目前，国内外多采用风洞和飞行试验[2-3]、计算流体力学(Computational Fluid Dynamics，CFD)数值计算[4-5]、飞行模拟机[6]和经验公式[7]等方法求解出Clβ和Cnβ后，再进行飞机横航向静稳定性的判断。然而，现行适航标准的要求并不直接以上述2个导数的符号来判别，而是通过驾驶员操纵飞机完成定常直线侧滑飞行任务，再根据试飞结果对飞机的横航向静稳定性做出判断[8]。当|Cnβ|过大时，会使得飞机作定常直线侧滑飞行的最大侧滑角小于适航条款要求的侧滑角范围，而当|Clβ|过大时，会导致副翼操纵量超过适航条款许可范围。在这些情况下，即使民机是横航向静稳定的，也不能满足适航条款的要求，即适航条款对民机横航向静稳定性的要求不能仅靠2个静导数的符号来判断，应进一步考察飞机的运动特性。
根据适航条款规定的飞行任务，首先，在低速飞行状态下，要求在可达的侧滑角范围内副翼不得出现饱和的情况。若采用横航向平衡运动方程求解的方法，虽可求得定常直线侧滑飞行时的侧滑角、副翼和方向舵的大小，但这3个参数求解方程中的各气动导数在给定速度时仍是迎角和侧滑角的函数，这种多重函数关系给准确求解带来困难。其次，在高速飞行时，允许飞机在副翼饱和后以带滚转角速度的航向机动飞行，若仍采用平衡方程法则无法求得方向舵、侧滑角和滚转姿态等的响应过程，即无法完成这种情况下的适航符合性验证。最后，现代电传民用飞机设计中多采用放宽静稳定性的构型来提高经济性，因此需要设计增稳控制系统来改善其动稳定性[9]。此时，飞机完成定常直线侧滑的各参数的响应特性与本体特性有一定区别。仅依据飞机本体的Clβ和Cnβ的符号显然不能准确地判断电传飞机的横航向静稳定的适航符合性。
目前，国内外仍采用原型机的飞行试验方法来评估民机三轴静稳定性的适航符合性[10-11]。但是，若设计方案不能满足适航符合性的要求，而设计已进入后期，修改设计将付出很大的代价。针对这一问题，国内外均提出了采用人机闭环数学仿真的方法对飞机设计方案进行适航评估，以降低后期需要进行改型设计的风险。采用这种数值计算方法可不需要硬件支持和真实驾驶员参与，具有更好的经济性和快速性，设计人员可方便有效地评估设计方案。目前已取得的研究成果主要涉及起降性能[12]、长短周期运动[13]、侧风着陆能力[14]、地面纵向操稳特性[15]和空中最小操纵速度[16]等适航条款。
鉴于上述问题，本文根据适航标准的要求，首先，建立了包含飞控系统的人机闭环数学仿真模型；其次，在此基础上，形成了包括考核任务设计、数学仿真计算和定量评估的民机横航向静稳定适航符合性评估方法；最后，以某型支线客机为例完成了方法的验证，并探究了Cnβ和Clβ的取值大小与量化适配的关系。研究结果可为民机横航向静稳定性的设计和后续的飞行试验方案的确定等提供理论指导和数据支持。
1 适航条款分析 中国民用航空规章第25部运输类飞机适航标准(CCAR-25-R4)[8]第25.177条规定了民用运输类飞机横向和航向静稳定性必须达到的最低要求。在CCAR-25-R4[8]中，第25.177条仅保留了(c)和(d)两条，分别对飞行速度处于1.13VSR1至VMO之间和VMO至VFC之间的横航向静稳定性的适航要求进行了规定，VSR1为特定构型下的基准失速速度，VMO为最大使用限制速度，即正常飞行包线的最大速度，VFC为飞机具有稳定性的最大速度，即使用飞行包线的最大速度[17]。其余速度下无规定，可不做考察。
1.1 1.13VSR1至VMO的要求 25.177(c)[8]规定，当飞行速度处于1.13VSR1~VMO之间时，飞机在定常直线侧滑飞行中的副翼和方向舵的偏度及操纵力应与侧滑角(β)成稳定的正比关系。当飞机在各状态下均满足此要求时其横航向是静稳定的。在飞机保持定常直线侧滑飞行时，飞机的横航向力和力矩方程可表示为[1]
