现有的柔性微动机构分析方法主要有伪刚体模型法[9-11]和结构矩阵法[12-13]。伪刚体模型法由Howell和Midha[14]最先提出，其基本思想是刚体替换法，将柔性机构等效简化为相应的刚性机构模型，再沿用成熟的刚性体理论对柔性机构的刚度进行分析。该方法计算简单，但伪刚体模型不唯一，刚体柔体之间有较大差别，在复杂力作用下，变形不仅发生在一维方向上，因此计算精度相对较低。结构矩阵法是一种扩展的伪刚体模型法，考虑柔性运动副的变形，对于柔性运动副间的连杆部件作为刚体考虑，利用刚柔单元变形协调方程、力平衡方程、坐标变换到整体坐标系下计算机构刚度。精度比伪刚体模型高，但变形协调难求解，计算量大。
基于以上方法的特点，提出一种求解柔性微动机构新方法——传递矩阵法。将柔性微动机构模块化，各子单元视为柔体，分别求解其传递矩阵，利用相邻子单元结点力与位移的关系将各子单元传递矩阵组合，由力平衡求解整个机构的刚度。该方法避免了变形协调方程及全局坐标系的变换，求解简单，具有递推性，利于编程，且考虑了各子单元的变形，求解结果更精确。以一种柔性杠杆放大机构为例，推导了其刚度的求解过程，并与ANSYS分析结果对比，证明了此方法的精确性。
1 传递矩阵法 1.1 基本原理 选取的任一梁单元，如图 1所示。传递矩阵表示左结点力Fl、位移ul与右结点力Fr、位移ur的矩阵关系。结点力包括轴向力Fx、剪切力Fy、弯矩M，结点位移包括轴向位移ux、横向位移uy以及转角α。定义传递矩阵的传递方向由左向右，如图 1中箭头所示。
 |
| 图 1 梁单元结点力与位移 Fig. 1 Beam element node force and displacement |
| 图选项 |
单元从左 (l) 端到右 (r) 端的关系为
 | (1) |
式中：Fi=[Fxi?Fyi ?Mi]T，i=l, r；ui=[uxi?uyi?αi]T; T为传递矩阵，文献[15]根据力平衡及虚功原理求解了传递矩阵的公式为
 | (2) |
其中：
 | (3) |
L为梁的长度；E为弹性模量; G为剪切模量；u为应力分布不均匀系数，当截面为矩形时取u=1.2；A (x) 为截面剪切面积函数；I (x) 为惯性积函数。
1.2 传递矩阵坐标变换 在单元坐标系下，传递矩阵可根据式 (2) 求得。为了便于建立结点力平衡，需要将各子单元统一到结构坐标系中。如图 2所示，当梁单元绕l端旋转角度β(逆时针为正) 时，单元坐标系Ox′y′下的结点力为Fxi′、Fyi′、Mi′ (i=l, r)；结构坐标系Oxy下的结点力为Fxi、Fyi、Mi(i=l, r)。两者之间的关系如下：
 |
| 图 2 梁单元旋转变换 Fig. 2 Rotation transform of beam element |
| 图选项 |
 | (4) |
 | (5) |
式中：γ为旋转矩阵，其定义为
 |
在单元坐标下传递矩阵关系为
 | (6) |
将式 (4)、式 (5) 代入式 (6) 可得
 | (7) |
式中：
则梁单元在结构坐标系下传递矩阵为
 | (8) |
2 柔性杠杆放大机构刚度求解 2.1 机构描述 柔性杠杆放大机构如图 3所示，该机构根据杠杆原理设计，包括固定平台、驱动器、柔性铰链、弹性移动副、杠杆以及连杆。驱动器1产生驱动位移，经过弹性移动副2、柔性铰链3、连杆4、柔性铰链5传递变形。柔性铰链6相当于杠杆支点，通过杠杆7将位移放大，再通过柔性铰链8、连杆9、柔性铰链10在弹性移动副11上输出位移。支链3、4、5与支链8、9、10结构相同，其作用是使整个机构不产生过约束。
 |
| 图 3 柔性杠杆放大机构示意图 Fig. 3 Schematic diagram of flexible lever magnifying mechanism |
| 图选项 |
动力臂与阻力臂的比值决定了柔性杠杆放大机构的放大倍数，即杠杆7的长度决定其放大倍数。利用伪刚体模型法求解时，将杠杆7视为刚体绕支点的转动，输入输出为线性关系，但杠杆7末端需要克服阻力，因而会产生挠度，过长会导致其刚度变小而发生弯曲，因此合理的构建模型，选取杠杆7的长度使整个机构刚度最小是设计此机构的关键。
2.2 子单元刚度建模 将柔性杠杆放大机构划分单元，从图 4可以看出，共有3种单元，分别为弹性移动副、柔性梁以及柔性铰链。箭头表示传递矩阵的传递方向。图 5为柔性杠杆放大机构参数模型。
 |
| 图 4 柔性杠杆放大机构单元划分 Fig. 4 Element partition of flexible lever magnifying mechanism |
| 图选项 |
 |
| 图 5 柔性杠杆放大机构参数模型 Fig. 5 Parameter model of flexible lever magnifying mechanism |
| 图选项 |
2.2.1 弹性移动副刚度 弹性移动副单元的受力方向及结构尺寸如图 6所示。
 |
| 图 6 弹性移动副 Fig. 6 Flexible prismatic pair |
| 图选项 |
弹性移动副i点力与位移关系为
 | (9) |
式中：Kp为弹性移动副的刚度矩阵[16]，其定义为
 |
其中：b为弹性移动副z轴方向宽度；μ为泊松比。
单元1和单元10为弹性移动副，因此，可以得到
 | (10) |
 | (11) |
式中：Kpa=Kp(t1, l1)，下标a为单元1中结点a；Kpn=Kp(t7, l7)，下标n为单元10中结点n；ua为结点a位移；un为结点n位移。
2.2.2 柔性梁传递矩阵 图 7为柔性梁单元，传递矩阵方向如箭头所示。求解积分式 (3) 即可得到柔性梁单元的传递矩阵Tl。
