P(θ)上的自由点为原点，横轴X_P沿P(θ)的切线方向，纵轴Y_P沿P(θ)的法线方向并指向右侧；x_e(t)为USV的纵向位置误差；P_los(t)为视线导引矢量，t为时间；v为坐标变换后USV的横向速度；Δ=nL为USV的前视距离，n=2~5, L为船长。

图 1 基于前视距离的ILOS导引策略原理图 Fig. 1 Schematic diagram of ILOS guidance strategy based on lookahead distance

图选项

在大地坐标系i中，USV当前位置为P(t)=[x, y]^T，由图 1得横向位置误差

(20)

对y_e(t)微分得

(21)

由式(19)可得

(22)

由图 1所示的几何关系可知：

(23)

将式(7)、式(22)及式(23)代入式(21)中得

(24)

式中：β=arctan(u, v)为USV转向时造成的横向速度与外界干扰环境海流等共同作用产生的漂角，这将导致USV的航迹角χ与航向角ψ不相等，且χ=ψ+β。在船舶路径跟踪应用中，χ一般可通过导航系统测量得到，那么可将漂角对路径跟踪的影响直接映射到航迹角中，设计相应的航迹控制器去进行路径跟踪。考虑到实际USV路径跟踪应用中，未安装导航系统或导航系统失灵情况下，仍可根据USV上安装的电子罗盘量测到的航向以完成路径跟踪任务，此时应考虑设计航向控制器，故控制器设计过程中对漂角的处理方式就显得尤为重要。一般USV航行时都满足条件3。
条件3??漂角β很小(一般小于5°)且为常值。即存在β_max＞0，使得|β|≤β_max，且。
那么，式(24)可改写为

(25)

2 路径跟踪 本文设计的路径跟踪控制系统采用ILOS导引子系统与航向控制子系统级联的方式。导引子系统根据USV的位置、姿态信息和计划航线的信息，求解出期望的USV航向，而航向控制子系统则根据导引子系统给定的期望信号和当前USV的运动信息计算出期望的舵机操纵信号，以此使得USV路径跟踪的位置和航向都收敛到平衡位置，同时航速控制子系统实现USV对期望速度的跟踪。
因此本文的3自由度欠驱动USV路径跟踪控制目标为

(26)

(27)

(28)

式中：ψ_d为导引子系统给出的航向参考信号，即期望航向角；u_d为期望的相对前进速度。
2.1 传统ILOS导引策略 ILOS导引策略是一种经典有效的导航算法，文献[3]中定义了船舶运动控制领域中视线导引的概念：ILOS矢量是船舶当前位置在计划航线投影点的切线上一点与船舶当前位置的连线。通过控制船舶合速度的方向始终对准ILOS矢量，引导船舶逼近计划航线。ILOS导引原理独立于动力学控制，不依赖于任何模型，对高频白噪声敏感度低，且需要设计的参数少，期望航向的获取只与船舶的实时位置和给定的期望航线有关，能够实时高效地计算期望航向并传递给控制层。ILOS导引策略可分为基于包围圈和前视距离2种，本文采用基于前视距离的ILOS导引策略来完成路径跟踪目标，传统ILOS导引策略^[7]定义如下：

(29)

(30)

式中: y_int为虚拟控制输入，是一个积分环节。
2.2 改进ILOS导引策略 本节基于自适应观测技术，设计自适应观测器来估计漂角β，再选择恰当的虚拟控制输入对漂角进行补偿，最终实现对路径的精确跟踪。基于以上思想，本文提出2种改进ILOS导引策略。
第1种改进ILOS导引策略设计如下：

(31)

(32)

(33)

