李海勤^,2), 孔宪仁, 刘源哈尔滨工业大学卫星技术研究所,哈尔滨 150001

EFFECT OF CONTACT NONLINEARITY ON ACOUSTIC BLACK HOLE BEAM FOR VIBRATION DAMPING ¹⁾

Li Haiqin^,2), Kong Xianren, Liu YuanResearch Center of Satellite Technology, Harbin Institute of Technology,Harbin 150001, China

通讯作者: 2) 李海勤,博士研究生,主要研究方向：非线性振动. E-mail:lihaiqin1992@yahoo.com

收稿日期:2018-11-22接受日期:2019-06-25网络出版日期:2019-07-18

基金资助:

1) 国家自然科学基金资助项目.51875119

Received:2018-11-22Accepted:2019-06-25Online:2019-07-18
作者简介 About authors


摘要
声黑洞(acoustic black hole, ABH)效应是基于弯曲波在变厚度薄壁结构中的传播性质发展起来的一种被动减振技术. 本文针对传统的线性声黑洞在高频段具有显著减振效果,而在低频段减振性能欠佳的问题,利用接触非线性提出了将能量从低频段传递到高频段的想法,旨在提升声黑洞的总体性能. 考虑声黑洞梁和位于其下方的接触挡板的碰撞振动问题,首先,通过实验验证了引入接触碰撞后系统的非线性机制及能量传递效应. 随后,基于欧拉-伯努利梁理论建立了声黑洞梁和挡板碰撞振动的数值模型,并分析了模型的收敛性. 该模型遵循模态法的求解过程,并利用有限差分法处理变厚度梁的特征值问题. 接触作用力借鉴于Hertzian接触定律来刻画,阻尼层的影响则通过Ross-Kerwin-Ungard模型求解. 基于数值模型,着重分析了含接触非线性时,声黑洞梁的能量传递与衰减特性及其对声黑洞减振性能的提升,并考察了接触刚度、接触点位置和初始间隙等接触参数的影响. 结果表明引入接触非线性后,振动能量可以从声黑洞性能欠佳的低频段传递到声黑洞效果显著的高频区域,梁的能量衰减速度显著加快,声黑洞的整体减振性能得到了有效地提高.
关键词： 声黑洞;阻尼;振动抑制;能量传递;接触非线性

Abstract
Acoustic black hole effect (ABH) refers to a passive vibration mitigation technique which takes advantage of flexural wave properties in thin structures with variable thickness. Focusing on the problem that the classical linear ABH is efficient only at high frequency range but less than desirable in the low frequency domain, this paper proposes the idea of using contact nonlinearity to transfer the energy from low to high frequency range, in order to improve the overall efficacy of the ABH. Considering the vibration of an ABH beam in contact with a rigid barrier from below it, an experimental study is firstly carried out to show the nonlinear phenomena and energy transfer induced by the contact nonlinearity. Then, a numerical model is derived from Euler-Bernoulli beam theory, with convergence properties studied. The model follows the general procedures of modal approach, while the eigenvalue problems are computed using a finite difference method due to thickness variation. The contact force is handled by Hertzian contact law, and the damping layer is dealt with a Ross-Kerwin-Ungard model. Detailed studies considering contact nonlinearity are thus conducted to precisely quantify the energy transfer and decay, and the gain in efficiency of the ABH, with parametric effect respect to the contact stiffness, initial gap and longitudinal location of contact points. It is demonstrated that when the contact nonlinearity is induced to the system, the vibrational energy can be transferred from the low frequency band-where the ABH is inefficient, to the high frequency range-where the ABH is effective, the energy decay in the beam is remarkably accelerated, and the overall performance of the ABH effect is significantly improved.
Keywords：acoustic black hole;damping;vibration suppression;energy transfer;contact nonlinearity


PDF (18881KB)元数据多维度评价相关文章导出EndNote|Ris|Bibtex收藏本文
本文引用格式
李海勤, 孔宪仁, 刘源. 接触非线性对声黑洞梁减振效果的影响 ¹⁾. 力学学报[J], 2019, 51(4): 1189-1201 DOI:10.6052/0459-1879-18-392
Li Haiqin, Kong Xianren, Liu Yuan. EFFECT OF CONTACT NONLINEARITY ON ACOUSTIC BLACK HOLE BEAM FOR VIBRATION DAMPING ¹⁾. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics[J], 2019, 51(4): 1189-1201 DOI:10.6052/0459-1879-18-392

引言

振动控制一直是航空航天、建筑桥梁、机械仪表、运输等工程领域备受关注的课题. 传统的被动减振技术通常依靠厚 重的阻尼层^[1-2]或动力吸振 器^[3-5]来实现,无形中增大了结构的质量和有效载荷负担. 因此,寻求一种高效且无需附加质量的减振方法意义重大.

声黑洞效应(acoustic black hole,ABH)是将天文物理学中的黑洞概念引入振动控制领域中, 并将其作为一种全新的概念提出^[6]. ABH是利用弯曲波在变厚度薄壁结构中的传播特性发展的一种无需附加质量的被动减振技术.

声黑洞的基本实现方法是在板结构边缘制成厚度按幂函数规律光滑下降的楔面^[7],并涂上黏性阻尼薄层^[8]. 受惠于厚度 的下降,传递到结构边缘的弯曲波波速也会相应的降低,当厚度趋于零,弯曲波传递到边缘所需的时间也会趋于无穷大. 在理想的情况下,进入到楔面中的弹性波无法传递到楔面终端并发生反射,最终被束缚在楔面内无法逃逸出去,该性质同"黑 洞"具有相似性,声黑洞的名字便由此而来. 受到加工制造工艺的限制,实际制造的楔面终端无法使厚度严格的趋近于零,一般都会存在一个小的截断厚度. 为弥补实际制造的终端和理想的声黑洞楔面之间的差距,往往会贴上一层黏性薄层作为补偿,以使在有限厚度的情况下仍然能将弹性波 的反射系数维持在较低的水平,进而达到预定的减振效果.

