随着国家利益对海洋的依赖性日渐加深，而海洋问题日渐尖锐化、矛盾化及复杂化，中国的重大关切和利益都已转向海洋，海洋安全关乎到海上通道安全、经济安全，为了维护我国的海洋权益，国防建设必须优先发展海军。国家利益的不断拓展及舰船活动范围的不断扩大对海军建设提出了新的需求，同时也对舰艇编队器材配置提出了新的需求，保持和恢复舰艇编队长时间海上作战使用能力离不开维修保障，而器材保障又是维修保障的重中之重，器材维修保障已经成为部队装备形成现实战斗力的重要组成部分，与装备的作战性能处于同样重要的位置。
美国军方最早采用的是Sherbrooke^[1]在1968年提出的多层级库存优化METRIC模型，该模型主要针对价格昂贵但需求率低的备件库存模型进行了研究，从理论上为多层级备件库存问题打下了良好的基础，并在2006年对多层级模型进行了完善，将其应用范围进行了推广^[2]。Levner^[3]及Samouei^[4] 等主要采用网络维修流程图的方法，以最小总库存和运输成本为目标，同时考虑各保障站点之间的依赖性和相互作用，对备件多层级库存问题进行了分析。Costantino等^[5]以备件短缺数最小和系统可用度最大为限制条件，依据不同维修站点具备不同维修能力，运用边际效应法对备件多层级库存进行了优化。Topan和Bayindir^[6]采用(NQ,R)库存策略，对服从泊松分布的两级备件库存携带方案进行了优化。Wong等^[7-9]以满足库存水平时费用最小为目标，以平均等待时间为约束，基地之间进行紧急转运以此达到降低保障经费的目的。文献^[10-13]研究了相同基地间的横向供应，假设不能及时进行横向供应，便形成了一次供应延误，延误的横向供应次数是一项重要因素，若保障系统库存非常低时，它会超越横向供应次数。Fisher^[14]研究了装备串件拼修的马尔可夫链模型。Eynan^[15]采用先到先服务(first-come,first-served)的策略对串件拼修策略进行了研究。蔡芝明等^[16]研究了多个定量因素对随船备件携带的影响，但没有研究多层级及非稳态条件下器材配置问题。刘任洋等^[17]建立了可修件单层多级库存模型，没有研究多约束及多层级库存问题。
以上研究虽取得了很多成果，但在实际工程应用中存在如下问题：①横向供应和串件拼修都是提高装备可用度的重要手段之一，已有研究主要是将上述2种维修策略孤立分开来研究，很少研究2种策略共同作用下的编队可用度变化情况；②目前研究多集中在多层或多级问题，而对多层级混合问题研究比较少；③已有模型主要针对陆地装备，以降低费用为目的，而对受排水量和仓库空间影响较大的舰艇装备研究比较少，如在费用、排水量和仓库空间约束下的索马里护航两层两级备件携带问题；④已有研究很少将平时和战时的4个方案进行对比，不能为决策者制定备件携带方案提供全面的参考依据。显然，分平时和战时2种情况，多个因素约束下舰船多层级库存问题是研究的热难点问题。
本文主要从4个方案，按稳态和非稳态2种情况分析舰艇编队在多个因素影响下最优保障方案模型建立和求解步骤，在案例中将得到的4个方案结果进行对比分析，决策者依据本文模型，可制定最符合实际情况的编队备件携带方案。
1 模型描述 索马里护航编队备件利用率只有20%左右，这种低备件利用率和数量庞大的备件积压^[18]，必然会带来大量的保障经费损失，引起军方对于制定舰艇编队出海前备件携带方案的重视。
一方面，护航编队执行任务的周期为3个月，编队组成为1个综合补给舰(由于舰上有独立的维修部门，保障能力相当于海上“移动式”仓库)和2个最新型舰艇(每个舰艇相当于海上保障基地)；另一方面，舰艇出海所携带的备品备件按其所属装备的层次不同，可分为舰艇装备故障现场能够更换的单元(Line-Replaceable Unit，LRU)和必须在车间进行更换的单元(Shop-Replaceable Unit，SRU)，故编队便组成了两层两级保障系统。本文主要目的在于介绍模型求解过程及方法，并对模型的一些条件做了合理假设：
1) 同等级别的故障件关键性是相同的。
2) 执行任务周期为3个月。
3) LRU故障若是由SRU引起的，则仅为一件SRU故障件引起的。
4) 修理工作之间不存在相互影响的情况。
5) 维修保障资源无限，不会出现排队等候的现象。
6) 舰艇之间横向供应时间和从岸基保障基地供应到舰艇上时间相比，可以忽略不计。
7) 基地不具备修理SRU的能力。
8) SRU之间进行完全串件拼修。
2 需求率的确定 2.1 备件需求率模型 除去误报警、备件等待时间等一些修理因素的影响，根据装备故障间隔时间MTBF_k、备件单元k单机安装数量Z_k、装备在舰船上配置数量N_j及舰船执行任务周期T_k等数据可以得出装备在现场需求率为

