周孙基, 程磊, 王立伟, 王鼎, 郝圣旺^,2)燕山大学建筑工程与力学学院,河北秦皇岛 066004

CONTINUUM DAMAGE MECHANICS-BASED CRITICAL SINGULARITY EXPONENT AND FAILURE TIME PREDICTION¹⁾

Zhou Sunji, Cheng Lei, Wang Liwei, Wang Ding, Hao Shengwang^,2)School of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao 066004,Hebei,China

通讯作者: 2)郝圣旺，教授，主要研究方向：灾变破坏的动力学过程与预测方法. E-mail:hsw@ysu.edu.cn

收稿日期:2019-05-11网络出版日期:2019-09-18

基金资助:

1)国家自然科学基金资助项目.11672258

Received:2019-05-11Online:2019-09-18
作者简介 About authors


摘要
响应量在临近破坏时呈现出临界幂律奇异性加速特征,是一种被广泛证实的灾变破坏前兆,并被火山、滑坡和岩石破坏实验等后验预测结果证实为一种对破坏时间进行短临期预测的可行方法.但是,奇异性指数测量值的较大分散性导致了对其具体取值的争议和预测效果的不确定性.因此,理解奇异性指数取值特征及其内在物理控制因素,成为了一个核心问题.本文基于连续介质损伤力学和材料时间相关失效特征,构建了刻画损伤加速发展通向破坏过程的力学模型.导出了恒名义应力蠕变加载和控制名义应力随时间线性增大两种典型加载方式下,损伤和应变率加速发展通向破坏的临界幂律奇异性前兆特征.阐明了临界幂律奇异性指数取值依赖于材料损伤与承受真应力之间的非线性关系这一内在物理根源,表明了实际测量中奇异性指数的分散性不完全归结于测量数据误差,而是有着内在物理控制因素.针对破坏前奇异性指数的不确定性,建议了在未知奇异性指数条件下预测破坏时间的方法,并基于花岗岩脆性蠕变破坏实验进行了验证和说明.
关键词： 加速破坏;幂律奇异性;指数;破坏时间;预测

Abstract
The accelerating increase of response quantities, such as strain and acoustic emission signals in the vicinity of failure time, has been revealed as a precursor of catastrophic failure. This critical precursor has been widely validated as a valid way to predict failure time by the retrospective prediction of volcanic eruptions, landslides and laboratory experiments of rock failures. But the scatter of exponents in the critical power law singularity relationship that describes acceleration in precursory signals leads to a debate on the actual value of critical exponent and the uncertainty of failure time prediction. Consequently, the uncertainty resulting from the scatter of exponents is a key difficulty in using such methods for prediction of the failure time through the use of acceleration precursors. Thus understanding the underlying mechanisms for the magnitude and variation of critical power-law exponents becomes a central problem for understanding the process of failure and failure time prediction. This paper presents a multi-scale damage mechanic model describing the accelerating process of time dependent failure. Theoretic derivations and demonstrations of critical power law relationship are presented for two typical load process, i.e. brittle creep failure under constant nominal stress and the load process of linearly increasing the nominal stress with time. It is found that values of the singularity exponents have a relationship with the parameter that defines the nonlinear level of damage evolution rate depending on to the local true stress. The physical expressions of critical parameters are deduced and the physical meanings of these critical parameters are explained. It is declared that the observed variation of the critical power law exponents not only due to the fluctuation in the measurement data, but has its intrinsic physical controls. Then a method is suggested to predict the failure time when the critical singularity exponent is unknown. This proposed methodology is validated through granite creep failure experiments in laboratory and the challenges for practical applications are demonstrated.
Keywords：failure acceleration;power law singularity;exponent;failure time;prediction


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本文引用格式
周孙基, 程磊, 王立伟, 王鼎, 郝圣旺. 连续损伤力学基临界奇异指数与破坏时间预测¹⁾. 力学学报[J], 2019, 51(5): 1372-1380 DOI:10.6052/0459-1879-19-120
Zhou Sunji, Cheng Lei, Wang Liwei, Wang Ding, Hao Shengwang. CONTINUUM DAMAGE MECHANICS-BASED CRITICAL SINGULARITY EXPONENT AND FAILURE TIME PREDICTION¹⁾. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics[J], 2019, 51(5): 1372-1380 DOI:10.6052/0459-1879-19-120