大量的理论和数值研究围绕声黑洞的减振特性展开,主要致力于研究声黑洞结构中弯曲波的反射系数^[9-10],模态阻尼比 和模态重叠因子^[11],以及声黑洞结构及其阻尼层的优化设计^[12-15]等问题. 除了位于板的末端,声黑洞楔面也可以嵌套在板内部的声黑洞^[16]或被弯曲成螺旋形^[17]. 此外,声黑洞结构中的弯曲波的位移场^[18]、轨迹传递^[19],及振动能量分布^[20]也有相应的研究. 结果均表明声黑洞结构可以将弯曲波聚集在特定区域并耗散,从而可达到很好的减振效果. 声黑洞也因此有在能量获取方面的应用^[21]. 实验研究同样硕果累累^[22-26],这种贴有阻尼薄层的声黑洞结构已经被成功制造,大量实验结果在频域和时域分 析了声黑洞结构中振动的传递特性和聚散规律,证实了声黑洞的优越减振性能.

然而,声黑洞也存在一个缺点,就是其在低频段的效果不明显. 最近的研究指出,在声黑洞结构中,存在一个截断频率^[27], 低于该截断频率时,声黑洞的减振效果就会失效. 尽管可以通过声黑洞的优化来降低截断频率的值,但是在现有的线性框架里,截断频率始终无法消除.

为了提升声黑洞的整体性能,必须考虑其他力学现象,使声黑洞能在低频区发挥效果. 鉴于声黑洞在高频区的显著效果,利用非 线性动力学的现象将振动能量从低频传递的高频的想法也由此产生. 基于这样的想法,使用几何非线性来实现这种能量传递已经在文献^[28]中得到了成功的验证,其思想是利用波湍流现 象^[29-30],将声黑洞中的低频能量传递到高频,其结果表明,通过非线性机制传递到高频的振动能量可以有效地 被声黑洞吸收,达到更好的减振效果. 但是,几何非线性的时间尺度较大,利用波湍流来实现能量传递往往需要一定的时间,能量传递无法立刻实现.

本文旨在利用接触碰撞^[31]作为一种快速而高效的非线性能量传递方式来实现能量从低频到高频的传递,以提高声黑洞的整体性能. 接触非线性已经被成功地应用到动力吸振器中^[32-34],用来实现非线性振子间能量的单向传递. 但是,将其考虑到声黑洞结构的设计中目前仍然没有任何研究. 引入接触非线性后,声黑洞结构的力学特性将会有明显的改变,将原有的线性机制转变成强非线性机制,能量得以在整个频段重新分布.

研究声黑洞梁与一接触挡板的碰撞振动,本文首先通过实验证明通过接触碰撞实现能量传递现象的可行性. 然后建立该系统的数值模型,模型中考虑梁厚度变化、附加阻尼层的等效模型、与接触点的接触力模型以及数值求解算法. 最后,基于数值结果,分析接触非线性对声黑洞能量传递和衰减特性的影响.

1 核心猜想与研究对象

本文的核心假设是通过接触非线性来实现图1所示的能量传递. 鉴于声黑洞在高频和低频段的性能差异,通过能量传递将能量 从声黑洞效率低的低频区域运输到声黑洞效率高的高频区域,使得低频能量得以在高频段被声黑洞吸收,进而提升黑洞的整体减振性能.

图1

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图1能量传递示意图

Fig. 1Sketch of energy transfer



实现上述假设中能量传递的方法是借助于接触非线性,研究如图2所示的声黑洞梁和接触挡板的碰撞振动模型. 系统由长 度为$L$的声黑洞梁和位于梁下方带有刚性接触点的挡板组成,声黑洞梁在振动过程中可以与挡板上的接触点发生接触并碰撞, 从而产生高频能量. 挡板上的接触点可以水平或者竖直移动,从而控制接触点相对于声黑洞梁的位置$x_{c} $和间隙$g_{c} $. 外部的点激励作用于$x = x_{F} $处.

图2

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图2声黑洞梁与接触挡板的碰撞模型

Fig. 2Model of an ABH beam in contact with a rigid barrier



图示声黑洞梁包含厚度为$h_0 $的均匀区域和在$x \in [x_1 ,\; L]$内的声黑洞区域,在声黑洞区域内,梁的厚度$h_{b} \left( x \right)$随坐标$x$变化,且满足

(1)$$ h_{b} (x) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0 , & x \in [0,x_1 ] \ h_0 \left( {\dfrac{x-x_2 }{x_1-x_2 }} \right)^2 , & x \in [x_1 ,L] \end{array} \right. $$
按照该方程,梁的厚度光滑地下降,直至梁终端$L$处截断,且截断厚度为$h_{t} $. 梁的声黑洞区域均匀的贴有厚度为$h_{l} $阻尼薄层,用以提高整个装置的阻尼性能.

对于上述模型,首先建立实验证明接触碰撞可以实现图1所示的非线性能量传递,然后通过数值方法具体对分析接触非线性对声黑洞 梁能量衰减特性和减振效果的影响.

2 实验验证

2.1 实验装置

实验样本包含一个声黑洞梁和一个标准梁,均为铝材料加工. 标准梁的作用是为了给实验结果提供基础参考,其尺寸参 数为70 cm$\times $20 mm$\times $4 mm,可以预见,该梁的振动为线性的. 与之对照的声黑洞梁具有相同的尺寸参数,不同的是在声黑洞梁的末端20 cm的区域为声黑洞楔面,在该区域内,声黑洞梁的 厚度按照平方规律下降至大约50 $\mu $m的终端厚度. 为保证声黑洞梁的阻尼特性,在声黑洞区域同时粘有厚度约为100 $\mu $m的阻尼薄层.

