摘要:传统量子系统的哈密顿是自伴算子, 哈密顿的自伴性不仅保证系统遵循酉演化和保持概率守恒, 而且也保证了它自身具有实的能量本征值, 这类系统称为自伴量子系统. 然而, 确实存在一些物理系统(如$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称量子系统), 其哈密顿不是自伴的, 这类系统称为非自伴量子系统. 为了深入研究$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称量子系统, 并考虑到算子$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $的共轭线性性, 首先讨论了共轭线性算子的一些性质, 包括它们的矩阵表示和谱结构等; 其次, 分别研究了具有共轭线性对称性和完整共轭线性对称性的线性算子, 通过它们的矩阵表示, 给出了共轭线性对称性和完整共轭线性对称性的等价刻画; 作为应用, 得到了关于$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称及完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称算子的一些有趣性质, 并通过一些具体例子, 说明了完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性对张量积运算不具有封闭性, 同时说明了完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性既不是哈密顿算子在某个正定内积下自伴的充分条件, 也不是必要条件.
关键词: 共轭线性算子/
共轭线性对称性/
完整共轭线性对称性/
$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性/
完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性

English Abstract

全文HTML

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传统的量子力学中, 量子系统的状态随时间的演化由一个自伴哈密顿量$ {\mathcal{H}} $决定的薛定谔方程来描述. 哈密顿量的自伴性保证了系统遵守酉演化, 同时也保证了其特征值为实数. 但是, 确实存在一些物理系统, 其哈密顿不是自伴的, 但也具有实的能量本征值. Bender等^[1-3]讨论了哈密顿量$ {\mathcal{H}} = $${ p}^2+{ x}^2({\rm i}\hat{ x})^{\epsilon} $谱的性质, 其中$ \epsilon $为实数, 说明了当$ \epsilon\geqslant 0 $时其特征值都是实数, 当$ \epsilon<0 $时会出现复特征值, 从而提出了一类非自伴哈密顿, 称为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称哈密顿. 其中$ {\mathcal{P}} $是一个线性算子, 表示宇称变换, $ {\mathcal{T}} $是共轭线性算子, 表示时间反演变换. 由于$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称哈密顿的特征值为实数或者共轭成对出现的复数, 为了保证其特征值为实数, 又引入了完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的概念. 在此基础上, 通过引入一个$ \mathcal{C} $算子, 构造了一个新的正定$ \mathcal{C}{\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-内积, 使得哈密顿$ {\mathcal{H}} $在该内积下是自伴的, 从而也遵守酉演化, 同时还说明了$ \mathcal{C} $算子是不唯一的^[4-7]. 后来, Mostafazadeh^[8-12]提出了伪自伴算子的概念, 研究了伪自伴哈密顿的相关性质, 指出$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称哈密顿可以看成一类特殊的伪自伴哈密顿, 同时给出了针对Freedman-Robertson-Walker模型中哈密顿是伪自伴的例子. Bender等^[13]发现在$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称量子理论下, 量子系统的最优演化时间能够迅速减小甚至达到零. Zheng等^[14]通过设计核磁共振量子系统中具有$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称哈密顿量的时间演化实验, 证实了相应的结果. 目前, 关于$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称量子理论的研究已经涉及到了物理学及信息学的各个方面, 包括$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性在光学领域的应用^[15], $ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称量子场论的相关问题^[16,17], $ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称量子系统中的纠缠问题^[18], $ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称量子系统中无信号原理及其实验观测^[19,20], $ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性与图论及量子随机游走的关系^[21-23]等. 此外, 还有一些其他的相关研究^[24-37]. 最近, Huang等^[38]通过弱测量模拟了缺破(broken)$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称哈密顿系统.
本文首先讨论共轭线性算子的一些性质, 包括其矩阵表示和谱结构; 其次, 给出线性算子的共轭线性对称性和完整共轭线性对称性的定义, 讨论共轭线性对称算子和完整共轭线性对称算子所具有的相似Jordan标准型, 同时给出共轭线性对称算子和完整共轭线性对称算子的等价刻画; 作为应用, 得到非自伴哈密顿算子$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性及完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性的一些性质, 通过完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称哈密顿的一些具体例子, 说明完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性对张量积不具有封闭性, 同时说明完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性既不是哈密顿算子在某个正定内积下自伴的充分条件, 也不是必要条件.

本文用$ \mathbb{K} $表示n维复Hilbert空间, 用$ \|{x}\| $表示向量$ {x}\in\mathbb{K} $的范数, 即$\left\| {x} \right\| = \sqrt {\left\langle {{x}|{x}} \right\rangle } $. 用$ {\mathcal{I}} $表示$ {\mathbb{K}} $上的恒等算子. 对于$ {\mathbb{K}} $上的线性算子$ {\mathcal{A}} $, 用$ {\mathcal{A}}^\dagger $表示线性算子$ {\mathcal{A}} $的Hermitian伴随算子. 若$ {\mathcal{A}} = {\mathcal{A}}^\dagger $, 则称$ {\mathcal{A}} $是自伴的; 否则, 称$ {\mathcal{A}} $是非自伴的. 若存在可逆线性算子$ {\mathcal{B}} $使得$ {\mathcal{A}} = {\mathcal{B}}^\dagger {\mathcal{B}} $, 则称$ {\mathcal{A}} $为正定算子; 若$ [{\mathcal{A}}, {\mathcal{B}}]: = {\mathcal{A}}{\mathcal{B}}-{\mathcal{B}}{\mathcal{A}} = 0 $, 则称算子$ {\mathcal{A}} $与$ {\mathcal{B}} $可交换.
用$ M_n({\mathbb{C}}) $表示全体n阶复矩阵构成的$ C^* $-代数, ${{{I}}_n}$表示n阶单位矩阵. 用$ \overline{a} $表示$ a\in{\mathbb{C}} $的复共轭, 对$ {{A}} = [a_{ij}]_{n\times n} $, 记$ \overline{{A}} = [\overline{a_{ij}}]_{n\times n} $, $ {{A}}^{\mathrm T} = [a_{ji}]_{n\times n} $. 对$ {{A}}, {{B}}\in M_n({\mathbb{C}}) $, 若存在可逆矩阵$ {{S}}\in M_n({\mathbb{C}}) $使得${{S}^{ - 1}}{AS} = {B}$, 则称A相似于B, 记为$ {{A}}\sim {{B}} $. 如果矩阵A 相似于某个对角矩阵, 那么称A可相似对角化.
以下设$ \mathcal{E} = \{e_{i}\}_{i = 1}^n $为空间$ \mathbb{K} $的一个线性无关基(Hamel基). 因此, 空间$ \mathbb{K} $中的任意向量x都可以唯一地表示为$ {{x}} = \sum\limits_{i = 1}^nc_ie_i ,$其中 $ c_i\in{\mathbb{C}}\;(i = 1, $$ 2, \cdots, n). $
定义1　 对于算子$ {\mathcal{A}}:\mathbb{K}\rightarrow\mathbb{K} $, 若

$ {\mathcal{A}}(c_1x_1+c_2x_2) = \overline{c_1}{\mathcal{A}} x_1+\overline{c_2}{\mathcal{A}} x_2,\ \ \forall x_i\in{\mathbb{K}}, \forall c_i\in{\mathbb{C}}, $

则称$ {\mathcal{A}} $为共轭线性算子.
对于空间$ \mathbb{K} $上的任一共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $, 任取$ {\mathbb{K}} $的一个正规正交基$ \{\varepsilon_k\}_{k = 1}^n $, 令$ { x} = \sum\limits_{k = 1}^nc_k\varepsilon_k $, $ { y} = $ $\sum\limits_{k = 1}^nd_k\varepsilon_k $, 则

$\begin{split}{{\left\| {{\cal A}{ x} - {\cal A}{ y}} \right\|}^2} \, & \leqslant \left( {\sum\limits_{k = 1}^n | \overline {{c_k}} - \overline {{d_k}} {|^2}} \right)\left( {\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left\| {{\cal A}{\varepsilon _k}} \right\|}^2}} } \right) \\ &\,= {{\left\| {{ x}- { y}} \right\|}^2}{M^2},\end{split}$

其中$ M = \sqrt{\sum\limits_{k = 1}^n\|{\mathcal{A}} \varepsilon_k\|^2} $. 因此,

$ \begin{array}{*{20}{c}}\|{\mathcal{A}} { x}-{\mathcal{A}} { y}\|\leqslant M\|{ x}-{ y}\|,\ \ \forall { x},{ y}\in{\mathbb{K}}. \end{array} $

