摘要:研究并证明时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理. 首先, 建立任意时间尺度上Pfaff-Birkhoff原理和广义Pfaff-Birkhoff原理, 由此导出时间尺度上非迁移Birkhoff系统(包括自由Birkhoff系统、广义Birkhoff系统和约束Birkhoff系统)的动力学方程. 其次, 基于非迁移Birkhoff方程中的动力学函数经历变换后仍满足原方程的不变性, 给出了时间尺度上Mei对称性的定义, 导出了相应的判据方程. 再次, 建立并证明了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理, 得到了时间尺度上Birkhoff系统的Mei守恒量. 并通过3个算例说明了结果的应用.
关键词: Birkhoff系统/
Mei对称性定理/
时间尺度/
非迁移变分学

English Abstract

全文HTML

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Birkhoff力学起源于Birkhoff^[1]的著作《动力系统》. Santilli^[2]首次提出Birkhoff力学一词, 并详细地讨论了Birkhoff方程的构造、变换理论及其对强子物理的应用. 梅凤翔等^[3]和Galiullin等^[4]从各自角度分别独立地研究了Birkhoff系统动力学, 他们的研究各具特色且更侧重于分析力学. 文献[5]构建了广义Birkhoff系统动力学. 梅凤翔先生^[6]指出Birkhoff力学是分析力学发展的第4个阶段. 近年来, Birkhoff力学在对称性理论^[7-13]、几何动力学^[14,15]、全局分析与稳定性^[16,17]、数值计算^[18-22]等研究方向上都取得了重要进展.
时间尺度, 即实数集的任意非空闭子集, 最早是由Hilger博士^[23]引进的. 由于实数集和整数集本身就是一类特殊的时间尺度, 因而在时间尺度上不仅可以统一地处理连续系统和离散系统, 而且可以处理既有连续又有离散的复杂动力学过程. 近20年来, 时间尺度分析理论不仅在理论上不断完善^[24-26], 其应用领域也在不断拓广^[27-34]. 文献[35]最早提出并研究了时间尺度上基于delta导数的自由Birkhoff系统动力学及其Noether对称性. 文献[36]利用对偶原理将文献[35]的结果拓展到nabla导数情形. 文献[37]给出了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Noether定理. 但是, 这些研究尚限于: 1)自由Birkhoff系统; 2) Noether对称性; 3)守恒量是Noether型的. 文献[38, 39]初步研究了时间尺度上Birkhoff系统的Lie对称性和Mei对称性, 但是其守恒量的证明基于第二Euler-Lagrange方程, 而数值计算表明该方程并不成立^[34]. 此外, 根据Bourdin^[33]的研究, 在离散层面非迁移情形的结果是保变分结构及其相关性质的, 尽管迄今时间尺度上非迁移变分问题研究还很少. 本文研究时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性, 包括自由Birkhoff系统、广义Birkhoff系统和约束Birkhoff系统, 建立并证明上述3类Birkhoff系统的Mei对称性定理, 给出时间尺度上新型守恒量, 称之为Mei守恒量.

关于时间尺度上微积分及其基本性质, 读者可参阅文献[24, 25].
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2.1.Pfaff-Birkhoff原理及其推广

在时间尺度上, 非迁移Pfaff作用量为

$ A = \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left[ {{R_\beta }\left( {t,{a_\gamma }\left( t \right)} \right)a_\beta ^\Delta - B\left( {t,{a_\gamma }\left( t \right)} \right)} \right]} \Delta t , $

其中$ {R_\beta }:{\mathbb{T}} \times {\mathbb{R}^{2 n}} \to \mathbb{R} $是时间尺度上Birkhoff函数组, $ B:{\mathbb{T}} \times {\mathbb{R}^{2 n}} \to \mathbb{R} $是时间尺度上Birkhoff函数, $ a_\beta ^\Delta $是Birkhoff变量$ {a_\beta } $对时间的delta导数. 设所有函数都是$ C_{{\text{rd}}}^{{\text{1, }}\Delta }\left( {\mathbb{T}} \right) $函数. $ \beta , \gamma = 1, 2, \cdots , 2 n $. 非迁移是指作用量(1)中的变量$ {a_\gamma } $没有经过前跳算子$\sigma $或后跳算子$\rho $的作用而发生跃迁^[33].
等时变分原理

$ {\text{δ}}A = 0 , $

且满足端点条件

$ {\left. {{\text{δ}}{a_\beta }} \right|_{t = {t_1}}} = {\left. {{\text{δ}}{a_\beta }} \right|_{t = {t_2}}} = 0 , $

以及互易关系

$ {\text{δ}}a_\beta ^\Delta = {\left( {{\text{δ}}{a_\beta }} \right)^\Delta } . $

原理(2)称为时间尺度上非迁移Pfaff-Birkhoff原理.
等时变分原理(2) 可推广为

$ \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left[ {\text{δ}\left({{R_\beta }a_\beta ^\Delta - B} \right) + {\varPhi _\beta }{\text{δ}}{a_\beta }} \right]} \Delta t = 0 , $

式中${\varPhi _\beta } = {\varPhi _\beta }\left( {t, {a_\gamma }} \right)$表示附加项^[5]. 原理(5)式可称为时间尺度上非迁移广义Pfaff-Birkhoff原理.
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2.2.自由Birkhoff系统

由原理(2), 容易导出

$ \int_{{t_1}}^{{t_2}} {\left[ {{R_\beta } + \int_{{t_1}}^{\sigma \left( t \right)} {\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {R_\gamma }}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right)\Delta \tau } } \right]{\text{δ}}a_\beta ^\Delta \Delta t} = 0 , $