实验平台如图3所示. 整个系统包含一个振动筛(LDS V201),用于产生使梁振动的驱动力;一个功率放大器(LDS PA25E)用来放 大激励信号;两个力传感器(PCB 208C03),分别用于测量激励点和接触点的力信号;一个加速度计(PCB 352C29)用来测量激励点位置的加速度信号;一个信号采集卡(NI-USB4431)用来采集信号;一个分析及控制计算机,用来驱动 实验和分析数据. 实验试件为标准梁或者声黑洞梁. 实验中,为了避免重力对梁的振动的影响,将梁竖直悬挂在实验平台上,并在上端固定住,声黑洞区域朝下,为自由端. 整个实验装置由Labview驱动,实验信号经收集后导入到Matlab中进行分析和处理. 基于这样的实验装置,在不同的实验条件下采集系统振动响应.

图3

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图3实验装置图

Fig. 3Experimental setup

2.2 实验结果

分别考虑标准梁、有接触的标准梁、声黑洞梁和有接触的声黑洞梁四种情形,测得在^[0500] Hz白噪声激励下激励点加速度信号的小波时频图如图4所示.

未引入接触非线性之前,无论是图4(a)中的标准梁还是图4(c)中的声黑洞梁,能量都只集中在与白噪声激励频段相同低频段,系 统的响应均为线性的. 当接触非线性被引入到系统中时,情况则大为不同. 系统谱图表现出强非线性,同时,由于接触的作用,输入到梁中的低频能量被传递到高频区. 具体地,图4(b)中标准梁有接触的情形,每当接触发生时,一定量的能量都从低频区^[0500] Hz内溅射到高频区,从而使系统的能量在频域内得到重新分布. 这些溅射到高频区的能量随后集中到梁的各阶高频模态附近,形成了图示能量较集中的块状区域. 整个接触碰撞过程从发生到能量被传递到高频区,都是在非常短的时间内完成的,在图中不到1 s的时间内已经发生了多次的碰撞, 并有效地实现了能量的传递. 就响应机制而言,这种快速的能量传递的响应机制是混沌的,每次接触刚发生时,系统的时频图上产生了一条细细的从低频段竖直绵 延到高频段的不间断细线,这表明,在接触时刻,系统的频谱连续分布在所有频段,这体现了极强的非线性特性,证明了这种碰撞的混沌特性.

图4

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图4时频响应图

Fig. 4Time frequency plot



进一步分析图4(d)中声黑洞梁的接触碰撞情形,一样可以明显地观察到因接触非线性引发的能量从低频到高频传递效应,但不同于 图4(b)的是,此时,传递到高频段的能量没有集中到梁的高频模态上,而是迅速的被吸收了,这个吸收如此之快,以至于原来集中到图4 (b)中高频段的红色能量集中区,在下一次接触还未发生之前就被迅速地消耗掉了,从而在两次相邻的接触之间产生了一个能量 空隙,对应在时频图上,能量的分布便形成了一条条垂直分布的能量条,其中每一个能量条都对应了一次声黑洞梁与接触点之间的碰撞接触. 由此对比可以发现声黑洞在高频段的能量吸收效应. 这4个图的对比,从概念上印证了本文的核心思想及本文所考虑的非线性声黑洞减振的主要机理.

为了说明这一点,在图4(d)中截取时间段[0.21 0.29] s 的时间响应绘制图5所示. 图中将加速度信号进行滤波处理,将高频部分记为$a_{h} (t)$,其随时间变化如上方曲线所示,而下方曲线为力传感器测得的接触力信号$f(t)$. 可以明显的看到,接触碰撞和高频 能量的产生有着明显的一一对应关系,每当声黑洞梁与接触点发生接触碰撞,产生碰撞力时,都有一部分高频能量产生. 由于声黑洞在高频段的高效减振性能,这些高频能量随后又迅速被衰减掉,直至下一次接触发生,如此循环往复,经过一次 次的碰撞,高频能量不断的产生并被声黑洞消耗.

图5

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图5高频能量的产生与接触力的关系

Fig. 5Generation of high frequency energy as related to contact force



此外,可以明显地发现,这种能量的传递是高效而稳定的,每次传递过程都于碰撞的瞬间近乎同步实现,并且在短短的0.5 s内发 生了多次碰撞,完成了多次有效的能量传递.

综上我们证实了本文主要猜想,即：受惠于接触非线性,低频振动能量被传递到高频区,借助于声黑洞在高频区的优越减振性能,这 些高频能量被声黑洞迅速有效的吸收. 这里,声黑洞的能量吸收效应和接触非线性的能量传递效应缺一不可.

3 数值模型

3.1 运动方程

研究图 2中声黑洞梁的弯曲振动,令$u\left( {x,t} \right)$为梁的横向位移,由欧拉-伯努利梁理论有

(2)$$ \rho (x)A(x)\dfrac{\partial ^2u}{\partial t^2} + \dfrac{\partial ^2}{\partial x^2}\left( {D(x)\dfrac{\partial ^2u}{\partial x^2}} \right) = p(x,t) + f(x,t) $$
其中,$D\left( x \right) = EI\left( x \right)$为梁的弯曲刚度,$p\left( {x,t} \right)$为作用于$x = x_{F} $处的外部激励,$f\left( {x,t} \right)$表示当梁和挡板上位于$x = x_{ c}$处的接触点发生接触碰撞时产生的接触力. 由于厚度变化和附加阻尼层的影 响,梁的密度$\rho \left( x \right)$,横截面积$A(x)$和弯曲刚度$D\left( x \right)$均表示成了坐标$x$的函数.