 |
| 图 7 柔性梁单元 Fig. 7 Flexible beam element |
| 图选项 |
 | (12) |
式中：Tl中的元素
单元3、5、6和8为柔性梁单元，根据图 4中传递矩阵的方向对各个子单元进行坐标变换。
单元3传递矩阵为
T3=λ(90°)T Tl(l2, h1)λ(90°)
单元5传递矩阵为
T5=λ(180°)TTl(l4, h2)λ(180°)
单元6传递矩阵为
T6=λ(180°)TTl(l5, h2)λ(180°)
单元8传递矩阵为
T8=λ(-90°)TTl(l6, h3)λ(-90°)
2.2.3 柔性铰链传递矩阵 柔性铰链单元的传递矩阵方向及结构尺寸如图 8所示。
 |
| 图 8 柔性铰链 Fig. 8 Flexible hinge |
| 图选项 |
柔性铰链右节点j与左结点i传递矩阵关系为
 | (13) |
柔性铰链为变截面梁，需要通过积分求得传递矩阵，坐标系如图 8所示，其可变高度hr函数为
 | (14) |
代入求解积分式 (3) 即可得到柔性铰链单元的传递矩阵Tr。
Tr中的元素
 |
单元2、4、7、9为柔性铰链单元，根据图 4中传递矩阵的方向对各个子单元进行坐标变换。
单元2传递矩阵为
T2=λ(90°)TTr(R1, t2)λ(90°)
单元4传递矩阵为
T4=λ(90°)TTr(R2, t3)λ(90°)
单元7传递矩阵为
T7=λ(-90°)TTr(R4, t5)λ(-90°)
单元9传递矩阵为
T9=λ(-90°)TTr(R5, t6)λ(-90°)
2.3 力平衡建立 支链2、3、4、5受力分析如图 9所示。
 |
| 图 9 子单元2、3、4、5受力分析 Fig. 9 Force analysis of subunit 2, 3, 4, 5 |
| 图选项 |
在各子单元中传递矩阵分别为
 | (15) |
因为b点力与b′点力为作用力与反作用力，位移连续，则Fb=Fb′，ub=ub′。
同理Fc=Fc′，uc=uc′，Fd=Fd′，ud=ud′。
因此
 | (16) |
式中：
同理支链6、7、8、9为
 | (17) |
式中：
将柔性铰链单元11对e点的作用等效为力Fe，e点力平衡得
 | (18) |
e点位移连续得
 | (19) |
因此，
 | (20) |
对于柔性铰链单元11
 | (21) |
式中：kr为柔性铰链一端固定时刚度[17]。
输入点a力平衡得
 | (22) |
式中：Fa为作用在弹性移动副a点的力；Fa′为作用在柔性铰链单元2a′点的力；F=[0 ?Fy? 0]T为作用于弹性移动副的外力。
由式 (10)、式 (11)、式 (16)、式 (17)、式 (20)~式 (22) 联立可以求得
 | (23) |
式中：
 |
刚度矩阵的逆矩阵为其柔度矩阵，因此输出位移un与输入力F关系为
 | (24) |
式中：C为机构的柔度矩阵，定义
 |
由式 (24) 可得到弹性移动副a输入力Fy与末端y向输出位移uyn关系式为
 | (25) |
式中：
3 算例分析 分析比较传递矩阵法与有限元分析之间的误差。运用ANSYS14.0建立柔性杠杆放大机构模型进行刚度研究，选择三维20节点实体单元Solid95，设定柔性杠杆放大机构的材料为60Si2Mn，材料弹性模量E=206 GPa，泊松比μ=0.27，剪切模量G=79 GPa。假设结构参数为：厚度b=10 mm，t1=t7=1 mm，l1=l7=11.5 mm，l2=l6=27 mm，l4=26.5 mm，l5=50.5 mm，h1=16 mm，h2=11 mm，h3=16 mm，Ri=3 mm (i=1, 2, …, 5)，ti=4 mm (i=2, 3, …, 6)。建立柔性杠杆放大机构有限元模型，网格划分如图 10所示。
 |
| 图 10 柔性杠杆放大机构ANSYS网格划分 Fig. 10 ANSYS mesh generation of flexible lever magnifying mechanism |
| 图选项 |
约束固定平台，在输入弹性移动副a点施加力Fy=100 N。在输出弹性移动副n点提取输出位移uyn。因此通过分析所得机构刚度为k=Fy/uyn。通过MATLAB计算式 (23) 和式 (25) 求解传递矩阵法的刚度。改变l5的尺寸，得到不同的机构参数下的有限元分析值及传递矩阵值。其误差对比结果如表 1所示，可以得到其误差在6.4%以内，表明传递矩阵法是精确的。由图 11可以看出，有限元法与传递矩阵法刚度变化规律是一致的，因为考虑了各个单元的变形，与实际情况是相符合的。由此可通过传递矩阵法求解刚度的最小值，使其在相同的输入力的情况下，输出位移最大。
表 1 有限元法与传递矩阵法刚度对比 Table 1 Comparison of stiffness between finite element method and transfer matrix method
| l5/mm | 刚度/(MN·m-1) | 误差/% | |
| 有限元法 | 传递矩阵法 | ||
| 50.5 | 10.931 9 | 11.618 2 | 6.278 28 |
| 60.5 | 11.326 9 | 12.034 7 | 6.248 46 |
| 70.5 | 12.008 9 | 12.768 9 | 6.329 08 |
| 80.5 | 12.903 9 | 13.273 1 | 6.348 12 |
表选项
 |