式中：k_p=1/Δ、k_i和ρ为要设计的严格大于零的常值参数。
记为自适应观测器对漂角β的估计值，且估计误差为，取，则式(32)即为自适应扰动观测器。
由式(31)~式(33)可以看出，当USV距离计划航线较远时，首要任务是快速减小y_e(t)，此时积分增益，积分项y_int=0不起作用；当USV在计划航线附近时，积分增益，此时积分项y_int起到估计和补偿扰动漂角的作用，以使USV精确地跟踪计划航线。该改进ILOS导引策略可有效减小定积分增益选择不当带来的积分饱和及超调等不利影响。
第2种改进ILOS导引策略在前者的基础上将常值增益k_p用位置误差函数来替代：

(34)

式中：λ为严格大于零的常值参数；Δ_max和Δ_min分别为前视距离Δ的最大值和最小值。设计如下：

(35)

(36)

(37)

(38)

时变的Δ可使得船舶操纵更加灵活^[3]。由式(37)和式(38)可知，当USV距离计划航线很远时，，此时前视距离Δ=Δ_min，较小的前视距离会使得USV快速逼近计划航线，且y_e(t)较大时积分，增益，积分项y_int=0不起作用；当USV在计划航线附近时，此时前视距离Δ=Δ_max，大的前视距离Δ可有效减小位置误差的超调，且y_e(t)很小时，，此时积分项y_int起到估计和补偿扰动漂角的作用，以使USV精确的跟踪计划航线。
下面给出以上导引子系统的稳定性证明。
证明??定义为USV航向角误差，式(25)可改写为

(39)

又因为

(40)

(41)

将式(40)和式(41)代入式(39)中，可得

(42)

式中：

(43)

(44)

显然，，，，。因此，函数、满足：

(45)

当航向控制器精确跟踪期望航向角ψ_d，可选择虚拟控制输入且满足1.3节条件3时，式(42)可改写为

(46)

整理得

(47)

设计李雅普诺夫函数V₁，定义如下：

(48)

式中：y_e(t)≠0，且k＞0。
对其微分得

(49)

因为，将式(32)或式(36)代入式(49)中，得

(50)

故导引子系统在平衡点y_e(t)=0处是一致全局渐近稳定的(Uniform Global Asymptotic Stability，UGAS)。
此外，存在μ＞0，使得y_e(t)满足D={y_e(t)∈R‖y_e(t)≤μ}时，满足：

(51)

式中：。故导引子系统在平衡点y_e(t)=0处是一致局部指数稳定(Uniform Local Exponential Stability，ULES)的。UGAS与ULES一起等价于GKES，其稳定性概念强于UGAS，而稍弱于全局指数稳定(Global Exponential Stable，GES)^[10]。
证毕
2.3 航向、航速控制子系统设计 本节采用反馈线性化比例微分控制和比例控制分别设计航向、航速控制器，实现对导引子系统给出的参考信号ψ_d和期望速度的跟踪^[11]。控制律设计如下：

(52)

(53)

式中：u_rd为坐标变换后USV的参考相对期望速度；k₁、k₂、k_ur为严格大于零的常值增益，参考信号ψ_d和由导引子系统给出。下面给出航向、航速控制子系统的稳定性证明。
证明??定义速度误差为：，，根据式(12)~式(14)和航向、航速控制律式(52)、式(53)得到误差系统u和h的动态特性：

(54)

(55)

系统式(54)和式(55)为线性时不变的，此外k₁、k₂、k_ur和均为正值，故和为霍尔维茨矩阵，即2个系统所有特征根的实部均为负值^{[4, 12]}。因此, 系统式(54)和式(55)的平衡状态和均为全局指数稳定。
证毕
3 系统稳定性证明 导引子系统与航向控制子系统一起构成级联系统，完成对期望航线的跟踪。航向控制子系统通过航向跟踪误差影响导引子系统，而导引子系统则通过参考信号ψ_d和出现在参考信号r_d中的y_e(t)扰动航向控制子系统。需要注意的是，第2种改进ILOS导引策略中前视距离是时变的，在以下的级联系统稳定性证明过程中，首先假定时变量Δ、k为大于0的常数，之后讨论时变量Δ对级联系统稳定性的影响。证明过程如下：
证明??将位置误差动态与航向跟踪误差动态写成如下级联形式：

