纳米线环栅隧穿场效应晶体管的电容模型

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1.引言

金属氧化物场效应晶体管(metal-oxide-semiconductor field-effect-transistor, MOSFET)的特征尺寸随着摩尔定律不断缩减, 使得集成电路集成度不断提高的同时, 器件短沟道效应也越来越严重, 导致其静态功耗已超过动态功耗成为集成电路的主要功耗来源. 隧穿场效应晶体管(tunneling field-effect-transistor, TFET)是1种利用量子隧穿机制导通电流的新型器件, 其可以突破MOSFET室温下60 mV/dec 亚阈值摆幅极限, 实现更加陡峭的开关曲线, 同时降低泄漏电流及工作电压, 进一步降低集成电路功率损耗^[1-3]. 目前TFET 已成为微电子领域的研究热点, 被认为是后摩尔时代最有可能取代MOSFET推动高性能、低功耗集成电路持续发展的技术之一^[4].
尽管TFET能够实现十分陡峭的开关特性, 但是TFET也面临短沟道效应(short channel effects, SCEs)和漏感应势垒降低(drain-induced barrier lowering, DIBL)等非理想效应^[5,6], 这些效应导致TFET特性退化, 阻碍了TFET器件及电路的实际应用. 为了解决这些问题, 研究人员在TFET结构上做出了很多创新, 其中基于纳米线结构的环栅TFET (gate-all-around TFET, GAA-TFET)具有最高的沟道电势调控效率, 能够在很大程度上抑制SCEs和DIBL等非理想效应^[7], 同时由于栅电极对隧穿结的控制增强, GAA-TFET比其他多栅结构表现出了更低的亚阈值摆幅和更高的隧穿电流^[6].
鉴于GAA-TFET对非理想效应出色的抑制能力和优异的器件特性, 人们针对GAA-TFET的各个方面开展了大量研究, 其中器件模型可用于计算器件及电路特性, 对于GAA-TFET器件及电路的实际应用极为关键. 器件模型包括电流模型和电容模型, 其中电流模型可用于计算电路稳态支路电流和节点电压, 而电容模型可用于计算电路瞬态特性, 评估电路的速度转换和频率特性. 目前, 针对GAA-TFET的电流模型已有报道^[7-12], 但是尚未见其电容模型的报道. 由于缺乏GAA-TFET电容模型, 目前研究人员主要通过数值迭代的方法开展GAA-TFET电路设计方面的研究. 但是, 数值迭代对于硬件计算平台要求高, 而且除了计算速度慢, 耗时长外, 还容易出现收敛性问题, 仅能够勉强用于只包含几个器件的极小规模电路模块, 对于包含成百上千个器件的电路, 数值迭代方法则无能为力, 这也是目前关于GAA-TFET电路研究方面报道很少的原因之一.
本文针对以上问题, 从基本的器件物理出发, 建立了GAA-TFET的电容模型, 且该模型不涉及任何数值迭代过程. 相比于数值模型, 该模型计算速度快, 计算过程稳定, 能够加速GAA-TFET器件及电路的相关研究.

2.模型推导

2.1.电势模型

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2.1.电势模型

图1(a)为一个n型GAA-TFET的三维结构示意图, 其中纳米线的半径R = 7.5 nm, 采用HfO₂作为栅氧化层, 介电常数ε_ox = 22, 厚度为T_ox = 2 nm, 栅金属功函数为4.2 eV. 图1(b)是GAA-TFET沿纳米线直径方向的剖面图, 本文主要关注器件核心物理机理的分析, 在模型推导过程中, 暂不考虑短沟道效应等二次非理想效应的影响, 因此器件栅长设置相对较长, 为L_g = 50 nm^[7]. 源区、沟道和漏区的掺杂浓度分别为N_S = 1 × 10²⁰ cm^–3(P型), N_C = 1 × 10¹⁵ cm^–3 (N型) 和N_D = 5 × 10¹⁹ cm^–3 (N型). 器件剖面图可划分为3个区域, 分别为源耗尽区I区、沟道耗尽区II区以及沟道积累区III区, 其中I区和II区的宽度分别为L_I和L_II.