(1)

式中：m_k为备件LRU_k现场需求率。
依据式(1)可以计算出SRU_i(i=1,2，…，I)和LRU_k(k=1,2，…，K)在基地或中心仓库的需求率。
2.2 各级站点需求率的求解方法 舰船备件多层级备件携带问题始于故障现场单元LRU失效并送到基地维修中心，若基地有备件则进行更换，否则就发生一次备件短缺，同时LRU能否在基地进行修理是有一定概率的，若LRU结构太复杂，就送往中心仓库进行修理，同时向中心仓库申请一件LRU。
当LRU在基地进行修理时，则假设有且仅有一件内场更换单元SRU故障引起的。如果基地有SRU备件，则直接进行更换安装到相应的LRU上去，此时LRU的修理工作就结束了。同LRU一样，基地能够修理SRU具有一定的概率，若不能的话则直接送往中心仓库进行修理，同时基地需向后方申请一件SRU。
依据LRU在基地的需求率及一些维修参数(如LRU在基地修理的概率等)，可以求出LRU在中心仓库的需求率，同时也可以求出SRU在基地或中心仓库的需求率。
基地j(j=1,2，…，J)的SRU_i任务期间的需求量，等于LRU_k任务期间需求量乘以其在本基地维修的概率再乘以维修工作产生相应SRU_i需求的概率，即

(2)

式中：m_ijk为基地j的SRU_i任务期间的需求量；r_jk为故障件LRU_k能在本基地被修复完好的概率；m_jk为LRU_k在基地j任务期间的需求量；q_ijk为修理故障件LRU_k产生相应SRU_i需求的概率。
中心仓库任务期间LRU_k的需求量，等于所有不在基地维修的LRU_k需求之和，即

(3)

式中：m_0k为中心仓库任务期间LRU_k的需求量。
中心仓库任务期间SRU_i的需求率，等于后方修理LRU_k产生SRU_i需求量加上任务期间所有基地订购量之和，即

(4)

式中：m_0ik为LRU_k的子单元SRU_i在中心仓库修理的需求率；r_ijk为属于LRU_k的子单元SRU_i能在基地j被修理的概率；q_0ik为中心仓库修理LRU_k产生SRU_i需求的概率。
3 约束条件和目标函数 3.1 多个约束条件转换成拉格朗日乘子 装备器材配置受到的约束条件有保障经费、舰艇排水量、仓库空间等约束，因器材配置中的边际效应法的输入值边际增量只能为一个变量，当变量为多个的情况时，边际效应法无法再继续使用，必须先将多个边际变量变成一个后，才能继续使用边际效应法。
本文主要使用拉格朗日乘子法将3个变量变成统一的拉格朗日乘子，这就为使用边际效应法创造了良好的前提条件，边际效应法具体求解步骤如下：
步骤1 引入拉格朗日乘子松弛部分或全部变量，即

(5)

式中：z_ij为拉格朗日乘子；λ_m为质量因子；λ_v为体积因子；λ_c为费用因子；m_ij为基地j备件i的质量；v_ij为基地j备件i的体积；c_ij为基地j备件i的购置费用。
步骤2 因系统备件可用度是拉格朗日乘子的函数，故其可表示为

(6)

步骤3 因式(6)的累计概率分布函数并不属于凸函数，不能使用边际效应法，对式(6)两边取对数，即

(7)

当式(7)右边函数累计概率分布服从泊松分布、负二项分布或二项分布时，式(7)右边累计概率分布属于凸函数，可使用边际效应法求解。
步骤4 依据式(5)，可知当前拉格朗日乘子组合为

(8)

步骤5 对式(7)做一阶差分并除以式(8)的边际增量值，可得到边际效应值Δ，即

(9)

步骤6 依据Δ值构成的矩阵，按边际效应法原理进行求解，直到某个约束条件不再满足要求时停止，此时计算其余约束条件值，若超过指标值则需要重新计算拉格朗日乘子，即

(10)

步骤7 依据式(10)计算得到新的边际效应值为

(11)