(56)

(57)

式中：

由2.2节可知，取虚拟控制输入，则系统式(56)、式(57)和观测误差动态可改写成如下级联系统的形式：

(58)

(59)

式中：，，z₂=h；k＞0为积分增益。矢量矩阵和F(t, z)的具体表达式如下：

(60)

(61)

证毕
下面给出级联系统式(60)和式(61)的稳定性及证明过程。
定理1??系统F(t, z)在平衡点(y_e(t), h)处是全局k-指数稳定的。
证明??由式(58)可知，当时，系统式(58)的标称形式如下：

(62)

(63)

式中：

(64)

(65)

由本节可知子系统式(63)在平衡点=(0, 0)处是全局指数稳定的。系统式(62)的标称系统为，设计李雅普诺夫函数，对其微分可得

(66)

由于U＞0，，故控制系统在平衡点y_e(t)=0处是一致全局渐进稳定的。此外，存在μ＞0，使得y_e(t)满足D={y_e(t)∈R‖y_e(t)|≤μ}时，满足：

(67)

式中：。故控制系统在平衡点y_e(t)=0处是一致指数稳定的，UGAS与ULES一起等价于GKES。
由式(45)可知函数?₁(y_e(t), )、?₂(y_e(t), )有界，故关联项g(t, y_e(t), h)满足：

(68)

式中：β_{0 max}为漂角的最大值。
由式(68)知|g(t, y_e(t), h)|不恒为零，因此级联系统式(62)、式(63)是全局k-指数稳定的，即系统式(58)的标称系统F(t, z)是全局k-指数稳定的。
证毕
定理2??级联系统式(58)、式(59)是全局k-指数稳定的。
证明??首先证明式(59)是全局k-指数稳定的，取李雅普诺夫函数：

(69)

对其微分得

(70)

由定理1可知式(59)是全局k-指数稳定的，又由于|G(t, z, )|≥0不恒为零，故级联系统式(58)、式(59)在平衡点(z, )=(0, 0)处是全局k-指数稳定的。
证毕
最后，讨论时变参数k_p和积分增益k对导引子系统稳定性的影响：根据式(36)可知，较大的前视距离Δ和积分增益k会限制导引系统的指数稳定域。在第1种改进导引策略中，只有参数k影响系统的指数稳定域，而在第2种改进ILOS导引策略中，参数Δ和k一起限制了系统的指数稳定域^[13-14]。
4 仿真实验 为验证本文提出的改进ILOS导引策略的有效性和优越性，以文献[15]中的模型为例，在MATLAB/Simulink中进行路径跟踪对比仿真实验。USV模型具体参数如表 1所示。
表 1 USV模型参数 Table 1 Model parameters of USV

参数	数值
m11	25.8
m22	33.8
m23	-11.748
m32	-11.748
m33	6.813
b11	1
b22	0
b32	1
d11	2.0
d22	7.0
d23	-2.542 5
d32	-2.542 5
d33	1.422

表选项






通常情况下USV的期望航线分为直线和曲线2种，故将本文提出的2种改进ILOS导引新策略下和传统ILOS导引策略下的路径跟踪控制算法在直线和曲线2种工况下进行仿真实验对比。2种工况下航向、航速控制子系统的参数选择为：k₁=5，k₂=3，k_ur=5；导引子系统参数选择如下：传统的ILOS导引策略中，γ=0.005，Δ=8 m；第1种改进ILOS导引策略中，选择k_i=0.001，ρ=5，Δ=8 m；第2种改进ILOS导引策略中，选择k_i=0.000 9，ρ=5，λ=3，Δ_min=6 m，Δ_max=14 m。
1) 工况1。USV的初始位置为(x₀, y₀)=(50, -100)m，初始航向ψ₀=π/4 rad，初始航速u_r=0.5 m/s；大地坐标系下的海流设置为：U_c=0.2 m/s，ψ_c=30°；期望航线为y=x，期望航速u_d=3 m/s。仿真结果如图 2所示。其中，传统ILOS导引策略下(以下简称为算法1)和2种改进ILOS导引策略下(以下简称为算法2、3)的路径跟踪控制算法的相对纵向速度分别对应变量下标为1、2、3的仿真结果。