进而可知, 空间$ \mathbb{K} $上的任一共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $都是一致连续的.
通常, 任一$ n\times n $阶矩阵$ {{A}} = [a_{ij}]_{n\times n} $都对应空间$ {\mathbb{K}} $上的一个线性算子:

${ x} = \sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}} {e_i} \mapsto \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}} {c_j}} {e_i}.$

如果定义

${\cal A}{ x} = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}} \overline {{c_j}} } {e_i},\;\;\forall { x} = \sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}} {e_i} \in {\mathbb{K}},$

那么得到$ \mathbb{K} $上的共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $, 且满足$ {\mathcal{A}} e_j = $$\sum\limits_{i = 1}^na_{ij}e_i(j = 1, 2, \cdots, n) $. 将此关系记为

${\cal A}\begin{array}{*{20}{c}}{({e_1},{e_2}, \cdots ,{e_n}) = ({e_1},{e_2}, \cdots ,{e_n}){ A}.}\end{array}$

反之, 对$ \mathbb{K} $上任一共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $, 记

${\cal A}{e_j} = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ij}}} {e_i}\;(j = 1,2, \cdots ,n),$

则得到一个$ n\times n $矩阵$ {{A}} = [a_{ij}] $, 称其为共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $在基$ \mathcal{E} $下的表示矩阵. 显然, 算子$ {\mathcal{A}} $与其表示矩阵A满足(3)式的关系, 从而表示矩阵A按照(2)式定义的算子正好为$ {\mathcal{A}} $.
这说明, 共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $与矩阵A在关系式(3)下是一一对应的, 且 对任意$ {{x}} = \displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^nc_ie_i\in\mathbb{K} $, 有

${\cal A}{x} = ({e_1},{e_2}, \cdots ,{e_n}){A}{{(\overline {{c_1}} ,\overline {{c_2}} , \cdots ,\overline {{c_n}} )}^{\rm{T}}}.$

易见, 矩阵A为共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $在基$ \mathcal{E} $下的表示矩阵当且仅当它们满足关系式 (4).
定义$ \mathbb{K} $上的算子$ {\mathcal{T}}_0 $为

${{\cal T}_0}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}} {e_i}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\overline {{c_i}} } {e_i},$

简记为$ {\mathcal{T}}_0{{x}} = \bar{{{x}}} $. 易见, $ {\mathcal{T}}_0 $是共轭线性算子, 且它在基$ \mathcal{E} $下的表示矩阵为n阶单位阵$ {{I}}_n $. 于是, 对任意$ {{x}} = \sum\limits_{i = 1}^nc_ie_i\in\mathbb{K} $, 有

${{\cal T}_0}{x} = \sum\limits_{i = 1}^n {\overline {{c_i}} } {e_i} = ({e_1},{e_2}, \cdots ,{e_n}){{I}_n}{{(\overline {{c_1}} ,\overline {{c_2}} , \cdots ,\overline {{c_n}} )}^{\rm{T}}}.$

容易看出, 任何两个共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $与$ {\mathcal{T}}_0 $的复合算子$ {\mathcal{T}}_0{\mathcal{A}} $或$ {\mathcal{A}}{\mathcal{T}}_0 $都为线性算子, 且满足关系 $ {\mathcal{A}} = ({\mathcal{A}}{\mathcal{T}}_0){\mathcal{T}}_0 = {\mathcal{T}}_0({\mathcal{T}}_0{\mathcal{A}}) $. 由此可见, 任意一个共轭线性算子都可以看成是一个线性算子与$ {\mathcal{T}}_0 $的复合, 也可以表示为$ {\mathcal{T}}_0 $与一个线性算子的复合. 参见图1.
图 1 共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $与$ {\mathcal{T}}_0 $的复合算子$ {\mathcal{A}}{\mathcal{T}}_0 $(左)与$ {\mathcal{T}}_0{\mathcal{A}} $(右)都是线性算子, 且满足关系 $ {\mathcal{A}}=({\mathcal{A}}{\mathcal{T}}_0){\mathcal{T}}_0= $${\mathcal{T}}_0({\mathcal{T}}_0{\mathcal{A}}) $
Figure1. Composition operators $ {\mathcal{A}}{\mathcal{T}}_0 $ (left) and $ {\mathcal{T}}_0{\mathcal{A}} $ (right), composed of conjugate linear operators $ {\mathcal{A}} $ and $ {\mathcal{T}}_0 $, which are linear operators and satisfy $ {\mathcal{A}}=({\mathcal{A}}{\mathcal{T}}_0){\mathcal{T}}_0={\mathcal{T}}_0({\mathcal{T}}_0{\mathcal{A}}) $

设$ {\mathcal{A}}, {\mathcal{B}} $均为共轭线性算子, ${A}, {B}$为它们的表示矩阵, 则由(4)式知: 对任意$ {{x}} =\sum\limits_{i = 1}^nc_ie_i\in\mathbb{K} $, 有

$ \begin{split}{\mathcal{A}}{\mathcal{B}} {{x}}\, & = {\mathcal{A}}{\mathcal{B}}((e_1,e_2,\cdots,e_n)(c_1,c_2,\cdots,c_n)^{\mathrm T})\\ & = {\mathcal{A}}((e_1,e_2,\cdots,e_n){{B}}(\overline{c_1},\overline{c_2}, \cdots,\overline{c_n})^{\mathrm T})\\ & = (e_1,e_2,\cdots,e_n){{A}}\overline{{{B}}}(c_1,c_2,\cdots,c_n)^{\mathrm T}, \end{split} $

因此, $ {\mathcal{A}}{\mathcal{B}} $的表示矩阵为$ {{A}}\overline{{{B}}} $. 从而, $ {\mathcal{A}}{\mathcal{B}} = {\mathcal{I}} $当且仅当$ {{A}}\overline{{{B}}} = I_n $. 于是, 共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $可逆当且仅当其对应的表示矩阵A可逆. 类似(5)式, 可证, 当$ {\mathcal{A}} $为共轭线性算子, $ {\mathcal{B}} $为线性算子, $ {\mathcal{A}}{\mathcal{B}} $的矩阵表示仍为$ {{A}}\overline{{{B}}} $.
进一步, 可以讨论更一般的情形. 设$ {\mathcal{A}}_i\;(i = 1, $$2, \cdots, m) $均为共轭线性算子, $ {{A}}_i\;(i = 1, 2, \cdots, m) $为对应的矩阵表示, 则当$ m = 2 k $为偶数时, $ {\mathcal{A}}_1 $ ${\mathcal{A}}_2\cdots{\mathcal{A}}_m $为线性算子, 其矩阵表示为$ {{A}}_1\overline{{{A}}_2}\cdots $${{A}}_{2 k-1}\overline{{{A}}_{2 k}} $; 当$ m = 2 k+1 $为奇数时, $ {\mathcal{A}}_1{\mathcal{A}}_2\cdots {\mathcal{A}}_m $为共轭线性算子, 其矩阵表示为$ {{A}}_1\overline{{{A}}_2}\cdots {{A}}_{2 k-1}$$ \overline{{{A}}_{2 k}}{{A}}_{2 k+1} $.
用$ \sigma({\mathcal{A}}) $表示算子$ {\mathcal{A}} $的所有特征值之集, 称为$ {\mathcal{A}} $的谱, 即

$\sigma \begin{array}{*{20}{c}}{({\cal A}) = \{ \lambda \in {\mathbb{C}}:\;{N_\lambda }({\cal A}) \ne \{ 0\} \} ,}\end{array}$

其中, $ N_{\lambda}({\mathcal{A}}) = \ker(\lambda{\mathcal{I}}-{\mathcal{A}}) $, 称为算子$ {\mathcal{A}} $对应特征值$ \lambda $的特征子空间.
例如, $ \sigma({\mathcal{I}}) = \{1\} $. 由于

$ {\mathcal{T}}_0(\mathrm{i} e_1+\mathrm{i} e_2) = -\mathrm{i}(e_1+e_2),\ {\mathcal{T}}_0(e_1+e_2) = e_1+e_2, $

$ \begin{aligned} &{\mathcal{T}}_0((1+\mathrm{i})(e_1+e_2)) = -\mathrm{i}(1+\mathrm{i})(e_1+e_2),\\ & {\mathcal{T}}_0((1-\mathrm{i})(e_1+e_2)) = \mathrm{i}(1-\mathrm{i})(e_1+e_2), \end{aligned} $

