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目前, 理论上有很多种方法可以用于计算极化率和超极化率, 例如第一性原理的Hylleraas基展开方法[22-24]、相对论多体微扰方法(RMBPT)[25]、耦合簇方法[1]和半经验赝势方法[26]等. 第一性原理的Hylleraas基展开方法可以非常精确地计算原子极化率, RMBPT可以通过图解法直接表示出微扰矩阵元, 耦合簇方法不仅考虑了原子实电子之间的关联, 而且也考虑了原子实电子和价电子之间的关联, 但是第一性原理的Hylleraas基展开方法主要计算少电子体系的原子结构, 耦合簇方法和RMBPT方法适用于多电子体系, 计算过程十分复杂. 相对论模型势方法[27]用半经验模型势处理原子实和价电子的关联, 用组态相互作用来计算价电子与价电子的关联, 可以很好地计算高Z的单、双电子体系, 而且也减少了计算时间.
Be+离子和Li原子具有相似的原子结构, 其基态为1s22s 2S1/2. 精确测量这两个体系的跃迁光谱, 可以检验物理模型和计算方法的正确性. 因此, Be+离子和Li原子是精密测量物理非常重要的研究体系[28,29]. 理论方面, 人们利用不同的理论方法, 分别计算了Be+离子和Li原子的电偶极极化率和超极化率. 尽管Be+离子和Li原子的基态相同, 但是不同的理论方法对Be+离子和Li原子得到的结论完全不一致. 例如: 对于Be+离子, Safronova等[25]、Tang等[22-24]和Yin 等[30]分别用相对论多体微扰的方法、Hylleraas基展开的变分法和有限场方法(The finite field method)计算了电偶极极化率和超极化率, 这些结果相互符合得非常好, 最大差别不超过1%. 对于Li原子, 不同理论方法[1,26,31-34]计算的电偶极极化率符合得很好, 但是超极化率相差却非常大, 如Fuentealba等用半经验赝势(Semiempirical pseudopotentials)方法计算的超极化率为65000 a.u.[26], Kassimi等[1]用耦合簇方法(Coupled cluster method)计算的超极化率为1100 a.u., Tang等[31]用Hylleraas基展开的变分法计算的超极化率为3060 a.u., Maroulis等[34]用相对论多体微扰法计算的超极化率为4100 a.u., 不同理论方法计算的超极化率的差别可达10倍以上, 超出了目前所给出的超极化率的不确定度[1,31]. 目前有关这些差别在理论上还没有一个合理的解释[35], 因此理论上进一步详细研究Li原子和类Li离子的超极化率是必要的.
本文利用相对论模型势方法[27] (相对论组态相互作用模型势方法, RCICP), 计算了Be+离子和Li原子的能级、振子强度等结构参数, 进一步计算了相应基态的电偶极极化率和超极化率, 分析了不同中间态对Be+离子和Li原子基态超极化率的贡献, 并与现有理论和实验结果进行了比较, 解释了Li原子基态超极化率相差非常大的原因.
2.1.相对论模型势方法
RCICP方法的思想是将原子体系简化为原子实部分和价电子部分. Li原子是最简单的碱金属原子, 1s轨道的两个电子作为原子实部分, 剩余的电子是价电子部分. 对于原子实部分, 通过求解Dirac-Fock方程得到基态的轨道波函数. 原子实内的单电子波函数可以写为![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M11.png)
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对于价电子, 其哈密顿量可以表示为
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价电子轨道的波函数由S-spinor基和L-spinor基的线性组合表示, L-spinor基是Lagrange型轨道(LTO)的相对论推广[40,41]. L-spinor的表达形式为
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在价电子的计算中, 通常选择2N阶L-spinor轨道(包含N阶大分量轨道和N阶小分量轨道). 径向Dirac方程进一步可以简化成2N阶矩阵形式. 对角化矩阵, 就可以得到相应价电子的能量本征值和波函数.
