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基于Zernike模型系数优化的椭球型窗口光学系统像差校正

本站小编 Free考研考试/2021-12-29
摘要:传统的半球形窗口难以满足高速飞行器气动力学的需求, 采用流线型外表面的非球面光学窗口技术应运而生. 这种窗口会随着扫描视场角的变化产生大量动态像差, 校正这类像差成为高速飞行器光电成像系统发展的关键问题. 对于扫描视场为±60°的椭球形窗口光学系统, 研究了静态校正和无波前探测器的自适应光学技术相结合的大扫描视场像差校正方法. 设计时, 首先以减少系统像差种类为导向, 进行初始结构设计, 消除五阶Zernike像差, 从而减少后续自适应优化控制变量数. 利用Zernike多项式系数与变形镜驱动器电压之间的转换矩阵, 将优化变量由140个驱动器电压减少至Zernike多项式2—9项系数. 最后利用基于Zernike模型的遗传算法对变形镜面形进行控制, 校正残余像差. 仿真结果表明, 各典型扫描视场点的优化速度提升95%以上, 且光学像质接近衍射极限. 该优化方法不仅可以修正异形光学窗口引起的像差, 同时还能够校正光学系统装调、加工时引起的误差, 具有较强的实用性.
关键词: 非球面窗口/
Zernike多项式/
变形镜/
遗传算法

English Abstract


全文HTML

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1.引　言
传统的飞行器窗口元件一般为半球形, 成像系统的旋转中心与球面中心重合, 扫描过程产生的像差是恒定的, 且设计和加工的难度低, 技术成熟[1]. 但这种半球形窗口的空气阻力系数较大, 难以满足高速飞行的需求[2-4]. 由于目前对飞行器的速度要求越来越高, 通常采用更符合空气动力学性能的非球面窗口来代替传统的球面和平板窗口, 一般是二次曲面, 多为椭球面[5,6]. 但是随着扫描视场角的变化, 这种椭球形窗口会给后方成像系统带来动态变化的像差[7], 校正这种像差是特殊形状窗口光学系统发展中必须解决的关键问题.
目前特殊形状窗口光学系统像差的校正方式繁多, 主要分为静态[8,9]、动态[10]和静态-动态结合[11-14]三种. 由于视场越大, 像差波动幅度也越大, 因而大扫描视场下往往采用校正能力最强的动态-静态结合法. 该方法的主要途径是先通过固定校正元件来将像差降低到较低的波动水平, 再通过行程较小但变化灵活的动态像差发生器校正残差. 以往的研究利用这种方法取得了优良的像质, 但其中的固定校正器和动态像差发生器往往独立设计, 动态校正器的控制方式也通常采用直接控制法, 特点是控制变量较多, 优化时间较长. 因此, 仍需进一步探索新型静态-动态结合的波前误差校正机理, 结合椭球形窗口的像差特性, 优化控制模型的构成[15], 从而迅速有效地校正超大扫描视场椭球窗口光学系统的像差.
首先对椭球型光学窗口进行像差特性分析和有针对性的Zernike像差项校正. 然后围绕光学窗口的像差特点和像质评价标准构建基于Zernikes模型的遗传算法流程, 减少优化变量个数. 最后利用遗传算法进行优化, 以斯特列尔比作为遗传算法的适应度函数, 分析不同优化变量下的算法收敛速度, 给出最优校正策略. 此种方法不仅有利于椭球形窗口光学像质最优化, 而且在实际自适应光学模块中运行时, 具有基于模型的优化方法特有的运算效率高的优点.
2.椭球形窗口像差分析及初步校正
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2.1.椭球形窗口像差分析
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2.1.椭球形窗口像差分析

本文采用氟化镁作为椭球形窗口的材料, 该窗口的最大口径为100 mm, 厚度为4 mm, 长径比[16,17]为1.0. 窗口后的成像系统扫描视场角度为 ± 60°. 以光阑中心作为窗口旋转的节点, 旋转步进角5°, 工作波段为中波红外, F数为1.5, 入瞳直径为30 mm. 为了获得视场范围内窗口像差分布, 将一理想成像系统放在光阑处代替实际观测系统. 椭球形窗口和实际观测系统的示意图如图1所示.
图 1 椭球形窗口和观测系统的示意图
Figure1. Schematic diagram of ellipsoid window and observation system.

