摘要:高纠缠度的纠缠源是实现高保真度量子信息传输与处理的保障, 因为受到光学元器件自身性能不完美的限制, 通过有效的操控手段来提高光场的纠缠度是十分必要的. 连续变量Einstein-Podolsky-Rosen纠缠态光场可以利用工作在阈值以下的非简并光学参量放大器来获得. 将两个非简并光学参量放大器级联, 可以利用第二个光学腔来操控第一个光学腔输出的纠缠态光场, 在一定条件下实现光场的纠缠增强. 本文通过理论分析设计出两种光学腔级联的实验系统, 其中, 纠缠产生装置采用具有三共振结构的半整块驻波腔, 输出到目前为止世界上单腔获得两组份纠缠态光场纠缠度的最高值, 操控光学腔采用驻波腔或四镜环形腔的结构. 详细对比分析了不同结构的操控腔对纠缠增强效果的影响, 得出利用不同腔形作为操控腔的最佳实验方案. 同时分析了级联腔输出光场的纠缠度随不同物理参量的变化关系, 得出进一步优化的最佳实验系统参量, 为实验获得更高纠缠度的纠缠态光场提供了依据.
关键词: 两组份纠缠态光场/
操控光学腔/
纠缠增强

English Abstract

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在量子信息发展的近几十年中, 不管是利用分离变量领域中量子比特的单光子还是利用连续变量领域中量子模式的光场来实现量子通信和量子计算, 都展现出量子信息存在的巨大潜能和新奇优势^[1-5], 吸引着人们不断地探索.
量子纠缠因其非局域性的特点, 是进行量子信息研究的重要资源, 连续变量Einstein-Podolsky-Rosen (EPR)纠缠态光场是连续变量量子资源中最基本的纠缠态光场, 可以通过两种光学实验装置来获得. 一种实验装置是利用两个含有一类非线性晶体的频率简并的光学参量放大器(degenerate optical parametric amplifier, DOPA)产生正交分量的单模压缩态光场, 然后将这两束频率相同的单模压缩态光场以恒定的相位差在分束比例为50 : 50的光学分束器上耦合, 得到EPR纠缠态光场^[6-8]. 自1970年Stoler^[9]提出了正交分量压缩态的概念之后, 全世界各个研究小组陆续以不同的方法在实验中获得了压缩态光场. 由于DOPA中一类非线性晶体的非线性系数较高, 德国的Schnabel实验小组已经多次获得了压缩度高于10 dB的单模压缩态光场^[7,10-13], 利用该方法制备的EPR纠缠态光场也达到了10 dB左右^[7]. 另一种实验装置是含有二类非线性晶体的非简并光学参量放大器(non-degenerate optical parametric amplifier, NOPA), 其输出的两束光场频率相同, 偏振相互垂直, 构成了连续变量EPR纠缠态光场^[14-17]. 因为仅仅利用一个光学腔就可以获得EPR纠缠态光场, 实验过程简单易操作. 1992年, 美国的Kimble实验小组^[18]利用该方法制备出了连续变量EPR纠缠态光场. 之后全世界各个实验小组也利用NOPA腔, 通过让其工作在不同的状态获得了不同关联类型的EPR纠缠态光场^[6,15,19-22]. 作为最基本的量子纠缠资源, EPR纠缠态光场被用于完成了不同的量子信息实验, 比如量子离物传态^[1,2,23,24]、 量子密集编码^[25-28]等, 但纠缠源的纠缠度却在很长一段时间内一直保持在–4 dB左右, 大大影响了量子信息传输的速率与效率. 于是提高纠缠源的纠缠度成为实现高保真度量子信息传输与处理中至关重要的问题^[24]. 2010年, 山西大学国家重点实验室通过对纠缠产生系统进行降噪处理, 将纠缠度提高到了–6 dB^[22]. 2015年, 我们小组利用具有三共振结构的NOPA腔, 通过提高其有功输出效率, 获得了单个腔输出光场的纠缠度为–8.4 dB的EPR纠缠态光场^[29].
因为受到光学元件自身性能的限制, 单个腔输出光场的纠缠度不能只通过优化光学元器件一味地提高. 利用操控的方法来实现纠缠增强是十分必要的^[30-32], 其中一种实现操控的方法是在第一个NOPA后级联第二个NOPA, 利用第二个NOPA来操控第一个NOPA输出的纠缠态光场, 在一定条件下实现纠缠态光场的纠缠增强. 为了更大程度地提高纠缠度, 我们在理论上提出第一个NOPA采用本小组在2015年实验实现的能够输出8.4 dB EPR纠缠态光场的纠缠产生装置——带楔角晶体的半整块驻波腔, 第二个NOPA可以采用两种不同的腔形——驻波腔结构或是四镜环形腔结构. 根据第二个NOPA的腔型, 设计出两种不同的光学腔级联系统, 理论分析了各光学系统实现纠缠增强的效果以及最终输出光场的纠缠度随不同物理参量的变化关系, 找到了级联纠缠增强系统的最佳实验方案以及最佳物理参量, 为制备更高质量的纠缠源提供了依据.