其中$ \sigma \left( t \right) $是前跳算子. 考虑到${\text{δ}}a_\beta ^\Delta$的独立性, 由时间尺度上Dubois-Reymond引理^[24], 得到

$ {R_\beta } + \int_{{t_1}}^{\sigma \left( t \right)} {\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {R_\gamma }}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right)\Delta \tau } = {C_\beta } , $

其中$ {C_\beta } $为常数. 因此有

$\begin{split} & \frac{\nabla }{{\nabla t}}{R_\beta } + {\sigma ^\nabla }\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {R_\gamma }}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right) = 0 \\& \qquad \left( {\beta = 1,2, \cdots ,2n} \right) . \end{split}$

方程(8)为时间尺度上非迁移Birkhoff方程.
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2.3.广义Birkhoff系统

由原理(5), 可导出

$\begin{split} &\int_{{t_1}}^{{t_2}} \left[ {{R_\beta } + \int_{{t_1}}^{\sigma \left( t \right)} {\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {R_\gamma }}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta - {\varPhi _\beta }} \right)\Delta \tau } } \right]\\&\times{\text{δ}}a_\beta ^\Delta \Delta t = 0 . \end{split}$

类似于方程(8), 有

$\begin{split} &\frac{\nabla }{{\nabla t}}{R_\beta } + {\sigma ^\nabla }\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {R_\gamma }}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right) \\=\;& {\sigma ^\nabla }{\varPhi _\beta }\quad\left( {\beta = 1,2, \cdots ,2n} \right) . \end{split}$

方程(10)可称为时间尺度上非迁移广义Birkhoff方程.
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2.4.约束Birkhoff系统

约束方程为

$ {f_j}\left( {t,{a_\beta }} \right) = 0~~\left( {j = 1,2, \cdots ,2g} \right) , $

将(11)式取变分, 得

$ \frac{{\partial {f_j}}}{{\partial {a_\beta }}}{\text{δ}}{a_\beta } = 0 . $

由(6)式和(12)式, 容易导出

$ \frac{\nabla }{{\nabla t}}{R_\beta } + {\sigma ^\nabla }\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {R_\gamma }}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right) = {\sigma ^\nabla }{\lambda _j}\frac{{\partial {f_j}}}{{\partial {a_\beta }}} , $

其中$ {\lambda _j} = {\lambda _j}\left( {t, {a_\beta }} \right) $为约束乘子. 假设约束(11)式相互独立, 则由(11)式和(13)式可解出$ {\lambda _j} $. 于是方程(13)可写成

$ \frac{\nabla }{{\nabla t}}{R_\beta } + {\sigma ^\nabla }\left( {\frac{{\partial B}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {R_\gamma }}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right) = {\sigma ^\nabla }{P_\beta } , $

其中${P_\beta } = {\lambda _j}\dfrac{{\partial {f_j}}}{{\partial {a_\beta }}}$. 方程(14)可视作与约束Birkhoff系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff系统. 只要初始条件满足约束方程(11), 那么方程(14)的解就给出约束Birkhoff系统的运动.

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3.1.自由Birkhoff系统

引进无限小变换

$\begin{split}&\; \bar t = t + \upsilon {\xi _0}\left( {t,{a_\gamma }} \right),\\&\;{\bar a_\beta }\left( {\bar t} \right) = {a_\beta }\left( t \right) + \upsilon {\xi _\beta }\left( {t,{a_\gamma }} \right) \\&\left( {\beta ,\gamma = 1,2, \cdots ,2n} \right) , \end{split}$

其中映射$ t \mapsto \vartheta \left( t \right) = t + \upsilon {\xi _0} + o\left( \upsilon \right) $是1个严格递增$C_{{\text{rd}}}^{1, \Delta }$函数, $\upsilon \in {\mathbb{R}}$是无限小参数, $ \vartheta \left( t \right) $是一个新的时间尺度${\bar {\mathbb{T}}}$, 前跳算子为${\bar \sigma}$, delta导数为${\bar \Delta}$.
在变换(15)下, 动力学函数$B$和${R_\beta }$变换为$\bar B$和${\bar R_\beta }$, 有

$\begin{split} &\bar B = B\left( {\bar t,{{\bar a}_\gamma }\left( {\bar t} \right)} \right) = B\left( {\vartheta \left( t \right),\left( {{{\bar a}_\gamma } \circ \vartheta } \right)\left( t \right)} \right),\\ &{\bar R_\beta } = {R_\beta }\left( {\bar t,{{\bar a}_\gamma }\left( {\bar t} \right)} \right) = {R_\beta }\left( {\vartheta \left( t \right),\left( {{{\bar a}_\gamma } \circ \vartheta } \right)\left( t \right)} \right) . \end{split}$

将(16)式在$\upsilon = 0$处Taylor级数展开, 得到

$\begin{split} &\bar B = B\left( {t,{a_\gamma }} \right) + \upsilon {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) + O\left( {{\upsilon ^2}} \right) ,\\&{\bar R_\beta } = {R_\beta }\left( {t,{a_\gamma }} \right) + \upsilon {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right) + O\left( {{\upsilon ^2}} \right) , \end{split}$

其中${Y^{\left( 0 \right)}} = {\xi _0}{\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial t}}} \right. } {\partial t}} + {\xi _\beta }{\partial \mathord{\left/ {\vphantom {\partial {\partial {a_\beta }}}} \right. } {\partial {a_\beta }}}$.
定义1　对于时间尺度上非迁移Birkhoff系统(8), 如果