步骤8 重复步骤6、步骤7，直到寻找到可行方案时停止。
3.2 拉格朗日乘子求解 以费用约束条件为例进行说明，该方案是在费用约束条件下的最优方案，但该方案计算得到的其余2个约束条件的实际值是否超过约束指标是随机的，因此，笔者将此时求解出的器材配置方案作为第3.1节的基础。
式(5)的求解需要先求出约束条件因子值，其步骤如下：
步骤1 当只考虑费用这一个约束条件时，即λ_v=0，λ_m=0，λ_c=1。
步骤2 依据式(9)计算得到在保障约束下的基地和中心仓库的器材配置方案，即

(12)

式中：s_c0为初始库存方案；s_0ij为基地或中心仓库备件配置数量。
步骤3 在该器材配置方案的基础上计算基地和中心仓库器材配置总的实际值，分别记为M_(sc0)、V_(sc0)、C_(sc0)，依据其计算得到器材配置约束条件的3个初始因子λ_cv0、λ_cm0、z_ci0的值，即

(13)

式中：M_(sc0)为初始方案下备件总的质量；V_(sc0)为初始方案下备件总的体积；C_(sc0)为初始方案下备件总的费用。
步骤4 依据式(5)、式(12)及式(13)，计算得到拉格朗日乘子为

(14)

步骤5 依据步骤4求出的拉格朗日乘子值，按第3.1节步骤进行求解。
3.3 优化目标 舰艇出海除了受保障经费这个柔性约束之外，还受到舰艇排水量和仓库空间2个刚性条件约束，即使保障经费无限，舰船出海也不可能携带所有可能需要的备件资源，因为舰艇仓库空间和排水量是不可变化的量。
衡量舰船战斗力重要指标之一是装备可用度。舰船在下水之后，其排水量和仓库空间就是不可变化的量，同时在执行某一项任务时，保障经费也是有上限的，本文用上述3个指标作为约束上限，以舰艇编队可用度为优化目标，建立具体模型如下：

(15)

式中：V_0T为中心仓库携带备件体积的上限值；M_0T为中心仓库携带备件质量的上限值；C_0T为中心仓库的保障经费上限；V_jT为基地j携带备件体积的上限值；M_jT为基地j携带备件质量的上限值；C_jT为基地j的保障经费上限。
4 编队备件携带方案优化 本文将舰艇编队器材配置方案分为4种可能情况进行讨论，具体见表 1。
表 1 舰艇编队备件携带方案 Table 1 Warship formation spare parts carrying project

备件携带方案	是否串件拼修	是否横向供应
1	N	N
2	N	Y
3	Y	N
4	Y	Y

表选项






本文定义的稳态和非稳态备件需求情况分别对应平时和战时2种备件供应策略。一方面，平时舰艇执行上级赋予的使命任务，依据已经有的装备维修参数，按一定的数学模型，可以计算出装备备件需求的种类和数量，这种备件需求情况可认为是稳态的；另一方面，战时舰艇执行上级赋予的使命任务时，其有可能受到敌方攻击而出现装备战损的情况以及战时装备在各种最大工况或各种极端的条件下使用，备件需求会出现一些突变的情况，此时应采用一切可能的备件供应策略(如串件拼修、横向供应等)来保持舰艇战备完好性，这种情况可认为是非稳态备件需求。
依据表 1可知，方案1既不存在串件拼修也不存在横向供应，具有较强的“鲁棒性”，但其保障效能是以花费大量保障经费为代价的，且存在库存积压、备件浪费的可能，这是决策者不愿意接受的。
方案2~方案4涵盖了编队可用度提高的所有可能方式，主要包括串件拼修、横向供应、串件拼修和横向供应。上述备件供应策略主要针对战时可能出现的非稳态备件需求，为保持舰艇战备完好性所采取的手段和方式。方案1~方案4为决策者制定任务期间编队备件携带方案提供了全面的参考依据，从而使制定的方案不仅适用于平时也适用于战时等非稳定状态。
4.1 方案1：无串件拼修或横向供应 备件短缺数是指当装备出现故障，修理工作产生备件需求时，但其需求不能被满足，就记为一次备件短缺，其定义如下：

(16)

备件短缺数大小主要取决于2个因素：①备件在基地或中心仓库的存储量S；②修理故障件或补给件D_I的稳态概率分布。若D_I＜S时，备件需求都会被满足，备件短缺的情况就不会出现，反之若D_I＞S时，假设D_I为S+L件，就会出现L件需求不会被满足的情况，此时备件短缺数期望。其中，补给舰或舰艇库存S、补给舰或舰艇现有库存量O_H、订购件D_I及短缺数B_O满足如下关系式：

(17)