依据参考文献[32], 利用光学腔级联的方法可以实现连续变量EPR纠缠态光场的纠缠增强. 这里考虑将两个工作在参量反放大状态的NOPA1和NOPA2级联, 研究NOPA2对NOPA1输出光场的操控效果. 图1为驻波腔与四镜环形腔级联的光学系统. 为了更大程度地提高级联光学系统输出纠缠态光场的纠缠度, NOPA1的腔型选择2015年本研究小组实验设计的单个具有三共振结构的半整块驻波腔, 由带1°楔角的非线性光学晶体KTP1和曲率半径为50 mm的凹镜M0组成, M0对种子光场的透射率为12.5%, 可以输出高达8.4 dB的EPR纠缠态光场, 是目前为止单个腔产生EPR纠缠态光场中纠缠度最高的.
图 1 驻波腔与四镜环形腔级联的光学系统
Figure1. Optical system of connecting a standing wave cavity and a four-mirror ring cavity in series.

NOPA1内的信号光场${\hat a_{\rm{1}}}(t)$和闲置光场${\hat a_{\rm{2}}}(t)$的运动方程为

$\begin{split} \tau \frac{{{\text{d}}{{\hat a}_{\text{1}}}(t)}}{{{\text{d}}t}} = & - \chi \hat a_{\text{p}}^{}(t)\hat a_2^ + (t) - {\gamma _3}\hat a_1^{}(t) \\ & + \sqrt {2{\gamma _1}} \hat a_1^{{\text{in}}}(t) + \sqrt {2{\gamma _2}} \hat b_1^{{\text{in}}}(t), \\ \tau \frac{{{\text{d}}{{\hat a}_{\text{2}}}(t)}}{{{\text{d}}t}} = & - \chi \hat a_{\text{p}}^{}(t)\hat a_1^ + (t) - {\gamma _3}\hat a_2^{}(t) \\ & + \sqrt {2{\gamma _1}} \hat a_2^{{\text{in}}}(t) + \sqrt {2{\gamma _2}} \hat b_2^{{\text{in}}}(t), \end{split}$

其中, ${\hat a_{\rm{p}}}$表示NOPA1内的抽运光场; $\hat a_1^{{\rm{in}}}$, $\hat a_{\rm{2}}^{{\rm{in}}}$分别表示注入NOPA1的信号光场和闲置光场; $\hat b_1^{{\rm{in}}}$, $\hat b_2^{{\rm{in}}}$分别表示NOPA1因为内腔损耗而引入的真空态光场; $\hat a_1^ + $, $\hat a_2^ + $表示算符${\hat a_{\rm{1}}}$, ${\hat a_{\rm{2}}}$的共轭算符; $\chi $表示晶体的有效非线性系数; ${\gamma _1}$表示NOPA1的输出镜对基频光场的耦合效率, 其取值为输出镜对基频光场的透射率T的一半; ${\gamma _2}$表示NOPA1由于内腔损耗而引入的输出镜对真空光场的耦合效率; ${\gamma _{\rm{3}}} = {\gamma _{\rm{1}}}{\rm{ + }}\gamma {}_{\rm{2}}$, 表示输出镜对腔内基频光场总损耗的耦合效率; $\tau $表示光场从输入镜出发, 在光学腔NOPA1内传输一周, 再回到输入镜时所用的时间.
对(1)式进行傅里叶变换, 可以得到NOPA1内种子光场在频域空间的运动方程:

