摘要:作为相干衍射成像技术的一种, 相干调制成像(coherent modulation imaging, CMI)是一种无透镜相位成像技术, 不同于多光斑相位恢复技术, 通过引入已知的强波前调制, CMI可以实现单次曝光下对入射波前的快速重建, 同时结构简单不需要参考光. 除了能够用于相位成像、解决脉冲光束的在线测量问题外, 本文将其用于精密光学元件(峰谷值(peak value, PV) ≤ 0.5λ, λ = 632.8 nm)的面型检测. 为验证其测量能力, 对10片口径80 mm、PV值介于0.1λ和0.5λ之间的石英窗口进行了重复测量, 相比于商业干涉仪的测量结果, CMI算法测量结果的峰谷比值的标准偏差是0.0305λ (λ = 632.8 nm), 均方根(root-mean-square, RMS)的标准偏差为0.0052λ, 对于PV和RMS的测量精度可达到0.1λ和0.01λ, 为研究其极限性能, 同时对PV = λ/20的平行平晶进行了对比测量, 分析了其噪声来源, 考虑到CMI测量算法仍有很大的改进空间, 其有望成为一种区别于干涉测量的新型高精度光学元件检测技术.
关键词: 相位恢复/
迭代引擎/
光学计量/
相干衍射成像

English Abstract

全文HTML

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相干衍射成像(coherent diffractive imaging, CDI)^[1]理论上可以利用一幅衍射光斑通过迭代计算重建出波前分布, 且分辨率理论上仅受限于衍射极限, 由于对透镜质量要求不高, 因此在高质量透镜难以加工的X射线^[2-4]和电子^[5,6]成像领域中, CDI是一种非常重要的成像技术, 但由于传统CDI成像技术常面临收敛慢的问题, 收敛条件较为苛刻, 因此限制了其应用范围, 这也是CDI算法所面临的关键问题, 通过引入额外的衍射光斑来增加数据冗余性, ptychogrpahy算法^[7-9]可以保证极高的收敛能力, 并且可以同时重建得到物体和照明光分布, 极大拓宽了CDI技术的应用范围, 但收敛性提升的同时, 也伴随着的更多的数据记录时间、更多的迭代数据量和更长的重建时间, 这在脉冲光束测量和动态变化物体成像过程中极为不利^[10,11]. 但通过引入一块分布已知的波前调制器, 相干调制成像(coherent diffractive imaging, CMI)^[12,13]却可以实现单次曝光下对复杂波前的快速重建, 数据计算量大为降低的同时, 迭代时间要远短于ptychography算法, 同时适用于脉冲光束测量^[14,15], 因此能够和ptychgrpahy技术进行有效互补, 该方法的有效性也已在可见光相位成像^[16]、X射线衍射成像^[13]和高功率激光装置中的波前在线诊断^[15,17]中得到验证.
CMI作为CDI算法的一种, 其理论分辨率为衍射极限, 且具有较强的波前反演能力, 因此理论上能够用于光学元件的精密检测, 不同于干涉测量技术, CMI不需要参考光, 其结构更加简单紧凑, 能够适应于在线测量, 因此具备优越的应用前景, 有望成为一种新型的光学计量新技术, 目前CMI在光学计量中的有效性也已经在大尺寸连续相位板(continuous phase plate, CPP)^[18]的测量中得到了证实^[19], 它能够解决大相位梯度下干涉仪无法完整测量的问题, 但对其测量精度和重复精度并没有开展相关研究, 针对该问题^[20], 本文将通过与商业化Zygo干涉仪进行对比测量, 研究CMI用于光学元件检测的测量精度、重复精度和实用性.