| 图 11 有限元法与传递矩阵法关系曲线 Fig. 11 Relation curves of finite element method and transfer matrix method |
| 图选项 |
例如本文中的柔性杠杆放大机构模型，传递矩阵法刚度k与l5的关系曲线如图 12所示，A点即为刚度最小值点，此时l5为47 mm，相对应的刚度值为11.578 6 MN/m。
 |
| 图 12 刚度k与l5的关系曲线 Fig. 12 Relation curve of stiffness k and l5 |
| 图选项 |
传递矩阵法求解结果大于有限元分析结果，可能原因为结构力学、弹性力学梁理论是建立在一定假设条件下的，为理想变形，在求解过程中忽略了细节变形，如求解弯矩时忽略轴向变形等；传递矩阵法将机构模块化，然后将各子单元组合，忽略了各子单元之间的变形；利用有限元求解的为三维的变形，而本文求解为二维平面内变形，因此产生偏差，并且有限元为近似的数值解，因此与真实值也有一定偏差。
4 结论 1) 传递矩阵法将柔性微动机构划分为若干子单元，考虑各个子单元的轴向力、剪切力、弯矩变形。根据子单元传递矩阵的传递关系及力平衡求解整体机构刚度。避免了刚柔单元的位移协调方程及将各单元转换到整体坐标系，减少了计算工作量，且具有递推性，利于编程。
2) 以柔性杠杆放大机构为例，将有限元法分析结果与传递矩阵法分析结果相对比，误差在6.4%以内，且刚度的变化规律是一致的，证明了此方法的精确性，与实际情况相符。因此可通过传递矩阵法求解柔性杠杆放大机构刚度的最小值，使其在相同的输入力的情况下，输出位置最大。对柔性杠杆放大机构参数设计提供了理论依据。同时，此方法同样适用于其他柔性微动机构的刚度及运动学分析。
参考文献
| [1] | 于靖军, 郝广波, 陈贵敏, 等. 柔性机构及其应用研究进展[J].机械工程学报, 2015, 51(13): 53–68. YU J J, HAO G B, CHEN G M, et al. State-of-art of compliant mechanisms and their applications[J].Journal of Mechanical Engineering, 2015, 51(13): 53–68.(in Chinese) |
| [2] | 宫金良, 裴童, 张彦斐. 面向高精度放大比的微动机构设计与实现[J].北京理工大学学报, 2015, 35(7): 691–696. GONG J L, PEI T, ZHANG Y F. Parameter design method of micro-motion mechanism targeting for precise displacement amplification ratio[J].Transactions of Beijing Institute of Technology, 2015, 35(7): 691–696.(in Chinese) |
| [3] | 赵荣丽, 陈新, 李克天. 双柔性平行六连杆微动平台结构的设计及测试[J].光学精密工程, 2015, 23(10): 2860–2869. ZHAO R L, CHEN X, LI K T. Design and experiments of micro motion platform based on a pair of flexible parallel six-bar linkages[J].Optics and Precision Engineering, 2015, 23(10): 2860–2869.(in Chinese) |
| [4] | HAO G B, KONG X W. A novel large-range XY compliant parallel manipulator with enhanced out-of-plane stiffness[J].Journal of Mechanical Design, 2012, 134(6): 061009.DOI:10.1115/1.4006653 |
| [5] | SARAJILIC E, YAMAHATA C, CORDERO M, et al. Three-phase electrostatic rotary stepper micromotor with a flexural pivot bearing[J].Journal of Microelectromechanical System, 2012, 19(2): 338–349. |
| [6] | 陈兴林, 刘川, 刘杨, 等. 精密运动平台宏微控制系统的设计[J].中南大学学报 (自然科学版), 2013, 44(6): 2318–2323. CHEN X L, LIU C, LIU Y, et al. Dual-stage actuator control system design for precision motion platform[J].Journal of Central South University (Science and Technology), 2013, 44(6): 2318–2323.(in Chinese) |
| [7] | 胡俊峰, 徐贵阳, 郝亚州. 一种新型空间微操作平台的设计和性能[J].机械设计与研究, 2014, 30(1): 42–46. HU J F, XU G Y, HAO Y Z. Design and characteristics of a novel spatial micro-manipulation stage[J].Machine Design and Research, 2014, 30(1): 42–46.(in Chinese) |