所以, $ \sigma({\mathcal{T}}_0)\supset\{-1, 1, -\mathrm{i}, \mathrm{i}\} $.
下面讨论一般共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $的谱$ \sigma({\mathcal{A}}) $的一些性质.
首先, 由定义式(6)知, $ \lambda\in\sigma({\mathcal{A}}) $当且仅当算子方程$ {\mathcal{A}} {{x}} = \lambda {{x}} $有非零解$ {{x}} =\sum\limits_{i = 1}^nc_ie_i $当且仅当矩阵方程$ \lambda c = A\bar{c} $有非零解$ c = (c_1, c_2, \cdots, c_n)^{\mathrm{T}} $; 此时, $ \lambda $称为算子$ {\mathcal{A}} $的特征值, 相应的非零解x称为对应于特征值$ \lambda $的特征向量.
为了方便, 称向量$ {{x}} = \sum\limits_{i = 1}^nc_ie_i\in\mathbb{K} $为实的, 是指其系数向量$ { c} = (c_1,\; c_2,\; \cdots,\; c_n)^{\mathrm{T}} $为实的, 即$ c\in{\mathbb{R}}^n $.
设$ {\mathcal{A}} $为共轭线性算子, 且存在$ \lambda\in{\mathbb{C}}, \varphi\neq0 $使得$ {\mathcal{A}}\varphi = \lambda\varphi $, 则$ {\mathcal{A}}^2\varphi = {\mathcal{A}}(\lambda\varphi) = |\lambda|^2\varphi $. 这说明 $ |\lambda|^2 $为线性算子$ {\mathcal{A}}^2 $的特征值. 从而 $ {\mathcal{A}} $的谱半径满足

$ r({\mathcal{A}}): = \sup\{|\lambda|:\lambda\in\sigma({\mathcal{A}})\}\leqslant \sqrt{r({\mathcal{A}}^2)}. $

因此, 共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $的谱$ \sigma({\mathcal{A}}) $为复平面上的一个有界集, 但可能为无限集(见定理1), 也可能为空集(见例1).
设$ 0\neq\lambda_0\in\sigma({\mathcal{A}}) $, 则存在$ \varphi_0\neq0 $满足$ {\mathcal{A}}\varphi_0 = $$\lambda_0\varphi_0 $. 记$ \lambda_0 = r_0 {\rm e}^{\mathrm{i}\theta_0}(\theta_0\in{\mathbb{R}}, r_0>0). $ 设$ |z| = |\lambda_0 | $, 记$ z = r_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta}(\theta\in{\mathbb{R}}) $, 则

$\begin{split}{{\cal A}\left({{\rm e}^{ - \frac{{\theta + {\theta _0}}}{2}{\rm{i}}}}{\lambda _0}{\varphi _0}\right)} \, &= {{{\rm{e}}^{\frac{{\theta + {\theta _0}}}{2}{\rm{i}}}}\overline {{\lambda _0}} {\cal A}{\varphi _0}}\\& = {{{\rm{e}}^{\frac{{\theta + {\theta _0}}}{2}{\rm{i}}}}\overline {{\lambda _0}} {\lambda _0}{\varphi _0}}\\&= {{r_0}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}\theta }} \cdot \left({{\rm{e}}^{ - \frac{{\theta + {\theta _0}}}{2}{\rm{i}}}}{\lambda _0}{\varphi _0}\right)}\\&= {z{{\rm{e}}^{ - \frac{{\theta + {\theta _0}}}{2}{\rm{i}}}}{\lambda _0}{\varphi _0}.}\end{split}$

记$ \varphi = {\mathrm{e}}^{-\frac{\theta+\theta_0}{2}i}\lambda_0\varphi_0 $, 则$ \varphi\neq0 $且满足$ {\mathcal{A}}\varphi = z\varphi $. 从而可见, $ z\in\sigma({\mathcal{A}}) $. 这就说明$ \{z\in{\mathbb{C}}:\ |z| = |\lambda_0 |\}\subset$$\sigma({\mathcal{A}}) $.
下面讨论共轭线性算子谱$ \sigma({\mathcal{A}}) $的闭性. 设$ \{\lambda_k\}_{k = 1}^\infty \subset\sigma({\mathcal{A}}) $且$ \lim_{k\rightarrow\infty}\lambda_k = \lambda $, 则存在非零向量列$ \{x_k\}_{k = 1}^\infty\subset{\mathbb{K}} $使得$ {\mathcal{A}} x_k = \lambda_kx_k\;(k = 1, 2, \cdots) $. 由于$ {\mathcal{A}} $是实线性的, 所以可假设$ \|{ x}_k\| =$1 (k = 1, 2, ···). 于是, $ \{x_k\}_{k = 1}^\infty $必有收敛子列. 不妨设$ \lim_{k\rightarrow\infty} x_k = $$ {{x}} $, 则$ \|{{x}}\| = 1 $. 根据$ {\mathcal{A}} $连续性知: $ {\mathcal{A}} {{x}} = $ $ \lambda {{x}} $. 由此可见, $ \lambda\in\sigma({\mathcal{A}}) $. 所以, $ \sigma({\mathcal{A}}) $为复平面上的闭集.
通过上面的讨论, 可以得到下面的定理.
定理1　设$ {\mathcal{A}} $为$ {\mathbb{K}} $上的共轭线性算子, 其表示矩阵为A, 则
(a) $ \lambda $为$ {\mathcal{A}} $的特征值且有实的特征向量x当且仅当$ \lambda $为A的特征值且有实的特征向量c;
(b) 当$ \lambda\in\sigma({\mathcal{A}}) $时, 有$ |\lambda|^2\in\sigma({\mathcal{A}}^2) $;
(c) $ {\mathcal{A}} $的谱半径满足

$ r({\mathcal{A}}): = \sup\{|\lambda|:\lambda\in\sigma({\mathcal{A}})\}\leqslant \sqrt{r({\mathcal{A}}^2)}; $

(d) 当$ 0\neq\lambda_0\in\sigma({\mathcal{A}}) $时, 有$ \{z\in{\mathbb{C}}:\ |z| = |\lambda_0 |\} $$\subset\sigma({\mathcal{A}}) $;
(e) $ \sigma({\mathcal{A}}) $为复平面上的有界闭集.
定理1说明了与线性算子的谱结构不同: 线性算子的谱为复平面上的有限集, 但共轭线性算子可能包含一系列以原点为公共圆心的圆周. 其次, 由定理1中的结论(b)知: 当$ \sigma({\mathcal{A}}^2)\cap(0, +\infty) = \emptyset $时, 必有$ \sigma({\mathcal{A}}) = \emptyset $ (例1). 于是, 如果线性算子$ {\mathcal{A}}^2 $没有正的特征值, 那么共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $就没有特征值. 进一步, 由于$ \sigma({\mathcal{T}}_0)\supset\{-1, 1, -\mathrm{i}, \mathrm{i}\} $且$ {\mathcal{T}}_0^2 = {\mathcal{I}} $, 所以由定理1(c)与定理1(d)知

$ \sigma({\mathcal{T}}_0) = \{z\in{\mathbb{C}}: |z| = 1\}. $

例1　设$ \mathbb{K} $为2维复线性空间, $ \{e_1, e_2\} $为$ \mathbb{K} $的一组线性无关基, $ \forall z\in{\mathbb{C}} $, 定义算子$ {\mathcal{A}}_z $为

$ {\mathcal{A}}_z(c_1e_1+c_2e_2) = z\overline{c_1}e_2+ \overline{z}\overline{c_2}e_1,\ \ \forall c_i\in{\mathbb{C}}(i = 1,2). $

显然, $ {\mathcal{A}}_z $为$ \mathbb{K} $上的共轭线性算子, 且其表示矩阵为

$ {{A}}_z = \left(\begin{array}{cc} 0 & \bar{z} \\ z & 0 \\ \end{array}\right), $

从而, $ {\mathcal{A}}_z^2 $的表示矩阵为

$ {{A}}_z\overline{{{A}}_z} = \left( \begin{array}{cc} 0 & \bar{z} \\ z & 0 \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} 0 & {z} \\ \bar{z} & 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \bar{z}^2 & 0 \\ 0 & z^2\end{array} \right). $

特别地, 当$ z = \mathrm{i} $时($ \mathrm{i} $为虚数单位), 有$ {{A}}_{\mathrm{i}}\overline{{{A}}_\mathrm{i}} = -I_2 $, 从而$ {\mathcal{A}}_{\mathrm{i}}^2 = -\mathcal{I} $. 可见, $ \sigma({\mathcal{A}}_{\mathrm{i}}^2) = \{-1\} $. 故$ \sigma({\mathcal{A}}_{\mathrm{i}}) = \emptyset $.
这里的算子$ {\mathcal{A}}_{\mathrm{i}} $正好为物理上的自旋$ 1/2 $-粒子的翻转算子, 它没有特征值.