引言

破坏时间预测是地震、滑坡、火山喷发等灾害防治和材料寿命评估与安全设计的一个核心问题.破坏时间预测困难的一个关键在于损伤演化过程和破坏时间的样本个性.样本个性差异^[1-2]导致了基于强度统计等方法预测单个样本具体破坏时间的困难.单个具体事件的预测,需要以该样本本身响应信号演化过程的监测为依据,寻找与灾变破坏直接关联的前兆特征.基于响应量演化过程的监测^[3-7]来探索前兆信息,已成为了探索破坏预测的重要手段^[3-10].

实验室实验^{[11 -18]}和实地监测结果^[19-23]表明,在样本趋向于灾变破坏点时,损伤、变形等响应量演化率会呈现临界幂律奇异性加速发展特征.响应量在通向灾变破坏时的临界幂律加速前兆特征,已成为探索破坏时间预测的一个重要途径,并在火山喷发^[22,24-25]、滑坡^[23,26-27]、地震^[21]和实验室脆性破坏实验^{[11,16,21,28]}的后验预测中得到了有效验证.

但是,临界幂律奇异性指数的实际测量值存在着较大分散性^[11,21,25].Hao等^[25]对不同文献中不同加载方式下临界幂律奇异性指数的分散性特征进行统计分析.岩石单调加载破坏实验^[16]、陶瓷涂层体系损伤失效测试^[12-13]与解析结果^[13,15,29]中临界奇异性指数约为$-0.50$.金属蠕变破坏实验中幂律奇异性指数测试结果在$-1.0$至$-1.35$之间^[30],在土^[30]和岩石蠕变破坏^[17]实验中结果约为$-1.0$,在岩石蠕变松弛破坏实验^[18]中约为$-2/3$,而火山喷发事件的实地测量结果^[22]有时甚至接近$-2.0$,在滑坡监测中既有$-1.0$的结果^[30],也有$-0.71$的结果^[27].白以龙课题组最新研究结果^[11,21]表明控制位移单调加载下灾变破坏临界奇异性指数变化范围在$-1$到$-1/2$之间,并据此发展了基于折减指数的预测方法.临界幂律奇异性指数的不同结果,一方面引起了研究者们对破坏机理认识上的分歧^[15,21],另一方面,也成为了据此预测破坏时间的一个关键困难.

由于破坏前临界幂律奇异性指数的取值是未知的,因此其取值在不同样本中的分散性,导致了实际破坏时间预测中临界幂律奇异性指数值的不确定性. Xue等^[11,21]的结果表明,临界幂律奇异性指数的不同取值对应着不同阶的灾变破坏,代表着破坏与完全自持发展破坏过程的密接程度. Zhou等^[31] 基于Weibull分布和纤维束模型的分析结果表明,临界幂律奇异性指数分散性有着其内在物理控制条件. 所以,认识临界幂律奇异性指数的取值特征及其对应物理机理,对于澄清实际测量中幂律奇异性指数的分散性是来源于测量数据的误差,还是具有着内在的物理本质,无疑十分关键,同时也是理解灾变破坏机理和探索其破坏时间预测的一个核心问题.

本文将基于连续介质损伤力学,依据材料损伤对其承载应力的非线性依赖特征,构建时间相关破坏的损伤力学模型,刻画破坏加速发展过程.在此基础上,从解析上推导损伤加速发展的临界幂律奇异性特征,分析临界幂律奇异性指数的取值特征及其内在物理控制条件.同时,发展未知临界幂律奇异性指数条件下,实时预测破坏时间的方法,并基于实验室花岗岩蠕变破坏实验,对预测效果和解析结果进行检验说明.