| [8] | YU J J, HU Y D, BI S S, et al. Kinematics feature analysis of a 3 DOF in-parallel compliant mechanism for micro manipulation[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2004, 17(1): 127–131.DOI:10.3901/CJME.2004.01.127 |
| [9] | YU Y Q, FENG Z L, XU Q P. A pseudo-rigid-body 2R model of flexural beam in compliant mechanisms[J].Mechanism and Machine Theory, 2012, 55(9): 19–33. |
| [10] | 邱丽芳, 霍明磊, 李威. 六杆柔顺机构的伪刚体模型[J].北京科技大学学报, 2013, 35(5): 682–686. QIU L F, HUO M L, LI W. Pseudo-rigid-body model of a six-bar full-compliant mechanism[J].Journal of University of Science and Technology Beijing, 2013, 35(5): 682–686.(in Chinese) |
| [11] | 李茜, 余跃庆, 常星. 基于2R伪刚体模型的柔顺机构动力学建模及特性分析[J].机械工程学报, 2012, 48(13): 40–48. LI Q, YU Y Q, CHANG X. Dynamic modeling and analysis of compliant mechanisms based on 2R pseudo-rigid-body model[J].Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(13): 40–48.(in Chinese) |
| [12] | 于靖军, 毕树生, 宗光华. 空间全柔性机构位置分析的刚度矩阵法[J].北京航空航天大学学报, 2002, 28(3): 323–326. YU J J, BI S S, ZONG G H. Stiffness matrix method for displacement analysis of fully spatial compliant mechanisms[J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2002, 28(3): 323–326.(in Chinese) |
| [13] | 艾青林, 黄伟锋, 张洪涛, 等. 并联机器人刚度与静力学研究现状与进展[J].力学进展, 2012, 42(5): 583–592. AI Q L, HUANG W F, ZHANG H T. Review of stiffness and statics analysis of parallel robot[J].Advances in Mechanics, 2012, 42(5): 583–592.DOI:10.6052/1000-0992-11-073(in Chinese) |
| [14] | HOWELL L L, MIDHA A. A method for the design of compliant mechanisms with small-length flexural pivots[J].Transactions of the ASME, Journal of Mechanical Design, 1994, 116(1): 280–290.DOI:10.1115/1.2919359 |
| [15] | 李青宁. 变截面杆元传递矩阵法[J].西安建筑科技大学学报, 2001, 33(1): 18–23. LI Q N. The transfer matrix method of bar elements with variable cross-section[J].Journal of Xi'an University of Architecture & Technology, 2001, 33(1): 18–23.(in Chinese) |
| [16] | 杨春辉. 平行板型柔性移动副的刚度计算及分析[J].现代制造工程, 2013(12): 30–33. YANG C H. The stiffness design calculation and analysis of parallel plate flexible prismatic pair[J].Modern Manufacturing Engineering, 2013(12): 30–33.DOI:10.3969/j.issn.1671-3133.2013.12.008(in Chinese) |
| [17] | 吴鹰飞, 周兆英. 柔性铰链的设计计算[J].工程力学, 2002, 19(6): 136–140. WU Y F, ZHOU Z Y. Design of flexure hinges[J].Engineering Mechanics, 2002, 19(6): 136–140.(in Chinese) |