2
2.2.极化率和超极化率
根据二阶微扰理论, 原子基态的静态极化率可以表示为[22-24,31]![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M45.png)
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3.1.能 级
对于Be+离子, s轨道采用S-spinor基10个、L-spinor基60个, pj, dj, fj, gj轨道L-spinor基各100个; 对于Li原子, s轨道采用S-spinor基10个、L-spinor基80个, pj, dj轨道L-spinor基各80个. 表1列出了Be+离子和Li原子的截断参数.State | j | ρl, j | |
Be+ | Li | ||
2s | 1/2 | 0.9552 | 1.40880 |
2p | 1/2 | 0.8789 | 1.28466 |
3/2 | 0.8775 | 1.28396 | |
3d | 3/2 | 0.1287 | 2.324 |
5/2 | 0.1284 | 2.330 |
表1Be+离子和Li原子的截断参数
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Table1.Cut-off parameters
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表2列出了用RCICP方法计算的Be+离子和Li原子基态和部分低激发态相对于原子实的能级和相应的实验值[42]. 在RCICP方法中, 通过调节表1中的截断参数
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State | j | Be+ | Li | |||
RCICP | Expt.[42] | RCICP | Expt.[42] | |||
2s | 1/2 | –0.66924767 | –0.66924755 | –0.1981419 | –0.1981419 | |
2p | 1/2 | –0.52376962 | –0.52376949 | –0.1302358 | –0.1302358 | |
3/2 | –0.52373967 | –0.52373953 | –0.1302343 | –0.1302343 | ||
3s | 1/2 | –0.26719384 | –0.26723337 | –0.0741684 | –0.0741817 | |
3p | 1/2 | –0.22954214 | –0.22958234 | –0.0572264 | –0.0572354 | |
3/2 | –0.22953331 | –0.22957356 | –0.0572260 | –0.0572354 | ||
3d | 3/2 | –0.22247809 | –0.22247805 | –0.0556055 | –0.0556057 | |
5/2 | –0.22247565 | –0.22247565 | –0.0556051 | –0.0556055 | ||
4s | 1/2 | –0.14313397 | –0.14315285 | –0.0386096 | –0.0386151 | |
4p | 1/2 | –0.12811380 | –0.12813485 | –0.0319693 | –0.0319744 | |
3/2 | –0.12811009 | –0.12813115 | –0.0319691 | –0.0319744 | ||
4d | 3/2 | –0.12512357 | –0.12512455 | –0.0308153 | –0.0312735 | |
5/2 | –0.12512257 | –0.12512345 | –0.0308152 | –0.0312734 | ||
5s | 1/2 | –0.08905659 | –0.08906605 | –0.0236202 | –0.0236365 | |
5p | 1/2 | –0.08159826 | –0.08160960 | –0.0203583 | –0.0203739 | |
3/2 | –0.08159637 | –0.08160765 | –0.0203583 | –0.0203739 | ||
5d | 3/2 | –0.08006698 | –0.08006725 | –0.0124153 | –0.0200122 | |
5/2 | –0.08006648 | –0.08006670 | –0.0124152 | –0.0200122 |
表2Be+离子和Li原子基态和部分低激发态相对于原子实的能级, 实验值(Exp.)是来自于NIST的数据(单位: a.u.)
Table2.Energy levels of the ground state and some low-lying states of Be+ ions and Li atoms relative to atomic core. Experimental values (Exp.) are from the NIST data (in a.u.).
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3.2.振子强度
基于我们计算的能级和波函数, 进一步得到了表3中的Be+离子基态和部分低激发态电偶极跃迁的振子强度, 并与相应NIST值[42]以及包含了单、双和部分三激发的全阶的相对论多体方法(all-order SDpT)[25]的结果进行了对比. 结果表明, RCICP方法计算的振子强度与NIST值[42]符合得很好, 差别在0.6%以内, 只有2pj→4s1/2跃迁的振子强度与NIST值的差别较大, 约为1.6%. RCICP方法的结果与all-order SDpT[25]的结果也符合得非常好, 所有振子强度的差别都小于0.6%.Transitions | RCICP | NIST[42] | Theor.[25] | Diff./% |
2s1/2→2p1/2 | 0.16624 | 0.16596 | 0.1661 | 0.17 |
