摘要:AlGaN/GaN界面处的二维电子气迁移率是描述高电子迁移率晶体管特性的一个重要参数, 极化光学声子散射是高温时限制二维电子气迁移率的主要散射机制. 本文对极化光学声子散射进行计算, 结果表明在二维电子气浓度为6 × 10¹¹—1 × 10¹³ cm^–2, 温度为200—400 K范围内, 极化光学声子散射因素决定的迁移率随温度的变化近似为$ \mu_{\rm PO} = AT^{-\alpha} ~ (\alpha = 3.5) $; 由于GaN中光学声子能量较大, 吸收声子对迁移率的影响远大于发射声子的影响. 进一步讨论了极化光学声子散射因素决定的迁移率随光学声子能量变化的趋势, 表明增加极化光学声子能量可提高二维电子气的室温迁移率.
关键词: 二维电子气/
极化光学声子散射/
高温迁移率/
光学声子能量

English Abstract

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纤锌矿结构的AlGaN/GaN异质结存在很强的极化效应, 极化电场在异质结界面处产生大量的极化电荷, 使得AlGaN/GaN高电子迁移率晶体管(high electron mobility transistor, HEMT)无需掺杂就具有高浓度的二维电子气(two-dimensional electron gas, 2DEG)^[1-3]. HEMT器件的性能是与2DEG的输运性质密切相关, 提高2DEG的浓度及提高2DEG的迁移率对HEMT器件的性能有重要的影响^[4]. 2DEG的迁移率由晶格振动散射和缺陷散射所决定^[5]. 晶格振动散射具体表现为原子偏离晶格格点的振动, 且随温度增加而迅速加强. 晶格振动散射分为极化光学声子散射、压电声学声子散射和形变势声学声子散射. 缺陷散射具体表现为杂质和缺陷破坏周期性势场, 导致电子运动过程中遭到散射. 缺陷散射主要包括界面粗糙散射、合金无序散射、位错散射以及电离杂质散射. 界面粗糙散射和电离杂质散射主要影响的是低温迁移率, 压电声学声子散射和形变势声学声子散射主要影响的是中温迁移率, 而极化光学声子散射是影响室温及以上温度的迁移率的主要因素^[6,7]. 因此, 研究极化光学声子散射对加深了解室温及室温以上温度HEMT器件的工作特性、优化器件的性能具有重要意义.
Ridley^[8]通过求解玻尔兹曼方程研究极化光学声子散射对迁移率的影响, 认为电子浓度增加导致更多电子吸收与发射声子是极化光学声子散射相关的迁移率随2DEG浓度降低而减小的原因. Zhang等^[9]研究了AlGaN势垒层中Al组分对各种散射机制的影响, 发现势垒层Al组分增加引起的2DEG密度增大是造成各种散射作用变化的主要因素. 杨福军和班士良^[10]考虑AlGaN/AlN/GaN异质结构的极化效应产生的内建电场的作用及室温下各种可能的光学声子散射, 结果显示, AlN插入层厚度以及Al组分的增加均会致使2DEG的分布更靠近异质结界面, 使界面光学声子成为主导的散射因素. Protasov等^[11]研究了不同散射机制的温度特性, 认为极化光学声子散射随温度升高而增强, 室温迁移率主要受极化光学声子散射影响. 本文进一步通过对极化光学声子散射进行计算, 对其温度特性和浓度特性进行分析, 研究极化光学声子散射随光学声子能量变化的关系, 并讨论提高AlGaN/GaN HEMT中2DEG室温迁移率的可能方法与途径.

典型的AlGaN/GaN HEMT器件的物理结构如图1所示, 异质结所在平面为x-y平面, 垂直异质结界面为z轴方向, 从上到下依次是AlGaN势垒层、GaN沟道层和SiC衬底. 在AlGaN/GaN异质结界面处, 两种材料的禁带宽度之差导致异质结界面处能带发生弯曲, 在能带两侧分别形成AlGaN势垒和势阱, 在平行异质结界面方向上, 电子的运动不受限制, 但在垂直异质结界面方向上, 电子被限制在很窄的势阱中运动, 形成2DEG^[12], 并且由于沿着 [0001]方向生长的纤锌矿结构的AlGaN/GaN异质结具有很强的自发极化(P_SP, 极化场的方向如图1所示)和压电极化(P_E)效应^[13], 在非掺杂的情况下, 界面的2DEG浓度可达10¹³ cm^–2数量级. 2DEG的运动受到各种散射机制的作用, 在高温下, 极化光学声子散射是一个重要的因素.
图 1 AlGaN/GaN HEMT器件结构图
Figure1. Device structure diagram of AlGaN/GaN HEMT.