$ \frac{\nabla }{{\nabla t}}{\bar R_\beta } + {\sigma ^\nabla }\left( {\frac{{\partial \bar B}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {{\bar R}_\gamma }}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right) = 0 $

成立, 则变换(15)称为Mei对称性的.
判据1　如果变换(15)满足如下判据方程:

$ \frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right) + {\sigma ^\nabla }\left[ {\frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\gamma }} \right)}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right] = 0 , $

则变换相应于时间尺度上非迁移Birkhoff系统(8)的Mei对称性.
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3.2.广义Birkhoff系统

设时间尺度上动力学函数$B$, ${R_\beta }$和${\varPhi _\beta }$经历变换(15)后, 成为$\bar B$, ${\bar R_\beta }$和${\bar \varPhi _\beta }$, 有

$\begin{split}& \bar B = B\left( {t,{a_\gamma }} \right) + \upsilon {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) + O\left( {{\upsilon ^2}} \right) ,\\&{\bar R_\beta } = {R_\beta }\left( {t,{a_\gamma }} \right) + \upsilon {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right) + O\left( {{\upsilon ^2}} \right) ,\\&{\bar \varPhi _\beta } = {\varPhi _\beta }\left( {t,{a_\gamma }} \right) + \upsilon {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{\varPhi _\beta }} \right) + O\left( {{\upsilon ^2}} \right) . \end{split}$

于是有下述定义2和判据2.
定义2　对于时间尺度上非迁移广义Birkhoff系统(10), 如果

$ \frac{\nabla }{{\nabla t}}{\bar R_\beta } + {\sigma ^\nabla }\left( {\frac{{\partial \bar B}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {{\bar R}_\gamma }}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right) = {\sigma ^\nabla }{\bar \varPhi _\beta } $

成立, 则变换(15)称为Mei对称性的.
判据2　如果变换(15)满足如下判据方程:

$\begin{split} &\frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right) + {\sigma ^\nabla }\left[ {\frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\gamma }} \right)}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right] \\=\;& {\sigma ^\nabla }{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{\varPhi _\beta }} \right) , \\[-10pt]\end{split}$

则变换相应于时间尺度上非迁移广义Birkhoff系统(10)的Mei对称性.
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3.3.约束Birkhoff系统

设时间尺度上动力学函数$B$, ${R_\beta }$和${P_\beta }$, 以及约束${f_j}$经历变换(15)后, 成为$\bar B$, ${\bar R_\beta }$, ${\bar P_\beta }$和${\bar f_j}$, 有

$\begin{split}& \bar B = B\left( {t,{a_\gamma }} \right) + \upsilon {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) + O\left( {{\upsilon ^2}} \right) ,\\&{\bar R_\beta } = {R_\beta }\left( {t,{a_\gamma }} \right) + \upsilon {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right) + O\left( {{\upsilon ^2}} \right) ,\\ &{\bar P_\beta } = {P_\beta }\left( {t,{a_\gamma }} \right) + \upsilon {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{P_\beta }} \right) + O\left( {{\upsilon ^2}} \right) ,\\ &{\bar f_j} = {f_j}\left( {t,{a_\gamma }} \right) + \upsilon {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{f_j}} \right) + O\left( {{\upsilon ^2}} \right) , \end{split}$

于是有下述定义3和判据3.
定义3　对于时间尺度上与约束Birkhoff系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff系统(14), 如果

$ \frac{\nabla }{{\nabla t}}{\bar R_\beta } + {\sigma ^\nabla }\left( {\frac{{\partial \bar B}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {{\bar R}_\gamma }}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right) = {\sigma ^\nabla }{\bar P_\beta } $

成立, 则变换(15)称为Mei对称性的.
判据3　如果变换(15)满足如下判据方程:

$\begin{split} &\frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right) + {\sigma ^\nabla }\left[ {\frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\gamma }} \right)}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta } \right] \\=\;& {\sigma ^\nabla }{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{P_\beta }} \right) , \\[-10pt]\end{split}$

则变换相应于时间尺度上相应自由Birkhoff系统(14)的Mei对称性.
定义4　对于时间尺度上约束Birkhoff系统(13)和(11), 如果方程(24)以及如下方程

$ {\bar f_j} = {f_j}\left( {\bar t,{{\bar a}_\gamma }\left( {\bar t} \right)} \right) = 0\quad\left( {j = 1,2, \cdots ,g} \right) $

成立, 则变换(15)称为Mei对称性的.
判据4　如果变换(15)满足判据方程(25)和如下限制方程:

$ {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{f_j}} \right) = 0 , $

则变换相应于时间尺度上约束Birkhoff系统(13)和(11)的Mei对称性.

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4.1.自由Birkhoff系统

定理1　假设变换(15)满足判据方程(19), 则时间尺度上非迁移Birkhoff系统(8)存在新型守恒量

$\begin{split} {I_{\text{M}}} =\;& {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)\xi _\beta ^\sigma - {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)\xi _0^\sigma + G_{\text{M}}^\sigma + \int_{{t_1}}^t {\xi _0}\Bigg\{ {\sigma ^\nabla }a_\beta ^\Delta \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)}}{{\partial t}} + \frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) - {\sigma ^\nabla }\frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)}}{{\partial t}} \Bigg\}\nabla t , \\[-15pt]\end{split}$

其中${G_{\text{M}}}$是规范函数, 满足

$\begin{split} {Y^{\left( 0 \right)}}\big[ {{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)} \big]a_\beta ^\Delta - {Y^{\left( 0 \right)}}\big[ {{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)} \big] + {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)\xi _\beta ^\Delta - {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)\xi _0^\Delta + G_{\text{M}}^\Delta = 0 . \end{split}$