显然，备件短缺数是一个大于或等于零的量，当补给舰或舰艇库存S为零时，其备件短缺数相当于某一分布的期望，即E_BO(0)=E(x)。
衡量随机变量x的指标有E(x)和VAR(x)，E(x)为某一备件平均短缺的个数，VAR(x)为随机变量x偏离E(x)程度的变量，即VAR(x)=E(x²)-(E(x))²，E(x²)为随机变量x二阶样本距。随机变量x属于何种分布，主要由差均比V_TMR值的大小来确定。当V_TMR=1时，随机变量x服从泊松分布；当V_TMR＞1时，随机变量x服从负二项分布；当V_TMR介于0和1之间时，随机变量x服从二项分布。其定义为

(18)

依据备件短缺数及其他一些维修参数，可以求出装备可用度值的大小，即

(19)

式(19)成立的前提是装备发生的故障相互独立，且在基地或中心仓库之间不进行串件拼修或横向供应，同时对其两边取对数，即

(20)

对式(20)两边取以e为底的指数，即

(21)

对于由补给舰和舰船组成的编队，其平均可用度计算方法为

(22)

4.2 方案2：横向供应 在海上执行任务期间，舰艇编队各舰船之间的距离(一般只有几链的距离)和岸上保障基地之间的距离相比近的很多，备件横向供应的时间非常短，从而可以使舰艇之间的横向供应既经济又迅速。
横向供应导致的短缺数下限是将基地和中心仓库合成一个大的仓库，横向供应时间为0，此时可以计算出短缺数的最小值，横向供应的最大值是根据装备在舰艇上的实际情况和横向供应时间等参数计算出来的，本文模型的基本思路就是对上下限使用插值，使用回归统计的计算方法。
方法的关键是计算并确定插值函数f，从而可以确定短缺数的估计值

(23)

式中：U_B为短缺数上限；L_B为短缺数下限。
将式(23)代入式(20)即可求得系统可用度

(24)

依据文献^[2]试验中的模拟结果，当其他维修参数保持不变时，插值函数f和和横向供应时间T具有如下关系：

(25)

式中：α为回归参数；O为基地或中心仓库现有库存量。
对式(25)分析可知，当T=0时，f=0，达到了短缺数的下限；当T趋向于无穷大时，f趋近于1，此时达到了短缺数上限。故式(25)比较符合工程实践情况。
将式(23)和式(25)联立求出：

(26)

式(26)是α的数学解析式，α的回归关系式如下：

(27)

式中：D为所有基地日需求率的总和。
横向供应的数量可能有限，但其使短缺数下降的程度是非常大的^[2]，故虽然只进行少量横向供应，但对系统备件短缺数的降低是非常有意义的。
4.3 方案3：串件拼修 按方案1计算出的舰艇编队备件携带方案，无论在平时或战时都有具有较好的“鲁棒性”，即不论舰船是否进行串件拼修，方案1的保障效果都非常好，但本文还是要进行串件拼修下的编队可用度研究，主要基于以下2点原因：①现代舰船上面都有最新的模块化插件系统，串件拼修更容易实现；②串件拼修对战时想定更有军事意义。
本文从单个基地或中心仓库串件拼修模型和多层级串件拼修模型2个方面进行研究，后者是前者更深层次的问题，前者是后者的基础。
1) 单个基地或中心仓库串件拼修模型
在任一随机时刻，装备停机数量小于或等于y的概率分布函数G(y)为

(28)

式中：y为装备停机数量的上限值；G(y)为任一随机时刻装备停用数量小于等于y的概率分布函数。
当LRU_i待修件数量小于等于s_i+Z_iy时，不会出现停机的情况，对式(28)两边取对数，即

(29)

即使P_i服从泊松分布，式(28)中累计概率分布函数仍然不是凸函数，边际效应法不能使用，但在式(29)中只要P_i属于泊松分布、二项分布或负二项分布，其累计概率分布函数的对数就属于凸函数，这为使用边际效应法创造了前提条件。
串件拼修对策下装备可用度A_c可以用装备总数N减去装备停机数量的期望再除以N，即

(30)

对式(30)进行适当变形处理，用累计概率分布函数表示，即

(31)

对式(31)合并同类项可得

(32)