2s1/2→2p3/2 | 0.33258 | 0.33198 | 0.3322 | 0.18 |
2s1/2→3p1/2 | 0.02760 | 0.02768 | 0.0277 | 0.29 |
2s1/2→3p3/2 | 0.05517 | 0.05540 | 0.0553 | 0.42 |
2p1/2→3s1/2 | 0.06434 | 0.06438 | 0.0644 | 0.06 |
2p3/2→3s1/2 | 0.06436 | 0.06438 | 0.0644 | 0.03 |
2p1/2→4s1/2 | 0.01022 | 0.01039 | 0.0102 | 1.64 |
2p3/2→4s1/2 | 0.01022 | 0.01039 | 0.0102 | 1.64 |
2p1/2→3d3/2 | 0.6320 | 0.6320 | 0.6319 | 0.00 |
2p3/2→3d3/2 | 0.0632 | 0.0632 | 0.0632 | 0.00 |
2p3/2→3d5/2 | 0.5689 | 0.5689 | 0.5688 | 0.00 |
3s1/2→3p1/2 | 0.2768 | 0.2767 | 0.2767 | 0.04 |
3s1/2→3p3/2 | 0.5538 | 0.5535 | 0.5535 | 0.05 |
3p1/2→3d3/2 | 0.08069 | 0.08113 | 0.0811 | 0.54 |
3p3/2→3d3/2 | 0.08059 | 0.08103 | 0.081 | 0.54 |
3p3/2→3d5/2 | 0.07256 | 0.07294 | 0.073 | 0.52 |
3p1/2→4s1/2 | 0.1346 | 0.1347 | 0.1346 | 0.07 |
3p3/2→4s1/2 | 0.1346 | 0.1347 | 0.1346 | 0.07 |
表3Be+离子基态和部分低激发态之间跃迁的振子强度, “Diff.”表示用RCICP方法计算的结果与NIST结果之差的百分比
Table3.Oscillator strengths of transitions between the ground state and some low-lying states of Be+ ions. “Diff.” represents the difference in percentage form calculated by RCICP method and NIST results.
基于我们计算的能级和波函数, 进一步得到了表4中的Li原子基态和部分低激发态电偶极跃迁的振子强度. 从表4中可以看出, 除3dj→4pj的跃迁外, 其余的跃迁振子强度与NIST值[42]符合得很好, 差别在1%之间, 3dj→4pj的跃迁振子强度与NIST值[42]的差别约为3%. RCICP的结果与all-order SDpT[29]的结果也符合得很好, 除3dj→4pj和2s1/2→3pj的跃迁外, 其余跃迁振子强度的差别在0.6%以内, 3dj→4pj和2s1/2→3pj跃迁的振子强度与all-order SDpT[29]结果的差别小于4%.
Transitions | RCICP | NIST[42] | Theor.[29] | Diff./% |
2s1/2→2p1/2 | 0.24915 | 0.24899 | 0.2490 | 0.06 |
2s1/2→2p3/2 | 0.49832 | 0.49797 | 0.4981 | 0.07 |
2s1/2→3p1/2 | 0.00157 | 0.00157 | 0.0016 | 0.00 |
2s1/2→3p3/2 | 0.00313 | 0.00314 | 0.0032 | 0.32 |
2p1/2→3s1/2 | 0.11058 | 0.11050 | 0.1106 | 0.07 |
2p3/2→3s1/2 | 0.11059 | 0.11050 | 0.1106 | 0.08 |
2p1/2→4s1/2 | 0.01285 | 0.01283 | 0.0128 | 0.16 |
2p3/2→4s1/2 | 0.01285 | 0.01283 | 0.0128 | 0.16 |
2p1/2→3d3/2 | 0.63876 | 0.63858 | 0.6386 | 0.03 |
2p3/2→3d3/2 | 0.06388 | 0.06386 | 0.0639 | 0.03 |
2p3/2→3d5/2 | 0.57489 | 0.57472 | 0.5747 | 0.03 |
3s1/2→3p1/2 | 0.40512 | 0.4051 | 0.405 | 0.00 |
3s1/2→3p3/2 | 0.81027 | 0.8100 | 0.810 | 0.03 |
3p1/2→3d3/2 | 0.07397 | 0.0733 | 0.0744 | 0.91 |
3p3/2→3d3/2 | 0.00740 | 0.00736 | 0.0074 | 0.54 |
3p3/2→3d5/2 | 0.06657 | 0.0663 | 0.0669 | 0.41 |
3p1/2→4s1/2 | 0.22325 | 0.2230 | 0.2232 | 0.11 |
3p3/2→4s1/2 | 0.22325 | 0.2230 | 0.2232 | 0.11 |
3d3/2→4p1/2 | 0.01453 | 0.01497 | 0.015 | 2.94 |
3d3/2→4p3/2 | 0.00290 | 0.00299 | 0.003 | 3.01 |
3d5/2→4p3/2 | 0.01743 | 0.01796 | 0.018 | 2.95 |
表4Li原子基态和部分低激发态之间跃迁的振子强度, “Diff.”表示用RCICP方法计算的结果与NIST结果之间差别的百分比
Table4.Oscillator strengths of transitions between the ground state and some low-lying states of Li atoms. “Diff.” represents the difference in percentage form calculated by RCICP method and NIST results.