图 1 (a) GAA-TFET的三维结构示意图; (b) GAA-TFET沿沟道方向的剖面示意图; (c) GAA-TFET垂直于沟道方向的剖面示意图
Figure1. (a) Three-dimensional structure of GAA TFETs. Schematic cross section of an n-type GAA TFET (b) along the channel and (b) normal to the channel direction.

在柱状坐标系下, I区和II区的二维泊松方程如下:

$ \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial {\psi _j}\left( {r,z} \right)}}{{\partial r}}} \right) + \frac{{{\partial ^2}{\psi _j}\left( {r,z} \right)}}{{\partial {z^2}}} = - \frac{{q{N_j}}}{{{\varepsilon _{{\text{Si}}}}}} , $

其中下标j = I, II; q为电子电荷; ψ_j (r, z)为二维电势分布; ε_Si为沟道介电常数; N_j为掺杂浓度. 通过抛物近似^[13], 沿纳米线直径方向的电势可以写为

$ {\psi _j}\left( {r,z} \right) = {\varphi _{m,j}}\left( z \right) + {p_{1,j}}\left( z \right)r + {p_{2,j}}\left( z \right){r^2} , $

式中φ_{m, j} (z)为r = 0处沿着沟道中心线方向的电势分布; φ_m,j (z), p_{1, j} (z)和p_{2, j} (z) 是未知参量, 可通过边界条件求得. 由于器件的对称结构, 可得沿直径方向的电场在r = 0处等于0, 由此可得

$ \left\{\begin{aligned}&{\frac{\partial {\psi }_{j}\left(r,z\right)}{\partial r}\bigg|}_{r=0}=0\text{, }\\&{{\psi }_{j}\left(r,z\right)|}_{r=R}={\varphi }_{\text{S},j}\left(z\right)\text{, }\end{aligned}\right. $

其中φ_{S, j} (z)为r = R处沿沟道方向的电势分布, 即表面电势.
此外, 在垂直氧化层与硅界面的方向上电位移矢量保持连续, 为求解氧化层中靠近沟道界面处的电场, 图1(c)给出了垂直沟道方向的截面图, 对于任意半径为r的闭环, 假设电场为E(r), 沟道电荷为Q, 根据高斯定理, 得2πrL_gE(r) ε_ox = Q. 对于某一固定栅电压, Q是1个常数, 因此对等式两边进行微分, 可得

$ E\left(r\right)+r\frac{\text{d}E\left(r\right)}{\text{d}r}=0\text{, } $

其通解为

$ E\left( r \right) = {F}/{r} , $

其中F为常数. 沟道表面电势与栅电极之间的电势差为

$ {V_{\text{G}}} - {V_{{\rm{FB}}}} - {\varphi _{\text{S}}}\left( z \right) = \int_R^{R + {T_{{\text{ox}}}}} {\frac{F}{r}{\text{d}}r} , $

式中V_FB为平带电压, V_G为栅电压. 由(6)式求得F并代入(5)式可得

$ E\left( r \right) = \frac{{{V_{\text{G}}} - {V_{{\rm{FB}}}} - {\varphi _{\text{S}}}\left( z \right)}}{{r\ln \left( 1 +T_{\rm{ox}}/R \right)}} . $

由此可以得到栅氧化层中沟道附近的电场为$ E(R)?= (V_{\rm G} - V_{\rm FB} - \varphi_{\rm S} (z))/t_{\rm ox} $

, 其中$ t_{\rm ox} = R?\ln(1+ $

$ T_{\rm ox}/R) $

相当于平面器件中的栅氧化层厚度. 需要注意的是, 在平面器件中, 考虑栅氧化层边界泄漏电场对I区的影响, I区可被等效为环绕了一层厚度为πt_ox/2的氧化层^[14]. 由此根据电位移矢量连续可得

$ {\left. {\frac{{\partial {\psi _j}\left( {r,z} \right)}}{{\partial r}}} \right|_{r = R}} = \frac{{{\varepsilon _{{\text{ox}}}}}}{{{\varepsilon _{{\text{Si}}}}}}\left( {\frac{{{V_{\text{G}}} - {V_{{\rm{FB}},j}} - {\varphi _{{\text{S}},j}}\left( z \right)}}{{{t_{{\text{ox}},j}}}}} \right) , $