证明

$\begin{split} \frac{\nabla }{{\nabla t}}{I_{\text{M}}} =\;& {\xi _\beta }\frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right) + {\sigma ^\nabla }\xi _\beta ^\Delta {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right) - {\xi _0}\frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) - {\sigma ^\nabla }\xi _0^\Delta {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) + \frac{\nabla }{{\nabla t}}G_{\text{M}}^\sigma \\& + {\xi _0}{\sigma ^\nabla }a_\beta ^\Delta \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)}}{{\partial t}} + {\xi _0}\frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) - {\xi _0}{\sigma ^\nabla }\frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)}}{{\partial t}} \\=\;& {\sigma ^\nabla }\Big\{ {Y^{\left( 0 \right)}}\left[ {{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)} \right]a_\beta ^\Delta - {Y^{\left( 0 \right)}}\left[ {{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)} \right] + {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)\xi _\beta ^\Delta - {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)\xi _0^\Delta + G_{\text{M}}^\Delta \Big\} \\ & + {\xi _\beta }\Bigg\{ \frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right) + {\sigma ^\nabla }\Bigg[ \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\gamma }} \right)}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta \Bigg]\Bigg\} . \end{split}$

将方程(19)和(29)代入(30)式, 得到

$ \frac{\nabla }{{\nabla t}}{I_{\text{M}}} = 0 . $

因此, (28)式是系统的守恒量. 证毕.
定理1可称为时间尺度上非迁移Birkhoff系统(8)的Mei对称性定理, (28)式称为Mei守恒量.
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4.2.广义Birkhoff系统

定理2　假设变换(15)满足判据方程(22), 则时间尺度上非迁移广义Birkhoff系统(10)存在新型守恒量

$\begin{split} {I_{\text{M}}} =\;& {Y^{(0)}}\left( {{R_\beta }} \right)\xi _\beta ^\sigma - {Y^{(0)}}( B )\xi _0^\sigma + G_{\text{M}}^\sigma \\ & + \int_{{t_1}}^t {\xi _0}\bigg[-{\sigma ^\nabla }{Y^{(0)}}\left( {{\varPhi _\beta }} \right)a_\beta ^\Delta + {\sigma ^\nabla }\frac{{\partial {Y^{(0)}}\left( {{R_\beta }} \right)}}{{\partial t}}a_\beta ^\Delta + \frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{(0)}}(B) - {\sigma ^\nabla }\frac{{\partial {Y^{(0)}}(B)}}{{\partial t}} \bigg]\nabla t , \\[-15pt]\end{split}$

其中${G_{\text{M}}}$是规范函数, 满足

$\begin{split} &{Y^{(0)}}\big[{{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)}\big] a_\beta ^\Delta - {Y^{(0)}}\big[{{Y^{(0)}}(B)}\big] + {Y^{( 0 )}}\left( {{R_\beta }} \right)\xi _\beta ^\Delta - {Y^{(0)}}(B)\xi _0^\Delta + {Y^{(0)}}\left( {{\varPhi _\beta }} \right)\left( {{\xi _\beta } - a_\beta ^\Delta {\xi _0}} \right) + G_{\text{M}}^\Delta = 0 . \end{split}$

证明

$\begin{split} \frac{\nabla }{{\nabla t}}{I_{\text{M}}} =\;& {\xi _\beta }\frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{(0)}}\left( {{R_\beta }} \right) + {\sigma ^\nabla }\xi _\beta ^\Delta {Y^{(0)}}\left( {{R_\beta }} \right) - {\xi _0}\frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{(0)}}(B) - {\sigma ^\nabla }\xi _0^\Delta {Y^{(0)}}(B) + \frac{\nabla }{{\nabla t}}G_{\text{M}}^\sigma - {\xi _0}{\sigma ^\nabla }{Y^{(0)}}\left( {{\varPhi _\beta }} \right)a_\beta ^\Delta \\ &+ {\xi _0}{\sigma ^\nabla }a_\beta ^\Delta \frac{{\partial {Y^{(0)}}\left( {{R_\beta }} \right)}}{{\partial t}} + {\xi _0}\frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{(0)}}(B) - {\xi _0}{\sigma ^\nabla }\frac{{\partial {Y^{(0)}}(B)}}{{\partial t}}\\ =\;& {\sigma ^\nabla }\Big\{ {Y^{(0)}}\big[ {{Y^{(0)}}\left( {{R_\beta }} \right)} \big]a_\beta ^\Delta - {Y^{(0)}}\big[{{Y^{(0)}}(B)} \big] + {Y^{(0)}}\left( {{R_\beta }} \right)\xi _\beta ^\Delta - {Y^{(0)}}(B)\xi _0^\Delta + {Y^{(0)}}\left( {{\varPhi _\beta }} \right)( {{\xi _\beta } - a_\beta ^\Delta {\xi _0}} ) + G_{\text{M}}^\Delta \Big\} \\&+ {\xi _\beta }\Bigg\{ \frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{(0)}}\left( {{R_\beta }} \right) + {\sigma ^\nabla }\Bigg[ \frac{{\partial {Y^{(0)}}(B)}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {Y^{(0)}}\left( {{R_\gamma }} \right)}}{{\partial {a_\beta }}}a_\gamma ^\Delta \Bigg] - {\sigma ^\nabla }{Y^{(0)}}\left( {{\Phi _\beta }} \right) \Bigg\}.\\[-12pt] \end{split}$