依据式(32)很容易求出装备最优库存携带方案，问题是其并不是备件的可分离加法函数，但仍然可以使用边际效应法求出其最优库存携带方案，只是无法确保曲线的每个点都是最优解，工程实践经验证明，这些非最优解非常少见，同时非最优解之后一般都是最优解，故虽然在串件拼修对策下求出装备可用度存在非最优解的情况，但本文还是认为在绝大多数的情况下，用可用度作为目标函数的好的方面超过不利的方面。
2) 多层级串件拼修模型
若SRU也可以进行串件拼修，则应将上述模型扩展到多层级，但文献^[2]指出，并不是所有的装备都可进行串件，故本文将SRU分为可串件和不可串件2部分内容进行研究。
1) 能进行串件项目。假设某一备件LRU_k由若干SRU_i(i∈Sub(k))组成，i∈I_nc是不能进行串件拼修的SRU_i集合，i∈I_c是能进行串件拼修的SRU_i集合。假设LRU_k的故障是由其分部件SRU_i故障导致的，因此在等待SRU_i过程中会出现LRU_k的修理延误，故可计算出因等待可串件SRU_i项目而导致LRU_k的修理延误件数y的稳态累计概率分布为

(33)

令LRU_k渠道供应件数X_k服从的概率分布为P_k(x)，可得LRU_k的短缺数小于等于n的概率分布函数为

(34)

式中：ψ_c(n)为串件拼修条件下LRU_k的短缺数小于等于n的概率分布函数。
2) 不能进行串件项目。对于不能进行串件的SRU_i备件造成的LRU_k短缺数概率分布函数的求解思路，可以按第4.1节的内容计算LRU_k供应渠道短缺数X_k的均值和方差，依据V_TMR确定X_k的概率密度函数：

(35)

对式(35)进行积分，可以求出LRU_k短缺数小于等于n的概率密度函数为

(36)

式中：ψ_nc(n)为串件拼修条件下LRU_k的短缺数小于等于n的概率分布函数。
依据式(34)和式(36)，可知LRU_k的短缺数小于等于n的概率密度函数，即

(37)

依据上述求解思路，可以计算出所有LRU_k的备件短缺数分布函数ψ(n)替代式(28)中P_k，并依据式(18)~式(21)计算得到舰艇可用度。
4.4 方案4：横向供应及串件拼修 依据第4.2节，可以将整个编队看成一个大的系统，本方案是广义上的横向供应，编队舰艇之间不仅进行备件的横向供应，同时也进行故障件的横向转运，本文假设所有故障件都被送往中心仓库进行串件拼修，装备的短缺数可以达到理论上的下限。同时本方案只是将所有故障件集中在中心仓库，这只是使故障件数量增加了，故障率需要按式(1)~式(4)重新计算，不是很复杂，适当调整即可得到，同时装备的累计概率分布函数也要进行适当调整，限于篇幅这里不再一一叙述。此时，在任一随机时刻装备的故障数小于等于y的概率G′(y)为

(38)

对式(38)两边取对数，即

(39)

系统可用度计算原理同式(30)一样，计算方法是相似的，即

(40)

对式(40)进行适当变形处理，用累计概率分布函数表示，即

(41)

对式(41)合并同类项可得

(42)

当所有故障件送往中心仓库时，因等待能够串件项目SRU_i而导致LRU_k修理延误数y的稳态概率分布为

(43)

令LRU_k渠道供应件数X_Tk服从的概率分布为P′_k(x)，并可得LRU_k的短缺数小于等于n的概率分布函数为

(44)

对于不能进行串件的SRU_i元件造成的LRU_k短缺数概率分布函数的求解思路，可以按第4.1节的内容计算LRU_k供应渠道短缺数X_Tk的均值和方差，依据V_TMR确定X_Tk的概率分布函数：

(45)

对式(45)进行积分，可以求出LRU_k短缺数小于等于n的概率密度函数为

(46)

依据式(44)和式(45)，可知LRU_k的短缺数小于等于n的概率分布函数，即

(47)

依据上述求解思路，可以计算出所有LRU_k的备件短缺数分布函数ψ′(n)替代式(39)中P′，并依据式(40)~式(43)计算得到舰艇可用度。
5 实例分析 以舰船编队出海前需要制定合理的备件携带方案为目的，编队一般由1艘综合补给舰和2艘最新型护卫舰或驱逐舰组成，最新型舰艇装备相似度非常高，装备彼此之间的差异性非常小，其舰上也有专门的装备维修分队，这样编队形成了1个中心仓库和3个基地的两层两级的保障形式。
护航备件携带清单数以万计，显然不能一一列举进行研究，同时本文重点在于给出模型建立原理及方法求解步骤和过程，故本案例选择8个电子备件(LRU₁、LRU₂、LRU₃、LRU₄、LRU₅、LRU₆、SRU₁₁、SRU₁₂)单元为研究对象，其中，LRU₁在基地或中心仓库进行修理工作时产生单元SRU₁₁及SRU₁₂需求的概率分别为0.6和0.4，除去待机、补给及停靠码头的时间，假设装备每天平均工作20 h。执行任务期间装备共需要工作1 800 h。上述8个单元的一些维修参数信息见表 2。表中：T_w为故障件修理需要的时间(以任务周期计)；r₁为故障件能在舰艇1被修复完好的概率；r₂为故障件能在舰艇2被修复完好的概率；r₃为故障件能在舰艇3被修复完好的概率。
表 2 备件保障参数信息 Table 2 Information of spare parts support parameters