$\begin{split} {\text{i}}\omega \tau \delta \hat a_1^{}(\varOmega ) = & - k\delta \hat a_2^ + (\varOmega ) - {\gamma _3}\delta \hat a_1^{}(\varOmega ) \\ & + \sqrt {2\gamma _1^{}} \delta \hat a_1^{{\text{in}}}(\varOmega ) + \sqrt {2{\gamma _2}} \delta \hat b_1^{{\text{in}}}(\varOmega ), \\ {\text{i}}\omega \tau \delta \hat a_2^{}(\varOmega ) = & - k\delta \hat a_1^ + (\varOmega ) - {\gamma _3}\delta \hat a_2^{}(\varOmega ) \\ & + \sqrt {2\gamma _1^{}} \delta \hat a_2^{{\text{in}}}(\varOmega ) + \sqrt {2{\gamma _2}} \delta \hat b_2^{{\text{in}}}(\varOmega ).\end{split}$

NOPA1输入和输出光场之间满足

$ \begin{split}& \delta \hat a_1^{{\rm{out}}}(\varOmega ) = \sqrt {2\gamma _1^{}} \delta {\hat a_1}(\varOmega ) - \delta \hat a_1^{{\rm{in}}}(\varOmega ), \\& \delta \hat a_2^{{\rm{out}}}(\varOmega ) = \sqrt {2\gamma _1^{}} \delta \hat a_2^{}(\varOmega ) - \delta \hat a_2^{{\rm{in}}}(\varOmega ), \end{split}$

其中, $\delta $表示光场算符的交流分量; $\omega = 2{\text{π}}\varOmega $($\varOmega $是分析频率的角频率); $k$表示NOPA1的非线性转换效率, 与腔内晶体的有效非线性系数和输入抽运光场的能量有关; $\hat a_1^{{\rm{out}}}$, $\hat a_2^{{\rm{out}}}$分别表示NOPA1的输出信号光场和闲置光场.
为了判断光学腔输出光场的纠缠特性, 根据文献[33, 34]提出的EPR纠缠态光场的判据—$\left\langle {\Delta {{({{\hat X}_1} \mp {{\hat X}_2})}^2}} \right\rangle + \left\langle {\Delta {{({{\hat Y}_1} \pm {{\hat Y}_2})}^2}} \right\rangle < 4$, 需要计算工作在参量反放大状态的NOPA输出光场正交振幅和和正交相位差的表达式或者数值分析结果. 如果输出光场的正交分量关联噪声满足该表达式, 说明输出的光场是纠缠的.
根据产生和湮灭算符的定义

$ \begin{split}& \hat a = ({\hat{X}} + {\rm{i}}\hat Y)/2,\\& {\hat a^ + } = ({\hat { X}} - {\rm{i}}\hat Y)/2, \end{split}$

得到了正交振幅算符和正交相位算符的表达式:

$ \begin{split} & {\hat{ X }}=\hat a + {\hat a^ + }, \\& \hat Y = {\rm{i}}({\hat a^ + } - \hat a).\end{split}$

将(2)—(5)式相结合, 得到了NOPA1输出信号光场和闲置光场正交振幅分量$\delta \hat X_{a1(2)}^{{\rm{out}}}$以及正交相位分量$\delta \hat Y_{a1(2)}^{{\rm{out}}}$的表达式:

$\begin{split}\delta \hat X_{a1}^{{\rm{out}}} = &\; \frac{{k(2{\gamma _1}\delta {{\hat X}^{{\rm{in}}}}_{a2} + 2\sqrt {{\gamma _1}{\gamma _2}} \delta {{\hat X}^{{\rm{in}}}}_{b2}) - (2{\gamma _1}\delta {{\hat X}^{{\rm{in}}}}_{a1} + 2\sqrt {{\gamma _1}{\gamma _2}} \delta {{\hat X}^{{\rm{in}}}}_{b1})({\gamma _3} + {\rm{i}}\omega \tau )}}{{{k^2} - {{({\gamma _3} + {\rm{i}}\omega \tau )}^2}}} - \delta {\hat X^{{\rm{in}}}}_{a1},\\ \delta \hat X_{a2}^{{\rm{out}}} =&\; \sqrt {2{\gamma _1}} \left[ {\frac{{k\sqrt {2{\gamma _1}} \delta {{\hat X}^{{\rm{in}}}}_{a1} - (\sqrt 2 \gamma _1^{3/2} + {\gamma _2}\sqrt {2{\gamma _1}} + \sqrt {2{\gamma _1}} {\rm{i}}\omega \tau )\delta {{\hat X}^{{\rm{in}}}}_{a2}}}{{{k^2} - \gamma _{\rm{3}}^{\rm{2}} - 2{\rm{i}}\omega \tau {\gamma _3} + {\omega ^2}{\tau ^2}}}} \right] \\& + \sqrt {2{\gamma _1}} \left[ {\frac{{k\sqrt {2{\gamma _2}} \delta {{\hat X}^{{\rm{in}}}}_{b1} - (\sqrt 2 \gamma _2^{3/2} + {\gamma _1}\sqrt {2{\gamma _2}} + \sqrt {2{\gamma _2}} {\rm{i}}\omega \tau )\delta {{\hat X}^{{\rm{in}}}}_{b2}}}{{{k^2} - \gamma _{\rm{3}}^{\rm{2}} - 2{\rm{i}}\omega \tau {\gamma _3} + {\omega ^2}{\tau ^2}}}} \right] - \delta {{\hat X}^{{\rm{in}}}}_{a2}, \end{split} $