将方程(22)和方程(33)代入(34)式, 得到$\dfrac{\nabla }{{\nabla t}}{I_{\text{M}}} = 0$, 于是(32)式是系统的守恒量.
定理2可称为时间尺度上非迁移广义Birkhoff系统(10)的Mei对称性定理, (32)式称为Mei守恒量. 证毕.
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4.3.约束Birkhoff系统

定理3　假设变换(15)满足判据方程(25), 则时间尺度上与约束Birkhoff系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff系统(14)存在新型守恒量

$\begin{split} {I_{\text{M}}} =\;& {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)\xi _\beta ^\sigma - {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)\xi _0^\sigma + G_{\text{M}}^\sigma\\&+ \int_{{t_1}}^t {\xi _0}\Bigg[ - {\sigma ^\nabla }{Y^{(0)}}\left( {{P_\beta }} \right)a_\beta ^\Delta + {\sigma ^\nabla }a_\beta ^\Delta \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)}}{{\partial t}}\\& + \frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) - {\sigma ^\nabla }\frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)}}{{\partial t}} \Bigg]\nabla t , \\[-18pt]\end{split}$

其中${G_{\text{M}}}$是规范函数, 满足

$\begin{split}& {Y^{\left( 0 \right)}}\left[ {{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)} \right]a_\beta ^\Delta - {Y^{\left( 0 \right)}}\left[ {{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)} \right] \\& + {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)\xi _\beta ^\Delta - {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)\xi _0^\Delta \\& + {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{P_\beta }} \right)\left( {{\xi _\beta } - a_\beta ^\Delta {\xi _0}} \right) + G_{\text{M}}^\Delta = 0 . \end{split}$

定理4　假设变换(15)满足判据方程(25)和限制条件(27)式, 则时间尺度上约束Birkhoff系统(13)和(11)存在新型守恒量(35), 其中规范函数${G_{\text{M}}}$满足方程(36).
定理3为时间尺度上与约束Birkhoff系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff系统(14)的Mei对称性定理. 定理4为时间尺度上非迁移约束Birkhoff系统的Mei对称性定理, (35)式是Mei守恒量.

例1　研究时间尺度上Birkhoff系统, 设Birkhoff函数和Birkhoff函数组为

$\begin{split} &B = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {{a_3}} \right)}^2} + 2{a_2}{a_3} - {{\left( {{a_4}} \right)}^2}} \right]\text{, } \\& {R_1} = {a_2} + {a_3}\text{, }{R_2} = 0\text{, }{R_3} = {a_4}\text{, }{R_4} = 0. \end{split}$

试研究该系统的Mei对称性与守恒量.
由方程(8)得到

$\begin{split} &\frac{\nabla }{{\nabla t}}{a_2} + \frac{\nabla }{{\nabla t}}{a_3} = 0\text{, } - {\sigma ^\nabla }\left( {a_1^\Delta - {a_3}} \right) = 0\text{, } \\&\frac{\nabla }{{\nabla t}}{a_4} - {\sigma ^\nabla }\left( {a_1^\Delta - {a_3} - {a_2}} \right) = 0\text{, } \\&- {\sigma ^\nabla }\left( {a_3^\Delta + {a_4}} \right) = 0. \end{split}$

如取${\mathbb{T}} = {\mathbb{R}}$, 则方程(38)成为

$ \begin{split}& {\dot a_2} + {\dot a_3} = 0\text{, } {\dot a_1} - {a_3} =0\text{, } \\& {\dot a_4} - {\dot a_1} + {a_3} + {a_2} = 0\text{, } {\dot a_3} + {a_4} = 0. \end{split}$

这是著名的Hojman-Urrutia问题^[3,4]. 该问题本质上不是自伴随的, 因此没有Lagrange结构或Hamilton结构.
下面来计算Mei对称性. 经计算, 有

$\begin{split}& {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) = {\xi _2}{a_3} + {\xi _3}\left( {{a_2} + {a_3}} \right) - {\xi _4}{a_4} \text{, } \\ &{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_1}} \right) = {\xi _2} + {\xi _3} \text{, } ~~{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_2}} \right) = 0 \text{, }\\ &{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_3}} \right) = {\xi _4} \text{, }~~ {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_4}} \right) = 0 . \end{split}$

取生成函数为

$\begin{split} {\xi _0} =\;& 1\text{, }~~{\xi _1} = a_2^\rho + a_3^\rho + \rho \left( t \right)\text{, }\\ {\xi _2} =\;& 2\left( {1 + \frac{{{a_3}}}{{{a_2}}}} \right)\text{, }~~{\xi _3} = - \frac{{2{a_3}}}{{{a_2}}}\text{, }~~{\xi _4} = 0, \end{split}$

则

$\begin{split} &\;{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) = 0 \text{, }~~ {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_1}} \right) = 2 \text{, }~~ \\& {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_2}} \right) = {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_3}} \right) = {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_4}} \right) = 0 . \end{split}$

生成函数(41)满足判据方程(19), 因此它相应于系统的Mei对称性. 将(41)式代入方程(29), 可解得

$ {G_{\text{M}}} = - 2\rho \left( t \right). $

由定理1, 系统有Mei守恒量, 形如

$ {I_{\text{M}}} = 2\left( {{a_2} + {a_3}} \right) = {\text{const}}. $

(44)式表明, 对于任意的时间尺度, (44)式都是Birkhoff系统(37)的守恒量. 如取生成函数为

$\begin{split} {\xi _0} =\;& 0\text{, }~~{\xi _1} = a_2^\rho \sin \rho \left( t \right) + a_4^\rho \cos \rho \left( t \right) + \rho \left( t \right)\text{, }\\{\xi _2} =\;& 1 + \frac{{{a_3}}}{{{a_2}}}\text{, }~~{\xi _3} = - \frac{{{a_3}}}{{{a_2}}}\text{, }~~{\xi _4} = 0, \end{split}$