其中对于I区, t_ox,j= πt_ox/2, 对于II区, t_ox,j= t_ox. 联立求解(3)式和(8)式可得

$ \left\{ \begin{aligned} & {p_{1,j}}\left( z \right) = 0, \\ & {p_{2,j}}\left( z \right) = \frac{{{\varepsilon _{{\text{ox}}}}}}{{2R{\varepsilon _{{\text{Si}}}}}}\left( {\frac{{{V_{\text{G}}} - {V_{{\rm{FB}},j}} - {\varphi _{{\text{S}},j}}\left( z \right)}}{{{t_{{\text{ox}},j}}}}} \right), \\ & {\varphi _{m,j}}\left( z \right) = {\varphi _{{\text{S}},j}}\left( z \right) - {p_{2,j}}\left( z \right){R^2}.\end{aligned} \right. $

把(2)式与(9)式代入(1)式, 即可得到简化的一维泊松方程:

$ \frac{{{{\text{d}}^2}{\varphi _{{\text{S}},j}}\left( z \right)}}{{{\text{d}}{z^2}}} - \frac{{{\varphi _{{\text{S}},j}}\left( z \right) - \left( {{V_{\text{G}}} - {V_{{\text{FB}},j}}} \right)}}{{\lambda _j^2}} = - \frac{{q{N_j}}}{{{\varepsilon _{{\text{Si}}}}}} , $

$\lambda_{\rm I} = [R\varepsilon_{\rm Si} \pi t_{\rm ox}/(4\varepsilon_{\rm ox})]^{1/2}, ~~ \lambda_{\rm II} = [R\varepsilon_{\rm Si} t_{\rm ox}/(2\varepsilon_{\rm ox})]^{1/2},$

(10)式的通解为

$\begin{split}{\varphi _{{\text{S}},j}}\left( z \right) =\;& {A_j}\exp \left( { - \frac{z}{{{\lambda _j}}}} \right) + {B_j}\exp \left( { + \frac{z}{{{\lambda _j}}}} \right) \\&+ \left( {{V_{\text{G}}} - {V_{{\text{FB}},j}} - \frac{{q{N_j}}}{{{\varepsilon _{{\text{Si}}}}}}\lambda _j^2} \right) , \end{split}$

其中A_j和B_j为待求解系数. 对于I区, 将(11)式在z = –L_I附近展开并仅保留常数项与二次项, 可以得到I区的表面电势为

$\begin{split}{\varphi }_{\text{S,I}}\left(z\right)=\;&C\left[1+\frac{1}{2{\lambda }_{\text{I}}^{2}}{\left(z+{L}_{\text{I}}\right)}^{2}\right]\\&+\left({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,I}}-\frac{q{N}_{\text{I}}}{\varepsilon {}_{\text{Si}}}{\lambda }_{\text{I}}^{2}\right) , \end{split}$

其中C未知, 可以通过边界条件$\varphi_{\rm S,I}( - L_{\rm I})= V_{\rm BS}$

求得, $V_{\rm BS} = V_{\rm S} - V_{\rm t} \log(N_{\rm I}/n_{i,\rm I})$

为中性源区电势, V_S为源电极电压, V_t是热电压, n_{i, I}是本征载流子浓度, 求得C为

$ C = {V_{{\text{BS}}}} - \left( {{V_{\text{G}}} - {V_{{\text{FB,I}}}} - \frac{{q{N_{\text{I}}}}}{{\varepsilon {}_{{\text{Si}}}}}\lambda _{\text{I}}^2} \right). $

将(13)式代入(12)式求得I区表面电势分布为

$ \left\{ \begin{aligned} & {\varphi _{{\text{S,I}}}}\left( z \right) = \frac{{q{N_{{\text{eff}}}}}}{{2{\varepsilon _{{\text{Si}}}}}}{\left( {z + {L_{\text{I}}}} \right)^2} + {V_{{\text{BS}}}},\\& {N_{{\text{eff}}}} = {N_{\text{I}}} - \frac{{{\varepsilon _{{\text{Si}}}}}}{{q\lambda _{\text{I}}^{\text{2}}}}\left( {{V_{\text{G}}} - {V_{{\text{FB,I}}}} - {V_{{\text{BS}}}}} \right). \end{aligned} \right. $