$\begin{split}\delta \hat Y_{a1}^{{\rm{out}}} = &\; \frac{{k(2{\gamma _1}\delta {{\hat Y}^{{\rm{in}}}}_{a2} + 2\sqrt {{\gamma _1}{\gamma _2}} \delta {{\hat Y}^{{\rm{in}}}}_{b2}) - (2{\gamma _1}\delta {{\hat Y}^{{\rm{in}}}}_{a1} + 2\sqrt {{\gamma _1}{\gamma _2}} \delta {{\hat Y}^{{\rm{in}}}}_{b1})({\gamma _3} + {\rm{i}}\omega \tau )}}{{{k^2} - {{({\gamma _3} + {\rm{i}}\omega \tau )}^2}}} - \delta {\hat Y^{{\rm{in}}}}_{a1}, \\ \delta \hat Y_{a2}^{{\rm{out}}} = & \; \sqrt {2{\gamma _1}} \left[ {\frac{{k\sqrt {2{\gamma _1}} \delta {{\hat Y}^{{\rm{in}}}}_{a1} - (\sqrt 2 \gamma _1^{3/2} + {\gamma _2}\sqrt {2{\gamma _1}} + \sqrt {2{\gamma _1}} {\rm{i}}\omega \tau )\delta {{\hat Y}^{{\rm{in}}}}_{a2}}}{{{k^2} - \gamma _{\rm{3}}^{\rm{2}} - 2{\rm{i}}\omega \tau {\gamma _3} + {\omega ^2}{\tau ^2}}}} \right] \\ & +\sqrt {2{\gamma _1}} \left[ {\frac{{k\sqrt {2{\gamma _2}} \delta {{\hat Y}^{{\rm{in}}}}_{b1} - (\sqrt 2 \gamma _2^{3/2} + {\gamma _1}\sqrt {2{\gamma _2}} + \sqrt {2{\gamma _2}} {\rm{i}}\omega \tau )\delta {{\hat Y}^{{\rm{in}}}}_{b2}}}{{{k^2} - \gamma _{\rm{3}}^{\rm{2}} - 2{\rm{i}}\omega \tau {\gamma _3} + {\omega ^2}{\tau ^2}}}} \right] - \delta {{\hat Y}^{{\rm{in}}}}_{a2}.\end{split} $

其中, ${\hat X^{{\rm{out}}}}_{a1}$, ${\hat {Y}^{{\rm{out}}}}_{a1}$, ${\hat X^{{\rm{out}}}}_{a2}$, ${\hat {Y}^{{\rm{out}}}}_{a2}$, ${\hat X^{{\rm{in}}}}_{a1}$, ${\hat {Y}^{{\rm{in}}}}_{a1}$, ${\hat X^{{\rm{in}}}}_{a2}$, ${\hat {Y}^{{\rm{in}}}}_{a2}$, ${\hat X^{{\rm{in}}}}_{b1}$, ${\hat {Y}^{{\rm{in}}}}_{b1}$, ${\hat X^{{\rm{in}}}}_{b2}$和${\hat Y^{{\rm{in}}}}_{b2}$分别表示光场$\hat a_1^{{\rm{out}}}$, $\hat a_2^{{\rm{out}}}$, $\hat a_1^{{\rm{in}}}$, $\hat a_{\rm{2}}^{{\rm{in}}}$, $\hat b_1^{{\rm{in}}}$, $\hat b_2^{{\rm{in}}}$的正交振幅分量算符和正交相位分量算符.
图1中的NOPA2为四镜环形腔, 由两片曲率半径为100 mm的凹镜M3和M4, 两片平镜M1和M2, 以及非线性光学晶体KTP2组成. 通常情况下, 其各腔镜的镀膜参数都是针对光线与镜片法线夹角为0°的情况, 显然NOPA2中光学镜片的法线与其作用光线之间的夹角大于0°, 导致镜片对偏振相互垂直的光场的透过率不同, 最终表现为输出耦合镜对偏振相互垂直的光场透过率不同. 设NOPA2的输出镜对信号光场的耦合效率为$\gamma _{\rm{1}}^{\rm{1}}$ (透射率为T₁), 对闲置光场的耦合效率为$\gamma _{\rm{1}}^{\rm{2}}$ (透射率为T₂), 那么NOPA2内的信号光场$\hat a_1'(t)$和闲置光场$\hat a_{\rm{2}}'(t)$的运动方程为