图 2 不同导引策略下USV直线路径跟踪、横向误差、相对纵向速度、航向角、转艏力矩及前进推力的变化(工况1) Fig. 2 Straight path following, cross-track error, relative vertical velocity, course angle, steering torque and forward thrust variation of USV under different guidance strategies(working condition 1)

图选项

2) 工况2。USV的初始位置为(x₀, y₀)=(0, -10) m，初始航向ψ₀=π/4 rad，初始航速u_r=0.5 m/s；大地坐标系下的海流设置为：U_c=0.2 m/s，ψ_c=30°；期望航线为由(0, 0) m、(100, 50) m、(200, 100) m、(300, 50) m、(600, 200) m经过3次样条差值生成的连续曲线，期望航速u_d=3 m/s。仿真结果如图 3所示。

图 3 不同导引策略下USV曲线路径跟踪、横向误差、相对纵向速度、航向角、转艏力矩及前进推力的变化(工况2) Fig. 3 Curve path following, cross-track error, relative vertical velocity, course angle, steering torque and forward thrust variation of USV under different guidance strategies(working condition 2)

图选项

分析图 2(a)和图 3(a)可知，在仅有纵向控制力和转艏控制力矩、没有侧向推进器的欠驱动情况下，本文设计的3种控制算法均能够保证欠驱动USV快速地跟踪期望的直线和曲线路径，并沿该路径航行；曲线路径跟踪过程中，在曲率变化较大时，传统ILOS导引策略超调和振荡较大，而第1和第2种改进ILOS导引策略超调和振荡较小，且第2种ILOS改进导引策略最优。
从图 2(b)和图 3(b)可以看出，直线和曲线路径跟踪过程中，3种控制算法均能够保证位置误差y_e最终收敛到0附近；传统ILOS导引策略下，y_e的振荡大、持续时间长，第1和第2种改进ILOS导引策略下，y_e的振荡小、持续时间较短。
分析图 2(c)、(f)和图 3(c)、(f)可以看出，直线和曲线路径跟踪过程中，3种控制算法均能够保证航速控制在u_d=3 m/s附近，稳态误差较小，但算法1较其他2种改进算法作用下的前进推力在初始加速阶段所需推力较大。
从图 2(d)可以看出，直线路径跟踪过程中，3种算法都能很好的跟踪期望航向角，但算法1给出的期望航向角振荡较大，而算法2、3给出的期望航向角相对较为平缓，这也导致图 2(e)中算法1作用下的转艏力矩振荡幅度较大，而算法2、3则作用下的转艏力矩变化相对较为平滑。
从图 3(d)、(e)可以看出，曲线路径跟踪过程中，3种算法都能很好的跟踪期望航向角，且算法3给出的期望航向角最为平滑，同时转艏力矩也最小。
5 结论 1) 本文研究了一类非对称欠驱动USV的路径跟踪问题，综合考虑了USV的欠驱动性、非对称性以及外界干扰如海流等因素，提出了2种改进ILOS导引策略和反馈控制思想的路径跟踪控制算法，实现了USV水平面内的路径跟踪。
2) 基于级联系统和李雅普诺夫理论证明了当所有控制目标实现时，控制系统是全局k-指数稳定的。
3) 通过与传统ILOS导引策略的路径跟踪算法进行仿真实验对比分析可以看出，所提出的2种改进引导策略算法具有更好的路径跟踪效果和动态性能，具有一定的先进性。
下一步将研究风、浪、流等复杂海况下以及模型不确定情况下欠驱动USV的路径跟踪控制问题。

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