对于声黑洞梁在$x = 0$处固支,在$x = L$处自由的情形,梁的边界条件满足

(3)$$ u(0,t) = 0,\left. {\;\dfrac{\partial u}{\partial x}} \right|_{x = 0,t} \mbox{ = }0,\;\;\left. {\dfrac{\partial ^2u}{\partial x^2}} \right|_{x = L,t} = \left. {0,\;\;\dfrac{\partial ^3u}{\partial x^3}} \right|_{x = L,t} = 0 $$
上述则为本文需要研究的基本问题,其具体求解方法会进一步给出.

3.2 阻尼层的等效模型

利用Ross-Ungar-Kerwin模型^{[1,11, 28]}可以给出阻尼层的影响,该模型通过修正材料的弯曲刚度、密度和厚度来实现等效的力学特性.

考虑图2中粘贴在声黑洞区域$[x_1 ,L]$厚度为$h_{l} $的阻尼层,其对弯曲刚度的影响可在频域内进行考虑,引入复数形式的弯曲刚度$D^\ast (x)$如下

(4)$$ D^\ast \left( x \right) = \left\{ \!\! \begin{array}{l} E_{b} I_{b} (x)\left( {1 + {j}\eta _{b} } \right) , \qquad \forall x \in \left[ {0,x_1 } \right] \\ E_{b} I_{b} (x)\Bigg [ \left( {1 + {j}\eta _{b} } \right) + \dfrac{E_{l} }{E_{b} }\left( {\dfrac{h_{l} }{h_{b} (x)}} \right)^3\left( {1 + {j}\eta _{l} } \right) + \\ \qquad \dfrac{3\left( {1 + \dfrac{h_l }{h_{b} (x)}} \right)^2E_{l} h_{l} \left( {1 + {j}\eta _{l} } \right)\left( {1 + { j}\eta _{b} } \right)}{E_{b} h_{b} (x) + E_{l} h_{l} \left( {1 + {j}\eta _{l} } \right)}\Bigg ] , \forall x \in \left[ {x_1 ,L} \right] \end{array}\!\! \right. $$
其中,${j}$为单位复数,$E_{b} $,$I_{b} $和$\eta _{b} $分别为声黑洞梁的杨氏模量、转动惯量和阻尼损耗因子, 而$E_{l} $和$\eta _{l} $表示阻尼层的杨氏模量和阻尼损耗因子. 在此定义下,实弯曲刚度$D$也可以简单的用上述复弯曲刚度 的实部$D\left( x \right) ={Re}\left( {D^\ast \left( x \right)} \right)$计算出.

针对附加阻尼层带来的质量影响,将声黑洞梁的等效密度进行如下修正

(5)$$ \rho \left( x \right) = \left\{ \!\! \begin{array}{ll} \rho _{b} , & \forall x \in \left[ {0,x_1 } \right] \\ \dfrac{\rho _{b} h_{b} (x) + \rho _{l} h_{l} }{h_{b} (x) + h_{l} } , & \forall x \in \left[ {x_1 ,L} \right] \end{array} \right. $$
其中,$\rho _{b} $和$\rho _{l} $分别表示声黑洞梁和阻尼层的材料密度. 同时,梁的厚度等效为

(6)$$ h\left( x \right) = \left\{ \!\! \begin{array}{ll} h_{b} (x) , & \forall x \in [0,x_1 ] \\ h_{b} (x) + h_{l} , & \forall x \in [x_1 ,L] \end{array} \right. $$
对于宽为$b$、等效厚度为$h(x)$的矩形梁,其等效横截面积表示为$A(x) = bh(x)$.

3.3 碰撞接触力的模型

考虑梁和挡板上接触点之间接触碰撞的力学模型. 显然,接触力$f\left( {x,t} \right)$的形式必须保证在梁和挡板间的间隙消失发生接触碰撞时,产生一个很强的局部非光滑作用力^[35-36]. 本文采用Hertzian接触模型,基于梁和接触点之间的渗透位移来构建接触力. 设$g(x)$为接触点的高度,$\eta (x,\;t) = g(x)-u(x,\;t)$表示接触点和梁对应位置处的距离. 则依据Hertzian接触模型^{[31, 37-38]},接触力有如下的形式

(7)$$ f\left( {x,t} \right) = K\left[ {\eta \left( {x,t} \right)} \right]_ + ^\alpha $$
其中,$[\eta ]_ + = (\eta + \left| \eta \right|) / 2$,符号$[\eta ]_ + $用来表示$\eta $的正数部分. 根据上式,当$\eta < 0$时,声黑洞梁和接触点未发生接触,接触力为0;当$\eta > 0$时,接触点渗透到梁的内部,并产生一个很小的渗透位移$\eta $,接触力按照式(7)中的幂函数规律计算. 有接触力时,接触力的大小取决于接触刚度$K \geqslant 0$和幂数$\alpha > 1$,这两个参数与材料的弹性特性和接触体几何形状有关,一般通过实验测量或者经验来选取, 详见文献^[39]. 就本文的情形,为使足够小的渗透位移能产生足够的接触碰撞力,接触刚度必须足够大,对刚性接触而言,通常取$K_{ c }= 10^{7}\sim 10^{13}$ N$\cdot $m$^{-\alpha }$. 对于点接触,幂数$\alpha $通常取$\alpha = 1.5$.

通过式(7)可以自然地诱导出势能函数$\psi \left( {x,t} \right)$

(8)$$ f\left( {x,t} \right) = \dfrac{\partial \psi }{\partial \eta } , \ \ \psi \left( {x,t} \right) = \dfrac{K}{\alpha + 1}\left[ \eta \right]_ + ^{\alpha + 1} $$
基于上式,可以计算系统的总能量,从而给出具有良好能量守恒特性的数值方法.

Hertzian接触模型未考虑接触时的能量损耗,对于考虑接触摩擦或者接触阻尼的接触力模型可参考文献^{[37, 40]}. 在本文中,我们仅讨论无能量耗散的接触碰撞.