2
3.3.电偶极极化率和超极化率
33.3.1.Be+离子的电偶极极化率和超极化率
表5列出了Be+离子基态的电偶极极化率![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M75.png)
Method | $\alpha _{\rm{0}}^{\rm{1}}$/a.u. | γ0/a.u. | Diff./% |
RCICP | 24.504(32) | –11529.971(84) | |
Coulomb approximation[43] | 24.77 | ||
Variation-perturbation Hylleraas CI[44] | 24.5 | ||
Hylleraas[24] | 24.489 | ||
Asymptotic correct wave function[45] | 24.91 | ||
Variation-perturbation FCCI[46,47] | 24.495 | ||
Hartree-Fock plus core polarization[22] | 24.493 | –11511 | 0.16 |
Hylleraas[22] | 24.4966(1) | –11521.30(3) | 0.08 |
Relativistic many-body calculation[25] | 24.483(4) | –11496(6) | 0.29 |
The finite field method[30] | 24.5661 | –11702.31 | 1.49 |
表5Be+离子基态的电偶极极化率
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M72.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M73.png)
Table5.Electric-dipole polarizability and hyperpolarizability of the ground state of Be+ ions. “Diff.” represents the difference of γ0 in percentage form calculated by RCICP and other theoretical method. The values in parentheses indicate the uncertainties.
根据(21)式, Be+离子基态超极化率的计算可以分成三个部分: 第一部分是
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M88.png)
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![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M91.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M90.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M91.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M90.png)
Contr. | RCICP | RCICPC | RMBT[25] |
$\tfrac{1}{18}$T (s, p1/2, s, p1/2) | 34.34(2) | 34.32 | 32.605(53) |
$-\tfrac{1}{18}$T (s, p1/2, s, p3/2) | 68.68(5) | 68.63 | 68.886(92) |
$-\tfrac{1}{18}$T (s, p3/2, s, p1/2) | 68.68(5) | 68.63 | 68.886(92) |
$\tfrac{1}{18}$T (s, p3/2, s, p3/2) | 137.35(10) | 137.25 | 137.669(109) |
$T({\rm{s, }}{{\rm{p}}_{j'}}, {\rm{ s}}, {\rm{ }}{{\rm{p}}_{j''}})$ | 308.04(12) | 308.83 | 308.046(178) |
$\tfrac{1}{18}$T (s, p1/2, d3/2, p1/2) | 202.75(16) | 202.59 | 202.031(121) |
$\tfrac{1}{18\sqrt{10} }$T (s, p1/2, d3/2, p3/2) | 40.55(4) | 40.51 | 40.403(18) |
$\tfrac{1}{18\sqrt{10} }$T (s, p3/2, d3/2, p1/2) | 40.55(4) | 40.51 | 40.403(18) |
$\tfrac{1}{180}$T (s, p3/2, d3/2, p3/2) | 8.11(1) | 8.10 | 8.080(3) |
$\tfrac{1}{30}$ T (s, p3/2, d5/2, p3/2) | 437.85(40) | 437.45 | 438.434(148) |
$T({\rm{s}}, {{\rm{p}}_{j'}}, {{\rm{d}}_j}, {{\rm{p}}_{j''}})$ | 729.79(43) | 729.17 | 729.351(192) |
$\alpha _{\rm{0}}^{\rm{1}}{\beta _0}$ | 1999.67(6.95) | 1992.72 | 1995.743(382) |
γ0(2 s) | –11529(84) | –11456 | –11496(6) |
表6中间态对Be+离子基态超极化率的贡献, RCICPC表示2s→2pj, 2pj→3dj跃迁的约化矩阵元用NIST[42]结果替换之后计算的结果, 括号内的值表示RCICP相对于RCICPC的不确定度(单位: a.u.)
Table6.Contributions to the hyperpolarizability of the ground state of Be+ ions. RCICPC represents that the reduced matrix elements of the 2s→2pj、2pj→3dj transitions are replaced by NIST[42] results. The values in parentheses indicate the uncertainties of RCICP relative to RCICPC (in a.u.).
