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--> --> -->在正演模拟方面, 各种解析和数值方法在海洋可控源电磁理论中均得到广泛研究与应用, 例如一维水平层状地层中的解析法[5-8]、三维有限元法[9,10]、三维有限体积法[11-14]、三维积分方程法[15]以及2.5维混合法[16]等. 在反演成像方面, 主要以高斯-牛顿算法或共轭梯度算法等迭代反演算法为主, 原理是通过逐步修改地层电导率参数实现理论合成数据与实际输入资料的最佳拟合, 其中包括: 一维Occam反演[17]和一维多参数迭代反演[18-21]; 以积分方程为基础的二维、三维迭代反演[22]以及以有限体积法或有限元法为基础的二维、三维反演成像[23-27]和参数化反演技术[28-30]等.
在整个反演成像中均涉及到电磁响应显式灵敏度的计算, 以便确定目标函数下降方向. 通过研究不同接收、不同收发距电磁场灵敏度矩阵的变化特征, 也能够为接收点位置以及收发距优化提供理论依据, 并有助于提高数据采集效率以及减少反演工作量等. 因此, 如何快速有效地计算海洋可控源电磁响应的显式灵敏度已发展成为一个专门的研究问题[31,32]. 在电磁反演成像的所有算法中, 除了一维层状地层和含井眼的轴对称电导率地层中的Fréchet导数可以通过电磁场解析解[17-22]或半解析解[29,30]进行有效计算外, 在其他的二维和三维电磁反演技术中, 电磁响应的Fréchet导数只能够通过数值方法近似计算. 目前主要有两种不同的计算路线: 直接法和伴随法[31]. 伴随法主要利用电磁场伴随方程的Green函数与一阶Born近似, 将电导率摄动产生的电磁场变化表示成体积分的形式, 从而得到电磁场微小变化与电导率摄动量间的线性关系[32-34]. 在二维和三维反演问题中, 由于伴随方程的Green函数通常没有解析解, 需要通过数值计算技术确定各个接收点上的伴随Green函数, 当接收点很多时会大大增加Fréchet导数的计算工作量. 直接法则是通过各种数值方法求解摄动方程, 建立相应的电磁场微小变化与电导率摄动量间的关系, 目前应用最多的方法是对电场离散方程
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本文将借助电场耦合势Helmholtz方程的三维有限体积法, 结合直接法求解技术与严格的偏微分方程摄动理论, 为海洋可控源电磁三维像素反演或参数化反演问题研究建立一套显式灵敏度矩阵的准确高效算法. 首先, 利用Yee氏交错网格节点和有限体积法对电场耦合势Helmholtz方程进行离散[10,11], 建立移动源耦合势离散方程, 并将直接法求解器与三维线性插值技术结合, 给出同时计算多移动电磁场的一种新算法. 在此基础上, 进一步针对像素电导率模型(假定电导率空间连续变化)和分块常数电导率模型(参数化模型), 将电导率函数和其摄动量表示成Yee剖分网格
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2.1.三维有限体积正演与投影算子
引入满足库仑规范条件![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M70.png)
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空间任意位置
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基于Yee氏交错网格
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海洋可控源电磁勘探往往采用移动源测量方式, 在同一计算区域Ω中包含多个不同位置的发射源
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在海洋可控源电磁勘探中
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2.2.摄动方程求解与显式灵敏度
为计算海洋可控源电磁响应显式灵敏度矩阵, 应用摄动原理可以由方程(1)得到电导率微小摄动量![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M146.png)
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为便于研究散射电流密度对电磁场的影响、有效计算显示灵敏度矩阵, 假定地层模型由已知电导率为
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Figure1. Formation model and two different model spaces: (a) Inhomogeneous formation model and grids; (b) pixel model; (c) block model.
2
2.3.像素电导率模型中的显式空间灵敏度
对于图1(b)中的像素电导率模型, 为简单起见, 将Yee氏交错网格中的整数网格作为基本像素单元, 并假定围岩电导率保持不变, 而电导率异常体中的所有基本像素单元由M个整数剖分网格组成, 即![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M156.png)
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将方程(14)代入方程(10a)中, 并分别在半整数单元
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这里特别需要指出的是, 在进行像素灵敏度矩阵计算或进行像素反演时, 像素单元总数M可能达到十万次以上的量级, 而网格节点上未知离散矢势和标势总数N达到百万次的量级. 例如若像素总数
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M199.png)
2
2.4.分块常数电导率模型中的显式灵敏度
对于图1(c)中分块常数电导率模型, 各个块状异常体![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M212.png)
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2
2.5.电磁场振幅与相位显式灵敏度
在海洋电磁测量中, 往往以电磁场的振幅与相位作为输出结果, 如x方向的电场强度常表示为![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M228.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M229.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M230.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M233.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M231.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M232.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M233.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M231.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M238.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M236.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M237.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M240.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/fileWLXB/journal/article/wlxb/2021/6/PIC/6-20201282-2_mini.jpg)
Figure2. Verification model and mesh grid of three-dimensional MCSEM (cross-section of y = 0).