3.4 模态——有限差分法

振动方程的求解采用的是模态——有限差分法. 首先利用有限差分法计算保守系统的特征值问题,然后进行模态展开^[41]求解模态振动方程.

声黑洞梁的厚度随着位置变化,无法简单给出系统各阶模态振型和特征值的解析形式,模态特征值问题因而采用有限差分法进行求解. 另一方面,在有限差分法中,网格划分是影响求解精度的重要指标,而声黑洞区域梁的厚度变化会使弯曲波波长发生变化,这时若采用一般的网格不仅会带来极大的计算困难也会产生严重的数值弥散,因此需要使用合理的网格划分以适应弯曲波波长的变化.

针对上述问题,引入坐标变换^{[11, 28, 42]},然后求解系统在新坐标表示下的振动方程. 具体地,将物理坐标系$x \in [0,\;L]$映射到新的网格坐标$\lambda \in [0,\;1]$上. 同时,定义$\lambda $与$x$之间一对一的可逆映射以适应弯曲波波长的变化

(9)$$ \lambda (x) = \dfrac{1}{\bar {X}}\int_0^x {\dfrac{1}{\sqrt {h\left( \theta \right)} }} d\theta $$
其中$\;\bar {X} = \int_0^L {1/{\sqrt {h\left( \theta \right)} }} d\theta $,于是可得在新坐标系下的偏导数

(10)$$ \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial u}{\partial \lambda }\dfrac{\partial \lambda }{\partial x} = \dfrac{h^{-1 / 2}}{\bar {X}}\dfrac{\partial u}{\partial \lambda } $$
引入坐标变换后,网格的划分在坐标 $\lambda $ 仍然为均匀的. 为了获得在坐标系$\lambda $下的振动方程,记$\lambda _l = l\Delta _\lambda $,其中$l =1,2,\cdots, N_{\lambda }$为网格指数,$\Delta _\lambda = 1 / N_\lambda $为空间步长. 于是,方程(2)中所有与位置$x$相关的变量均可在新网格体系下进行表示并离散化,如$D_l = D\left( {\lambda _l } \right)$,$\rho _l = \rho \left( {\lambda _l } \right)$等等. 在这样的网格下,方程(2)中空间二阶偏导数有如下近似

(11)$$ \dfrac{\partial ^2u}{\partial x^2} \approx \delta _\Delta u = \dfrac{h_l^{-1 / 2} }{\bar {X}^2}\delta _ + \left[ {\left( {\mu _-h_l^{-1 / 2} } \right)\delta _-u_l } \right] $$
其中, $\delta _\Delta $表示离散形式的二阶偏微分算子,$\delta _ + $和$\delta _-$分别为向前和向后微分算子,分别定义为$\delta _ + u = {\left( {u_{l + 1}-u_l } \right)} / {\varDelta _\lambda }$和$\delta _-u = {\left( {u_l-u_{l-1} } \right)} / {\varDelta _\lambda }$;$\mu _-$表示均值算子,定义为$\mu _-u = {\left( {u_l + u_{l-1} } \right)} /2$. 这种 选取微分算子的方法可以使得系统的能量在数值计算的过程中守恒,因此具有很好的稳定性和收敛特性.

将振动位移写成$u(x,\;t) = \varphi (x){e}^{{j}\omega t}$的形式,并对$\varphi (x)$进行离散化$\varphi _l = \varphi (\lambda _l )$,最终得到关于网格位置$l$和未知函数$\phi _l $的特征值问题如下

(12)$$ \delta _\Delta \left( {D_l \delta _\Delta \varphi _l } \right)-\rho _l A_l \omega ^2\varphi _l = 0 $$
以及满足如下离散的边界条件

(13)$$ u_0 = u_1 = 0 , \ \ \delta _\Delta u_N = \delta _\Delta u_{N-1} = 0 $$
代入边界条件后,方程(12)需进行两次求解. 第一次求解给出了无阻尼情形下的各阶模态的振型函数$\varphi _k \left( x \right)$和模态频率$\omega _k $,其中$k = 1,\;2,\; \cdots ,\;N_{m} $,$N_{m}$为选取的总模态数. 对于上述特征值的求解,使用实弯曲刚度$D$,以及方程(5)中的密度函数$\rho $和方程(6)中的厚度$h$.

方程(12)的第二次求解目的是为了确定阻尼项的影响. 具体地,使用式(4)中的复弯曲刚度代入式(12),可求得复数形式的各阶模态频率$\omega _k^\ast $,该值与前述第一次求解的$\omega _k $满足如下关系

(14)$$ {j}\omega _k^ \star = \omega _k \left( {-\xi _k \pm {j}\sqrt {1 -\xi _k^2 } } \right) $$
由此便求得了系统的每阶模态阻尼比$\xi _k $.

求得系统的各项模态系数之后,按照一般模态求解法的基本步骤,首先将声黑洞梁的位移$u\left( {x,\;t} \right)$进行如下分解

(15)$$ u(x,t) = \sum_{k = 1}^{N_{m} } {\varphi _k (x)q_k (t)} $$
其中,$q_k \left( t \right)$和$\varphi _k \left( x \right)$分别为$k$阶模态坐标和模态函数. 任给两个模态函数$\varphi _k \left( x \right)$和$\varphi _p \left( x \right)$,它们依照梁的质量满足如下的正交关系

(16)$$ \int_0^L {\rho \left( x \right)A\left( x \right)\varphi _k \left( x \right)\varphi _p \left( x \right)} dx = \delta _{kp} $$
这里,$\delta _{kp} $为克罗里克函数.