$\begin{split} \tau '\frac{{{\text{d}}{{\hat a}_{1}}(t)}}{{{\text{d}}t}} = & - \chi '{\hat a'}_{\text{p}}(t){{\hat a}_{2}}^{'\text{+ }}(t) - \gamma _3^1{{\hat a'}_{1}}(t) \\ & + \sqrt {2\gamma _1^1} \hat a_1^{{\text{out}}}(t) + \sqrt {2{\gamma' _{2}}} \hat b_1^{{\text{i}}{{\text{n}}^\prime }}(t), \\ \tau '\frac{{{\text{d}}{{\hat a'}_{2}}(t)}}{{{\text{d}}t}} = & - \chi '{{\hat a'}_{{{\text{p}}}}}(t)\hat a_{1}^ {'+} (t) - \gamma _3^2{{\hat a'}_{2}}(t)\\ & + \sqrt {2\gamma _1^2} \hat a_2^{{\text{out}}}(t) + \sqrt {2{\gamma' _{2}}} \hat b_2^{{\text{i}}{{\text{n}}^\prime }}(t).\end{split}$

为了与NOPA1区别开来, NOPA2中的光场算符和物理参数在表示过程中均在其右上角加“$'$”, 两个光学腔中的算符及物理参数的含义相同. $\gamma _3^1 = \gamma _1^1 + \gamma _2'$, 表示NOPA2输出镜对信号光场的总损耗耦合效率; $\gamma _3^2 = \gamma _1^2 + \gamma _2'$, 表示NOPA2输出镜对闲置光场的总损耗耦合效率.
对(8)式进行傅里叶变换, 可以得到NOPA2内种子光场在频域空间的运动方程:

$\begin{split} {\text{i}}\omega '\tau '\delta {{\hat a'}_{1}}(\varOmega ) = & - {k_1}\delta \hat a_{2}^ {'+} (\varOmega ) - \gamma _3^1\delta {{\hat a'}_{1}}(\varOmega ) \\ & + \sqrt {2\gamma _1^1} \delta \hat a_1^{{\text{out}}}(\varOmega ) + \sqrt {2{\gamma' _{2}}} \delta \hat b_1^{{\text{i}}{{\text{n}}^\prime }}(\varOmega ), \\ {\text{i}}\omega '\tau '\delta {{\hat a'}_{2}}(\varOmega ) = & - {k_2}\delta \hat a_{1}^ {'+} (\varOmega ) - \gamma _3^2\delta {{\hat a'}_{2}}(\varOmega ) \\ & + \sqrt {2\gamma _1^2} \delta \hat a_2^{{\text{out}}}(\varOmega ) + \sqrt {2{\gamma' _{2}}} \delta \hat b_2^{{\text{i}}{{\text{n}}^\prime }}(\varOmega ), \end{split}$

其中${k_1}$和${k_2}$分别表示不同透射率下的非线性转换效率.
NOPA2的输入纠缠态光场$\hat a_{1(2)}^{{\rm{out}}}$和输出纠缠态光场$\hat a_{3(4)}^{{\rm{out}}}$之间满足以下关系:

$ \begin{split}& \delta \hat a_3^{{\rm{out}}}(\varOmega ) = \sqrt {2\gamma _1^1} \delta \hat a_1'(\varOmega ) - \delta \hat a_1^{{\rm{out}}}(\varOmega ), \\& \delta \hat a_4^{{\rm{out}}}(\varOmega ) = \sqrt {2\gamma _1^2} \delta \hat a_2'(\varOmega ) - \delta \hat a_2^{{\rm{out}}}(\varOmega ).\end{split}$