1 损伤力学基的幂律加速奇异性及其指数

1.1 破坏加速发展的损伤力学模型

基于连续介质损伤力学,在整体平均场近似下,考虑损伤的非均匀脆性材料本构关系可以表示为^[32-34]

(1)$$\sigma _0 = {E}_0 [1 - D]\varepsilon $$

式中, $\sigma_{0}$为名义应力,$D(t)$为材料的损伤分数, $\varepsilon $为应变,$E_{0}$为材料的初始弹性模量. 材料承受的真应力

(2)$$\sigma \left( t \right) = \dfrac{\sigma _0 }{1 - D(t)} $$

损伤演化方程可以简化地表示为^[34-36]

(3)$$\dot {D} = C \left[ {\sigma \left( t \right)}\right]^{ \rho } = C\left[ {\dfrac{\sigma _0 }{1 - D(t)}}\right]^{ \rho } $$

式中, $C$为常数,指数$\rho >0$代表材料损伤对真应力$\sigma (t)$依赖的非线性特征.对于恒名义应力,即$\sigma_{0}$为常数的蠕变破坏,对方程(3)积分,并考虑到完全破坏$t_{\rm f} $时刻损伤分数$D_{\rm f} = 1$,可得

(4)$$1-D = \Big [ C \sigma_0^\rho (\rho+1) \Big ]^{\tfrac 1{ \rho+1}} \left( {t_{\rm f} - t} \right)^{ \tfrac 1{\rho+1} } $$

式中下标 f 代表相应物理量在破坏点的取值. 式(4)两边对时间$t$求导有

(5)$$\dot {D} = \dfrac 1{\rho+1} \Big [ C \sigma_0^\rho (\rho+1) \Big ]^{\tfrac 1{ \rho+1}} \left( {t_{\rm f} - t}\right)^{-\tfrac \rho{\rho+1} } $$

可以看出,式(5)就是损伤率加速发展的临界幂律奇异性关系式,奇异性指数为$\rho / \left( {\rho + 1} \right) $.类似地,将式(4)代入式(1) 可以导出应变率的临界幂律奇异性表达式.

为更进一步说明破坏发展的临界幂律加速奇异性特征,下面将在上文基础上构建一个多尺度损伤力学模型. 考虑一个由具有不同寿命阈值的细观单元组成的非均匀系统.每个细观单元经历加载历程$\sigma(t)$后,其内部损伤的发展会不断缩短其寿命,所以单元寿命消耗率即等价于其损伤发展率. 结合式(3),则每个单元寿命的消耗率与受载应力历史之间的关系可以表示为

(6)$$\dot {T} = C \left[ {\sigma \left( t \right)} \right]^{ \rho } $$

当单元消耗的寿命$T$达到其寿命阈值$T_{\rm s}$时,则该单元发生断裂破坏,退出工作,不再继续承载. 为了简化,不考虑单元内部损伤对单元本身弹性模量的改变.也就是说假设每个细观单元退出工作前,其弹性模量不随时间改变.

从而,对整个系统,仅单元退出工作会引起系统损伤分数$D$的增大. 所有单元都没退出工作时$D=0$,当所有单元均退出工作时$D =1$. 则在某一时刻$t$,系统聚集的损伤分数$D$等价于单元寿命阈值的分布函数,即

(7)$$D = \int_0^{T(t)} {p\left( {T_{\rm s} } \right)} dT_{\rm s} $$

式中$p$为单元寿命阈值的分布密度函数.

由式(7)两边对时间$t$求一阶导数,并将式(6) 代入,可得系统损伤率

(8)$$\dot {D} = p\left( T \right)\dfrac{ dT}{ d t} = p\left( T \right)C \sigma ^\rho $$

需要说明的是,式(3)通常用于金属材料在简单应力状态下的损伤分析.研究表明^[37],对于简单应力加载下的脆性损伤破坏,也存在着类似于式(6)或式(3)描述的幂律关系.下文将在此基础上进一步说明破坏加速发展的临界幂律奇异性特征及幂指数取值问题.需要指出的是,本文推导主要针对简单加载情况,对于复杂岩石应力状态,式(3)和式(6)的适用性还有待进一步的实验和实地观测.

下面将针对恒名义应力蠕变破坏过程和控制名义应力随时间线性增大两种加载方式,推导损伤率和应变率的幂律加速奇异性特征及其指数表达式.