Zernike多项式是在单位圆内部连续正交的无穷项的多项式完全集, 其与赛德尔像差项具有对应性, 因此采用Zernike多项式来表示椭球形窗口的光学像差. 用Zernike多项式对不同视场角下的椭球形窗口光学系统进行波面拟合, 各项系数随扫描视场的变化如图2所示.
图 2 Zernike系数随视场变化
Figure2. Variation of Zernike coefficients with field of view.

可以看出, 当扫描视场角增大时对像质影响较大的有: 离焦(Z4)、三阶像散(Z6)、三阶彗差 (Z7, Z8)和三叶草像差(Z10, Z11). 其中三阶像差占主导地位.
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2.2.椭球形窗口像差初步校正
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2.2.椭球形窗口像差初步校正

通常由Zernike多项式前16项可完备表达一个复杂光学系统的波前误差[18], 但本文中多项式的项数直接关系到自适应优化的变量数, 且Zernike多项式各项之间相互正交, 难以互相补偿, 因此需要在进行像差初始校正的时候尽量减少像差种类. 本文中, 在设计初始结构进行像差校正时, 以降低三阶像差和基本消除五阶像差为导向.
在设计过程中, 除常规的缩小焦面点斑直径的评价函数外, 特别增加Zernike多项式10—16项对应的五阶像差项的约束条件. 利用光学设计软件Code V中自带的宏程序fifthdef.seq, 计算各类五阶像差, 包括Z10, Z11(三叶草像差, 也叫五阶椭圆彗差), Z12, Z13(五阶像散), Z14, Z15(五阶彗差)、Z16(五阶球差). 并在评价函数中引用以上像差值, 所有五阶像差的约束目标设为0, 约束权重提高为20 (正常为1). 这样在优化过程中可将Zernike多项式10—16项对应的波像差均方根(RMS)误差降低至0.02λ @4250 nm (λ为波长), 各项五阶像差幅度已接近0, 从而减少后续遗传算法优化变量.
优化后的光学系统光路图如图3所示. 图中最前方为MgF2材料的椭球形窗口, 口径100 mm; 窗口后方为非球面固定校正板, 其后的成像系统采用折反式的结构, 以缩短整个系统的光学筒长; 折反系统的主反射镜面形为二次曲面; 中继透镜组包含三片球面镜, 材料分别是硅、锗、硅. 从椭球型头罩外表面到像面的系统总长为62.30 mm, 结构较为紧凑.
图 3 椭球形窗口光学系统光路图
Figure3. Optical path diagram of ellipsoid window optical system.

优化完成后, Zernike各项系数如图4所示. 可以看出, Z2—Z9代表的一阶和三阶像差项得到控制(各项RMS误差 < 0.2λ), Z10—Z16代表的五阶像差基本被消除(RMS误差 < 0.02λ). 全系统斯特列尔比由0.04提升至0.33. 这样后续在仿真优化时可以只优化Zernike系数前9项, 从而提高优化效率.
图 4 优化后Zernike系数随视场变化
Figure4. Variation of Zernike coefficients with field of view after optimization.

3.基于较少项Zernike模式系数的遗传算法像差优化方法
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3.1.自适应像差发生器
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3.1.自适应像差发生器

本文利用自适应光学技术校正椭球型窗口的残余像差. 自适应光学系统可分为有波前探测器和无波前探测器两种, 无波前探测器自适应系统一般以光电器件上远场光强信号的强弱作为判定被补偿系统像差校正情况的标准, 其不需哈特曼传感器, 结构相对简单, 成本较低, 近年来得到广泛的应用. 由于椭球型窗口光学系统应用于飞行器平台, 对系统有结构简单、体积小、重量轻等要求, 拟使用无波前探测器的自适应系统.
所用的自适应像差发生器为可变形反射镜, 其可以通过改变面形, 产生和波前像差相共轭的光学像差[19]. 文中所用的是140单元的微机械(MEMS)变形镜. 图5为140个驱动器的排布情况, 变形镜内接圆直径为9.6 mm, 与第2节光学系统折反射部分的次镜通光口径相等.
图 5 变形镜驱动器排布
Figure5. Actuator arrangement of deformable mirror.