那么生成函数(45)也是Mei对称的, 由方程(29)得

$ {G_{\text{M}}} = a_3^\rho - {a_3} - \rho \left( t \right). $

由定理1, 得到Mei守恒量

$ {I_{\text{M}}} = {a_2}\sin t + {a_4}\cos t + {a_3} - a_3^\sigma = {\text{const}}. $

对于守恒量(47), 如果系统是通常的Birkhoff系统, 即取${\mathbb{T}} = {\mathbb{R}}$, 则$\sigma \left( t \right) = t$, 从而(47)式给出

$ {I_{\text{M}}} = {a_2}\sin t + {a_4}\cos t = {\text{const}}. $

这是通常意义下Hojman-Urrutia问题的守恒量^[3]. 如果是离散情形, 即取${\mathbb{T}} = h{\mathbb{Z}}$, 这里$h > 0$, 则$\sigma \left( t \right) = $$ t + h$, 从而(47)式成为

$ \begin{split}{I_{\text{M}}} =\;& {a_2}\left( t \right)\sin t + {a_4}\left( t \right)\cos t + {a_3}\left( t \right) \\&- {a_3}\left( {t + h} \right) = {\text{const}}. \end{split}$

这是步长为$h$的离散版本的Mei守恒量.
例2　研究时间尺度上广义Birkhoff系统

$\begin{split}& B = \frac{1}{2}{\left( {{a_3}} \right)^2} + {a_2}\text{, }~~ {R_1} = {a_3}\text{, }~~ {R_2} = {a_4}\text{, }\\& {R_3} = {R_4} = 0\text{, } ~~ {\varPhi _1} = {\varPhi _2} = {\varPhi _3} = 0\text{, }~~{\varPhi _4} = - {a_4} \end{split}$

的Mei对称性与守恒量.
广义Birkhoff方程(10)给出

$\begin{split} &\frac{\nabla }{{\nabla t}}{a_3} = 0\text{, } ~~\frac{\nabla }{{\nabla t}}{a_4} + {\sigma ^\nabla } = 0\text{, } \\& - {\sigma ^\nabla }\left( {a_1^\Delta - {a_3}} \right) = 0\text{, } ~~ - {\sigma ^\nabla }a_2^\Delta = - {\sigma ^\nabla }{a_4}. \end{split}$

计算Mei对称性, 由于

$\begin{split} &{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) = {\xi _3}{a_3} + {\xi _2} \text{, } ~~{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_1}} \right) = {\xi _3} \text{, }\\ &{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_2}} \right) = {\xi _4} \text{, } ~~{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_3}} \right) = {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_4}} \right) = 0 \text{, } \\ &{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{\varPhi _1}} \right) = {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{\varPhi _2}} \right) = {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{\varPhi _3}} \right) = 0 \text{, }\\&{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{\varPhi _4}} \right) = - {\xi _4} , \end{split}$

将(52)式代入判据方程(22), 有解

$\begin{split}& {\xi _0} = 0\text{, }~~\,{\xi _1} = a_4^\rho + 2t\text{, } ~~\,{\xi _2} = - {a_3}\text{, } ~~ {\xi _3} = 1\text{, }~~{\xi _4} = 0, \end{split}$

$\begin{split} & {\xi _0} = 0\text{, }~~\,{\xi _1} = a_3^\rho + 2t\text{, }~~\,{\xi _2} = - {a_3}\text{, }~~ {\xi _3} = 1\text{, }~~{\xi _4} = 0. \end{split}$

(53)式和(54)式相应于系统的Mei对称性. 将(53)式代入方程(33), 解得

$ {G_{\text{M}}} = - t. $

由定理2, 系统有Mei守恒量, 形如

$ {I_{\text{M}}} = {a_4} + \sigma \left( t \right) = {\text{const}}. $

同理, 相应于生成函数(54), ${G_{\text{M}}} = - 2 t$, 由定理2得

$ {I_{\text{M}}} = {a_3} = {\text{const}}. $

(56)式和(57)式是由Mei对称性(53)和(54)导致的Mei守恒量.
例3　研究时间尺度上约束Birkhoff系统

$\begin{split}& B = \frac{1}{2}{\left( {{a_3}} \right)^2} + {\left( {{a_4}} \right)^2} - g{a_1}\sin \varphi \text{, }\\ &{R_1} = {a_3}\text{, }{R_2} = {a_4}\text{, }{R_3} = {R_4} = 0, \end{split}$

约束为

$\begin{split}& {f_1} = {a_1} - {a_2} = 0\text{, }\\& {f_2} = {a_3} - 2{a_4} = 0. \end{split}$

试研究其Mei对称性与守恒量, 其中$g$和$\varphi $是常数.
方程(13)给出

$\begin{split} &\frac{\nabla }{{\nabla t}}{a_3} - {\sigma ^\nabla }g\sin \varphi = {\sigma ^\nabla }{\lambda _1} \text{, } ~~ \frac{\nabla }{{\nabla t}}{a_4} = - {\sigma ^\nabla }{\lambda _1} \text{, } \\& - {\sigma ^\nabla }\left( {a_1^\Delta - {a_3}} \right) = {\sigma ^\nabla }{\lambda _2}\text{, } \\&- {\sigma ^\nabla }\left( {a_2^\Delta - 2{a_4}} \right) = - 2{\sigma ^\nabla }{\lambda _2}. \end{split}$