GaN晶格中纵光学波两种原子的相对振动方向相反, 导致一个半波长的范围内正电荷密度大, 而另一半负电荷密度大, 这将引起极化, 如图2所示, 正负电荷之间的静电场将产生附加势从而散射电子, 这种散射称为极化光学声子散射.
图 2 纵光学波引起的极化示意图
Figure2. A schematic diagram of polarization caused by a longitudinal optical wave.

极化光学声子散射的光学声子能量?ω_LO通常为几十meV, 与室温下的k_BT的数量级相同, 因此这类散射是非弹性散射. 在非弹性散射中, 电子与晶格存在显著的能量交换, 不能严格地定义弛豫时间, 一般通过迭代法或者变分法求解玻尔兹曼方程得到极化光学声子散射因素决定的迁移率. 当忽略散射入微元dk的散射, 只考虑散射出微元dk的散射影响, 弛豫时间可近似为^[14,15]

$\begin{split}\frac{{\rm{1}}}{{\tau \left( E \right)}} =\;& \frac{1}{{1 - {f_0}\left( E \right)}}\int {W\left( {{{k}},{{{k}}'}} \right)} \left( {1 - \cos \theta } \right)\\&\times\left[ {1 - {f_0}\left( {E \pm h{\omega _{\rm{LO}}}} \right)} \right]{\rm{d}}{{{k}}'}.\end{split}$

其中θ为波矢k与k'之间的散射角; $ \pm $分别代表吸收声子和发射声子; f₀(E)为费米-狄拉克分布函数,

${f_0}\left( E \right) = \frac{1}{{{{\rm{e}}^{\left( {E - {E_{\rm{F}}}} \right)/{k_{\rm{B}}}T}} + 1}};$

$W\left( {{{k}}, {{{k}}'}} \right)$为电子由k态向k'态跃迁的跃迁率, 根据费米黄金定则,

$W\left( {{{k}},{{{k}}'}} \right) = \frac{{2{\text{π}} }}{\hbar }{{M}}_{\rm{II}}^2\delta \left( {\hbar {\omega _{{k'}}} - \hbar {\omega _k} \pm \hbar {\omega _{\rm{LO}}}} \right).$

2DEG的散射矩阵元M_II描述了2DEG与声子的相互作用^[16]:

${{M}}_{\rm{II}}^2 = \int {{{M}}_{\rm{III}}^2} {\left| {I\left( {{{{q}}_z}} \right)} \right|^2}{\rm{d}}{{{q}}_z}.$

式中, q_z是z方向波矢; 三维矩阵元^[17]

${{M}}_{{\rm{III}}}^2 = \frac{{{e^2}\hbar {\omega _{{\rm{LO}}}}\left( {\varepsilon _\infty ^{ - 1} - {\varepsilon ^{ - 1}}} \right)}}{{2V}}\frac{1}{{{{q}}_ \pm ^2 + {{q}}_z^2}}\left( {{N_{\rm{q}}} + \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}} \right),$

其中, e为电子电荷量, $ \hbar {\omega _{{\rm{LO}}}} $为光学声子能量, ε为介电常数, $ \varepsilon _\infty $为高频介电常数, ${ q}_+$和$ { q}_- $分别是吸收和发射声子的二维散射波矢, N_q为声子数.
当仅考虑最低子带的带内散射时, I (q_z)定义为

$I\left( {{{{q}}_z}} \right) = \int {{\psi ^2}(z)} {{\rm{e}}^{{\rm{i}}{{{q}}_z}z}}{\rm{d}}z.$

对于AlGaN/GaN HEMT, 取垂直异质结界面方向为z轴方向, z = 0平面为异质结界面所在的x-y平面, 量子阱采用无限深三角形势阱. 当$z \leqslant 0$时, 波函数为0, 当z > 0时, 采用变分波函数描述最低子带上2DEG的分布, 则波函数ψ表示为

$\psi \left( z \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\dfrac{1}{2}{b^3}{z^2}} \right)}^{1/2}}{{\rm{e}}^{ - \frac{1}{2}bz}}}, &{z > 0 ,}\\0,&{z \leqslant {\rm{0 }}.}\end{array}} \right.$

这里b为变分参数,

$b = {\left( {\frac{{12{m^*}{{{e}}^2}}}{{\varepsilon {\hbar ^2}}}} \right)^{1/3}}{\left( {{N_{{\rm{depl}}}} + \frac{{11}}{{32}}{n_{2{\rm{D}}}}} \right)^{1/3}},$