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3.2.基于Zernike模式系数优化的遗传算法
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3.2.基于Zernike模式系数优化的遗传算法

遗传算法是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的全局优化方法. 相较于传统算法, 可以同时处理种群中的多个个体, 即对多个解进行评估, 从而有效地避免陷入局部最小值.
在一般的自适应变形镜系统中, 通常直接控制驱动器的电压以调制波前, 驱动器个数越多, 波前表达也越精确. 根据变形镜的特性, 一般将驱动电压作为遗传算法优化的变量. 由于本文采用的是140单元变形镜, 变量过多, 将直接导致算法的优化速度大大降低. 因此根据椭球形光学窗口像差特性, 本文将波前像差分解得到的各项Zernike多项式系数作为种群中的个体, 仅控制少量的Zernike模式系数进行优化.
在遗传算法中, 判断种群中个体优劣程度的依据是适应度函数[20]. 本文将光学系统的斯特列尔比(SR)作为遗传算法的适应度函数, 斯特列尔比的定义为轴上点实际峰值光强和轴上点理想峰值光强的比值. 斯特列尔比越接近1说明实际与理想光强越接近, 即像质越好.
用遗传算法进行优化时, 计算种群中的个体经过选择、交叉、变异后的一代代种群的适应度值, 最终得到适应度函数值达到设定目标时种群中的个体, 即斯特列尔比达到预定值时的Zernike各项系数. 工作流程如图6所示.
图 6 遗传算法流程图
Figure6. Flow chart of genetic algorithm.

得到Zernike各项系数后, 需要将其转换为变形镜驱动器电压进而控制变形镜产生相应面形.
变形镜所有单元发生的不同形变叠加在一起, 产生的面形变化$\varphi (x, y)$为
$\varphi (x,y) = \sum\limits_{i = 1}^n {{v_i}{W_i}(x,y)}, $
式中, n是变形镜所包含的驱动器个数, ${v_i}$为变形镜的第i个驱动器的控制电压, ${W_i}(x, y)$是对变形镜第i个驱动器上施加单位控制电压后的面形影响函数.
一般可由下面的高斯函数近似表示变形镜的面形影响函数[21]:
${W_i}(x,y) \!=\! \exp \left\{ {\ln \omega {{\left[ {\sqrt {{{( {x - {x_i}})}^2} + {{( {y - {y_i}})}^2}} \Big/d} \right]}^\alpha }} \right\},$
式中, (${x_i}$, ${y_i}$)表示变形镜的第i个驱动器的位置, d是变形镜相邻驱动器之间的间距, α是高斯函数指数, $\omega $是变形镜驱动器的交连值. 交连值的定义是: 某驱动器相邻的驱动器的中心形变量与该驱动器工作时的中心最大形变量的比值. 本文中, 根据所用驱动器的间距, d取0.8 mm. 通常变形镜的交连值为5%—15%, 高斯指数为1.5—3.5[22]. 此处取中间值, ω = 0.06, α = 2.0.
Zernike多项式在单位圆内具有连续正交的性质, 可以用前m项Zernike多项式来表示波前信息[23], 在m个Zernike多项式系数和n个变形镜驱动器电压之间建立n × m阶的转换矩阵A[24]. 则Zernike系数和驱动器电压间的转换关系可表示为
$\left[\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}} \\ {{v_2}} \\ {{v_3}} \\ \vdots \\ {{v_n}} \end{array}}\! \right] = \left[\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}& \cdots &{{a_{1m}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}& \cdots &{{a_{2m}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}& \cdots &{{a_{3m}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{a_{n1}}}&{{a_{n2}}}&{{a_{n3}}}& \cdots &{{a_{nm}}} \end{array}}\! \right] \times \left[\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}} \\ {{c_2}} \\ {{c_3}} \\ \vdots \\ {{c_m}} \end{array}}\! \right],$
简写为
${V} = {AC},$
其中V为驱动器电压矩阵, C为Zernike系数矩阵. 此时算法的优化变量数从140项减少为Zernike多项式的项数, 且优化完成后仅需一步矩阵乘法, 用矩阵A乘以输出的Zernike多项式系数, 便可获得变形镜各驱动器控制电压, 使得整体运算速度大大提高.
4.仿真优化及结果分析
在Code V中建立含变形镜的光学系统, 并在MATLAB中通过上述基于模型的遗传算法, 间接地控制每一个驱动器电压以进行像差补偿. 通过基于Windows组件对象模型(COM)的ActiveX技术, 建立MATLAB与Code V之间的通信. 在每个迭代周期中, MATLAB将计算出的一组数据发送到Code V; Code V根据接收到的数据改变变形镜的形状, 并计算SR, 再将其发送回MATLAB. 不断进行迭代, 直到满足终止条件.
本文所用遗传算法的适应度函数将向着SR增大的方向进行优化. 根据斯特列尔准则, 当SR ≥ 0.8时, 认为光学系统的成像质量是完善的. 根据本文所用光学系统实际情况, 当SR = 0.7时像质已达到接近衍射极限水平, 满足飞行器光电载荷使用需求, 为节省优化时间, 将SR = 0.7作为终止条件.
运行遗传算法, 进行三种情况对比, 对初始系统在视场角从0°到60°的不同变焦位置进行优化. 分别将2—9项Zernike模式系数、2—16项Zernike模式系数和140个驱动器电压作为算法变量, 初始种群设置为0, 然后在种群内增加扰动, 进行选择、交叉和变异获得新一代种群, 循环直到某一代种群的适应度函数值达到终止条件, 即斯特列尔比达到0.7. 统计不同变量下算法达到终止条件所进行的优化代数. 结果如图7所示.
图 7 不同变量下的优化代数
Figure7. Optimization generations with different variables.