2
3.1.灵敏度快速算法验证
首先对图2中层状背景电导率中单一异常体模型, 利用EDM和FDM两种方法分别计算电场振幅和相位相对于整个异常体的灵敏度. 图3(a)和图3(b)是3个不同位置接收点上电场水平分量![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M241.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/fileWLXB/journal/article/wlxb/2021/6/PIC/6-20201282-3_mini.jpg)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M4.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M1.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M3.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M2.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M5.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M4.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M3.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M2.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M1.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M5.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M4.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M3.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M2.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M1.png)
Figure3. The
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M10.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M9.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M8.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M7.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M6.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M10.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M9.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M6.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M9.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M7.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M8.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M10.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M6.png)
为了定量考察高阻异常体微小摄动引起的水平电场振幅以及相位变化, 同时用EDM和FDM计算了块状体模型中水平电场振幅显式灵敏度
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M242.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M243.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M244.png)
图4(a)和图4(b)是与图3相同位置接收点上磁场水平分量
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M245.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M246.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M247.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/fileWLXB/journal/article/wlxb/2021/6/PIC/6-20201282-4_mini.jpg)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M15.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M14.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M11.png)
Figure4. The
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M20.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M19.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M18.png)
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表1列出了利用EDM和FDM两种算法计算灵敏度矩阵的计算耗时, 表中第1和第2行为3个接收器时的两种算法的计算耗时, 第3和第4行为5个接收器情况下的计算耗时对比. 结果显示, 随着发射器接收器的增加, FDM的耗时明显增加, 而EDM得益于投影算子的采用, 计算耗时几乎没有增加, 所以可以快速计算多源多接收器的结果, 体现了算法的高效性.
Method | Number of transmitters | Number of receivers | Time t/ min |
EDM-block | 65 | 3 | 49 |
FDM | 65 | 3 | 72 |
EDM-block | 65 | 5 | 50 |
FDM | 65 | 5 | 108 |
表1两种算法的计算耗时
Table1.Computational time cost of EDM and FDM.
2
3.2.多块状体模型的显式灵敏度
为进一步考察多个块状体情况下, 块状体水平位置以及埋藏深度等对显式灵敏度的影响, 假定地层中存在3个几何尺寸与电阻率与图2完全相同的异常体, 中心位置分别为(–3.5, 0, 0.7), (0, 0, 1.0)和(3.5, 0, 1.3) km. 图5是含3个块状异常体模型在y = 0垂直截面上的等效电导率分布、网格剖分以及发射与接收点位置分布图. 为简洁起见, 这里仅给出位于R2位置处的接收器上水平电场![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M248.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M249.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/fileWLXB/journal/article/wlxb/2021/6/PIC/6-20201282-5_mini.jpg)
Figure5. Conductivity distribution and mesh grid of computation model including three different blocks at cross-section of y = 0.
图6(a)和图6(b)是位于R2处的接收器电场水平分量
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M250.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/fileWLXB/journal/article/wlxb/2021/6/PIC/6-20201282-6_mini.jpg)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M25.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M24.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M23.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M24.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M23.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M22.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M21.png)
Figure6. Magnitudes (MVO) and phases (PVO) versus offset of
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M30.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M29.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M28.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M27.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M26.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M30.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M29.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M28.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M27.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M26.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M29.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M28.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M27.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M26.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M30.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M29.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M28.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M27.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M26.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M30.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M29.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M28.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M27.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M26.png)
图7(a)和图7(b)是位于R2处的接收器磁场水平分量
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M251.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/fileWLXB/journal/article/wlxb/2021/6/PIC/6-20201282-7_mini.jpg)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M35.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M33.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M32.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M35.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M32.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M34.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M31.png)
Figure7. The magnitudes (MVO) and phases (PVO) versus offset of
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M40.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M36.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M36.png)
2
3.3.像素电导率模型空间中的灵敏度
下面进一步考察单一异常体模型上像素灵敏度的空间分布, 了解不同位置的像素电导率相对摄动对电磁响应的影响. 限于篇幅, 这里仅给出水平分量![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M252.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/fileWLXB/journal/article/wlxb/2021/6/PIC/6-20201282-8_mini.jpg)
Figure8. Pixel mesh and survey lines of three dimensional MCSEM model: (a) Cross-section of y = 0; (b) top view.