下面讨论共轭线性对称算子的性质, 给出其表示矩阵具有的相似Jordan标准型. 在此基础上, 讨论完整共轭线性对称哈密顿的性质, 给出完整共轭线性对称性的等价刻画.
定义2　设$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathbb{K}} $上的线性算子, 若存在可逆的共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $, 使得$ [{\mathcal{A}}, {\mathcal{H}}] = 0 $, 则称$ {\mathcal{H}} $为共轭线性对称的; 此时, 也称$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{A}} $-对称的.
为了讨论共轭线性对称算子的性质, 先给出以下引理.
引理1^[39]　设$ {{H}}\in M_n({\mathbb{C}}) $, 则H相似于$ \overline{{{H}}} $当且仅当H相似于某个实矩阵.
引理2^[39]　设$ {{H}}\in M_n({\mathbb{C}}) $, 则H相似于某个实矩阵当且仅当H相似于如下的标准型矩阵

${J}\begin{array}{*{20}{c}}{ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{ J}_{{n_1}}}({\lambda _1},\overline {{\lambda _1}} )}&{}&{}&{}&{}&{}\\{}& \ddots &{}&{}&{}&{}\\{}&{}&{{{ J}_{{n_p}}}({\lambda _p},\overline {{\lambda _p}} )}&{}&{}&{}\\{}&{}&{}&{{{ J}_{{n_{p + 1}}}}({\lambda _{p + 1}})}&{}&{}\\{}&{}&{}&{}& \ddots &{}\\{}&{}&{}&{}&{}&{{{ J}_{{n_r}}}({\lambda _r})}\end{array}} \right)}\end{array}, $

其中

$\begin{split} { J}_{n_k}(\lambda_k,\overline{\lambda_k}) =\;& { J}_{n_{k}}(\lambda_{k})\oplus { J}_{n_{k}}(\overline{\lambda_{k}}) \\ =& \left( {\begin{array}{*{15}c} { J}_{n_{k}}(\lambda_{k}) & \\ & { J}_{n_{k}}(\overline{\lambda_{k}}) \end{array}} \right), \end{split}$