由方程(59)和方程(60), 解得

$ {\lambda _1} = - \frac{1}{3}g\sin \varphi \text{, }~~{\lambda _2} = \frac{1}{3}\left( {{a_3} - 2{a_4}} \right), $

因此有

$\begin{split} {P_1} = \;& - \frac{1}{3}g\sin \varphi \text{, }~~{P_2} = \frac{1}{3}g\sin \varphi \text{, }\\{P_3} =\;& \frac{1}{3}\left( {{a_3} - 2{a_4}} \right)\text{, }~~{P_4} = - \frac{2}{3}\left( {{a_3} - 2{a_4}} \right). \end{split}$

做计算

$\begin{split}& {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) = {\xi _3}{a_3} + {\xi _4}{a_4} - {\xi _1}g\sin \varphi \text{, } ~~ {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_1}} \right) = {\xi _3} \text{, }\\& {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_2}} \right) = {\xi _4} \text{, } ~~{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_3}} \right) = {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_4}} \right) = 0 \text{, } \\& {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{P_1}} \right) = {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{P_2}} \right) = 0 \text{, } ~~{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{P_3}} \right) = \frac{1}{3}\left( {{\xi _3} - 2{\xi _4}} \right) \text{, } \\&{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{P_4}} \right) = - \frac{2}{3}\left( {{\xi _3} - 2{\xi _4}} \right) . \\[-15pt]\end{split}$

取生成函数为

$\begin{split} & {\xi _0} = 0\text{, }~~ {\xi _1} = \frac{{2a_3^\rho + a_4^\rho }}{{g\sin \varphi }}\text{, } \\& {\xi _2} = \frac{{2a_3^\rho + a_4^\rho }}{{g\sin \varphi }}\text{, }~~{\xi _3} = 2\text{, }~~{\xi _4} = 1, \end{split}$

则

$\begin{split} & {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) = 2{a_3} + {a_4} - 2a_3^\rho - a_4^\rho \\=&\; 2\nu \left( t \right)a_3^\nabla + \nu \left( t \right)a_4^\nabla = \frac{5}{3}g\mu \left( t \right)\sin \varphi,\\ & {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_1}} \right) = 2 \text{, }\\ & {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_2}} \right) = 1 \text{, }~~ {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_3}} \right) = {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_4}} \right) = 0 , \\ & {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{P_\beta }} \right) = 0~\,\,\left( {\beta = 1, \cdots ,4} \right) , \end{split}$

其中$ \mu \left( t \right) = \sigma \left( t \right) - t $为向前互差函数, $\nu \left( t \right) = t - $$ \rho \left( t \right)$为向后互差函数. 由判据4, 生成函数(64)相应于系统的Mei对称性. 将(65)式代入方程(36), 解得

$ {G_{\text{M}}} = - 5t. $

由定理4, 系统有Mei守恒量, 形如

$ {I_{\text{M}}} = \frac{3}{{g\sin \varphi }}\left( {2{a_3} + {a_4}} \right) - 5\sigma \left( t \right) = {\text{const}}. $

如果取时间尺度${\mathbb{T}} = {\mathbb{R}}$, 则前跳算子$\sigma \left( t \right) = t$, 互差函数$\mu \left( t \right) = 0$, 因此上述结果退化为通常意义下Birkhoff系统、广义Birkhoff系统和约束Birkhoff系统连续版本的变分原理、Birkhoff方程和Mei对称性定理.
例如, 对于自由Birkhoff系统, 当取${\mathbb{T}} = {\mathbb{R}}$时, 原理(2)成为

$ \begin{split} {\text{δ}}A = {\text{δ }}\int_{{t_1}}^{{t_2}} \left[ {R_\beta }\left( {t,{a_\gamma }\left( t \right)} \right){{\dot a}_\beta } - B\left( {t,{a_\gamma }\left( t \right)} \right) \right] \,{\text{d}}t = 0. \end{split} $

方程(8)成为

$ \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}{R_\beta } + \frac{{\partial B}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {R_\gamma }}}{{\partial {a_\beta }}}{\dot a_\gamma } = 0 . $

由判据方程(19)容易得到

$\begin{split} &{\sigma ^\nabla }a_\beta ^\Delta \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)}}{{\partial t}} + \frac{\nabla }{{\nabla t}}{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) - {\sigma ^\nabla }\frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)}}{{\partial t}} \\=\;& {\dot a_\beta }\frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)}}{{\partial t}} + \frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right) - \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)}}{{\partial t}} \\ =\;& \left[ {\frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\gamma }} \right)}}{{\partial {a_\beta }}} - \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)}}{{\partial {a_\gamma }}}} \right]{\dot a_\beta }{\dot a_\gamma } = 0 , \\[-15pt]\end{split}$

于是, 定理1退化为下述推论1.
推论1 　假设变换(15)满足判据方程(19), 则自由Birkhoff系统(69)的Mei对称性导致如下形式的守恒量:

$ {I_{\text{M}}} = {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right){\xi _\beta } - {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right){\xi _0} + {G_{\text{M}}} , $

其中${G_{\text{M}}}$是规范函数, 满足

$\begin{split} &{Y^{\left( 0 \right)}}\big[ {{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)} \big]{\dot a_\beta } - {Y^{\left( 0 \right)}}\big[ {{Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)} \big] \\ &+ {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right){\dot \xi _\beta } - {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right){\dot \xi _0} + {G_{\text{M}}} = 0 . \end{split}$