 | (1) |
式中：C、L和N分别为飞机侧力、滚转力矩和偏航力矩；δa和δr分别为副翼和方向舵偏度；Cβ、Lβ和Nβ分别为侧力、滚转力矩和偏航力矩对侧滑角的导数；Cδa、Lδa和Nδa分别为侧力、滚转力矩和偏航力矩对副翼的导数；Cδr、Lδr和Nδr分别为侧力、滚转力矩和偏航力矩对方向舵的导数；W为飞机重力；?为滚转角。其中，Cδa为小量，可忽略。将式(1)无量纲化并整理可得
 | (2) |
式中：CW、Ccβ、Ccδr、Clβ、Clβr、Clδa、Cnβ、Cnδr和Cnδa分别为无量纲化的W、Cβ、Cδr、Lβ、Lδr、Lδa、Nβ、Nδr和Nδa。
对于常规布局飞机而言，Clδa<0、Cnδa>0、Clδr>0、Cnδr<0。在定常直线侧滑中，当δr>0时，δa<0，β>0；当δr<0时，δa>0，β<0。若侧滑角和方向舵、副翼分别始终保持正比关系，则可保证δa/β恒小于零，δr/β恒大于零。根据式(2)即可保证Clβ<0，Cnβ>0，即飞机是横航向静稳定的。
实际上，25.177(c)[8]的要求除了保证飞机是横航向静稳定的，还对Clβ和Cnβ的大小作了限制。根据式(2)中的第3式，当飞机的最大方向舵偏度、Cnδr和Cnδa确定时，由于Cnδa明显小于Cnδr，(Cnδaδa)/(Cnδrβ)的数量级将明显小于δr/β的数量级，Cnβ的大小基本决定了飞机所能达到的侧滑角范围。在飞机方案设计时，飞机正常运行的侧滑角范围的最小值可采用工程经验公式确定[17]：
 | (3) |
式中：βmax为侧滑角范围；Vwind为侧风风速；Va为空速。根据CCAR-25-R4[8]第25.237条中关于运输类飞机在侧风中起降须抵御的最大侧风规定，取Vwind=25 kn(12.85 m/s)。另外，在《运输类飞机合格审定飞行试验指南》[17]中指出，对于大多数运输类飞机，在起降状态下的最大侧滑角不会超出15°。对于中大型民机而言，其着陆速度一般不低于60 m/s，如A320、B747等。即在起降状态，βmax不会大于15°。因此，在起降状态Cnβ的取值应保证飞机所能达到的侧滑角范围处于βmax与15°之间；在非场域状态，仅需验证Cnβ取值能否使飞机达到βmax。
根据式(2)中第2个式子，当飞机的最大侧滑角、Clδa和Clδr确定时，对应最大侧滑角的方向舵偏度为最大可用偏度，也是确定的，即Clβ的大小基本决定了副翼的操纵量。根据相关行业通告[18]要求，Clβ的大小需满足：左滚转操纵必须产生左侧滑，右滚转操纵必须产生右侧滑；保持βmax的定常直线侧滑所需的滚转操纵不得超过可用滚转操纵能力的75%。
综上，飞行速度在1.13VSR1至VMO之间时的民机横航向静稳定性适航符合性的要求为：①飞机能由定直平飞状态分别向左右作任意可用方向舵偏度下的定常直线侧滑飞行。②副翼操纵不得逆反，且维持最大定常侧滑角的副翼偏度不得超过可用操纵量的75%。可确定|Clβ|的可行域为副翼操纵不出现逆反时的最小值为下边界，维持最大定常侧滑角的副翼偏度为75%可用操纵量时的值为上边界。③方向舵操纵不得出现逆反，侧滑角的范围至少达到式(3)规定的βmax。可确定Cnβ的可行域为最大定常侧滑角为βmax时的值为上边界，对于起降状态，还应考虑最大定常侧滑角为15°时的Cnβ确定的下边界，非场域状态则不需考虑。④稳定侧滑角和副翼、方向舵的偏度呈稳定的正比关系。
1.2 VMO至VFC的要求 随着飞行速度的增大，飞机各操纵面的最大可用偏度减小。在横航向静稳定性的适航符合性演示中，可能出现在方向舵偏度达到最大可用偏度前，副翼已饱和的情况。