将(4)—(10)式相结合, 根据实际的实验参数, 取四镜环形腔的腔长为557 mm, 内腔损耗为$\gamma _2' = $0.4%, 频谱分析频率为2 MHz, 在输出镜对信号光场的透射率一定的情况下, 通过数值计算(因为透射率不同时, 输出光场正交振幅和和正交相位差的表达式太过复杂), 分析NOPA2输出光场正交分量之间的关联噪声随输出镜对信号光场和闲置光场的透射率之差g的变化关系, 结果如图2所示. 曲线1为归一化的散粒噪声极限, 当曲线呈现的关联噪声小于该值时, 说明输出两束偏振相互垂直的光场之间是相互纠缠的; 曲线2, 3, 4分别表示NOPA2的输出镜对信号光场的透射率T₁为5%, 7%和10%时, 输出光场的量子关联噪声随g的变化关系; 曲线5表示输入NOPA2的EPR纠缠态光场的量子关联噪声
图 2 输出光场的量子关联噪声随输出镜对信号光场和闲置光场透射率之差的变化
Figure2. Quantum correlation variances of two output beams versus the transmissivity differences of the output coupler for idle and signal fields.

$\begin{aligned} & \left(\!\left\langle {\!\Delta {{(\delta \hat X_{a1}^{{\rm{out}}} \!+\! \delta \hat X_{a2}^{{\rm{out}}})}^2}} \right\rangle \!+\! \left\langle {\!\Delta {{(\delta \hat Y_{a1}^{{\rm{out}}} \!-\! \delta \hat Y_{a2}^{{\rm{out}}})}^2}} \right\rangle \!\right)\!\Big/4 \\ & = \; 0.145, \end{aligned}$
对应的纠缠度为8.4 dB, 若曲线呈现的关联噪声小于该值, 说明操控腔增强了NOPA1输出光场的纠缠度. 由于曲线2和3所示关联噪声的最小值点均在曲线5之上, 所以透射率为5%和7%的操控腔无法增强NOPA1输出的8.4 dB的EPR纠缠态光场, 应选用透射率较大的四镜环形操控腔来实现光场的纠缠增强.
曲线2, 3, 4的变化趋势相同, 在g = 0时呈现输出光场量子关联噪声的最小值, 且随着g绝对值的逐渐增大, 量子关联噪声也逐渐增大, 甚至大于散粒噪声极限, 出现没有纠缠的情况. 这意味着输出镜对信号光场和闲置光场的透射率差值越大, 级联系统输出光场的纠缠度就越低.
曲线4与曲线5相交于–0.34%和0.38%两个临界点, 即当–0.34% < g < 0.38%时, NOPA2才能起到纠缠增强的作用. –0.34% < g < 0对应T₂的取值范围为9.66% < T₂ < 10%, 0 < g < 0.38%对应T₂的取值范围为10% < T₂ < 10.38%. 将曲线以g = 0为界限分开成左右两侧, 发现对于绝对值相等的g值, 右侧曲线的关联噪声小于左侧曲线的关联噪声. 这是因为右侧曲线对应的透射率大于左侧曲线对应的透射率, 导致NOPA2的有功输出效率较高, 输出光场的纠缠度较高. 当g = 0, T₁ = T₂ = 10%时, 输出光场的关联噪声值最小, 为0.130, 对应的纠缠度为–8.9 dB.
实际实验中, 四镜环形光学腔的输出耦合镜的法线与输出光场之间的夹角大约为5°, 该角度下输出镜对信号光场和闲置光场的透射率之差约为0.2%^[35] (图2中的短虚线). 当$g = \pm $0.2%时, 输出光场的量子关联噪声约为0.134, 对应纠缠度为–8.7 dB, 对比g = 0时输出光场的纠缠度, 降低了约0.2 dB, 影响了级联纠缠增强的效果.
为了避免腔镜的法线与输出光场之间存在夹角而影响最终级联纠缠增强的效果, NOPA2可以选择驻波腔的结构, 将在第3部分做出详细分析.