将式(15)代入方程(2)中,同时利用式(16)的正交关系,可以得到各阶模态的振动方程

(17)$$ \ddot {q}_k + 2\xi _k \omega _k \dot {q}_k + \omega _k^2 q_k = p_k + f_k $$
其中,$\dot {q}_k ,\;\ddot {q}_k $为模态坐标相对于时间的一阶和二阶导数,$\omega _k $和$\xi _k $为前面算得的模态频率和模态阻尼比,$p_k $和$f_k $分别表示外部激励和接触力在各阶模态上的投影,二者分别满足$p_k = \int_0^L {p\left( {x,t} \right)\varphi _k \left( x \right)} dx$,和$f_k = \int_0^L {f\left( {x,t} \right)\varphi _k \left( x \right)} dx$.

数值求解的最后一步是对式(17)进行积分,过程中要特别考虑非线性接触力的影响,其具体方法于下一小节给出.

3.5 时域积分

时域积分算法参考文献^[38]中研究弹性弦的振动所采用的算法, 以及文献^[42,43,44]对于模态法求解振动方程的研究. 本文用来处理声黑洞梁接触碰撞问题,这里仅给出主要步骤,读者可在 文献^[38]中找到完整的描述. 对无接触情形,该方法可求得系统振动的精确解,在处理碰撞振动问题时,可以在空间内很方便地表示出保守的接触势能, 从而保证了能量的守恒和计算的稳定性.

由于接触力仅在接触点的位置存在,且接触点的位置$x = x_{c} $已知. 在不影响精度的条件下,仅需计算接触点和激励点出的振动,从而节省计算量. 令${\pmb X} = [x_{F} ,\;x_{c} ]$表示由激励点$x_{F }$和接触点$x_{c } $组成的坐标矢量. 对时间变量$t$进行离散化,使得$t = n\Delta t$,$\Delta t$为步长而$n$为当前步数. 进一步,令${\pmb u}^n = u\left( { {\pmb X}, n\Delta t} \right)$表示梁的振动位移在坐标${\pmb X}$处和时间$t = n\Delta t$时的值. 根据式(15)不难得到${\pmb u}^n ={\pmb S \pmb q}^n$,其中${\pmb q}^n = [q_1 (n\Delta t), \cdots ,q_{N_m } (n\Delta t)]^{ T}$为各阶模态幅值组成的矢量,${\pmb S}$为$2\times N_{m} $阶模态矩阵,其各阶元素为${\pmb S}_{ij} = \varphi _j ({\pmb X}_i )$.

实现位移矢量从当前时刻${\pmb u}^n$到下一时刻${\pmb u}^{n + 1}$的更新,可利用关系${\pmb u}^{n + 1} = {\pmb S}{\pmb q}^{n + 1}$直接从前两时刻的模态振幅${\pmb q}^n$和${\pmb q}^{n-1}$计算得到.

(18)$$ {\pmb u}^{n + 1} ={\pmb S}{\pmb C}{\pmb q}^n-{\pmb S}\tilde {\pmb C}{\pmb q}^{n-1} + \Delta t^2{\pmb S}{\pmb S}^{T}\left( {{\pmb p}^n + {\pmb f}^n} \right) $$
在这个方程中, ${\pmb p}^{n}$和${\pmb f}^{n}$分别为外部激励和接触力在时间步数$n$时的矢量. ${\pmb C},\;\widetilde{{\pmb C}}$为两个对角阵,分别定义为

(19)$$ \left. C_{kk} = {e}^{-\omega _k \xi _k \Delta t}\left( {{e}^{\omega _k \sqrt {\xi _k^2-1} \Delta t} + {e}^{-\omega _k \sqrt {\xi _k^2-1} \Delta t}} \right) \\ \tilde {C}_{kk} ={e}^{-2\omega _k \xi _k \Delta t} \!\!\right\} $$
在无接触情形下,上述方程可以获得系统振动方程的精确解.

最后,方程(18)中的接触力${\pmb f}^{ n}$按下式计算

(20)$$ {\pmb f}^{ n} = \dfrac{\psi ({\pmb \eta }^{n + 1})-\psi ({\pmb \eta }^{n-1})}{{\pmb \eta }^{n + 1}-{\pmb \eta }^{n-1}} $$
这保证了算法较好的能量守恒特性^{[37- 38]}. 该方法具有二阶收敛速度,式(18)中含有隐式变量,求解时通过牛顿-辛普森迭代来得获得数值解.

4 仿真结果

选取如表1所示的梁及附加阻尼层的参数. 在表中,若仅使用第一列的参数,则定义了一个标准梁,该标准梁可用作参考梁以分析声黑洞效应和接触非线性的影响;若使用全部三列的参数,则定义了声黑洞梁.

Table 1
表1
表1声黑洞梁的参数选取
Table 1Parameters for the ABH beam

新窗口打开|下载CSV

针对表1中给定的梁,首先进行收敛性分析确定仿真参数,然后对比无接触时声黑洞梁和标准梁的阻尼特性,最后分析接触非线性的影响.

4.1 收敛性验证

数值解的准确性依赖于3个核心参数：有限差分过程中的网格点数$N_\lambda $,模态分解过程中保留的模态阶数$N_{m} $,和时域积分的采样频率$f_{s}=1/\Delta t$. 本节目的是确定这几个参数对模型收敛特性的影响,从而合理的选取仿真所需的参数以保证结果的准确性.

任意给定一个当前变量$S_{c} $,该变量相对与某个参考变量$S_0 $的相对$L^2$误差由下式定义

(21)$$ R = \dfrac{\left\| {S_{c}-S_0 } \right\|}{\left\| {S_0 } \right\|} $$
其中, $\left\| \cdot \right\|$表示$L^2$范数. 当相对误差足够小的时候,则称当前变量收敛到其参考变量. 特别地, 对于一个具体的误差值$R$,则称当前变量$S_{c} $相对误差范围$R$内收敛于$S_0 $.