1.2 均匀分布时的幂律奇异性及其指数变化

当单元寿命阈值分布函数为$T_{\rm a}$和$T_{\rm b}$之间的均匀分布时,式(7)变为

(9)$$D = \dfrac{T\left( t \right) - {T}_{\rm a} }{ {T}_{\rm b} - {T}_{\rm a} } $$

将式(9)对时间$t$求一阶导数并将式(6)代入,即可得损伤率

(10)$$\dot {D} = \dfrac{d D}{d t} = \dfrac{1}{T_{\rm b}- T_{\rm a} }\dot{T} = \dfrac{C }{T_{\rm b} - T_{\rm a}}\sigma ^\rho $$

当系统承受名义应力$\sigma_{0}$为常数的蠕变加载时,将式(2)代入式(10),可得

(11)$$\dot {D} = \dfrac{C \sigma _0^\rho }{T_{\rm b} - T_{\rm a} }\left( {\dfrac{1}{1 - D}} \right)^\rho $$

将式(11)积分后并考虑到系统完全破坏时损伤分数$D_{\rm f} = 1$,可得

(12)$$\left( { 1 - D } \right) = \left[ {(\rho + 1) \dfrac{C \sigma _0 ^\rho}{T_{\rm b} - T_{\rm a} }} \right]^{\tfrac{1}{\rho + 1}} \left( {t_{\rm f} - t} \right)^{\tfrac{1}{\rho + 1}}$$

将式(12)对时间$t$求一阶导数,可得

(13)$$\dot {D} = \dfrac{1}{\rho + 1} \left[ {(\rho + 1)\dfrac{C \sigma _0 ^\rho }{ T_{\rm b} - T_{\rm a}}}\right]^{\tfrac{1}{\rho + 1}} \left( {t_{\rm f}-t} \right)^{\tfrac{1}{\rho + 1} - 1} $$

另外,将式(12)代入式(1),整理后有

(14)$$\varepsilon = \dfrac{\sigma _0 }{E_0 }\left[ {(\rho + 1) \dfrac{C \sigma _0 ^\rho }{ T_{\rm b} - T_{\rm a} }} \right]^{ - \tfrac{1}{\rho+ 1}} \left( {t_{\rm f} - t} \right)^{ - \tfrac{1}{\rho + 1}} $$

于是应变率可以表示为

(15)$$\dot {\varepsilon } = \dfrac{1}{\rho + 1}\dfrac{\sigma _0 }{E_0 }\left[ {(\rho+ 1) \dfrac{C \sigma _0 ^\rho }{ T_{\rm b} - T_{\rm a}}} \right]^{ -\tfrac{1}{\rho + 1}} \left( {t_{\rm f} - t}\right)^{ - \tfrac{1}{\rho + 1} - 1} $$

由式(13)和式(15)可以看出,破坏加速发展过程可以描述为系统剩余寿命的幂律关系,即

(16)$$\dot {\varOmega } = k \left( {t_{\rm f} - t} \right)^{ - \beta } $$

其中,$\varOmega $代表累积损伤和应变两种观测响应量.对于损伤和应变,式中常数$k$分别为

(17)$$k = \dfrac{1}{\rho + 1} \left[ {(\rho + 1) \dfrac{C \sigma _0 ^\rho }{ T_{\rm b} - T_{\rm a} }} \right]^{\tfrac{1}{\rho + 1}} $$

和

(18)$$k = \dfrac{1}{(\rho + 1)} \dfrac{\sigma _0}{E_0 }\left[ {(\rho + 1) \dfrac{C \sigma_0 ^\rho }{ T_{\rm b} - T_{\rm a}}} \right]^{ - \tfrac{1}{\rho + 1}} $$

指数 $\beta $分别为$\beta = 1 - \dfrac{1}{\rho + 1}$和$\beta = 1 + \dfrac{1}{\rho + 1}$.

1.3 幂律奇异性及其指数变化的一般解析解

上文基于单元寿命服从均匀分布特征时的情况,推导了蠕变破坏的幂律加速特征.下面将对加速破坏的幂律奇异性特征进行更一般性的推导.

恒名义应力的蠕变破坏时,将式(2)代入式(8),可得

(19)$$\dot {D} = p\left( T \right)C\sigma _0 ^\rho \left( {\dfrac{1}{1 - D}}\right)^\rho $$

在破坏点,损伤分数$D_{\rm f} = 1$. 则由上式可知,在破坏点,损伤率$\dot {D}_{\rm f} \to \infty $,即$\left( {{ d t}/ {dD}} \right)_ {\rm f} \to 0$. 进一步地,由式(19)可以看出,${d^\lambda t}/ {d D^\lambda }$$( \lambda <\rho +1)$是$\left( {1 - D} \right)^{(\rho + 1) - \lambda }$的函数,所以,由在破坏点$D_{\rm f} = 1$有$\left( {{d^\lambda t}/ {d D^\lambda }} \right)_ {\rm f} \to 0$.