当NOPA2为驻波光学腔结构时, 其输出镜的法线与输出光场之间的夹角为0°, 认为输出镜对信号光场和闲置光场的透射率是相等的, 即第二部分的理论分析中, 取$\gamma _{\rm{1}}^{\rm{1}} = \gamma _{\rm{1}}^{\rm{2}}$, ${k_1} = {k_2}$, 此时NOPA2输出光场正交分量之间的量子关联噪声可以写为

$\begin{split} & \left\langle {\Delta {{\left( {\delta \hat X_{a3}^{{\text{out}}} + \delta \hat X_{a4}^{{\text{out}}}} \right)}^2}} \right\rangle \\ = & \left\langle {\Delta {{\left( {\delta \hat Y_{a3}^{{\text{out}}} - \delta \hat Y_{a4}^{{\text{out}}}} \right)}^2}} \right\rangle\\ = & \;2{m^2}{{\text{e}}^{ - 2r}} + 2{n^2},\end{split} $

式中r表示NOPA1输出纠缠态光场的压缩参量; 系数$m$和$n$的取值分别为

$ \begin{split} m = & \;\frac{{ - {k_1} + \gamma _1^1 - \gamma _2' - {\rm{i}}{\omega '}{\tau '}}}{{{k_1} + \gamma _3^1 + {\rm{i}}{\omega '}{\tau '}}}, \\n = & \; \frac{{2\sqrt {\gamma _1^1\gamma _2'} }}{{{k_1} + \gamma _3^1 + {\rm{i}}{\omega '}{\tau '}}}.\end{split}$

为了防止纠缠态光场的反馈影响光学腔的稳定运转, 需要在NOPA1和NOPA2之间加入光学隔离器ISO, 如图3所示, 为理论设计的利用两个驻波腔级联研究纠缠增强的光学系统. 假设光场两次通过光学隔离器的传输效率相等, 用$\eta $表示, 那么NOPA1的输出光场$\hat a_{1(2)}^{{\rm{out}}}$经过隔离器后的光场$\hat a_{1(2)}^{{\rm{ISO}}}$, 以及NOPA2的输出光场$\hat a_{3(4)}^{{\rm{out}}}$经过隔离器后的光场$\hat a_{3(4)}^{{\rm{ISO}}}$可以表示为
图 3 两驻波腔级联的光学系统
Figure3. Optical system of two cascaded standing wave optical cavities.

$ \begin{split}& \hat a_{1(2)}^{{\rm{ISO}}} = \sqrt \eta \hat a_{1(2)}^{{\rm{out}}} + \sqrt {1 - \eta } \hat a_{1(2)}^0, \\& \hat a_{3(4)}^{{\rm{ISO}}} = \sqrt \eta \hat a_{3(4)}^{{\rm{out}}} + \sqrt {1 - \eta } \hat a_{3(4)}^0, \end{split}$

其中, $\hat a_{1(2)}^0$和$\hat a_{3(4)}^0$表示纠缠光场$\hat a_{1(2)}^{{\rm{out}}}$和$\hat a_{3(4)}^{{\rm{out}}}$经过光学隔离器时因为传输损耗而引入的真空光场. 联合(11)—(13)式, 可以得到图3所示的光学系统中输出光场的正交振幅和以及正交相位差的关系表达式:

$\begin{split} & \left\langle {\Delta {{\left( {\delta \hat X_{a3}^{{\text{ISO}}} + \delta \hat X_{a4}^{{\text{ISO}}}} \right)}^2}} \right\rangle \\ = & \left\langle {\Delta {{\left( {\delta \hat Y_{a3}^{{\text{ISO}}} - \delta \hat Y_{a4}^{{\text{ISO}}}} \right)}^2}} \right\rangle \\ = & \;2{\eta ^2}({m^2}{{\text{e}}^{ - 2r}} - {m^2}) + 2\eta ({m^2} + {n^2} - 1) + 2.\end{split} $

当NOPA1输出光场的纠缠度为8.4 dB (对应压缩参量r = 0.97), 驻波腔NOPA2的内腔损耗为$\gamma _2' = $0.2%时, 根据(14)式, 并结合系数$m$和$n$的表达式, 得到了如图4所示的两个驻波腔级联光学系统输出光场的纠缠度随光学隔离器传输效率$\eta $的变化曲线. 曲线1, 2, 3分别对应操控腔输出耦合镜的透过率为5%, 7%和10%, 三条曲线的变化趋势相同, 随着传输效率$\eta $的增加, 输出光场的纠缠度也随之增加. 这是因为光学隔离器的传输效率越高, 级联光学系统的传输损耗越小, 最终得到纠缠态光场的纠缠度也越高. 三条曲线对比发现, 对于相同的传输效率, 透射率越大, 输出光场的纠缠度越高. 这意味着在图3所示的光学系统中, 高的传输效率和高的输出耦合效率可以得到更高质量的纠缠态光场.
图 4 输出光场的纠缠度随光学隔离器传输效率的变化
Figure4. Dependences of correlation degree of output optical fields on transmission efficiency of the optical isolator.