备件	Z	MTBF/h	C/万元	M/kg	V/m3	r1	r2	r3	Tw
LRU1	1	998	5.2	28.7	1.8	0.8	0.8	0.8	0.5
LRU2	1	1 617	4.1	12.3	2.1	0.7	0.7	0.7	0.4
LRU3	1	1 053	3.9	6.5	0.9	0.9	0.9	0.9	0.7
LRU4	1	552	8.3	3.7	1.9	0.8	0.8	0.8	0.7
LRU5	1	1 001	2.1	4.2	4.1	0.9	0.9	0.9	0.6
LRU6	1	1 775	4.5	13.6	1.3	0.8	0.8	0.8	0.8
SRU11	1	2 234	1.6	1.9	0.6	0	0	0	0.5
SRU12	1	997	1.8	3.1	0.5	0	0	0	0.5

表选项






因单元复杂程度不一样，故单元之间能否在舰上进行修理的概率及维修所需要的时间是不一样的，如LRU₁和LRU₂在基地能被修复的概率分别为0.8和0.7，维修所需周期分别为0.5及0.4任务周期。同时因假设基地不具备修理SRU的能力，SRU集中在综合补给船上修理，故SRU在基地能被修理的概率为0。按第2节中的需求率计算模型及表 2的8个单元维修参数信息，可计算出：方案1和方案3的基地和中心仓库的备件需求率分别为(1.803 6,1.113 2,1.709 4,3.260 9,1.798 2,1.014 1,0.865 7,0.557 2)和(1.082 2,1.002 0,0.512 3,1.956 5,0.608 5,3.679 2,2.453 0)，方案2和方案4的编队备件需求率为(6.493 0，4.341 0，5.641 0，11.739 2，5.934 0，3.650 8，4.184 6)。基地3个影响因素约束指标值为：130万元、314 kg、54 m³。中心仓库的3个影响因素的约束指标为132万元、360 kg、55.5 m³。因本文重点介绍模型的计算方法和步骤，编队整个约束指标做了简单的线性叠加，针对具体问题具体调整即可，但问题求解原理并没有变化，编队的3个影响因素的约束指标为522万元、1 302 kg、217.5 m³。按第4节4个方案的模型及方法求解过程及步骤，同时按第3节中的目标函数和约束条件，求出此时4个方案对应的编队总的可用度、保障经费，具体见表 3。
表 3 费用约束下的4个方案可用度 Table 3 Availability of four projects under cost constraint

方案	保障站点	指标			可用度 A/%	站点			编队
		C/万元	M/kg	V/m3		C/万元	M/kg	V/m3	A/%	C/万元	M/kg	V/m3
1	基地	130	314	54.0	85.24	125.5	289.6	54.8	86.56	504.5	1 176.6	220.2
	中心仓库	132	360	55.5	90.43	128.0	307.8	55.8
2	编队	522	1 302	217.5	99.29	516.3	1 205.7	221.2	99.29	516.3	1 205.7	221.2
3	基地	130	314	54.0	90.22	122.2	314.4	57.6	91.82	493.2	1 304.3	229.0
	中心仓库	132	360	55.5	96.62	126.6	361.1	56.2
4	编队	522	1 302	217.5	99.94	521.1	1 315.5	232.0	99.94	521.1	1 315.5	232.0