为了更好地说明临近破坏时损伤加速发展的幂律奇异性特征,下面基于白以龙课题组^[14,28]采用的渐近展开分析方法,在破坏点附近将时间$t(D)$作为损伤分数$D$的函数进行Taylor展开,并忽略高于($\rho +1$)阶的高阶项,可得

(20)$$ t \approx t_{\rm f} + \left( {\dfrac{d t}{d D}} \right)_ {\rm f} \left( {D - D_{\rm f} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{d^2 t}{d D^2}} \right)_ {\rm f} \left( {D - D_{\rm f} } \right)^2 + \\ \qquad \cdots + \dfrac{1}{(\rho + 1)!}\left( {\dfrac{d^{\rho + 1}t}{d D^{\rho + 1}}} \right)_ {\rm f} \left( {D - D_{\rm f} } \right)^{\rho + 1} $$

则由$\left( {{d^\lambda t}/{d D^\lambda }} \right)_ {\rm f} \to 0$($\lambda <\rho +1)$有

(21)$$D \approx D_{\rm f} - \left[ {\dfrac{1}{\left( {\rho + 1} \right)!}\left({\dfrac{d^{\rho + 1}t}{d D^{\rho + 1}}} \right)_ {\rm f} } \right]^{ -\tfrac{1}{\rho + 1}}\left( {t_{\rm f} - t} \right)^{\tfrac{1}{\rho + 1}} $$

上式两边对时间$t$求导可得

(22)$$\dfrac{d D}{d t} \approx \dfrac{1}{\rho + 1}\left[{\dfrac{1}{\left( {\rho + 1} \right)!}\left( {\dfrac{d^{\rho + 1}t}{d D^{\rho + 1}}} \right)_ {\rm f} } \right]^{ - \tfrac{1}{\rho + 1}}\left( {t_{\rm f} - t} \right)^{ - \tfrac{\rho }{\rho + 1}} $$

于是,同样可得类似于式(16)的临界幂律加速破坏特征

(23)$$\dfrac{d D}{d t} \propto \left( {t_{\rm f}- t} \right)^{ - \beta } $$

其中,指数

(24)$$\beta = 1 - \dfrac{1}{\rho + 1} $$

将式(21)代入式(1),同理可以推导得到应变率的临界幂律奇异性关系式

(25)$$\dfrac{d \varepsilon }{d t} \propto \left( {t_{\rm f} - t} \right)^{ - \beta } $$

其中

(26)$$\beta = 1 + \dfrac{1}{\rho + 1} $$

上文推导对应的是恒名义应力的蠕变破坏. 如果是控制名义应力单调增加的情况,譬如常见的名义应力$\sigma_{0}$随时间线性增大的情况

(27)$$\sigma _0 = B t $$

式中$B$是常数. 此时,由式(2)、式(8)和式(27)可以得到损伤率

(28)$$\dot {D} = p\left( T \right)C B^{\rho }t^\rho \left( {\dfrac{1}{1 - D}} \right)^\rho $$

式(28)与式(19)相比,仅右边项多乘了$B^{\rho } t^\rho $.所以,在破坏时刻,$t$对$D$的各阶导数中不为零的最低阶导数,依旧决定于$\left( {1 - D}\right)^\rho $对$D$最低阶的不为0的导数. 所以,按照式(19)到式(26) 相同的推导过程,同样可以得到式(23) $\sim $式(26) 所示的幂律奇异性和指数关系式.

所以,临界加速幂指数 $\beta $与材料寿命对局部应力依赖的非线性指数 $\rho $关,实际测量中临界幂指数的分散性,不完全来源于测量精度引起的涨落,而是由其损伤发展的内在物理控制条件所决定.