3
3.3.2.Li原子的电偶极极化率和超极化率
表7列出了用RCICP方法计算的Li原子基态的电偶极极化率![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M92.png)
Method | $\alpha _{\rm{0}}^{\rm{1}}$ | γ0 |
RCICP | 164.05(8) | 1920(3264) |
The coupled cluster (all single, double and triple substitution)[1] | 164.19 | 2880 |
Finite-field quadratic configuration interaction[1] | 164.32 | 1020 |
Hylleraas[31] | 164.112(1) | 3060(40) |
The relativistic coupled-cluster method[48] | 164.23 | |
Relativistic variation perturbation[49] | 164.084 | |
Relativistic all-order methods[29] | 164.16(5) | |
Variation perturbation[33] | 164.10 | 3000 |
Semiempirical pseudopotentials[26] | 164.08 | 65000 |
Frozen core Hamiltonian with a semiempirical polarization potential[50] | 164.21 | |
Finite-field fourth-order many-body perturbation theory[34] | 164.5 | 4300 |
Configuration interaction[35] | 164.9 | 37000 |
Relativistic ab initio methods[51] | 164.0(1) | |
The restricted Hartree-Fock[32] | 170.1 | –55000 |
The Rydberg-Klein-Rees inversion method with the quantum defect theory[52] | 164.14 | 3390 |
Exp.[53] | 164(3) | |
Exp.[54] | 164.2(11) |
表7Li原子基态的电偶极极化率
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M93.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M94.png)
Table7.Electric-dipole polarizability and hyperpolarizability of the ground state of Li atoms. The values in parentheses indicate the uncertainties (in a.u.).
为了解释不同理论方法计算得到的Li原子基态超极化率差别大的原因, 表8列出了不同中间态对Li原子基态超极化率的贡献. 从表8中可以发现, 第一部分
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Contr. | RCICP/a.u. | RCICPC/a.u. | Diff. /% |
$ \frac{1}{18} $T (s, p1/2, s, p1/2) | 8314(2) | 8312 | 0.03 |
$ -\frac{1}{18} $T (s, p1/2, s, p3/2) | 16629(5) | 16624 | 0.03 |
$ -\frac{1}{18} $T (s, p3/2, s, p1/2) | 16629(5) | 16624 | 0.03 |
$ \frac{1}{18} $T (s, p3/2, s, p3/2) | 33259(11) | 33248 | 0.03 |
$T({\rm{s}}, {{\rm{p}}_{j'}}, {\rm{s}}, {{\rm{p}}_{j''}})$ | 74833(13) | 74809 | 0.02 |
$ \frac{1}{18} $T (s, p1/2, d3/2, p1/2) | 33812(13) | 33799 | 0.04 |
$ \frac{1}{18\sqrt{10}} $T (s, p1/2, d3/2, p3/2) | 6762(3) | 6759 | 0.04 |
$ \frac{1}{18\sqrt{10}} $T (s, p3/2, d3/2, p1/2) | 6762(3) | 6759 | 0.04 |
$ \frac{1}{180} $T (s, p3/2, d3/2, p3/2) | 1352(0) | 1352 | 0.00 |
$ \frac{1}{30} $ T (s, p3/2, d5/2, p3/2) | 73033(40) | 72993 | 0.05 |
$T({\rm{s}}, {{\rm{p}}_{j'}}, {{\rm{d}}_j}, {{\rm{p}}_{j''}})$ | 121723(42) | 121661 | 0.03 |
$\alpha _{\rm{0}}^{\rm{1}}{\beta _0}$ | 196396(268) | 196128 | 0.14 |
γ0(2 s) | 1920(3264) | 4109 | 170 |
表8中间态对Li原子基态超极化率的贡献, RCICPC表示2s→2pj, 2pj→3dj跃迁的约化矩阵元用NIST[42]结果替换之后计算的结果, “Diff.”表示RCICP与RCICPC之间差别的百分比, 括号内的值表示RCICP相对于RCICPC的不确定度
Table8.Contributions to the hyperpolarizability of the ground state of Li atoms. RCICPC represents that the reduced matrix elements of 2s→2pj, 2pj→3dj transitions are replaced by NIST[42] results. “Diff.” represents the difference in percentage form between RCICP method and RCICPC. The values in parentheses indicate the uncertainties of RCICP relative to RCICPC.
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M121.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M118.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M119.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M120.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M121.png)
![](https://wulixb.iphy.ac.cn/cn/article/doi/10.7498/4-20201386_M118.png)
感谢武汉物理与数学研究所的唐丽艳研究员在数据计算方面给予的讨论和帮助.