其中, N_depl表示GaN中耗尽电荷面密度, n_2D是2DEG浓度. 将(7)式代入(6)式得

${\left| {I\left( {{{{q}}_z}} \right)} \right|^{\rm{2}}} = \frac{{{b^6}}}{{{{\left( {{b^2} + {{{q}}_z}^2} \right)}^3}}}.$

因此, 吸收声子动量弛豫率(1/τ₊)和发射声子动量弛豫率(1/τ_–)如下:

$\begin{split} \frac{1}{{{\tau _ + }\left( E \right)}} =\; & \frac{{{e^2}{m^*}\hbar {\omega _{\rm{LO}}}\left( {\varepsilon _\infty ^{ - 1} - {\varepsilon ^{ - 1}}} \right)}}{{8{{\text{π}} ^2}{\hbar ^3}\left[ {1 - {f_0}\left( E \right)} \right]}}\int {\left( {1 - \cos \theta } \right)} \\&\times\! [{1 \!-\! {f_0}( {E \!+\! \hbar {\omega _{\rm{LO}}}})} ]{N_{\rm{q}}}I\left( {{{{q}}_ + }} \right){\rm{d}}\theta ,\\[-12pt]\end{split} $

$\begin{split} \frac{1}{{{\tau _ - }\left( E \right)}} =\;& \frac{{{e^2}{m^*}\hbar {\omega _{\rm{LO}}}\left( {\varepsilon _\infty ^{ - 1} - {\varepsilon ^{ - 1}}} \right)}}{{8{{\text{π}} ^2}{\hbar ^3}\left[ {1 - {f_0}\left( E \right)} \right]}}\int {\left( {1 - \cos \theta } \right)} \\& \times \left[ {1 - {f_0}\left( {E - \hbar {\omega _{\rm{LO}}}} \right)} \right]\varTheta \left( {E - \hbar {\omega _{\rm{LO}}}} \right)\\&\times \left( {{N_{\rm{q}}} + 1} \right)I\left( {{{{q}}_ - }} \right){\rm{d}}\theta .\\[-10pt] \end{split} $

其中I (q_±)的表达式为

$I\left( {{{{q}}_ \pm }} \right) = \int {\frac{{{{\left| {I\left( {{{{q}}_z}} \right)} \right|}^2}}}{{{{q}}_ \pm ^2 + {{q}}_z^2}}} {\rm{d}}{{{q}}_z};$

N_q代表根据量子统计中每一模式所包含的声子数,

${N_{\rm{q}}} = \frac{1}{{{{\rm{e}}^{\hbar {\omega _{\rm{LO}}}/{k_{\rm{B}}}T}} - 1}}.$

声子数直接反映了振动的强度, 吸收声子散射率λ正比于N_q, 而发射声子散射率λ正比于N_q + 1, 其中1对应于声子的自发发射.
散射时间跟能量有关, 则平均散射时间为

$\left\langle \tau \right\rangle = \frac{{\int {\tau \left( E \right)E} \left( {\partial {f_0}\left( E \right)/\partial E} \right){\rm{d}}E}}{{\int E \left( {\partial {f_0}\left( E \right)/\partial E} \right){\rm{d}}E}}.$

迁移率为

$\mu = \frac{{e\langle \tau \rangle }}{{{m^*}}}.$

根据Matheissen定则, 总的极化光学声子散射决定的迁移率为

$\frac{{\rm{1}}}{{{\mu _{\rm{po}}}}} = \frac{{\rm{1}}}{{{\mu _ + }}} + \frac{{\rm{1}}}{{{\mu _ - }}}.$

由(10)式、(14)式以及(15)式可计算出吸收声子散射决定的迁移率, 由(11)式、(14)式以及(15)式可计算出发射声子散射决定的迁移率, 再通过(16)式计算总的极化光学声子散射决定的迁移率. 计算中用到的参数见表1^[18,19], 其中m₀和ε₀分别为电子的惯性质量和真空介电常数.

参数	符号/单位	取值
介电常数(低频)	ε/F·m–1	10.4ε0[18]
介电常数(高频)	ε∞/F·m–1	5.47ε0[18]
电子有效质量	m*/kg	0.22m0[19]
声子能量	?ωLO/meV	91.2[19]

表1相关的GaN参数值
Table1.Parameters of GaN used for the calculations.