2 基于幂律加速奇异性前兆预测破坏时间

上文推导表明,损伤率和应变率在临近破坏点时会呈现式(16)所示幂律加速奇异性行为.将式(16)改写后,可得

(29)$$\dot {\varOmega }^{ - 1 / \beta } = k^{ - 1/ \beta } \left( {t_{\rm f} - t} \right) $$

所以,$\dot {\varOmega }^{ - 1 / \beta }$与时间$t$成线性关系,且在破坏时刻$t_{\rm f} $,$\dot {\varOmega }^{ - 1 / \beta } = 0$. 在实际应用中,在$\dot {\varOmega }^{ -1 / \beta }$与时间$t$关系图上,进行线性外推,外推直线与时间轴交点即为破坏时间(如图1(a)),于是可实现破坏时间$t_{\rm f}$的预测.

图1

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图1基于幂律行为预测破坏时间的方法及挑战示意图

Fig. 1Illustrations of prediction method and its challenges



需要提及的是,由式(16)可以看出,在破坏前,临界幂律奇异性指数 $-\beta $是一个未知量. 实际预测中,如果所取的指数值 $\gamma $不等于真实值 $\beta $,在$\dot {\varOmega }^{ - 1 / \gamma }$与时间$t$关系图上,将会偏离线性关系(如图1(b)). 当所取 $\gamma $值大于真实值$\beta $时,曲线是上凸的;而当所取 $\gamma $值小于 $\beta $时,曲线呈下凹形状. 正如上文推导所述,幂指数$-\beta $的取值呈现着物理上的分散性,在不同的样本中取值不尽相同.所以,幂指数 $-\beta $的取值在破坏前的不确定性,成为了实际应用中进行破坏时间预测的关键制约因素.

为了应对实际应用中,未知临界奇异性指数 $-\beta $带来破坏时间预测的困难,下面我们将进一步推导可能的应用处理方法. 由临界加速破坏的幂律关系式(16),可以导出

(30)$$dDot {\varOmega } \dot {\varOmega }^{ - \alpha } = A $$

表达式(30)就是Voight经验关系式^[22,24,30]. 其中,$dDot {\varOmega} $代表$\varOmega $对时间$t$的二阶导数,在破坏点常数$A = \beta k^{ - 1 /\beta }$,指数

$$\alpha = 1 + \dfrac{1}{\beta } (31)$$

由于破坏前 $\beta $的实际取值是未知的,因此,本文采用一个折中的实时预估方法,即由实测数据计算$dDot {\varOmega } $和$\dot {\varOmega }$,再在加速度$dDot {\varOmega } $与速度$\dot {\varOmega }$关系图中,基于式(30)拟合 $\alpha $值,再由式(31)来计算 $\beta $的估算值.然后再由 $\beta $估计值,通过如图1(a)所示方法估算破坏时间$t_{\rm f}$.下文将基于花岗岩脆性蠕变破坏实验数据校验上述结果,并对预测方法进行检验证.

3 花岗岩脆性蠕变破坏结果及预测检验

本文花岗岩脆性蠕变破坏实验,在室温下进行. 花岗岩试样为长方体,高度为40,mm,横截面16,mm$\times $20,mm. 加载沿40,mm方向单轴压缩,无侧向加载和约束.具体材料特征和加载方式,在文献^[18,25]中进行了详细叙述. 蠕变实验加载应力为200,MPa,约为单调加载下强度(237,MPa)的85,%.

图2给出的是3个典型花岗岩脆性蠕变破坏实验曲线.

图2

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图2花岗岩脆性蠕变破坏曲线

Fig. 2Brittle creep failure curve of granites



研究表明,岩石类非均匀脆性材料,初始微观上的细小差异,在后期的非线性发展过程中会被放大并导致宏观特性的较大差异^[1-2]. 这也是3个试样寿命呈现较大差异的主要原因. 但是临近破坏时,3个蠕变试样均呈现出明显的临界加速过程. 从应变速率和加速度演化双对数图(图3)在临近破坏时呈现的较好线性关系可以看出,在加速蠕变阶段,应变加速度与应变率呈现出较好的如式(30)所示的幂律特征. 图3中直线斜率即为指数 $\alpha $,3个试样的$\alpha $数值接近于2,即$\beta $的值接近于1.