对于II区, II区与III区边界面上的电场和电势保持连续, 然而需要注意的是III区为积累区, 在III区中存在高浓度的电子, 这些电子在很大程度上屏蔽了栅、漏电场的作用, 因此III区中的电场很小, 为了简化模型推导, 假设III区中电场为零, 即可求得系数A_II和B_II:

$ \left\{\begin{aligned}&{A}_{\rm{II}}=\frac{1}{2}\left[{\varphi }_{\text{ch}}-\left({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,}\rm{II}}-\frac{{q}{N}_{\rm {II}}{\lambda }_{\rm {II}}^{2}}{{\varepsilon }_{\text{Si}}}\right)\right]\\ & ~~~~~~\times \text{exp}\left(+\frac{{L}_{\rm{II}}}{{\lambda }_{\rm{II}}}\right),\\ &{B}_{\rm{II}}=\frac{1}{2}\left[{\varphi }_{\text{ch}}-\left({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,}\rm{II}}-\frac{{q}{N}_{\rm{II}}{\lambda }_{\rm{II}}^{2}}{{\varepsilon }_{\text{Si}}}\right)\right]\\ &~~~~~~\times \text{exp}\left(-\frac{{L}_{\rm{II}}}{{\lambda }_{\rm{II}}}\right),\end{aligned}\right. $

式中φ_ch是III区表面电势, 将(15)式代入(11)式, 求得II区表面电势分布为

$\begin{split}&{\varphi }_{\text{S,}\text{II}}\left(z\right)=\left({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,}\text{II}}-\frac{{q}{N}_{\text{II}}{\lambda }_{\text{II}}^{2}}{{\varepsilon }_{\text{Si}}}\right)\\&+\left[{\varphi }_{\text{ch}}-\left({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,}\text{II}}-\frac{{q}{N}_{\text{II}}{\lambda }_{\text{II}}^{2}}{{\varepsilon }_{\text{Si}}}\right)\right]\text{cosh}\left(\frac{z-{L}_{\text{II}}}{{\lambda }_{\text{II}}}\right) . \end{split}$

对于III区, 其表面电势φ_ch可写为^[15]

$ \begin{split}{\varphi }_{\text{ch}}=\;&F+{V}_{\text{t}}\text{ln}\Bigg(\frac{1}{{V}_{\text{t}}}\Bigg\{{V}_{\text{t}}+\frac{\sqrt{F}}{\sqrt{F}+\gamma }\left({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,}\text{II}}-F\right)\\ &+\frac{1}{2}\left[\frac{\sqrt{F}}{{\left(\sqrt{F}+\gamma \right)}^{2}}-\frac{\gamma \left(F-2\right)}{2{\left(\sqrt{F}+\gamma \right)}^{3}}\right]\\&\times{\left({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB}\text{, }\text{II}}-F\right)}^{2}\Bigg\}\Bigg),\\[-18pt]\end{split} $

其中F和φ_ch,dep为

$ F = \frac{1}{2}\Big[ {{V_{\text{D}}} + \phi + {\varphi _{{\text{ch,dep}}}} - \sqrt {{{\left( {{\varphi _{{\text{ch,dep}}}} - {V_{\text{D}}} - \phi } \right)}^2} + {\delta ^2}} }\, \Big], $

$ {\varphi }_{\text{ch,dep}}={\left[\sqrt{{V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,}\text{II}}+\frac{{\gamma }^{2}}{4}}-\frac{\gamma }{2}\right]}^{2} , $

式中$\gamma = (2\varepsilon_{\rm Si} qN_{\rm II})^{1/2}/(\varepsilon_{\rm ox}/t_{\rm ox}),~\delta = 0.04$

为平滑因子, $\phi = {V_{\text{t}}}\ln \left( {{N_{{\text{inv}}}}/{n_{i, {\text{II}}}}} \right)$