吸收、发射声子决定的迁移率及总的极化光学声子散射决定的迁移率在200—400 K的温度范围内随温度的变化如图3所示, 2DEG浓度n_2D取1 × 10¹³ cm^–2. 由图3可知, 在200—400 K的温度范围内, 吸收声子散射都远大于发射声子散射. 这是因为根据能量守恒, 对于发射声子的散射来说, 只有当载流子本身的能量高于光学声子能量时, 跃迁率才不为零, 才发生散射, 而吸收声子散射则在所有能量范围内均可发生. 只有在电子平均能量k_BT远大于声子能量$ \hbar\omega_{\rm LO} $时发射声子散射率才能超过吸收声子散射率. AlGaN/GaN HEMT中光学声子能量为91.2 meV左右, 在200—400 K的温度范围内均大于电子平均能量k_BT (17.2— 34.4 meV), 所以吸收声子散射是极化光学声子散射限制迁移率的主要方式.
图 3 极化光学声子散射因素决定的迁移率随温度的变化
Figure3. Mobility limited by polar optical phonon scattering as a function of temperature.

极化光学声子散射因素决定的迁移率随温度和浓度变化的计算结果如图4所示, 迁移率随温度增大而单调减小; 经拟合, 极化光学声子散射因素决定的迁移率随温度变化近似满足$ \mu_{\rm PO} = AT^{-\alpha} (\alpha = 3.5) $的幂函数关系, 这是因为系统中光学声子的数量与温度密切相关, 温度越高, 晶格振动越剧烈, 即声子数越多. 因此随着温度的上升, 声子散射载流子的作用越显著, 故高温时极化光学声子散射因素决定的迁移率降低, 平均光学声子数N_q反映了这一特性. 从图4还可以看出, 随着2DEG浓度的增加, 极化光学声子散射因素决定的迁移率降低, 这是因为当2DEG浓度增大时, 费米能级E_F将会增大, 根据(2)式中费米-狄拉克分布函数可知, 最低子带中各量子态被电子占据的概率增大, 更大数目的电子占据最低子带, 使得更多的电子与光学声子相互作用^[8], 造成散射率增加, 极化光学声子散射因素决定的迁移率下降. 同时, 2DEG浓度增大, 将通过增强电子与极化光学声子的相互作用降低极化光学声子散射因素决定的迁移率. 由波函数ψ(z)可知, 2DEG浓度增大使得变分参数b增大, 最低子带的电子更靠近界面^[20].$ I({ q}_z) $描述电子波函数与极化光学声子波函数的交叠, 故${\left| {I({{ q}_z})} \right|^2}$表示电子与极化光学声子作用的强弱, (9)式表明, ${\left| {I({{ q}_z})} \right|^2}$随b增大而增加, 即电子与极化光学声子的相互作用随b增大而增强. 因此, 随着2DEG浓度增大, 电子更靠近界面, 使得电子与极化光学声子的相互作用增强, 极化光学声子散射因素决定的迁移率下降. AlGaN/GaN HEMT中2DEG浓度依赖于AlGaN势垒层中的Al组分、极化电荷面密度等参数^[21,22]. Al组分以及极化电荷面密度分别通过改变2DEG浓度而影响极化光学声子散射因素决定的迁移率.
图 4 不同2DEG浓度n_2D下, 极化光学声子散射随温度的变化
Figure4. Polar optical phonon scattering dependence on temperature for different n_2D.

极化光学声子散射因素决定的迁移率随光学声子能量变化的计算结果如图5所示, 在温度为300 K, 2DEG浓度为1 × 10¹³ cm^–2的条件下, 极化光学声子散射因素决定的迁移率随着光学声子能量的增加而近似线性增加, 当光学声子能量从91.2 meV增加到96.2 meV时, 极化光学声子散射因素决定的迁移率即从2950 cm²·V^–1·s^–1增加到3529 cm²·V^–1·s^–1, 可见光学声子能量是室温下影响2DEG迁移率的重要因素. 有报道称, 衬底材料会影响极化光学声子能量, 采用蓝宝石衬底的HEMT中极化光学声子能量将大于SiC或Si衬底^[23]. 因此, 通过选择合适的衬底材料可增大极化光学声子能量, 从而增加2DEG室温迁移率.
图 5 极化光学声子散射随光学声子能量?ω_LO的变化
Figure5. Curve of polar optical phonon scattering versus optical phonon energy ?ω_LO.

本文计算了极化光学声子散射随温度和浓度的变化规律. 因为声子数随温度升高而增加, 所以极化光学声子散射因素决定的迁移率随温度增加而降低. 随着2DEG浓度增大, 电子与极化光学声子相互作用增强, 导致极化光学声子散射决定的迁移率降低. 进一步分析了单独考虑吸收光学声子或发射光学声子对迁移率的影响, 由于GaN中光学声子能量较大, 因此吸收声子对迁移率的影响较大. 在考虑光学声子能量对极化光学声子散射决定的迁移率的影响时, 可通过增大极化光学声子能量来提高AlGaN/GaN HEMT室温迁移率.