虚线4表示输入EPR纠缠态光场的纠缠度大小, 与曲线1, 2, 3分别相交于三个不同的传输效率临界点. 当$\eta $大于各个透射率所对应的临界点时, 操控腔可以增强NOPA1输出光场的纠缠度; 反之, 输出光场的纠缠度则小于输入光场的纠缠度, NOPA2失去纠缠增强的能力. 对比驻波腔与四镜环形腔级联的光学系统, 如果传输效率足够高, 两驻波腔级联的系统在透射率较小的情况下也能实现8.4 dB纠缠态光场的纠缠增强.
虚线5表示在图1所示的光学系统中, 输出镜的透射率为10%时, 输出光场的纠缠度大小, 与曲线3相交于$\eta = $94.2%的临界点. 当传输效率$\eta > $94.2%时, 使用两驻波腔级联的光学系统可以得到更高纠缠度的纠缠态光场; 反之, 应选择驻波腔与四镜环形腔级联的光学系统来获得更好的纠缠态光场.
图5所示为操控腔输出耦合镜的透射率为10%时, 两种不同的光学腔级联系统输出光场的纠缠度随输入光场纠缠度的变化, 曲线1和2分别对应驻波腔和四镜环形腔级联以及两个驻波腔级联的纠缠增强系统, 两系统中操控腔的内腔损耗分别为$\gamma _2' = $0.4%和$\gamma _2' = $0.2%, 光学隔离器的传输效率取为96%. 从图5可以看出, 每条曲线都对应一个输入光场纠缠度的上限值: –8.9 dB和–9.4 dB (图5中虚线), 此处, NOPA2的输入光场和输出光场的量子关联噪声是相等的, 当输入光场的纠缠度大于该上限值时, 输出光场的纠缠度将不再继续增加, 即NOPA2的纠缠增强能力不再存在. 这是因为输入光场的纠缠度越高, 其反关联噪声也越高, 受到相位锁定系统中相位噪声的影响, 反关联噪声被耦合到关联噪声中, 降低了最终输出光场的纠缠度.
图6所示为两种光学级联系统输出光场的纠缠度随操控腔内腔损耗的变化, 同样取光学隔离器的传输效率为96%. 曲线1和2分别对应两个驻波腔级联以及驻波腔和四镜环形腔级联的纠缠增强系统, 显然在内腔损耗较小的情况下, 级联系统实现纠缠增强的能力更强.
图 5 输出光场的纠缠度随输入EPR纠缠态光场纠缠度的变化
Figure5. Dependences of correlation degree of output optical fields on correlation degree of input EPR entanglement optical fields.

图 6 输出光场的纠缠度随内腔损耗的变化
Figure6. Dependences of correlation degree of output optical fields on intracavity loss.

利用级联的方法可以增强输出纠缠态光场的纠缠度, 为了更大程度地获得高质量的纠缠态光场, 提出了选择具有三共振结构的半整块驻波腔作为第一个纠缠产生装置, 可得到纠缠度高达8.4 dB的EPR纠缠态光场, 级联的光学腔既可选择同样具有三共振结构的半整块驻波腔, 也可以选择镜片法线与腔内光线有一定夹角的四镜环形腔. 本文结合操控腔的两种腔形, 设计出不同的光学腔级联系统, 理论分析得出两种系统均能不同程度地实现光场的纠缠增强, 详细对比分析了这两种光学系统实现纠缠增强的效果以及系统输出光场的纠缠度随不同物理参量的变化关系. 结果表明: 当输出镜的透射率较小时, 四镜环形结构的操控腔无法增强输入光场的纠缠度, 应选用操控腔为驻波腔且隔离器传输效率较高的光学系统; 当输出镜的透射率较大且隔离器的传输效率较高时, 使用两驻波腔级联的光学系统能得到更好的纠缠态光场, 相反, 当隔离器的传输效率较低时, 选择驻波腔与四镜环形腔级联的光学系统能够获得更好的纠缠态光场. 如果实验上能进一步提高光学腔的输入输出耦合效率, 提高光学隔离器的传输效率, 降低光学腔的内腔损耗, 可以获得更高纠缠度的EPR纠缠态光场, 为量子信息的研究提供更优质的量子资源.