是屏蔽电势, N_inv = 2.5 × 10¹⁹ cm^–3是1个从TCAD仿真中提取出来的经验参数.
至此未知量只剩I区和II区的宽度L_I和L_II. 假设z = 0处, 即I/II界面处表面电势为φ_S(0), 由(14)式和(16)式可以得到L_I和L_II如下:

$ \left\{\begin{aligned}&{L}_{\text{I}}=\sqrt{\frac{2{\varepsilon }_{\text{Si}}}{q{N}_{\text{eff}}}}\sqrt{{\varphi }_{\text{S}}\left(0\right)-{V}_{\text{BS}}},\\&{L}_{\text{II}}={\lambda }_{\text{II}}{\text{cosh}}^{-1}\left[\frac{{\varphi }_{\text{S}}\left(0\right)-\left({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,}\text{II}}-\dfrac{{q}{N}_{\text{II}}{\lambda }_{\text{II}}^{2}}{{\varepsilon }_{\text{Si}}}\right)}{{\varphi }_{\text{ch}}-\left({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,}\text{II}}-\dfrac{{q}{N}_{\text{II}}{\lambda }_{\text{II}}^{2}}{{\varepsilon }_{\text{Si}}}\right)}\right].\end{aligned}\right. $

φ_S(0)是目前唯一的未知量, 为了求解φ_S(0), 可将L_I和L_II分别代入(14)式和(16)式, 利用z = 0处电势连续, 可以得到φ_S(0)满足如下方程:

$ \left\{ \begin{aligned} &0 = \frac{{2q{N_{{\text{eff}}}}\lambda _{\text{II}}^2}}{{{\varepsilon _{{\text{Si}}}}}}\left[ {{\varphi _{\text{s}}}\left( 0 \right) - {V_{{\text{BS}}}}} \right] - \frac{{{\varepsilon _{{\text{Si}}}}^2}}{{{\lambda _{{\text{II}}}^2}}} \bigg[{\varphi _{{\text{ch}}}} \\ & \;\;\quad - \left( {{V_{\text{G}}} - {V_{{\text{FB,II}}}} - \frac{{q{N_{{\text{II}}}}{\lambda _{{\text{II}}}}^2}}{{{\varepsilon _{{\text{Si}}}}}}} \right) \bigg]^2 {R^2}, \\ &H = \frac{{{\varphi _{\text{s}}}\left( 0 \right) - \left( {{V_{\text{G}}} - {V_{{\text{FB,II}}}} - \dfrac{{q{N_{{\text{II}}}}{\lambda ^2_{{\text{II}}}}}}{{{\varepsilon _{{\text{Si}}}}}}} \right)}}{{{\varphi _{{\text{ch}}}} - \left( {{V_{\text{G}}} - {V_{{\text{FB,II}}}} - \dfrac{{q{N_{{\text{II}}}}{\lambda^2 _{{\text{II}}}}}}{{{\varepsilon _{{\text{Si}}}}}}} \right)}}, \\ & R = \sinh \left( {{{\cosh }^{ - 1}}H} \right). \end{aligned} \right. $

借助公式变换$\sinh(\cosh^{-1} H)=(H^2 - 1)^{1/2}$

, 求解(21)式, 可得φ_S(0)为

$ \left\{\begin{aligned}&{\varphi }_{\text{S}}\left(0\right)=\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}-4c}}{2}\text{, }\\ &b=2\left({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,II}}-\frac{q{N}_{\text{II}}{\lambda }_{\text{II}}^2}{{\varepsilon }_{\text{Si}}}+\frac{q{N}_{\text{eff}}{\lambda }_{\text{II}}^2}{{\varepsilon }_{\text{Si}}}\right),\\&c=2{\varphi }_{\text{ch}}\left({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,II}}-\frac{q{N}_{\text{II}}{\lambda }_{\text{II}}^2}{{\varepsilon }_{\text{Si}}}\right)\\&\quad\;\;-{\varphi }_{\text{ch}}^{2}+\frac{2q{N}_{\text{eff}}{\lambda }_{\text{II}}^{2}{V}_{\text{BS}}}{{\varepsilon }_{\text{Si}}}.\end{aligned}\right. $