推论1是通常意义下自由Birkhoff系统连续版本的Mei对称性与守恒量定理^[7]. 而方程(68)、方程(69)和方程(71)就是通常意义下自由Birkhoff系统连续版本的Pfaff-Birkhoff原理、Birkhoff方程和Mei守恒量.
如果取时间尺度${\mathbb{T}} = h{\mathbb{Z}}$, 常数$h > 0$, 则前跳算子$\sigma \left( t \right) = t + h$, 互差函数$\mu \left( t \right) = h$. 此时, 原理(2)成为

$\begin{split} {\text{δ}}A =\;& {\text{δ }}\sum\limits_{\tau = {t_1}}^{{t_2} - h} \big\{ {R_\beta }\left( {\tau ,{a_\gamma }\left( \tau \right)} \right)\left[ {{a_\beta }\left( {\tau + h} \right) - {a_\beta }\left( \tau \right)} \right] \\&- B\left( {\tau ,{a_\gamma }\left( \tau \right)} \right)h \big\} = 0, \\[-10pt]\end{split}$

方程(8)成为

$\begin{split}& {R_\beta }\left( {t,{a_\gamma }\left( t \right)} \right) - {R_\beta }\left( {t - h,{a_\gamma }\left( {t - h} \right)} \right)\\& + \frac{{\partial B}}{{\partial {a_\beta }}}\left( {\tau ,{a_\gamma }\left( \tau \right)} \right)h - \frac{{\partial {R_\alpha }}}{{\partial {a_\beta }}}\left( {\tau ,{a_\gamma }\left( \tau \right)} \right)\\&\times\left[ {{a_\alpha }\left( {\tau + h} \right) - {a_\alpha }\left( \tau \right)} \right] = 0, \end{split}$

则定理1退化为下述推论2.
推论2　假设变换(15)满足判据方程(19), 则自由Birkhoff系统(74)的Mei对称性导致如下形式的守恒量:

$\begin{split} {I_{\text{M}}} = \;&{Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right){\xi _\beta }\left( {t + h} \right) - {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right){\xi _0}\left( {t + h} \right) + {G_{\text{M}}}\left( {t + h} \right) \\ & + \sum\limits_{\tau = {t_1}}^{t - h} {\xi _0}\left( \tau \right)\bigg\{ \big[ {a_\beta }(\tau + h) - {a_\beta}(\tau) ] \frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( {{R_\beta }} \right)}}{{\partial \tau }}\left( {\tau ,{a_\gamma }\left( \tau \right)} \right) + {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)\left( {\tau ,{a_\gamma }\left( \tau \right)} \right) \\& - {Y^{\left( 0 \right)}} \left( B \right)\left( {\tau - h,{a_\gamma }\left( {\tau - h} \right)} \right) - h\frac{{\partial {Y^{\left( 0 \right)}}\left( B \right)}}{{\partial \tau }}\left( {\tau ,{a_\gamma }\left( \tau \right)} \right) \bigg\}, \end{split}$

其中${G_{\text{M}}}$是规范函数, 满足

$\begin{split}&{Y^{(0)}}\left[ {{Y^{(0)}}\left( {{R_\beta }} \right)} \right]\big[ a_\beta(t + h ) - {a_\beta }(t) \big] - {Y^{(0)}}\big[ {{Y^{(0)}}(B)} \big]h + {Y^{(0)}} \big(R_\beta\big) \big[{\xi _\beta }(t + h) \\&- {\xi_\beta}(t) \big] - {Y^{(0)}} (B) \big[ \xi _0(t + h) - \xi_0(t) \big] + \big[{G_{\text{M}}}(t + h) - {G_{\text{M}}}(t) \big]=0. \end{split}$

推论2是通常意义下自由Birkhoff系统离散版本的Mei对称性与守恒量定理. 而方程(73)—(75)就是通常意义下自由Birkhoff系统离散版本步长为$h$的Pfaff-Birkhoff原理、Birkhoff方程和Mei守恒量.

对称性和守恒量一直是分析力学研究的一个重要方面. 经典的对称性主要有Noether对称性和Lie对称性. Mei对称性是本质上不同于前两种对称性的一种不变性, 它可以导致Mei守恒量. Mei守恒量不同于Noether守恒量, 是一种新的守恒量. 本文提出并研究了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理.
一是提出了时间尺度上非迁移Pfaff-Birkhoff原理和广义Pfaff-Birkhoff原理, 导出了时间尺度上Birkhoff系统, 包括自由Birkhoff系统、广义Birkhoff系统和约束Birkhoff系统的动力学方程. 主要结果是原理(2)和(5), Birkhoff方程(8), (10)和(13).
二是定义了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性, 并导出了它的判据方程. 主要结果是4个定义和4个判据.
三是提出并证明了时间尺度上非迁移Birkhoff系统、非迁移广义Birkhoff系统和非迁移约束Birkhoff系统的Mei对称性定理. 主要结果是4个定理, Mei守恒量(28), (32)和(35).
当取时间尺度${\mathbb{T}} = {\mathbb{R}}$和${\mathbb{T}} = h{\mathbb{Z}}$时, 文中定理给出通常意义下自由Birkhoff系统、广义Birkhoff系统和约束Birkhoff系统的连续版本和离散版本的Mei对称性与守恒量定理. 由于除了实数集和整数集以外, 时间尺度还可以有很多选择, 因此时间尺度上Birkhoff系统的Mei对称性定理具有一般性.