首先取前75阶模态特征值作为研究对象,改变网格点数,分别以$N_\lambda $从120增大至2000时计算得的结果作为当前变量$S_{c }$,以$N_\lambda = 3000$时的计算结果作为参考变量$S_0 $,得到依照网格点数增加时的收敛结果如图6(a)所示.

随着网格点数的增大,无论是特征频率还是特征阻尼都快速收敛,二者表现出相似收敛趋势. 模态角频率$\omega $的收敛精度始终高 于模态阻尼$\xi $,这是由于模态频率的计算只涉及到单次特征值问题的求解,而模态阻尼的获取还依赖于再次计算,因此收敛误差也相应较大. 当网格增至$N_\lambda = 2000$时,前75阶模态的角频率$\omega $和模态阻尼$\xi $分别收敛到0.2%和4%,已具备足够的精度. 另一方面,第75阶模态频率的值为$f_{75} = \omega _{75} / 2 {\pi } \approx 53$ kHz也足够本文对高频振动的刻画.

系统在接触时会表现出强非线性的特征,接触碰撞几乎瞬间使系统的状态发生变化,为此,在对系统进行数值求解的时候,采样频率 的选取就显得尤为重要. 按照同样的方法,取梁在幅值1N的全频白噪声作用于激励点$x_{F}= 24$ cm下的响应,以激励点前1 s的位移响应作为研究对象. 改变采样频率,分别以$f_{s}$从10 kHz增大至$2^9\times 10$ kHz时的仿真结果当前变量$S_{c} $,以$f_{s } = 2^{10}\times 10$ kHz 时的结果作为参考变量$S_0 $. 在不同刚度情形下得到激励点处位移响应随采样频率增大的收敛结果如图6(b)所示.

图6

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图6收敛性结果

Fig. 6Convergence results



在不同刚度时,系统的时域响应都随采样频率增大逐渐收敛,收敛的速度受刚度影响,在刚度较小时,接触的刚性不强,收敛较快, 而在刚度较大的情形如$K_{c} = 10^{11}$时,接触碰撞的刚性非常强,收敛相对困难. 最后,当采样频率增大到兆赫兹数量级时,系统的时间响应已经可以在刚度很大的时候也能收敛到满意的结果,均衡计算成本和收 敛精度,可取$f_{s}= 2.56$ MHz.

综上,取$N_\lambda = 2000$,$N_{m} = 75$和$f_{s} = 2.56$ MHz来进行本文后续的仿真.

4.2 无接触情形：线性特性

考察声黑洞梁的线性特性,由图7(a)中声黑洞梁和标准梁之间的模态参数的对比可见,声黑洞梁的各阶模态阻尼比标准梁扩大了10~20倍,阻尼性能显著提升. 但在最开始的几阶低频模态,声黑洞梁的模态阻尼比与标准梁几乎相同,阻尼性能未得到较好的改善. 图7(b)绘制了声黑洞梁和标准梁在激励点处的点导纳,可看到在中高频段,声黑洞梁的峰值要明显低于标准梁,曲线且更加平缓. 而在低于500 Hz的频段则减振效果不明显. 这里,声黑洞梁的截断频率大约500 Hz左右.

上述对比说明了声黑洞结构的典型特征,其在高频段效果显著,而在低频段性能欠佳. 本文研究的目的就是利用接触非线性,将能量从低频段传递到高频段,进而改善声黑洞的低频性能.

图7

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图7标准梁和ABH梁线性特性

Fig. 7Liner property of the uniform and ABH beam

4.3 接触非线性的影响

现在,研究接触非线性对声黑洞梁减振效果的影响,我们从能量耗散的角度考虑冲击载荷作用下的声黑洞 梁的时域衰减特性. 于是,方程(2)中外部激励可写成$p(x,\;t) = \delta (x-x_{F} )r(t)$的形式,其中$\delta (x-x_{F})$为狄拉克$\delta $函数,而$r(t)$为冲击的时间信号,用如下的余弦上升函数表示

(22)$$r(t) = \left\{ \begin{array}{ll} {\dfrac{A}{2}\left[ {1 + \cos \left( {\dfrac{\pi (t-t_0 )}{T_{w} }} \right)} \right] ,} & {\forall \vert t-t_0 \vert \leqslant T_{w} } \\ {0 ,} & {\forall \vert t-t_0 \vert > T_{w} } \end{array} \right.$$
式中, $t_0 $为冲击载荷达到最大值$A$的时刻,$T_{w} $为时间宽度,表示信号从0上升到幅值$A$所需要的时间. 对时间宽度为$T_w $的信号,能量主要集中在$[0,\;1 / T_{w}]$的频率范围内.

选取激励位置$x_{F} = 24$ cm,并选取冲击载荷时间宽度$T_{w} = 2$ ms,幅值$A =5$ N,$t_{0} = 0.01$ s,则该冲击信号的能量主要集中在^{[0, 500]} Hz的低频区,选取接触刚度为$K_{c} = 10^{9}$,接触点位置$x_{c} = 48$ cm, 初始间隙$g_{c} = 0$进行仿真,可得到激励点处位移信号的速度频谱、时间响应和能量衰减如图8所示. 图中对比了4种情形：标准梁、声黑洞梁、有接触标准梁、有接触声黑洞梁.

由图8(a)的频谱对比可知：无接触时,声黑洞梁和标准梁的响应均为线性的. 系统的能量主要集中在低频段,声黑洞梁在低频段的峰值响应与标准梁很接近;而在高频段,声黑洞梁的共振峰值则大大低于标准梁. 有接触时,无论是标准梁还是声黑洞梁都有两个明显的变化,一是能量被传递到高频段,高频能量显著增大,二是低频的共振峰值明显的降低. 在高频段,声黑洞梁的谱图明显低于标准梁,这表明声黑洞梁对传递到高频段的能量有更好的抑制效果. 考察这种能量传递对系统时域衰减特性的影响,从图8(b)的时间响应可知,四种情形中,含接触非线性的声黑洞梁振动迅速衰减,减振效果最好.