表选项






从表 3中可以看出，方案1基地和中心仓库总体积按本文模型方法和步骤计算得到的值分别超过了舰船指标0.8 m³及0.3 m³；方案2编队总体积按模型方法和步骤计算得到的值超过了编队指标1.0 m³；方案3基地总体积按文中模型方法和步骤计算得到的值分别超过了舰船指标3.6 m³和0.4 kg，方案3中心仓库总质量和体积按文中模型方法和步骤计算得到的值分别超过了舰船指标的1.1 kg及0.7 m³；方案4编队总质量和体积按文中模型方法和步骤计算得到的值分别超过了舰船指标的13.5 kg及14.5 m³。
上述4个方案中都有1~2个指标超过了舰船所能承受最大值的上限，需要按第3节方法和步骤重新计算得到方案1基地和中心仓库综合约束因子值分别为(21.759 6,14.239 6,14.254 7,13.309 7,13.370 8,3.797 5,4.288 5)和(21.264 1,14.032 2,8.667 6,14.197 1,13.251 6,13.137 7,3.766 5,4.236 1)。同理，方案2为(21.691 2,14.268 6,8.784 1,14.319 2,14.468 3,13.358 1,3.814 1,4.294 5)，方案3分别为(20.173 8,13.335 9,8.335 8,13.769 0,12.544 0,3.611 4,4.065 7)及(19.316 9,13.142 9,8.206 3,13.877 3,12.808 4,12.196 6,3.617 7,4.013 2)，方案4为(20.608 8，13.687 3，8.495 4，14.032 2，12.970 7，12.805 6,3.699 9,4.150 6)。依据上述综合保障因子值按第4节方法和步骤，可求出各个指标值，将这些值和指标值进行对比，可得全部满足要求，此时求出的4个备件携带方案即为在4种情况下的最优方案，如表 4所示。
表 4 多约束下的4个方案可用度 Table 4 Availability of four projects under multi-constraint

方案	保障站点	指标			可用度 A/%	站点			编队
		C/万元	M/kg	V/ m3		C/万元	M/kg	V/m3	A/%	C/万元	M/kg	V/m3
1	基地	130	314	54.0	52.62	125.2	288.5	51.2	62.35	505.6	1 181.4	207.4
	中心仓库	132	360	55.5	91.54	130.0	315.9	53.8
2	编队	522	1 302	217.5	99.23	515.8	1 201.5	217.1	99.23	515.8	1 201.5	217.1
3	基地	130	314	54.0	59.82	111.0	275.0	50.8	68.76	451.4	1 157.4	206.8
	中心仓库	132	360	55.5	95.57	121.4	332.4	54.4
4	编队	522	1 302	217.5	99.85	497.8	1 223.8	216.8	99.85	497.8	1 223.8	216.8

表选项






图 1给出了费用约束下的方案1~方案4的费效曲线。图 2给出了综合资源约束因子约束下的4个方案最优费效曲线。

图 1 费用约束下基地、中心仓库及编队的费效曲线 Fig. 1 Cost effectiveness of warship,central support warehouse and warship formation under cost constraint

图选项

图 2 多约束下的基地、中心仓库及编队的费效曲线 Fig. 2 Cost effectiveness of warship,central support warehouse and warship formation under multi-constraints

图选项

从图 1和图 2可以看出：
1) 在单个约束条件下求出的编队器材配置方案，是不考虑其他约束条件时的最优方案，其余约束指标实际值往往会超过指标值的上限。
2) 所有离散点的物理意义是在该约束指标值下所能达到的最大可用度值，同时等价于要达到该可用度要求时最低的指标值。
3) 按单个约束条件求出的器材配置方案和按所有约束因素求出的方案相比，往往会有某个指标实际值超过了总的上限值，与实际工程情况不符合，故按本文方法和模型可有效解决上述存在的问题。
4) 方案1~方案4中，方案1无论是否采取串件拼修或横线供应，其保障效能都是非常高效的，但其是以花费大量保障费用为代价的；方案2~方案4对战时和非稳态情况更有意义。
5) 因本文选取备件数量比较少，导致部分图的“形状”看似不合理，但实质上其都是符合边际效应法原理的。
6 结 论 1) 本文主要针对非稳态及多约束条件下的系统器材配置方案进行了研究，给出了4个方案的求解模型和步骤，并将4个方案进行了对比分析，可为决策者依据实际工程情况制定器材配置方案提供有效的参考，具有一定的经济和军事意义。
2) 当编队舰艇数量增加时，只是增加了本模型计算工作量，本文方法和求解步骤同样适用。
3) 本文产生的工程背景是编队索马里护航器材配置的两层两级问题，可为解决多约束及非稳态条件下的器材配置三层三级问题提供一些借鉴，其是下一步研究的主要目标。
4) 对于包含LRU、SRU的两级两层供给结构本文的解析算法是可以解决的，但是对于超过两层两级的更为复杂的结构，若想用解析法求出备件需求情况是极为困难的，故未来研究中会着重偏向计算机仿真方面。