25.177(d)[8]规定，副翼饱和的情况仅能在速度处于VMO至VFC之间时出现。若出现副翼饱和，则评估方法为在副翼饱和前，仍采用定常直线侧滑飞行完成横航向静稳定性的演示，适航要求除去副翼操纵范围的限制外，仍采用第1.1节中所述的要求。副翼饱和后，可采用带滚转角速度的偏航飞行继续完成演示，要求方向舵偏度增大，侧滑角也必须增大，直至达到最大的方向舵可用偏度，以说明飞机具有足够的航向稳定性，此过程中滚转角不可过快发散。若未出现副翼饱和，则除副翼操纵范围要求外，其余按第1.1节所述的要求评估。
速度处于VMO至VFC之间时，飞机Clβ和Cnβ的可行域为：|Clβ|仅需考虑副翼操纵不出现逆反时的最小值确定的下边界，不需要考虑副翼偏度应小于75%可用操纵量的限制。Cnβ仅需考虑βmax确定的上边界，不需要考虑最大定常侧滑角应小于15°的限制。
若飞机方案尚不满足上述任意一条要求，则可通过改变Clβ和Cnβ的大小，再反复仿真的方法，求得满足适航条款要求的横航向2个静导数的可行域。
2 人机闭环数学仿真建模 2.1 飞机系统模型 为了提高民机的经济性、舒适性等，现代民机设计多采用了主动控制技术，如放宽静稳定性、机动载荷控制和阵风减缓等。驾驶员通过飞行控制系统操纵飞机，试飞员给出的评分也是对包含飞控系统的飞机的操纵感受。
因此，在对民机的适航符合性仿真验证中所建立的飞机模型应包含6自由度动力学模型[19-20]和飞行控制系统模型。
2.2 驾驶员操纵模型 一般而言，在民机适航符合性仿真评估中，驾驶员模型主要有3个作用：①民机的适航符合性评估是基于飞行任务的评估，根据适航条款规定的飞行任务建立驾驶员模型才能完成相应条款的人机闭环数学仿真。②通过调节驾驶员模型的参数，保证数学仿真中的人机闭环特性符合真实驾驶员操纵时的飞机运动特性。③有的适航条款有针对驾驶员操纵行为的要求，如时延长短等，可通过考察完成特定飞行任务的驾驶员模型参数的大小，判断驾驶员的操纵行为是否满足适航的要求。根据第1节的分析，横航向静稳定性适航条款对驾驶员的操纵行为无明确要求，因此本文的驾驶员模型的主要作用是实现特定飞行任务的数学仿真和保证人机系统的闭环特性。
根据第25.177条[8]的要求，副翼未饱和时，驾驶员的飞行任务可描述为由选定的初始定直平飞状态开始，操纵飞机实现在任意方向舵可用偏度下的定常直线侧滑飞行。
驾驶员的操纵策略及指令为油门通道控制速度V，使其尽可能保持初始飞行速度V0不变，指令取Vc=V0；俯仰通道控制航迹倾角γ，使飞机尽可能维持平飞，指令取γc=0；滚转通道控制航迹偏角速率
 |
| δre—方向舵偏度指令。 图 1 方向舵指令 Fig. 1 Rudder command |
| 图选项 |
据此，驾驶员保持飞机作定常直线侧滑飞行的模型结构如图 2所示。此外，副翼出现饱和时，飞行任务为带滚转角速度的偏航飞行。驾驶员模型在油门、俯仰和偏航通道的操纵策略和指令都不变，滚转通道变为维持满偏状态，图 2的驾驶员模型在副翼饱和后为抑制航迹偏角增大会自动保持副翼满偏，因此无需另建驾驶员模型。
 |
| YPV—驾驶员操纵速度模型；YPγ—驾驶员操纵航迹倾角模型；YPθ—驾驶员操纵俯仰角模型； |
| 图选项 |
油门通道用于跟踪速度，速度响应属于慢响应，可采用能较好反映驾驶员滞后特性的McRuer模型[21]：
 | (4) |
式中：s为复变量；kPV为驾驶员增益；TIV为驾驶员滞后补偿时间常数；τV为驾驶员反应及肌肉滞后时间。
俯仰通道内环为姿态控制，姿态响应属于快响应，为较好反映驾驶员操纵过程中的加速度感受，YPθ(s)采用Hosman等改进的McRuer模型[22-26]，其基本结构如图 3所示。
 |
| θerr—俯仰角误差；?err—滚转角误差；Hpn—McRuer模型回路；Hpm—驾驶员加速度感受回路；Hec—无时间延迟的McRuer模型；τn—驾驶员信息反应时延；Hnm—驾驶员人体肌肉动作延迟模型；δec—升降舵偏大指令；δac—副翼偏度指令； |