$ k = 1, 2, \cdots, p;\; { J}_{n_{k}}(\lambda_{k}) $为标准Jordan块, $ \lambda_1, \cdots, $$\lambda_p $为非实数的复数, $ \lambda_{n_{p+1}}, \cdots, \lambda_{n_{r}} $是实数.
引理3^[39]　设$ {{A}}\in M_n({\mathbb{C}}) $, 则A满足$ {{A}}\overline{{{A}}} = {{I}} $当且仅当存在可逆矩阵$ {{S}}\in M_n({\mathbb{C}}) $, 使得$ {{A}} = $$ {{S}}\overline{{{S}}}^{-1}. $
下面的定理给出了共轭线性对称算子的一些等价刻画.
定理2　设$ {\mathcal{H}}$为$ {\mathbb{K}} $上的线性算子, 则以下叙述等价:
(i) $ {\mathcal{H}} $是共轭线性对称的;
(ii) $ {\mathcal{H}} $的表示矩阵H相似于$ \overline{{{H}}} $;
(iii) $ {\mathcal{H}} $的表示矩阵H相似于某个实矩阵;
(iv) $ {\mathcal{H}} $的表示矩阵H具有相似Jordan标准型(7)式;
(v) 存在共轭线性算子$ \!{\mathcal{A}}\! $满足$ {\mathcal{A}}^2 \!=\! {\mathcal{I}} $, $ [{\mathcal{A}},\!{\mathcal{H}}] \!= \!0 $;
(vi) 存在$ {\mathbb{K}} $上的可逆线性算子$ \eta $, 使得$ {\mathcal{H}}^\dagger = \eta{\mathcal{H}}\eta^{-1} $;
(vii) 存在$ {\mathbb{K}} $上的可逆自伴线性算子$ \eta_1 $, 使得$ {\mathcal{H}}^\dagger = \eta_1{\mathcal{H}}\eta_1^{-1} $(即$ {\mathcal{H}} $为$ \eta_1 $-伪自伴^[37]).
证明　(i)$ \Rightarrow $(ii). 设$ {\mathcal{H}} $是共轭线性对称的, 则由定义2知, 存在共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $使得$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{A}} $-对称. 记H和A分别为$ {\mathcal{H}} $和$ {\mathcal{A}} $的矩阵表示, 则有$ {{A}}\overline{{{H}}} = {{H}}{{A}} $, 即$ \overline{{{H}}} = {{A}}^{-1}{{H}}{{A}} $. 由$ {\mathcal{A}} $可逆知A可逆, 从而知H相似于$ \overline{{{H}}} $.
(ii)$ \Rightarrow $(i). 设H为$ {\mathcal{H}} $的表示矩阵, 且$ \overline{{{H}}} $相似于H, 则存在可逆矩阵A使得$ \overline{{{H}}} = {{A}}^{-1}{{H}}{{A}} $, 即$ {{A}}\overline{{{H}}} = {{H}}{{A}} $. 记$ {\mathcal{A}} $为矩阵A对应的可逆共轭线性算子, 则有$ {\mathcal{A}}{\mathcal{H}} = {\mathcal{H}}{\mathcal{A}} $, 即$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{A}} $-对称. 从而$ {\mathcal{H}} $为共轭线性对称的.
由引理1可知(ii)和(iii)等价, 由引理2可知(iii)和(iv)等价.
由定义2, 显然(v)$ \Rightarrow $(i)成立. 下面证明(i)$ \Rightarrow $(v).
(i)$ \Rightarrow $(v). 设$ {\mathcal{H}} $为共轭线性对称的, 则由引理1知, $ {\mathcal{H}} $的表示矩阵H相似于某个实矩阵, 即存在可逆矩阵S使得$ {{S}}^{-1}{{H}}{{S}} = \overline{{{S}}^{-1}{{H}}{{S}}} $. 从而$ {{H}}{{S}}\overline{{{S}}}^{-1} = $ $ {{S}}\overline{{{S}}}^{-1}\overline{{{H}}} $. 令$ {{A}} = {{S}}\overline{{{S}}}^{-1} $, 则$ {{H}}{{A}} = {{A}}\overline{{{H}}} $, 同时由引理3知$ {{A}}\overline{{{A}}} = {{I}} $. 设$ {\mathcal{A}} $为A所对应的共轭线性算子, 则有$ {\mathcal{A}}^2 = {\mathcal{I}} $, 且$ [{\mathcal{A}}, {\mathcal{H}}] = 0 $.
(ii)$ \Rightarrow $(vi). 设H为$ {\mathcal{H}} $的表示矩阵, 且$ \overline{{{H}}} $相似于H. 从而存在可逆矩阵A, 使得$ \overline{{{H}}} = {{A}}{{H}}{{A}}^{-1} $. 又因为任意复矩阵的转置矩阵与其本身相似, 从而存在可逆矩阵S使得$ (\overline{{{H}}})^{\mathrm{T}} = {{S}}\overline{{{H}}}{{S}}^{-1} $, 即$ {{H}}^{\dagger} = $$ {{S}}\overline{{{H}}}{{S}}^{-1} = {{S}}{{A}}{{H}}{{A}}^{-1}{{S}}^{-1} = {{S}}{{A}}{{H}}({{S}}{{A}})^{-1}. $ 设$ {\mathcal{H}}, \eta $为分别对应$ {{H}}, SA $的线性算子, 则有$ {\mathcal{H}}^\dagger = \eta{\mathcal{H}}\eta^{-1} $.
(vi)$ \Rightarrow $(ii). 设存在$ {\mathbb{K}} $上的可逆线性算子$ \eta $, 使得$ {\mathcal{H}}^\dagger = \eta{\mathcal{H}}\eta^{-1} $. 记$ {\mathcal{H}}, {{A}} $为分别对应$ {\mathcal{H}}, \eta $的表示矩阵, 则A为可逆矩阵, 且$ {{H}}^\dagger = {{A}}{{H}}{{A}}^{-1} $. 又因为$ {{H}}^\dagger $和$ \overline{{{H}}} $相似, 从而存在可逆矩阵S, 使得$ {{H}}^\dagger = $$ {{S}}^{-1}\overline{{{H}}}{{S}} $. 因此$ {{A}}{{H}}{{A}}^{-1} = {{S}}^{-1}\overline{{{H}}}{{S}} $, 从而$ \overline{{{H}}}= {{S}}{{A}}\times $ ${{H}}({{S}}{{A}})^{-1} $, 即H相似于$ \overline{{{H}}} $.
显然(vii)$ \Rightarrow $(vi)成立. 下面证明(vi)$ \Rightarrow $(vii).
(vi)$ \Rightarrow $(vii). 设$ {\mathcal{H}}^\dagger = \eta{\mathcal{H}}\eta ^{-1} $, $ \eta $为可逆线性算子. 对非零的$ a = r{\rm e}^{{\rm i}\theta}\in{\mathbb{C}} $, $ -{\rm e}^{2 {\rm i}\theta}\notin\sigma(\eta^{-1}\eta^\dagger) $, $ \eta_0 = $ $ a\eta $仍为可逆线性的, 且有$ {\mathcal{H}}^\dagger\eta_0 = \eta_0{\mathcal{H}} $, $ {\mathcal{H}}^\dagger\eta_0^\dagger = $ $ \eta_0^\dagger {\mathcal{H}} $. 从而$ {\mathcal{H}}^\dagger(\eta_0+\eta_0^\dagger) = (\eta_0+\eta_0^\dagger){\mathcal{H}} $. 令$ \eta_1 = \eta_0\;+$ $ \eta_0^\dagger $, 则$ \eta_1 $为自伴的且$ {\mathcal{H}}^\dagger = \eta_1 {\mathcal{H}}\eta_1 ^{-1} $. 因为$ \eta_0^{-1}\eta_0^\dagger = $ $ {\rm e}^{-2 {\rm i}\theta}\eta^{-1}\eta^\dagger $, 且$ -{\rm e}^{2 {\rm i}\theta}\!\notin\!\sigma(\eta^{-1}\eta^\dagger) $, 所以$ -1\!\notin\!\sigma(\eta_0^{-1}\eta_0^\dagger) $, 从而$ {\mathcal{I}}+\eta_0^{-1}\eta_0^\dagger $可逆. 又因为$ {\mathcal{I}}+\eta_0^{-1}\eta_0^\dagger = \eta_0^{-1}(\eta_0+$$\eta_0^\dagger) = \eta_0^{-1}\eta_1 $, 所以$ \eta_1 $可逆. 由此, 证明了$ \eta_1 $为可逆自伴线性算子, 且$ {\mathcal{H}}^\dagger = \eta_1 {\mathcal{H}}\eta_1 ^{-1} $. 证毕.
由定理2及引理2知, 共轭线性对称算子的特征值都是实的, 或共轭成对出现的, 且共轭成对的特征值具有相同的代数重数和几何重数. 在物理上, 一般希望可观测量对应的测量结果是实数, 这就要求量子系统的哈密顿$ {\mathcal{H}} $的特征值均为实的. 于是, 我们引入下面的完整共轭线性对称的概念.
定义3　若$ {\mathcal{H}} $为空间$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{A}} $-对称线性算子, 并且$ {\mathcal{H}} $的特征态均为$ {\mathcal{A}} $的特征态, 则称$ {\mathcal{H}} $为完整$ {\mathcal{A}} $-对称的; 若存在可逆共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $使得$ {\mathcal{H}} $为完整$ {\mathcal{A}} $-对称的, 则称$ {\mathcal{H}} $为完整共轭线性对称的.
下面说明具有完整共轭线性对称的算子, 其特征值均为实数.
命题1　设$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathbb{K}} $上的线性算子, 若$ {\mathcal{H}} $为完整共轭线性对称, 则$ {\mathcal{H}} $的特征值都是实的.
证明　设存在可逆的共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $, 使得$ {\mathcal{A}}{\mathcal{H}} = {\mathcal{H}}{\mathcal{A}} $, 且$ {\mathcal{H}} $的特征态均为$ {\mathcal{A}} $的特征态. 设a是$ {\mathcal{H}} $的一个特征值, 对应的特征态$ f \ne 0 $, 满足$ {\mathcal{H}} f = af $. 因此, $ {\mathcal{H}}{\mathcal{A}} f = {\mathcal{A}}{\mathcal{H}} f = \overline{a}{\mathcal{A}} f $. 由于f也是$ {\mathcal{A}} $的一个特征态, 所以存在b使得$ {\mathcal{A}} f = bf $. 从而有$ abf = \overline{a}bf $. 因为$ {\mathcal{A}} $可逆, 故$ b \ne 0 $. 又$ f \ne 0 $, 所以$ a = \bar a $. 证毕.
上述定理说明, 算子的完整共轭线性对称性是其特征值为实数的充分条件, 但这并不是必要条件(见定理3). 下面给出完整共轭线性对称的一个等价刻画.
定理3　设$ {\mathcal{H}} $是$ {\mathbb{K}} $上的线性算子且为共轭线性对称的, 则$ {\mathcal{H}} $为完整共轭线性对称的当且仅当$ {\mathcal{H}} $的特征值均为实的且$ {\mathcal{H}} $为非简并的(即$ {\mathcal{H}} $的每个特征值的几何重数为1).
证明　必要性. 设$ {\mathcal{H}} $为完整共轭线性对称, 由命题1知$ {\mathcal{H}} $的特征值都是实的. 下面只需证明$ \forall a\in\sigma({\mathcal{H}}) $, 有$ \dim N_{a}({\mathcal{H}}) = 1 $. 假设$ \dim N_{a}({\mathcal{H}})>1 $, 则存在$ {\mathbb{K}} $中的两个非零向量$ x, y $使得$ {\mathcal{H}} x = ax,$$ {\mathcal{H}} y = ay $且$ \{x, y\} $是线性无关集. 由于$ {\mathcal{H}} $为完整共轭线性对称, 所以存在可逆的共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $以及$ c, d\neq0 $使得$ {\mathcal{A}} x = cx, \; {\mathcal{A}} y = dy $. 当$ c\ne d $时, 取z = $ x+y $, 显然它是$ {\mathcal{H}} $关于a的一个特征态, 但是对于所有的复数$ \lambda $, 都有$ {\mathcal{A}} z = {\mathcal{A}} x+{\mathcal{A}} y = cx+ $$dy\ne \lambda z $. 当$ c = d $时, 取$ z = x+\mathrm{i} y $, 显然它是$ {\mathcal{H}} $关于a的一个特征态, 但对于所有的复数$ \lambda $, 都有$ {\mathcal{A}} z = {\mathcal{A}} x-$$\mathrm{i}{\mathcal{A}} y = cx-\mathrm{i} cy\ne \lambda z $. 以上两种情况下, 结果都与$ {\mathcal{H}} $具有完整共轭线性对称性矛盾. 由此可知$ {\mathcal{H}} $的每个特征值几何重数均为1.
充分性. 设$ {\mathcal{H}} $的特征值均为实的且$ {\mathcal{H}} $非简并. 由于$ {\mathcal{H}} $为共轭线性对称, 因此存在可逆的共轭线性算子$ {\mathcal{A}} $使得$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{A}} $-对称, 只需证$ {\mathcal{H}} $的特征向量均为$ {\mathcal{A}} $的特征向量. 设$ x\neq0 $为$ {\mathcal{H}} $的对应于$ \lambda $某个特征向量, 则$ \lambda $为实数, 且使得$ {\mathcal{H}} x = \lambda x $. 因为$ {\mathcal{H}}{\mathcal{A}} x = $ ${\mathcal{A}}{\mathcal{H}} x = {\mathcal{A}}(\lambda x) = \overline{\lambda}{\mathcal{A}} x = \lambda {\mathcal{A}} x $, 即$ {\mathcal{A}} x $也为$ {\mathcal{H}} $对应于特征值$ \lambda $的特征向量. 又因为$ \dim N_{\lambda}({\mathcal{H}}) = $ 1, 从而存在$ k\neq0 $使得$ {\mathcal{A}} x = kx $, 即x为$ {\mathcal{A}} $的特征向量, 从而$ {\mathcal{H}} $为完整$ {\mathcal{A}} $-对称的. 证毕.
通过定理3可以得到下面的推论.
推论1　$ {\mathbb{K}} $上的线性算子$ {\mathcal{H}} $为完整共轭线性对称当且仅当其表示矩阵H相似于如下的Jordan标准型

${J}\begin{array}{*{20}{c}}{ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{{ J}_{{n_1}}}({\lambda _1})}&{}&{}\\{}& \ddots &{}\\{}&{}&{{{ J}_{{n_k}}}({\lambda _k})}\end{array}} \right),}\end{array}$

其中$ \lambda_1, \cdots, \lambda_k $为H的全部k个互不相同的实特征根, ${ J}_{n_{i}}(\lambda_{i})(i = 1, 2, \cdots, k) $为标准Jordan块.
推论2　设$ {\mathcal{H}} $是$ {\mathbb{K}} $上的线性算子且为共轭线性对称的, 若$ {\mathcal{H}} $有n个互不相同的实特征值, 则$ {\mathcal{H}} $为完整共轭线性对称.