利用CMI实现光学元件检测的基本光路如图1(a)所示, 相干光源经过准直后通过会聚透镜会聚, 经过位于焦点附近的相位板调制后, 其衍射光斑由电荷耦合器件传感器(charge-coupled device sensor, CCD)记录, 为消除会聚透镜和准直光本身像差带来的影响, 待测元件紧贴会聚透镜位于准直光一侧, 当存在和不存在待测元件时, 假定会聚透镜的出射光波前分布分别为${\varphi _{\rm{P}}}$和${\varphi _{\rm{n}}}$, 则两者相位差$\delta = {\rm{angle}}\{ {{{\varphi _{\rm{P}}}} / {{\varphi _{\rm{n}}}}}\} $即为待测元件本身带来的相位变化, 其中${\rm{angle}}\{ \} $表示取相位.
图 1 (a) CMI测量光学元件的基本光路; (b) 实验装置照片; (c), (d) 由ePIE算法标定的随机相位板振幅和相位分布, (c)中标尺长度为0.198 mm
Figure1. (a) Basic scheme for the measurement of optical components using CMI; (b) photo of the experimental setup; (c) amplitude and (d) phase of the center part of the random phase plate reconstructed by ePIE. The scale bar of (c) is 0.198 mm.

图1(b)为实验装置照片, 其中相位板和CCD是CMI测量方法的核心, 且相位板的复振幅透过率函数相对于CCD靶面而言需要精确已知, 为了确保CMI核心稳定性和便携性, 相位板先通过定制套筒安装在CCD上后, 再利用ePIE(extended ptychographic iterative engine)^[9]算法对相位板分布进行标定, 而所采用的相位板为二元随机相位板, 其分布类似于网格划分的棋盘, 由相同尺寸的基元结构组成, 每个网格单元的相位延迟相对于光源而言随机为0或π. 图1(c)和图1(d)为经过标定后的相位板振幅和相位分布, 理论上相位板作为相位型调制器, 其振幅为常数, 但由于采用的相位板通过刻蚀深度不同来实现相位延迟, 边界衍射明显导致信息丢失, 因此利用ePIE标定的振幅分布能够看出明显的结构分布, 但由于标定和CMI测量采用的是相同的探测器和光路参数, 高频信息的丢失带来的误差在一定程度上相互抵消, 并不会显著影响测量结果.
实验中采用的相位板是针对波长632.8 nm专门设计的, 其基元尺寸为11 μm × 11 μm. 准直光束是由氦氖激光器(Thorlabs, HRS015B)和准直系统产生, 准直光口径要大于后面的会聚透镜, 而会聚透镜的直径和焦距分别为100 mm和1 m. 本实验中用的CCD (AVT Prosilica GX6600)的像素尺寸是5.5 μm, 分辨率为6576 × 4384像素. 相位板和透镜之间的距离为$t = {\rm{17}}.{\rm{04}}\;{\rm{ mm}}$, CCD和相位板之间的距离$l = {\rm{40}}.{\rm{9 }}\;{\rm{mm}}$. 如图1(a)所示待测的光学元件放置于光路中后, CCD记录的衍射光斑为${I_{\rm{P}}}$, 没有放光学元件时的衍射光斑为${I_{\rm{n}}}$. 利用CMI算法, 可以从这两幅衍射光斑中分别恢复出透镜的出射波${\varphi _{\rm{P}}}$和${\varphi _{\rm{n}}}$, 其中${\varphi _{\rm{n}}}$作为基准波前. ${\varphi _{\rm{P}}}$和${\varphi _{\rm{n}}}$之间的相位差即是光学元件的相位图, 对于任意的衍射光斑I, 其迭代过程如图2所示.
图 2 迭代过程流程图
Figure2. Flowchart of iterative process.

迭代过程包含三个平面, 焦平面、相位板平面和衍射光平面, 平面之间通过标量衍射理论进行计算, 首先对焦平面波前分布进行随机猜测得到${G_0}$, 第k个迭代过程的描述如下.
1) 将焦平面的波前分布正向传播距离t得到${\psi _k} = \Im \{ {G_k}, t\} $, 其中$\Im \{ {G_k}, t\} $表示将${G_k}$正方向传播距离t的过程, ${\psi _k}$即为入射到相位板H的波的分布.
2)计算相位板出射光传播距离l后的衍射光分布${E_k} = \Im \{ {D_k}, l\} $, 其中${D_k} = {\psi _k} \times H$, 为相位板出射光, 此处不考虑相位板厚度, 同时强制${E_k}$满足强度限制条件, 即${E'_k} = \left| {{E_k}} \right|{{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\phi _k}}}$, 其中$\left| {{E_k}} \right| = \sqrt I $、${\phi _k}$为${E_k}$的相位, 即相位不变, 振幅替换为实际记录的光斑.
3) 将更新后的${E_{k'}}$逆传播到相位板面, 并按照如下公式获得更新后的相位板照明光:

${\psi '_k} = {\psi _k} + \frac{{\left| H \right|}}{{{{\left| H \right|}_{\max }}}}\frac{{{H^*}}}{{{{\left| H \right|}^2} + \alpha }}\left( {{{D'}_k} - {D_k}} \right),$

其中$D' = {\Im ^{ - 1}}\{ E', l\} $, $\alpha $是自定义常数, ${\Im ^{ - 1}}\{ \} $表示逆向传播过程.
4) 将${\psi '_k}$逆向传播回焦平面, 并在焦平面处应用如下的限制条件:

${G_{k + 1}} = {G'_k} \cdot {F_k} + \beta ({G'_k} - {G_k})(1 - {F_k}),$

其中$\beta $是自定义常数, ${G'_k} = {\Im ^{ - 1}}\{ {\psi '_k}, t\} $; ${F_k}$表示空间约束条件, 即

${F_k} = \left\{ {\begin{aligned} &{1}, \quad {(x,y) \in \eta,} \\ & {0}, \quad {(x,y) \notin \eta,} \end{aligned}} \right.$

$\eta $表示焦点集中区域. 区域$\eta $的直径随着迭代次数k的增加而增大, 同时更新后的${G_{k + 1}}$将作为下一次迭代的初始猜测.
5) 重复步骤1)—4), 直到${\left| {{E_k}} \right|^2}$和I之间误差足够小.
利用上述迭代算法, 可以分别重建得到${I_{\rm{P}}}$和${I_{\rm{n}}}$对应的相位板照明光分布, 将其逆向传播到会聚透镜面, 即得到${\varphi _{\rm{P}}}$和${\varphi _{\rm{n}}}$, 通过计算两者相位差可实现对光学元件透射相位分布的测量, 由于两次迭代计算采用的相位板分布相同, 因此迭代算法引入的随机相位常数和相位倾斜因子并不会影响测量结果.

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3.1.石英窗口

为了验证CMI应用于光学元件测量的可靠性, 定制了10片口径为80 mm, 相位峰谷值PV从0.1λ到0.45λ (λ = 632.8 nm)的石英窗口, 其中两片如图3(a)所示, 当存在待测窗口时, 其中一幅8 bit衍射光斑如图3(b)所示, 利用上述迭代算法计算得到的窗口对应相位分布图如图3(c)所示, 其中黑色虚线直径为79.1 mm, 略小于窗口口径, 通过计算可得到该区域内的PV值和均方根RMS值, 并作为最终测量结果, 同时每个石英窗口随机旋转一定角度后重复测量了10次, 每次重建时初始猜测为不同的随机数. 用于迭代的矩阵像素数是3072 × 3072, 为提升计算速度, 采用一块NVIDIA Tesla计算卡进行加速计算, 单次迭代约0.2 s, 共迭代500次.
图 3 (a) 作为被测物的石英窗口; (b) CCD记录的衍射光斑; (c) 通过相位相减得到的石英窗口相位图, 其中由黑色虚线标记的区域的直径为79.1 mm
Figure3. (a) Photo of the plate glasses used in experiments; (b) diffraction pattern recorded by CCD; (c) phase map of plate glass obtained directly by phase subtraction. The section marked by the black dashed circle with a diameter of 79.1 mm is used for the analysis of PV and RMS. The constant phase slope is not removed for these calculations.