| 图选项 |
Hpn回路在俯仰通道中的控制量为θerr。其中，e-τns为驾驶员的信息反应时延环节，Hec(s)可表示为
 | (5) |
式中：kPθ为驾驶员增益；TLθ为驾驶员超前补偿时间常数；TIθ为驾驶员滞后补偿时间常数。
Hpm回路在俯仰通道中的控制量为
 | (6) |
Hnm(s)的数学描述为自然频率ωn=9.0 rad/s，阻尼比ζ=0.7的二阶环节[25]：
 | (7) |
升降舵通道的外环为航迹跟踪，驾驶员根据航迹倾角的误差确定出一定的俯仰姿态增量Δθc，再通过内环的俯仰姿态操纵实现航迹的跟踪。因此，YPγ(s)可表示为[16]
 | (8) |
式中：kPγ为驾驶员增益；τγ为驾驶员信息处理延迟时间；kIγ为驾驶员消除稳态误差环节的增益。
在滚转通道中，内环为滚转姿态控制，属于快响应，因此，YP?(s)的结构与俯仰通道中的内环结构YPθ(s)相同。外环为保证飞机在稳定侧滑中，航迹偏角的角速率为零，因此，
 | (9) |
式中：
偏航通道中，驾驶员的操纵行为为逐渐增大方向舵偏度，是一种开环操纵行为。YPδr(s)仅包含反应和肌肉延迟即可，表示为
 | (10) |
如表 1所示为文献[21, 24]给出的驾驶员模型中各参数的取值范围，下标x指代各参数的下标。这些范围是研究人员经过大量试验确定的，表征了一般驾驶员的操纵能力。按文献[21]提供的方法选择驾驶员参数可保证人机闭环系统呈现一般驾驶员操纵的飞机响应特性，从而可认为驾驶员模型满足适航符合性评估的要求。
表 1 驾驶员模型参数取值范围 Table 1 Range of pilot model parameters
| 驾驶员参数 | 取值范围 |
| kx | [1, 100] |
| Tx | (0, 1.0] s |
| τx | [0.06, 0.30] s |
表选项
3 数学仿真计算方法 1) 根据第25.177条[8]要求，选定飞机构型，确定最不利的飞机重量和重心位置进行验证。以着陆构型为例，因为相同飞行速度下，改变飞机的运动所需的操纵力矩在最大着陆重量时最大，而后重心的装载方式使飞机的航向稳定裕度最小。应选择最大着陆重量和后重心的装载方式进行验证。然后根据所定构型选取合适的高度H0和速度V0，以此确定初始配平状态。
2) 基于第2节的方法及所选初始状态，建立民机横航向静稳定性评估的人机闭环数学仿真模型，并设计各通道的驾驶员指令。
3) 根据步骤1)和步骤2)中确定的飞行初始状态、驾驶员指令和人机闭环仿真模型，对飞机在不同方向舵偏度下的定常直线侧滑飞行进行数学仿真计算。
4) 根据步骤3)的计算结果，判断随着方向舵偏度的增大是否出现了副翼饱和的现象。若没有，则执行步骤5)；若有，则执行步骤6)。
5) 判断飞机是否满足：①在各方向舵偏度下实现定常直线侧滑飞行，即侧滑角β稳定时，航迹倾角γ和航迹偏角χ基本保持不变；②在定常直线侧滑中，副翼操纵不得出现逆反，速度低于VMO时最大副翼偏度不得超过可用操纵量的75%；③方向舵操纵不得出现逆反，最大稳态侧滑角须达到式(3)中的βmax；④在满足①~③的前提下，读取仿真数据中的稳态侧滑角的值及其对应的副翼偏度和方向舵偏度，绘制出稳态侧滑角-副翼、稳态侧滑角-方向舵曲线，2条曲线须表明稳态侧滑角分别与副翼和方向舵基本呈稳定的正比关系。
6) 对于副翼饱和前的仿真数据，除副翼偏转范围限制要求外，其余要求按步骤5)进行处理和判断。副翼饱和后，需满足方向舵偏度增大必须对应侧滑角增大，不得出现逆反。