本节讨论$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称线性算子的一般性质. 为此, 我们回顾文献[27]中关于$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架的概念.
定义4^[27]　设$ {\mathcal{H}} $是$ {\mathbb{K}} $上的线性算子, $ {\mathcal{P}}, {\mathcal{T}} $是$ {\mathbb{K}} $上的算子, 且满足以下条件:
(1) $ {\mathcal{P}}\neq{\mathcal{I}} $且是线性的, $ {\mathcal{T}} $是共轭线性的,
(2) $ {\mathcal{P}}^2 = {\mathcal{T}}^2 = {\mathcal{I}} $, $ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} = {\mathcal{T}}{\mathcal{P}} $, 则称$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架.
若$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架, 且$ [{\mathcal{H}}, {\mathcal{P}}{\mathcal{T}}] = 0 $, 则称算子$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称.
由定义4可知, 当$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $为空间$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架时, 算子$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $为$ {\mathbb{K}} $上的可逆共轭线性算子. 于是, 当$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称算子时, 它必然是$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的(定义2), 从而是共轭线性对称的算子.
反之, 若$ {\mathcal{H}} $为共轭线性对称的, 所以定理2 (v)成立, 即存在共轭线性算子$ {\mathcal{T}} $满足$ {\mathcal{T}}^2 = {\mathcal{I}} $($ {\mathbb{K}} $上的恒等算子), 且$ [{\mathcal{T}}, {\mathcal{H}}] = 0 $. 记$ {\mathcal{P}} = {\mathcal{I}} $, 则$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $为是$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架且$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称.
以上讨论说明了共轭线性对称性和$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性的有以下关系.
命题2　空间$ {\mathbb{K}} $上的线性算子$ {\mathcal{H}} $为共轭线性对称算子当且仅当存在$ {\mathbb{K}} $上的某个$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $使得$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称.
设${P}, {T}$和H分别是$ {\mathcal{P}}, {\mathcal{T}} $和$ {\mathcal{H}} $的表示矩阵, 则$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $构成$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架等价于以下矩阵等式成立:

$\begin{array}{*{20}{c}}{{{P}^2} = {{I}_n},{T}\bar{ T} = {{I}_n},{PT} = {T}\bar{ P};}\end{array}$

$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称等价于以下矩阵等式成立:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{H}}{{P}}{{T}} = {{P}}{{T}}\overline{{{H}}}. \end{array} $

由定理1, 易得到下面的命题.
命题3　设$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架, 则$ \sigma({\mathcal{P}}{\mathcal{T}}) $要么为空集, 要么为复平面上的单位圆周.
命题4　设$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架, 其中$ {\mathcal{T}} $定义为

${\cal T}\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}} {e_i}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\overline {{c_i}} } {e_i},}\end{array}$

且$ {\mathcal{H}} $是$ {\mathbb{K}} $上的线性算子, 则
(i) $ \{{\mathcal{P}}^{\dagger}, {\mathcal{T}}\} $为$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}^{\dagger}{\mathcal{T}} $-框架;
(ii) $ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的当且仅当$ {\mathcal{H}}^{\dagger} $为$ {\mathcal{P}}^{\dagger}{\mathcal{T}} $-对称的.
证明　(i) 由(11)式知, $ {\mathcal{T}} $的矩阵表示为单位阵$ {{I}}_n $, 且$ {{T}}\overline{{{T}}} = {{I}}_n $. 由于$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $构成$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架, 所以(9) 式成立. 从而,

$ ({{P}}^\dagger)^2 = {{I}}_n, {{T}}\overline{{{T}}} = {{I}}_n, {{P}}^\dagger = \overline{{{P}}^\dagger}. $

因此, $ \{{\mathcal{P}}^\dagger, {\mathcal{T}}\} $也构成$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}^{\dagger}{\mathcal{T}} $框架.
(ii) 因为

$ \begin{split} & {{P}}^\dagger\overline{{{H}}^\dagger} = {{P}}^\mathrm{T}\overline{{{H}}^\dagger} = {{P}}^\mathrm{T}{{H}}^\mathrm{T} = ({{H}}{{P}})^\mathrm{T}, \\ &{{H}}^\dagger {{P}}^\dagger = {{H}}^\dagger {{P}}^\mathrm{T} = ({{P}}\overline{{{H}}})^\mathrm{T}, \end{split} $

所以, $ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的当且仅当$ {{H}}{{P}} = {{P}}\overline{{{H}}} $当且仅当$ {{P}}^\dagger\overline{{{H}}^\dagger} = {{H}}^\dagger {{P}}^\dagger $当且仅当$ {\mathcal{H}}^{\dagger} $为$ {\mathcal{P}}^\dagger{\mathcal{T}} $-对称的. 证毕.
类似于完整共轭线性对称, 可以给出完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称定义.
定义5^[27]　设$ {\mathcal{H}} $是$ {\mathbb{K}} $上的线性算子, $ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架, 若$ {\mathcal{H}} $是$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的且它的特征态都是$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $的特征态, 则称$ {\mathcal{H}} $是完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称.
由定理3及推论2容易得到下面的定理.
定理4　设$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架, $ {\mathcal{H}} $是$ {\mathbb{K}} $上的线性算子且为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的, 则
(a) $ {\mathcal{H}} $为完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的当且仅当$ {\mathcal{H}} $的谱为实的, 且$ {\mathcal{H}} $为非简并的;
(b) $ {\mathcal{H}} $为完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的且可相似对角化当且仅当$ {\mathcal{H}} $有n个互不相同的实特征值.
例2　设$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是2维复空间$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架, $ {\mathcal{H}}_1 $为$ {\mathbb{K}} $上的线性算子, $ {\mathcal{P}}, \; {\mathcal{T}}, \; {\mathcal{H}}_1 $的表示矩阵$ {{P}}, \; {{T}}, \; {{H}}_1 $为

$\begin{split} & {{P}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}} \right),\;\; {{T}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}} \right),\\ & {{H}}_1 = \left( {\begin{array}{*{20}c} a & b \\ c & d \end{array}} \right)(a,b,c,d \in {{\mathbb{C}}}), \end{split}$

则$ {\mathcal{H}}_1 $为完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的当且仅当$ a = \overline{d}, b = \overline{c} $, $ |b|^2\geqslant (\mathrm{Im}\; a)^{2} $且$ b\neq0 $.
证明　充分性. 设$ a = \overline{d}, b = \overline{c} $, $ |b|^2\geqslant (\mathrm{Im}\; a)^{2} $且$ b\neq0 $.
若$ a = \overline{d}, b = \overline{c} $, 则$ {{H}}_1 = \left( {\begin{array}{*{20}c} a & b \\ {\bar b} & {\bar a}\end{array}} \right), $ 易知$ {\mathcal{H}}_1 $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的.
计算可知: $ {{H}}_1 $的两个特征值$ \lambda = \mathrm{Re}\; a\pm $$\sqrt{|b|^2-(\mathrm{Im}\; a)^2} $. 当$ |b|^2-(\mathrm{Im}\; a)^2\geqslant 0 $, $ {{H}}_1 $特征值均为实数. 下面分两种情况进行讨论.
(1) 当$ |b|^2-(\mathrm{Im}\; a)^2>0 $时, $ {\mathcal{H}}_1 $有两个不相同的实特征值. 进而, 由定理4(b)知$ {\mathcal{H}}_1 $为完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的.
(2) 当$ |b|^2 = (\mathrm{Im}\; a)^2 $时, $ \sigma(H_1) = \{\lambda\} $, 且实特征值$ \lambda = \mathrm{Re}\; a $的代数重数为2. 由于