根据图7可以看出, 三种优化方式都能够收敛于SR = 0.7. 140个驱动器电压作为变量时优化代数远远超过基于Zernike模式系数的优化代数. 对于实验中使用的工控机, 算法运行1代所用时间约为1 min. 优化15项Zernike系数与优化140个驱动电压相比, 各扫描视场点的平均优化时间由212.3 min减少到28.8 min, 减少了80%以上. 如2.2节中所述, 10—16项Zernike系数可事先利用初始像差校正手段进行抑制, 因此可以采取优化8项Zernike模式系数的策略, 最大限度的提高优化速度. 8项Zernike模式系数作为优化变量与15项Zernike模式系数作为优化变量相比, 13个扫描视场点的平均优化时间由28.8 min减少到9.8 min, 后者仅为前者的40%. 最终优化变量定为8项Zernike系数, 与优化140个驱动电压相比, 各扫描视场点的平均优化时间减少了95%以上.
图8是优化完成后系统在0°—60°各个典型扫描视场点的MTF曲线, 均接近衍射极限, 说明所使用的基于Zernike模型的遗传优化方法取得了良好的像差补偿效果.
图 8 不同变焦位置的MTF图　(a) 0°; (b) 20°; (c) 40°; (d) 60°
Figure8. MTF for different zoom positions: (a) 0°; (b) 20°; (c) 40°; (d) 60°.

5.结　论
根据空中高速飞行平台对窗口元件的特殊需求, 设计了扫描视场为 ± 60°的超大视场椭球形窗口光学系统. 首先以减少系统像差种类为导向, 进行初始光路设计, 从而减少后续优化模式个数; 再利用基于模型的遗传算法对变形镜面形进行控制, 校正波前像差. 利用变形镜驱动器电压与Zernike系数的转换矩阵, 将优化变量由140个减小到8个, 使得各典型扫描视场点的平均优化时间大幅降低, 优化速度提升95%以上. 在未来的工作中, 将进一步研究不同Zernike模式的权重对优化速率的影响, 从而进一步提高算法的效率和实用性. 该优化方法不仅可以修正异形光学头罩、窗口引起的像差, 同时还能够补偿光学系统装调、加工时引起的误差, 具有较强的实用性.
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