${S_M} = \sqrt {{\sum\limits_{i = 1}^n \dfrac{{{ {{M_i} - \bar M} }^2}}{ {n - 1}}}},\;n = 10.$

除此之外, 每片石英窗口同样采用Zygo干涉仪(ZYGO GPI 300 nm)进行对比测量, 考虑到该台商用的干涉仪已经过溯源, 其测量结果可作为参考标准. 为了计算CMI测量方法测量结果的重复性, 按照(3)式分别计算10次测量结果的标准方差${S_M}$, 其中M是应用CMI计算得到的PV或RMS值, 下角标i表示CMI第i次测量结果. $\bar M$是相同的石英窗口测量10次的平均值. 实验中测量的10个不同石英窗口的结果如表1所示. 由CMI计算得到的PV和RMS的平均值, 分别由${\overline {{\rm{PV}}} _{{\rm{CMI}}}}$和${\overline {{\rm{RMS}}} _{{\rm{CMI}}}}$表示, 分别在表格的第2列和第5列. 而由Zygo干涉仪测量的相关PV和RMS值分别在表格第4列和第7列中给出, 同时根据表1记录的数据, 在图4(a)和图4(b)中绘制了10片石英窗口PV和RMS的最小二乘线性回归曲线, 其中横坐标为CMI测量结果, 纵坐标为Zygo干涉仪测量结果, 图5列出了10片石英窗口对应的CMI(其中一次测量结果)和Zygo干涉仪测量结果.

No.	${\overline {{\rm{PV}}} _{{\rm{CMI}}}}$	${S_{{\rm{pv}}}}$	${\rm{P}}{{\rm{V}}_{{\rm{Zygo}}}}$	${\overline {{\rm{RMS}}} _{{\rm{CMI}}}}$	${S_{{\rm{RMS}}}}$	${\rm{RM}}{{\rm{S}}_{{\rm{Zygo}}}}$
1	0.178	2.40 × 10–3	0.148	0.054	6.40 × 10–4	0.042
2	0.118	1.20 × 10–3	0.169	0.028	4.60 × 10–4	0.021
3	0.180	2.40 × 10–3	0.179	0.038	4.80 × 10–4	0.030
4	0.159	6.90 × 10–4	0.206	0.023	2.20 × 10–4	0.025
5	0.260	1.50 × 10–3	0.221	0.075	3.00 × 10–4	0.068
6	0.254	2.30 × 10–3	0.243	0.074	5.90 × 10–4	0.072
7	0.278	3.30 × 10–3	0.252	0.071	7.60 × 10–4	0.061
8	0.331	2.10 × 10–3	0.358	0.099	5.50 × 10–4	0.099
9	0.433	2.60 × 10–3	0.400	0.114	8.10 × 10–4	0.102
10	0.475	2.10 × 10–3	0.445	0.138	3.90 × 10–4	0.124

表1CMI和干涉仪的测量结果(λ)
Table1.CMI and interferometer results (λ).

图 4 CMI和Zygo干涉仪的测量结果下, PV (a)和RMS (b)的最小二乘线性回归曲线
Figure4. Least-squares linear regressions of PV (a) and RMS (b) comparing the measurements from the CMI and Zygo interferometer.

图 5 分别由CMI和干涉仪测量的10个不同石英窗口的相位图
Figure5. Phase maps of ten different plate glasses measured by CMI and inteferometer.