$ \lambda {{I}}-{{H}}_1 = \left( {\begin{array}{*{20}c} -{\rm i}\mathrm{Im}\; a & -b \\ -{\bar b} & {\rm i}\mathrm{Im}\; a \end{array}} \right), $

且$ b\neq0 $, 所以矩阵$ \lambda {{I}}-{{H}}_1 $的秩为$ 1 $, 从而特征值$ \mathrm{Re}\; a $的几何重数为$ 1 $. 故由定理4(a)知$ {\mathcal{H}}_1 $是完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的.
必要性. 设$ {\mathcal{H}} $为完整$ {{P}}{{T}} $-对称的, 则$ {\mathcal{H}} $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称, 且由定理4(a) 知: H的特征值均为实的且几何重数为1. 因为$ {\mathcal{H}}_1 $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的, 所以$ a = \overline{d},\; b = \overline{c} $. 于是, 由充分性的证明可知: $ {{H}}_1 $的两个特征值为$ \lambda = \mathrm{Re}\; a\pm\sqrt{|b|^2-(\mathrm{Im}\; a)^2} $. 由于H的特征值均为实的, 所以$ |b|^2-(\mathrm{Im}\; a)^2\geqslant 0 $. 假若$ b = 0 $, 则$ \mathrm{Im}\; a = 0 $, 从而$ \lambda {{I}}-{{H}}_1 $为零矩阵, 即$ {{H}}_1 = \lambda {{I}} $. 这与$ {{H}}_1 $的特征值$ \lambda = \mathrm{Re}\; a $几何重数为1矛盾. 故$ b\ne0 $. 证毕.
例3　设$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是2维复空间$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $框架, $ {\mathcal{H}}_2 $为$ {\mathbb{K}} $上的线性算子, $ {\mathcal{P}}, \; {\mathcal{T}}, \; {\mathcal{H}}_2 $的表示矩阵$ {{P}}, \; {{T}}, \; {{H}}_2 $为

$\begin{split} & {{P}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}} \right), \;\; {{T}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}} \right), \\ &{{H}}_2 = \left( {\begin{array}{*{20}c} {r{{\rm e}}^{{{\rm i}}\theta } } & s \\ s & {r{{\rm e}}^{ - {{\rm i}}\theta } } \\ \end{array}} \right), \end{split}$

其中$ r, s, \theta $是非零实数, 则由例2知, $ {\mathcal{H}}_2 $为完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的当且仅当$ |s|\geqslant |r\cdot \sin\theta| $.
例4　设$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是$ 3 $维复空间$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $框架, $ {\mathcal{H}}_3 $为$ {\mathbb{K}} $上的线性算子, $ {\mathcal{P}}, \; {\mathcal{T}}, \; {\mathcal{H}}_3 $的表示矩阵P$ {{T}}, \; {{H}}_3 $为

$\begin{split} & {{P}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}} \right), \;\;{{T}} = {{P}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}} \right),\\ & {{H}}_3 = \left( {\begin{array}{*{20}c} {r{{\rm e}}^{{{\rm i}}\theta } } & s & 0 \\ s & {r{{\rm e}}^{ - {{\rm i}}\theta } }& 0 \\ 0 & 0 & w \end{array}} \right), \end{split}$

其中$ r, s, \theta $是非零实数且$ w\in {\mathbb{R}}, w\notin \sigma({{H}}_2) $($ {{H}}_2 $同例3), 则$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架. 由定理4知: $ {\mathcal{H}}_3 $为完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的当且仅当$ |s|\geqslant |r\cdot \sin\theta| $.
设$ \{{\mathcal{P}}_k, {\mathcal{T}}_k\} $是复空间$ {\mathbb{K}}_k $上的$ {\mathcal{P}}_k{\mathcal{T}}_k $-框架(k = 1, 2) , 定义张量积空间$ {\mathbb{K}}_1\otimes {\mathbb{K}}_2 $上的算子如下:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathcal{H}} = {\mathcal{H}}_1 \otimes {\mathcal{H}}_2 ,{\mathcal{P}} = {\mathcal{P}}_1 \otimes {\mathcal{P}}_2 ,{\mathcal{T}} = {\mathcal{T}}_1 \otimes {\mathcal{T}}_2, \end{array} $

其中, 线性算子$ {\mathcal{A}}_1 $与$ {\mathcal{A}}_2 $的张量积$ {\mathcal{A}}_1 \otimes {\mathcal{A}}_2 $的定义与通常相同, 即

$({{\cal A}_1} \otimes {{\cal A}_2})\left( {\sum\limits_{ij} {{c_{ij}}} {{e'}_i} \otimes {{e''}_j}} \right) = \sum\limits_{ij} {{c_{ij}}} {{\cal A}_1}{e'_i} \otimes {{\cal A}_2}{e''_j},$

这里, $ \{e'_i\}_{i = 1}^{d_1} $与$ \{e''_j\}_{j = 1}^{d_2} $分别为空间$ {\mathbb{K}}_1 $与$ {\mathbb{K}}_2 $的线性无关基. 但是, 共轭线性算子$ {\mathcal{T}}_1 $与$ {\mathcal{T}}_2 $的张量积$ {\mathcal{T}} = {\mathcal{T}}_1 \otimes {\mathcal{T}}_2 $定义为

$({{\cal T}_1} \otimes {{\cal T}_2})\left( {\sum\limits_{ij} {{c_{ij}}} {{e'}_i} \otimes {{e''}_j}} \right) = \sum\limits_{ij} {\overline {{c_{ij}}} } {{\cal T}_1}{e'_i} \otimes {{\cal T}_2}{e''_j}.$

易知, $ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是空间$ {\mathbb{K}}_1\otimes {\mathbb{K}}_2 $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架且$ {\mathcal{H}} $是$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的(参见例5). 这就说明: $ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架及$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性对张量积运算“具有封闭性”.
例5　设$ \{{\mathcal{P}}_k, {\mathcal{T}}_k\} $是2维复空间$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}_k{\mathcal{T}}_k $-框架$ (k \!=\! 1, 2) $, $ {\mathcal{H}}_k $为$ {\mathbb{K}} $上的线性算子$ (k \!=\! 1, 2),\;{\mathcal{P}}_k, $ $ \; {\mathcal{T}}_k, \; {\mathcal{H}}_k $的表示矩阵${{P}_k}, \;{{T}_k}, \;{{H}_k}$为

$ \begin{split} & {{P}}_k = \left( {{\begin{array}{*{20}c} 0 \hfill & 1 \\ 1 & 0\end{array} }} \right),\;\; {{T}}_k = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}} \right), \\ & {{H}}_k = \left( {\begin{array}{*{20}c} a_k & b_k \\ {\bar b_k} & {\bar a_k}\end{array}} \right)(k = 1,2). \end{split}$

显然, $ {\mathcal{H}}_k $为$ {\mathcal{P}}_k{\mathcal{T}}_k $-对称的$ (k = 1, 2) $, 从而, $ {\mathcal{H}}_1 \otimes {\mathcal{H}}_2 $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的, 其中$ {\mathcal{P}} = {\mathcal{P}}_1 \otimes {\mathcal{P}}_2, \ {\mathcal{T}} = {\mathcal{T}}_1 \otimes {\mathcal{T}}_2. $
但是, 完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性对于张量积运算“不具有封闭性”, 即$ {\mathcal{H}}_k $是完整$ {\mathcal{P}}_k{\mathcal{T}}_k $-对称的$ (k = 1, 2) $不能保证张量积$ {\mathcal{H}}_1\otimes{\mathcal{H}}_2 $一定是完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的, 其中$ {\mathcal{P}} = {\mathcal{P}}_1 \otimes {\mathcal{P}}_2, \ {\mathcal{T}} = {\mathcal{T}}_1 \otimes {\mathcal{T}}_2 $(例6).
例6　设$ \{{\mathcal{P}}_k, {\mathcal{T}}_k\}(k = 1, 2) $是2维复空间$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}_k{\mathcal{T}}_k $框架, $ {\mathcal{H}}_i $为$ {\mathbb{K}} $上的线性算子, $ {\mathcal{P}}_k, \; {\mathcal{T}}_k, \; {\mathcal{H}}_k $的表示矩阵$ {{P}}_k, \; {{T}}_k, \; {{H}}_k $分别为