参考文献

[1]	SHERBROOKE C C. METRIC:A multi-echelon technique for recoverable item control[J].Operations Research, 1968, 16(1): 122–141.DOI:10.1287/opre.16.1.122
[2]	SHERBROOKE C C. Optimal inventory modeling of systems:Multi-echelon techniques[M].Amsterdam: Springer Science & Business Media, 2006.
[3]	LEVNER E, PERLMAN Y, CHENG T C E, et al. A network approach to modeling the multi-echelon spare-part inventory system with backorders and interval-valued demand[J].International Journal of Production Economics, 2011, 132(1): 43–51.DOI:10.1016/j.ijpe.2011.03.004
[4]	SAMOUEI P, KHEIRKHAH A S, FATTAHI P. A network approach modeling of multi-echelon spare-part inventory system with backorders and quantity discount[J].Annals of Operations Research, 2015, 226(1): 551–563.DOI:10.1007/s10479-014-1718-z
[5]	COSTANTINO F, DI GRAVIO G, TRONCI M. Multi-echelon,multi-indenture spare parts inventory control subject to system availability and budget constraints[J].Reliability Engineering & System Safety, 2013, 119: 95–101.
[6]	TOPAN E, BAYINDIR Z P. Multi-item two-echelon spare parts inventory control problem with batch ordering in the central warehouse under compound Poisson demand[J].Journal of the Operational Research Society, 2012, 63(8): 1143–1152.DOI:10.1057/jors.2011.125
[7]	WONG H, VAN HOUTUM G J, CATTRYSSE D, et al. Multi-item spare parts systems with lateral transshipments and waiting time constraints[J].European Journal of Operational Research, 2006, 171(3): 1071–1093.DOI:10.1016/j.ejor.2005.01.018
[8]	WONG H, KRANENBURG B, VAN HOUTUM G J, et al. Efficient heuristics for two-echelon spare parts inventory systems with an aggregate mean waiting time constraint per local warehouse[J].OR Spectrum, 2007, 29(4): 699–722.DOI:10.1007/s00291-007-0077-4
[9]	WONG H, VAN HOUTUM G J, CATTRYSSE D, et al. Simple,efficient heuristics for multi-item multi-location spare parts systems with lateral transshipments and waiting time constraints[J].Journal of the Operational Research Society, 2005, 56(12): 1419–1430.DOI:10.1057/palgrave.jors.2601952
[10]	TOPAN E, BAYINDIR Z P, TAN T. An exact solution procedure for multi-item two-echelon spare parts inventory control problem with batch ordering in the central warehouse[J].Operations Research Letters, 2010, 38(5): 454–461.DOI:10.1016/j.orl.2010.05.006
[11]	WONG H, CATTRYSSE D, VAN OUDHEUSDEN D. Inventory pooling of repairable spare parts with non-zero lateral transshipment time and delayed lateral transshipments[J].European Journal of Operational Research, 2005, 165(1): 207–218.DOI:10.1016/j.ejor.2003.09.031
[12]	TIACCI L, SAETTA S. Reducing the mean supply delay of spare parts using lateral transshipments policies[J].International Journal of Production Economics, 2011, 133(1): 182–191.DOI:10.1016/j.ijpe.2010.03.020
[13]	PATERSON C, KIESMVLLER G, TEUNTER R, et al. Inventory models with lateral transshipments:A review[J].European Journal of Operational Research, 2011, 210(2): 125–136.DOI:10.1016/j.ejor.2010.05.048
[14]	FISHER W W. Markov process modelling of a maintenance system with spares,repair,cannibalization and manpower constraints[J].Mathematical and Computer Modelling, 1990, 13(7): 119–125.DOI:10.1016/0895-7177(90)90134-9
[15]	EYNAN A. The multi-location inventory centralization problem with first-come,first-served allocation[J].European Journal of Operational Research, 1999, 114(1): 38–49.DOI:10.1016/S0377-2217(98)00036-8
[16]	蔡芝明, 金家善, 李广波. 多约束下随船备件配置优化方法[J].系统工程理论与实践, 2015, 35(6): 1561–1566.CAI Z M, JIN J S, LI G B. Warship spare parts allotment optimization method under multi-constraints[J].Systems Engineering-Theory & Practice, 2015, 35(6): 1561–1566.(in Chinese)
[17]	刘任洋, 李庆民, 李华. 基于横向转运策略的可修件三级库存优化模型[J].航空学报, 2014, 35(12): 3341–3349.LIU R Y, LI Q M, LI H. Optimal model of three-echelon inventory for repairable spare parts with lateral transshipments strategy[J].Acta Aeronautica et Astronatica Sinica, 2014, 35(12): 3341–3349.(in Chinese)
[18]	LI Y Y.The big data:Check the smart ship time[EB/OL].Beijing:Economic Daily News,2014(2014-10-20)[2016-01-04].http://www.ce.cn/xwzx/gnsz/gdxw/201410/20/t20141020_3730494.shtml.