通过表1可知, 利用CMI算法测量PV的均方差在10^–3λ量级, RMS的均方差在10^–4λ量级, 都远小于$\overline {{\rm{PV}}} $和$\overline {{\rm{RMS}}} $, 均方差和平均值基本相差两个数量级, 因此具有较高的重复精度, 通过图4的回归曲线可知, 若以Zygo干涉仪测量结果为基准, CMI算法测量的PV均方根误差(Root-MSE)是0.0305λ (0.019 μm), RMS的均方根误差(Root-MSE)是0.0052λ(0.0033 μm), 因此PV和RMS对应的测量精度可以优于0.1λ和0.01λ, 除此之外, 根据图5所示的空间相位分布对比可知, CMI和Zygo干涉仪的测量结果在空间上也能够得到很好对应, 两者在角度上的差异主要是由测量时石英窗口放置的角度不同所导致, 总的来说, 相对于商业干涉仪, CMI算法测量元件透射率的精度和可靠性都能够得到很好的验证.
此外, 根据图4可知, 相比于PV测量, RMS的线性拟合度更高一些, 考虑到PV值是峰谷值的差值, 更容易受误差影响, 而RMS是一个统计值, 因此具有更高的抗噪能力, CMI算法本身误差、CCD记录光斑噪声、相位板标定精度、光路参数误差和相位计算选区等, 都会影响相位测量精度, 而焦平面空间约束条件的引入起到空间滤波的作用, 当约束半径过大时, 随机噪声会显著增强, 当约束半径过小时, 有效的高频信息被滤除, 测量结果更匀滑, 但精细结构丢失, 不过对于多数光学元件而言, 其相位分布通常是缓变分布, 相对较小的空间约束半径是合适的, 对于包含高频结构信息的原件而言, 需要通过选择合适的约束半径在精度和噪声之间进行有效平衡. 除此之外, 上述实验中CMI算法测量的结果没有进行任何额外的去噪处理, 这也是相对于Zygo干涉仪测量误差更加明显的原因之一.
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3.2.光学平面测量

为了测试CMI用于光学检测的极限测量能力, 分别使用CMI和Zygo干涉仪测量了同一片直径为50 mm且PV = λ /20 (λ = 632.8 nm)的平行平晶, 其照片如图6(a)所示. 图6(b)和图6(c)是分别由干涉仪和CMI测量的相位图. 由干涉仪测量的PV和RMS值分别为0.04λ和0.005λ, 而由CMI测量的PV和RMS值分别为0.054λ和0.009λ, 对于本次实验光路而言, PV = 1/18.5λ显然已接近CMI算法的测量极限, CMI算法测量结果在空间分布上只能对应基本趋势, 虽然PV和RMS误差只有0.01λ和0.004λ, 但两者的相对误差变得明显, 可以估计当前CMI测量光路的噪声水平在λ/20左右, 当测量更好面型的元件时, 测量结果可靠性将会降低, 但考虑到本次实验中CMI测量方案基本没有经过整体优化, 因此其测量能力仍有很大的改进空间, 一方面二元相位板标定精度和探测器有效数值孔径需要进一步提升, 另外一方面, 降低噪声水平也是提高相位测量精度和极限测量能力的关键, 除了采用低背景噪声CCD外(本次实验中采用8 bit工业CCD, 光斑强度整体减3, 小于0的值强制为0), 还可以将焦平面约束条件进行替换, 使用具备非滤波特性的空间约束条件来提升收敛性, 同时采用短焦距会聚透镜, 缩短待测元件到CCD靶面之间的衍射距离, 也可以有效提升测量精度.
图 6 (a) PV = λ/20的平行平晶照片; (b) 光学平面的相位图, 由Zygo干涉仪测得; (c)光学平面得相位图, 由CMI测得, λ = 632.8 nm
Figure6. (a) Photograph of an optical flat with PV = λ/20; phase maps of the optical flat, measured by the Zygo interferometer (b) and (c) by CMI. λ = 632.8 nm.

相对于干涉测量, 基于迭代计算的单次曝光CMI算法结构更加简单, 不需要参考光, 是一种新型的光学元件测量技术, 通过和Zygo干涉仪的实验对比测量可知, 对于80 mm口径的光学元件CMI算法测量的PV标准差是0.0305λ(0.019 μm), RMS标准差是0.0052λ(0.0033 μm), PV和RMS测量精度可以优于0.1λ和0.01λ, 并且其噪声水平在1/20λ量级, λ = 632.8 nm, 因此在不考虑Zygo干涉仪本身测量误差且在CMI光路没有进行优化的情况下, 基本可以满足大部分测量需求. 除此之外, 由于采用相位相减的方式, 对会聚透镜和准直光束的要求有所降低, 理论上CMI可以很容易拓展到大口径 (如大于300 mm)和反射式光学元件检测中, 因此具有非常好的发展潜力.