$\begin{split} & {{P}}_k = \left( {{\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} }} \right),\;\; {{T}}_k = \left( {{\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} }} \right)(k = 1,2), \\ & {{H}}_1 = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1+\mathrm{i} & 1 \\ 1 & 1-\mathrm{i} \end{array}} \right),\;\; {{H}}_2 = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2+3\mathrm{i} & 3 \\ 3 & 2-3\mathrm{i}\end{array}} \right),\end{split} $

容易看出, $ {{H}}_1 $的特征值为1, 代数重数为2, 几何重数为1, $ {{H}}_2 $的特征值为2, 代数重数为2, 几何重数为1. 由定理4知, $ {\mathcal{H}}_k\;(k = 1, 2) $都是完整$ {\mathcal{P}}_k{\mathcal{T}}_k $ $(k = 1, \;2) $-对称的. 因此, $ {\mathcal{H}} = {\mathcal{H}}_1 \otimes {\mathcal{H}}_2 $为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的, 其中$ {\mathcal{P}} = {\mathcal{P}}_1 \otimes {\mathcal{P}}_2, \ {\mathcal{T}} = {\mathcal{T}}_1 \otimes {\mathcal{T}}_2 $. 下面说明$ {\mathcal{H}} $不是完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的.
计算可知

$ {{H}} = \left( {\begin{array}{*{20}c} -1+5\mathrm{i} & 3+3\mathrm{i} & 2+3\mathrm{i} & 3\\ 3+3\mathrm{i} & 5-\mathrm{i} & 3 & 2-3\mathrm{i} \\ 2+3\mathrm{i} & 3 & 5+\mathrm{i} & 3-3\mathrm{i} \\ 3 & 2-3\mathrm{i} & 3-3\mathrm{i} & -1-5\mathrm{i}\end{array}} \right), $

它只有一个特征值2, 其代数重数为4、几何重数为2. 从而由定理4(a)知: $ {\mathcal{H}} $不是完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的.
下面从矩阵分析的角度来考查例6的更一般的情形.
设$ {\mathcal{H}}_k\;(k = 1, 2) $为2维空间$ {\mathbb{K}} $上线性算子且是完整$ {\mathcal{P}}_k{\mathcal{T}}_k $-对称的$ (k = 1, 2) $, $ {{P}}_k, {{H}}_k $分别为$ {\mathcal{P}}_k, {\mathcal{H}}_k $的表示矩阵, 且

$\begin{split} &{{H}}_1\sim {{J}}_1 = \left( {\begin{array}{*{20}c} \lambda_1 & 1 \\ 0 & \lambda_1 \\ \end{array}} \right),\\ & {{H}}_2\sim {{J}}_2 = \left( {\begin{array}{*{20}c} \lambda_2 & 1 \\ 0 & \lambda_2 \end{array}} \right), \end{split}$

即存在可逆矩阵$ {{Q}}_k(k = 1, 2) $使得$ {{H}}_k = {{Q}}_k{{J}}_k\times$${{Q}}_k^{-1} (k = 1,\; 2) $, 从而$ {{H}}_1\otimes {{H}}_2 = ({{Q}}_1\otimes {{Q}}_2)({{J}}_1\otimes {{J}}_2)$ $({{Q}}_1\otimes {{Q}}_2)^{-1}. $
设$ {\mathcal{H}}, {\mathcal{P}}, {\mathcal{T}} $按照(13)式定义, $ {{H}}, {{P}}, {{T}} $为对应的表示矩阵. 下面说明$ {\mathcal{H}} $不是完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的.
因为

$ \begin{split} {{J}}_1\otimes {{J}}_2\, & = \left( {\begin{array}{*{20}c} \lambda_1 & 1 \\ 0 & \lambda_1 \end{array}} \right)\otimes\left( {\begin{array}{*{20}c} \lambda_2 & 1 \\ 0 & \lambda_2\end{array}} \right)\\ & =\left( {\begin{array}{*{20}c} \lambda_1\lambda_2 & \lambda_1& \lambda_2& 1 \\ 0 & \lambda_1\lambda_2&0 & \lambda_2 \\ 0 & 0&\lambda_1\lambda_2& \lambda_1 \\ 0 & 0&0 & \lambda_1\lambda_2\end{array}} \right), \end{split} $

所以

$ \lambda_1\lambda_2{{I}}-{{J}}_1\otimes {{J}}_2 = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & -\lambda_1& -\lambda_2& -1 \\ 0 & 0 &0 & -\lambda_2 \\ 0 & 0& 0& -\lambda_1 \\ 0 & 0&0 & 0\end{array}} \right), $

从而

$ {\rm rank}(\lambda_1\lambda_2{{I}}-{{J}}_1\otimes {{J}}_2) = \begin{cases} 1, & \text{$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$,}\\ 2, & {\text{其他.}}\end{cases} $

又因为$ {{H}} = {{H}}_1\otimes {{H}}_2\sim {{J}}_1\otimes {{J}}_2 $, 所以

$ \lambda_1\lambda_2{{I}}-{{H}}\sim\lambda_1\lambda_2{{I}}-{{J}}_1\otimes {{J}}_2, $

从而

$ \begin{split} {\rm rank}(\lambda_1\lambda_2{{I}}-{{H}})\, & = \mathrm{rank}(\lambda_1\lambda_2{{I}}-{{J}}_1\otimes {{J}}_2)\\ & = \begin{cases} 1, & \text{$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$,}\\ 2, & {\text{其他,}} \end{cases} \end{split} $

进而

$ g(\lambda_1\lambda_2) = 4-\mathrm{rank}(\lambda_1\lambda_2{{I}}-{{H}}) = \begin{cases} 3 & \text{$\lambda_1 = \lambda_2 = 0$,}\\ 2 & {\text{其他,}} \end{cases} $

其中$ g(\lambda_1\lambda_2) $为$ \lambda_1\lambda_2 $的几何重数. 由定理4(a)可知: $ {\mathcal{H}} $不是完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称.
下面简单说明$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称量子系统与经典量子系统之间的转化关系. 设$ \{{\mathcal{P}}, {\mathcal{T}}\} $是$ {\mathbb{K}} $上的$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-框架, $ {\mathcal{H}} $为哈密顿且为$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的. $ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称量子理论的关键在于构造一个线性算子$ \mathcal{C} $, 建立一个新的正定内积, 称之为$ \mathcal{C}{\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-内积, 使得$ {\mathcal{H}} $关于$ \mathcal{C}{\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-内积为自伴的, 从而保证系统的演化关于新内积为酉演化且概率守恒. 因此, 问题的本质在于寻找一个新的正定内积, 使得系统哈密顿$ {\mathcal{H}} $在这个内积下是自伴的.
给定空间$ {\mathbb{K}} $上的正定算子$ \eta $, 可以定义$ {\mathbb{K}} $上的新内积$ \langle \phi|\psi\rangle_{\eta}: = \langle \phi|\eta|\psi\rangle, $称之为$ {\mathbb{K}} $上的$ \eta $-内积. 我们在文献[37]中给出了线性算子关于某个正定内积是自伴的一些等价条件, 证明了存在正定算子$ \eta $使得$ {\mathcal{H}} $关于$ \eta $-内积是$ {\mathbb{K}} $上的自伴线性算子当且仅当$ {\mathcal{H}} $的表示矩阵H相似于一个实对角阵. 哈密顿$ {\mathcal{H}} $的完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性保证了$ {\mathcal{H}} $的特征值是实数, 但并不能保证其表示矩阵H可相似对角化. 由命题5知: $ {\mathcal{H}} $为完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的且可相似对角化当且仅当$ {\mathcal{H}} $有n个互不相同的实特征值. 因此, $ {\mathcal{H}} $的完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性不是$ {\mathcal{H}} $关于某个新的正定内积下自伴的充分条件, 同时也不是必要条件.

本文讨论了共轭线性算子的一些性质, 给出了共轭线性对称和完整共轭线性对称的定义, 给出了共轭线性对称性和完整共轭线性对称性的等价刻画; 在此基础上, 进一步讨论了$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称及完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称的性质, 给出了完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称哈密顿的一些具体例子, 说明了完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性对张量积运算不具有封闭性, 同时还说明了完整$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称性既不是哈密顿$ {\mathcal{H}} $在某个正定内积下自伴的充分条件, 也不是必要条件. 通过本文的讨论, 可以帮助我们更好地理解共轭线性对称性的本质, 使我们对$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $-对称量子系统相应的数学结构有更清楚的认识, 对将来的进一步研究具有一定的理论意义.