在计算像素灵敏度之前, 首先给出3条测线上水平电场
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M256.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M41.png)
Figure9. Comparison of magnitudes (MVO), phases (PVO) and Fréchet sensitivity versus offset of
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M46.png)
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根据图9(c)和图9(d)中块状体灵敏度曲线的变化特征, 在3条测线上均选择x = 4 km作为发射源的位置, 利用每条测线上固定的发射与接收位置, 计算出
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/6-20201282_M257.png)
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Figure10. The xz cross-sections along inline and two sidelines of
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在远离发射与接收点位置的其他像素单元上, 在异常体边界附近以及高阻异常体内部的单元网格上的像素显式灵敏度明显比异常体外面低阻围岩中的灵敏度的值大, 反映出海洋可控源电磁勘探对高阻异常体具有较强的探测能力. 此外, 对比3条不同测线上像素灵敏度的空间分布可以看出, 因为y = 0和y = 1 km的垂直截面均穿过高阻异常体, 两个不同垂直截面上空间灵敏度分布特征非常相似, 而y = 2 km的垂直截面已经在高阻异常体的外面, 该垂直截面上灵敏度空间分布与另两个穿过异常体的截面上灵敏度存在着非常大的差异.
为进一步研究水平截面上空间灵敏度的分布情况, 图11给出了z = 0.3, 0.6和1 km三个不同深度的水平截面上像素灵敏度的空间分布, 这里的发射和接收点均位于主测线且与图10中主测线上发射和接收点位置相同. 在z = 0.3和0.6 km的水平截面上, 由于发射与接收点位置离水平截面比较近, 发射与接收点周围的灵敏度非常大, 此外由于z = 0.6 km的水平截面更接近高阻异常体上边界(0.85 km), 可以看到高阻异常与边界附近单元上的灵敏度有明显显示. 而在z = 1.0 km的水平截面上, 由于发射与接收点位置离水平截面较远, 且水平截面穿过了高阻异常体, 灵敏度的空间分布充分地反映出高阻异常体的位置. 可以看到, 像素灵敏度能够更好地展示灵敏度的空间分布规律和特征原因, 在灵敏度空间分布中, 发射机和接收器对灵敏度的影响等同, 灵敏度最佳区域分布在收发器之间, 并随着深度的增加逐渐衰减, 异常体由于其高阻特性, 在异常体内部区域, 灵敏度有一定程度的降低, 而在异常体边界区域, 由于感应电流的影响, 灵敏度有明显的提高, 同样地, 空间灵敏度分布也显示出相位包含的信息稍多于振幅.
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Figure11. The xy cross-sections at different depth of
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在正演过程中, 利用直接求解器得到离散矩阵的逆并结合接收器位置事先计算出插值算子和投影算子, 由于插值算子和投影算子与发射源位置无关, 而仅仅与离散矩阵的逆矩阵和接收器位置有关, 通过投影算子与发射源离散向量的乘积就可以快速确定每个接收点上的电磁响应, 有效提高了多发射源电磁场数值模拟的效率.
不论是在像素电导率还是分块电导率模型中, 利用Yee氏交错网格可以将电导率摄动量表示为剖分网格上的分块常数函数, 每个剖分网格上电场强度与电导率相对摄动量的乘积可以作为散射电流元, 在一阶Born近似情况下, 散射电磁场实质上可以看作各个剖分网格上所有散射电流元的叠加, 因此, 整个散射电磁场被转换为多发射源电磁场的叠加, 利用投影算子和每个散射电流元离散向量的乘积可以快速获得电磁场微小变化与电导率相对摄动间的线性关系, 得到显式灵敏度计算结果, 从而大大提高了散射电磁场的计算效率.
数值结果显示, 块状体灵敏度能够更好地评估接收器发射源的偏移距与异常体探测能力的变化规律, 对于单个异常体模型, 在0.25 Hz工作频率下, 电场和磁场有效灵敏度的最大偏移距可以达到10 km左右, 最小偏离距与接收器到异常体边界的距离有关, 变化范围为2—6 km. 对于多个异常体模型, 利用块状体灵敏度可以快速分析考察不同收发距情况下电磁场响应特征、确定最佳的接收器发射机组合. 此外, 多个数值模型的计算结果均显示, 在有效的偏移距范围内, 磁场的振幅相位灵敏度高于电场, 相位包含的灵敏度信息稍多于振幅. 像素灵敏度能够展示灵敏度空间分布规律和特征, 从灵敏度空间分布中确定出最佳探测区域.