2.2.电容模型

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2.2.电容模型

在TFET中, 源区与沟道区之间的隧穿结本质上是个高势垒的反偏结, 势垒两侧载流子很难通过热发射相互流通, 因此, 可以假设源电荷Q_S 主要为势垒左侧的源区耗尽区电荷, 而漏电荷Q_D 主要为势垒右侧的电荷, 这样器件源端电荷Q_S 可以表示为

$ {Q}_{\text{S}}=-q{N}_{\text{eff}}\text{π}{R}^{2}{L}_{\text{Ⅰ}} . $

漏端电荷Q_D主要包括沟道中III区中的可动载流子以及漏区边缘电荷:

$ \begin{split}{Q}_{\text{D}}=\;&-2\text{π}R\left({L}_{\text{g}}-{L}_{\text{II}}\right)(\varepsilon_{\rm{ox}}/\varepsilon_{\rm{ox}})({V}_{\text{G}}-{V}_{\text{FB,}\text{III}}\\&-{\phi }_{\text{ch,}\text{III}} ) +\text{π}{R}^{2}{\varepsilon }_{\text{Si}}{E}_{{\max}} , \end{split}$

其中E_max = (V_BD– φ_ch)/λ_II, V_BD = V_D + V_t × log(N_D/n_i)为中性漏区电势, V_D为漏电极电压. 栅电荷Q_G、源电荷Q_S和漏电荷Q_D满足电荷守恒关系:

$ {Q_{\text{G}}}{\text{ + }}{Q_{\text{S}}} + {Q_{\text{D}}}{\text{ = 0}}. $

将端电荷分别对相应的端电压进行求导便可得到端电容, 然而由于上述电势的表达式十分复杂, 难以推导出解析的导数表达式. 采用差分的方式, 求解端电容的表达式如下:

$ \left\{ \begin{aligned} &{C_{{\text{gg}}}}({V_{\text{G}}}) = \frac{{{\text{d}}{Q_{\text{G}}}}}{{{\text{d}}{V_{\text{G}}}}}\bigg| _{{V_{\text{G}}}} \\ =\,& \frac{{{Q_{\text{G}}}({V_{\text{G}}} + \Delta V) - {Q_{\text{G}}}({V_{\text{G}}} - \Delta V)}}{{2\Delta V}}, \\ & {C_{{\text{gs}}}}({V_{\text{G}}}) = \frac{{{\text{d}}{Q_{\text{S}}}}}{{{\text{d}}{V_{\text{G}}}}}\bigg| _{{V_{\text{G}}}} \\ =\,& \frac{{{Q_{\text{S}}}({V_{\text{G}}} + \Delta V) - {Q_{\text{S}}}({V_{\text{G}}} - \Delta V)}}{{2\Delta V}}, \\ & {C_{{\text{gd}}}}({V_{\text{G}}}) = \frac{{{\text{d}}{Q_{\text{D}}}}}{{{\text{d}}{V_{\text{G}}}}}\bigg| _{{V_{\text{G}}}} \\ =\,& \frac{{{Q_{\text{D}}}({V_{\text{G}}} + \Delta V) - {Q_{\text{D}}}({V_{\text{G}}} - \Delta V)}}{{2\Delta V}},\end{aligned} \right. $

式中C_gg, C_gs和C_gd分别为栅电容、栅源电容和栅漏电容, ΔV为差分步长.

4.结　论

本文从GAA-TFET的基本器件物理出发, 建立了其表面电势和电容模型, 所建立模型计算结果与TCAD数值计算结果取得了很好的一致性, 能够准确描述GAA-TFET中栅、漏电压对表面电势的交替调控原理以及端电容的变化规律, 表明所建立模型的准确性. 此外, 所建立的模型不涉及任何数值迭代过程, 相比于数值模型, 该模型计算速度快, 计算过程稳定, 能够用于GAA-TFET器件及电路的相关研究.

本站小编 Free考研考试/2021-12-29

English Abstract

Capacitance model for nanowire gate-all-around tunneling field-effect-transistors

Corresponding author:Miao Yuan-Hao, miaoyuanhao@ime.ac.cn

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2.1.电势模型

2.2.电容模型

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