下面基于花岗岩脆性蠕变破坏实验数据,对本文第2部分所述预测方法进行检验.预测处理中,假设仅获取了截至某一时刻的数据,因为在实际中,该时刻之后的"未来"数据在当前是没有的.

图3

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图3应变速率与加速度双对数图

Fig. 3Double-logarithm plots of strain acceleration and rate



由于破坏之前, $\beta $值是未知的. 因此,基于现有数据,从应变加速度与速度关系图上,由关系式(30)拟合指数$\alpha $值. 再基于式(31),由$\alpha $值计算$\beta $值. 然后再由现有数据,计算$\dot {\varOmega }^{ - 1 / \beta }$. 最后,再在$ \dot {\varOmega }^{ - 1 / \beta }$与时间$t$曲线上,进行如图1(a)所示的线性外推,外推直线与时间轴交点即为预测的破坏时间. 随着时间的推移和新采集的观测数据不断增多,重复上述预测处理方法,不断更新预测结果.

3个试样破坏时间预测结果如图4所示. 为了更好地说明预测效果,在图中右边竖向坐标轴给出了对应的归一化预测结果,同时在上面的横轴给出了归一化的时间.图中水平和竖向的红色虚线标识出的是各试样实际破坏时间.

图4

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图4花岗岩脆性蠕变破坏时间预测结果

Fig. 4Predicted results



可以看出,每个试样破坏时间的预测结果都很好地收敛于真实值. 随着时间趋近于破坏点,预测结果越好.在临近破坏时间段,预测结果较稳定地聚集在真实值附近.

需要指出的是,虽然该预测方法在实验中显示出了较好的预测效果,但是,实际应用中还存在诸多因素影响着预测效果和预测方法的可行性,这些还需要进一步明确和研究.比如,本文方法在实际应用中会涉及到两次数据拟合,一个是由式(30)在加速度和速度关系曲线上拟合$\alpha $值;另一个是,由$\dot {\varOmega }^{ - 1 / \beta}$与时间$t$关系图进行直线拟合外推预测破坏时间. 除了线性拟合带来影响外,还会有计算速度和加速度时求导带来的涨落误差等^[25,38,39]的影响. 同时,由$\dot {\varOmega }$计算$\dot {\varOmega }^{ - 1 / \beta}$时,可能会带来数据误差结构的变化. 实际预测处理中,监测数据的时间密度和数据点的选择也是影响预测结果的一个重要因素^[25,39]. 所以,探索更高精度的改进预测方法^[25,40,41]是未来研究的一个重点. 不过,从实验结果来看,即便有着这些因素的影响,该预测方法还是表现出了较好的实际应用可能性.

4 结论

本文基于连续介质损伤力学理论和时间相关破坏结果,构建了刻画破坏加速发展的力学模型,从理论上导出了脆性破坏加速发展的幂律奇异性特征. 分析结果表明,加速发展的幂律奇异性指数取值取决于材料寿命消耗对真应力依赖的非线性特征. 基于理论分析,导出了破坏加速发展的幂律奇异性指数与材料损伤发展对真应力依赖的非线性指数间的关系式. 所以,实际观测中奇异性指数的分散性,不完全归结于测量数据的误差涨落,而是有着其内在物理控制条件.

为应对奇异性指数分散性带来的实际预测应用挑战,给出了未知奇异性指数情况下,预测破坏时间的方法. 通过岩石脆性蠕变破坏实验,说明了该预测方法的预测效果和实际应用的可能性. 由于涉及对原始数据的求导,因此数据测量的误差涨落在实际应用中可能有着不可忽视影响. 另一方面,数据的倒数(求逆)运算可能会带来误差结构的变化.这些可能影响实际预测结果的因素,还有待进一步澄清.所以,发展在奇异性指数未知情况下,更可行的、高精度实时预测方法,是实现破坏时间预测应用的关键.

需要指出的是,本文推导主要是基于连续损伤力学的范畴. 在脆性材料破坏过程中,损伤通常会较快地由连续损伤发展到局部化. 局部化转变后,损伤和变形发展主要集中于局部化区^{[2,15,19,21,42-43]}. 在这样的情况下,本文模型应可对应于刻画局部化区的损伤发展. 但是对于考虑由局部化区与非局部化区组成的系统整体响应问题,还需要发展更为充分的模型.

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被引期刊影响因子

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