7) 若仿真结果满足步骤5)和步骤6)的要求，则说明飞机在该速度下满足适航条款25.177[8]的要求。然后重复上述步骤以说明飞机在各种构型、速度下都满足条款25.177[8]的要求。若出现不满足的情况，则说明飞机的横航向静稳定性不满足要求，可通过修正Clβ和Cnβ的大小，再按上述步骤计算，求得设计方案中飞机2个横航向静稳定导数的可行域，完成飞机的迭代更改设计。
上述步骤可表征为如图 4所示的流程图。
 |
| 图 4 仿真流程 Fig. 4 Simulation procedure |
| 图选项 |
4 计算示例 算例飞机为某型支线客机，主操纵系统采用电控形式。仿真中的气动数据为风洞试验数据，飞控系统则根据该型客机完整的飞控系统设计方案构建。
第4.1节和第4.2节分别给出了副翼未出现饱和出现饱和2组计算结果，以说明适航条款25.177[8]的验证过程及横航向静稳定性导数的确定方法。
4.1 副翼未出现饱和 适航条款对起降状态下所需达到的侧滑角范围有较明确的最大和最小值要求，对副翼的操纵也有最大值及不可出现与侧滑角响应逆反的要求。为了开展算例飞机横航向静稳定性的适航符合性评估，选定基准飞行状态为：飞机后重心装载的着陆构型，最大着陆质量36.7 t，飞行速度V0取1.13VSR0=65.1 m/s，飞行高度H0取50 m。然后，通过分别改变Cnβ和Clβ大小，再重复仿真的方法，分别确定Cnβ和Clβ的可行域。
为了确定算例飞机达到式(3)中βmax和15°侧滑角的Cnβ的可行域，需完成3组数学仿真计算：仿真1为原始风洞试验数据，仿真2为Cnβ增大3%，仿真3为Cnβ减小12%。部分仿真结果如图 5所示，α为迎角，Va为空速，δp为油门，δe为升降舵偏度。
 |
| 图 5 横航向静稳定性评估仿真结果 Fig. 5 Simulation results of lateral-directional static stability evaluation |
| 图选项 |
由图 5中仿真1的曲线可知：
1) 随着方向舵δr左偏，飞机左偏航，右侧滑，并有左滚转趋势，驾驶员操纵副翼δa负偏产生右滚力矩，抑制飞机左滚。同时，由于飞机右滚转右侧滑，平衡重力的升力不足，阻力也增大，驾驶员操纵升降舵δe负偏并增大油门δp以补偿升力减小和速度的损失。
2) 算例飞机在侧滑角β稳定时，航迹倾角γ和航迹偏角χ基本保持不变，其他主要的纵横向响应量也基本保持不变，即算例飞机可在不同方向舵偏下实现定常直线侧滑飞行。
3) 副翼操纵未出现逆反，最大副翼偏度为12°，该速度下副翼的最大偏度可达20°，副翼操纵量未超过可用操纵的75%(15°)。
4) 方向舵操纵未出现逆反，仿真1中的最大稳态侧滑角为11.8°。根据式(3)，在速度65.1 m/s下对应Vwind为25 kn(12.85 m/s)的定常侧滑角范围为
 | (11) |
5) 根据侧滑角、副翼和方向舵响应曲线，分别绘制βstable-δa和βstable-δr曲线如图 6所示，βstable为稳定侧滑角。其中，仿真1的βstable-δa、βstable-δr曲线均基本呈稳定的正比关系。
 |
| 图 6 正比关系验证 Fig. 6 Proportional relationship validation |
| 图选项 |
由此，可说明算例飞机的横航向静稳定性满足适航要求。
仿真2和仿真3与仿真1类似，均能实现定常直线侧滑，且副翼操纵量均未超过15°，稳态侧滑角分别与副翼和方向舵呈稳定的正比关系。所不同的是仿真2的最大稳态侧滑角为11.4°。仿真3的最大稳态侧滑角为15°，即仿真2中的Cnβ为该状态下的最大值，仿真3中的Cnβ为最小值。
以相同的方法，仿真4将|Clβ|减小52%，可得到副翼操纵恰好不出现逆反时的|Clβ|的最小值(如图 7)；仿真5将|Clβ|增大40%，可得副翼最大偏转的稳定值达到15°(见图 7)且侧滑角达到11.4°的|Clβ|的最大值。
 |
| 图 7 Clβ范围确定 Fig. 7 Range determination of Clβ |
| 图选项 |
以此方法，将已确定的Cnβ和|Clβ|的边界值进行组合，再计算评估各组合的适航符合性，可确定Cnβ和|Clβ|的可行域如图 8所示。图中数据对应迎角为6.3°，侧滑角为0°。
 |
| 图 8 Cnβ和|Clβ|的可行域 Fig. 8 Feasible region of Cnβ and |Clβ| |
| 图选项 |
值得说明的是，设计和飞行实践经验表明，为了获得较好的飞行品质，应尽可能地提高Cnβ的值[21]。而飞机的滚转操纵灵敏度随着|Clβ|的取值减小而增大，取中间值可确保了良好的灵敏度。如图 8所示，算例飞机的设计点恰好位于可行域中Cnβ较大且|Clβ|居中的区域，与设计经验吻合。
综上，在图 8的可行域内进行飞机方案设计，可有效保证其在低速状态下的横航向静稳定性的适航符合性演示具有合理的侧滑角和副翼操纵范围。其中，Cnβ取可行域中接近最大值的区域，Clβ取可行域中的中间值区域，可使飞机具有良好的飞行品质。然后，再对中高速状态进行验证，并可根据需求，在可行域内调整2个参数。
4.2 副翼出现饱和 根据适航条款要求在速度VMO至VFC之间可出现副翼饱和的现象，副翼饱和后仅需保证方向舵的操纵不出现逆反和滚转姿态不过大即可。由于速度越大，副翼的可用操纵量越小，因此选定计算状态为：巡航构型，初始速度V0取为VFC=258.4 m/s，初始飞行高度H0取8 000 m，最大巡航质量39.5 t，后重心装载，此时副翼的最大可用设计偏度为10.3°，方向舵最大可用设计偏度为2.75°。另外，算例飞机的横向稳定性设计较好，原始数据在该状态下未出现副翼饱和现象，为了说明副翼出现饱和时的适航符合性验证方法，仿真中将原始数据的Clβ增大30%，部分仿真结果如图 9所示。
 |
| 图 9 副翼饱和的横航向静稳定性评估仿真结果 Fig. 9 Simulation results of lateral-directional static stability evaluation with aileron saturation |
| 图选项 |
图 9中，在120 s之前副翼未出现饱和，可实现定常直线侧滑。在0~120 s之间的仿真数据，除副翼偏度限制的要求外，可按第3节中的步骤5)的要求进行验证，过程与第4.1节中算例飞机原始数据的验证过程相同，此处不再重复。
在120 s后，副翼饱和，随着方向舵继续左偏，侧滑角继续增大，无逆反现象。在此过程中，飞机不断向左偏航并左滚转，同时，驾驶员拉杆增油门，补偿升力减小和速度损失。最终滚转角达到了-7.6°，未出现迎角、纵横向姿态和速度响应异常的现象。由此可说明副翼出现饱和后飞机的横航向静稳定性仍满足适航条款的要求。
5 结 论 1) 针对CCAR-25-R4[8]第25.177条的要求，建立了一套方便实用的民机横航向静稳定性适航符合性数学仿真验证方法，可给飞机的设计与飞行试验取证提供参考依据。
2) 采用人机闭环数学仿真不仅可解决平衡方程求解难以考虑飞控系统的影响和评估副翼出现饱和情况的适航性的问题，还可通过变参数计算确定设计方案的横航向静稳定性的可行域。
3) 对于低速起降状态，适航条款对侧滑角和副翼操纵范围有明确的上下边界要求，求解的Cnβ和Clβ的可行域为一闭合区域。在非场域状态下，无最大定常侧滑角小于15°的限制，因此Cnβ无明确的下边界。速度高于VMO后，无副翼偏度应小于75%可用操纵量的约束，因此|Clβ|无明确的上边界。
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