图8

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图8激励点处信号的响应

Fig. 8Response at the excited point



为更进一步对比4种情形下的能量衰减特性,图8 (c)中引入了能量衰减参数$E_\sigma $,对任意一个给定时间$\tau > 0$,其定义为

(23)$$ E_\sigma = \dfrac{\int_\tau ^{T_{f} } {u(x_{F} ,\;t)^2dt} }{\int_0^{T_{f} } {u(x_{F} ,\;t)^2 dt} } , \ \ \forall \tau \in [0,\;T_{f} ] $$
其中,$u(x_{F} ,\;t)$为激励点的位移响应,$T_{f}$为信号的采集时长.

无接触时,标准梁和声黑洞梁有几乎相同的衰减,且衰减都很缓慢,仅仅依靠声黑洞的作用无法实现有效的减振性能. 有接触碰撞时,标准梁和声黑洞梁能量的衰减显著加快. 在接触非线性的作用下,能量得以传递到高频区,更好地发挥了梁在各个频段的阻尼性能,能量消耗也随之加快,即使在标准梁中,也可以达到较好的减振效果. 这种加快作用在声黑洞梁中更为明显,声黑洞梁和标准梁之间的能量衰减差距被拉大,有接触声黑洞梁达到最好的减振效果.

为证明这种提升是由于声黑洞吸收了通过接触碰撞传递到高频区的能量导致的,可分别考虑低频和高频振动能量的时域衰减特性. 将原始信号分为两部分,第一部分为低频信号,通过低通滤波器获得原始信号在低频段[0 \ \ 500] Hz的部分. 第二部分为高频信号,采用高通滤波器筛选出信号在500 Hz以上的部分. 上述低频和高频信号的能量衰减分别在前述4种情况下进行了对比,结果见于图9.

图9

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图9低频、高频信号能量衰减图

Fig. 9Energy decay of low and high frequency signals



图9(a)和图9(b)中系统无接触,不存在能量传递,主要的振动能量集中在低频段. 标准梁和声黑洞梁在低频段的能量衰减几乎相同, 且低频段能量耗散缓慢. 声黑洞梁在高频段的能量衰减特性要显著优于标准梁,高频能量迅速衰减到很低的比率. 另外,无论是标准梁还是声黑洞梁,其高频能量衰减的速度都要快于低频能量.

对比图9(c)和图9(a),由于接触的作用,标准梁中低频能量和高频能量的衰减相互靠近,总的能量衰减速率也更快. 对比图9(d)和图9(b)中的声黑洞梁也能得到相同的结论. 最后比较图9(d)和图9(c)中高频信号的局部放大图可知,虽然在标准梁中也存在能量传递,但是产生的高频能量并没有很快的衰减掉,高频能量有一定的积累;而在声黑洞梁中,传递到高频段的能量并没有逐渐积累,而是被迅速衰减,这是得益于声黑洞在高频段的高效减振性能. 因此,结合接触碰撞和声黑洞效应可以使系统达到更好的能量衰减效果,其机理是经过一次次的碰撞,能量从低频传递到高频,最终全部被声黑洞吸收. 注意到随着时间的延长,衰减速度减缓的情况,这是因为能量逐渐衰减,梁的振动衰减到很低的水平,此时因接触而产生的能量传递也相对逐渐减弱.

接下来分析接触参数的影响. 显然,接触碰撞过程最重要的参数是接触刚度,它直接影响了接触非线性的强度. 在不同接触刚度条件下,绘制声黑洞梁的能量衰减曲线如图10所示. 接触刚度越大能量衰减的速度也就相对越快,这显然是与我们的预期相符的. 这种提升在刚度增大到$K_{c} = 10^9$之后趋于稳定.

取前1 s内能量衰减的平均速率作为指标,分析接触点位置和接触点与梁的初始间隙对能量衰减带来的影响,绘制不同接触点位置 和初始间隙情形下的衰减速率如图11所示. 在无初始间隙时,观察蓝色曲线可知,接触点位置有着重要的影响,在接触点位置4,7,8,9处有着较好的能量衰减而在接触点位置1,2,3,5,6 处则能量衰减不够好,图中接触点$x_{c} $的位置1$\sim $ 6分别位于16 cm,32 cm,40 cm,48 cm,56 cm和64 cm,处于声黑洞梁的均匀厚度区域,7$\sim $9分别位于 72 cm,74 cm和76 cm,为声黑洞梁的厚度下降区域. 总的来说当接触点位于声黑洞的厚度下降区域时,效果相对较好. 接触间隙的存在降低了能量衰减速率,间隙越大能量衰减的越慢,而无间隙时,系统的能量衰减的最快,这表明接触的间隙需要尽量的小. 这个原因也很简单,当有间隙时,声黑洞梁与接触点发生接触的机会变少,且接触的非线性强度也相应减弱,这都直接影响了能量 向高频段的传递能力,从而影响了整体的减振性能.

图10

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图10不同接触刚度下的能量衰减

Fig. 10Energy decay compared among different contact stiffness

图11

新窗口打开|下载原图ZIP|生成PPT
图11能量衰减速率和接触点位置及初始间隙的关系

Fig. 11Energy decay velocity in variation of contact point position and initial gap

5 结论

本文针对声黑洞结构在高频段减振效果显著而低频段性能欠佳的问题. 提出了利用接触非线性将能量从低频段传递到高频段的想法,旨在提升声黑洞的总体减振性能. 为此,研究了一个声黑洞梁和刚性挡板接触碰撞的振动模型.

实验结果证实,接触碰撞提供了一种高效而强有力的非线性机制,极大地改变了梁的振动能量在频域内的分布,从而实现了能量从低频到高频的传递. 这种传递高效而迅速,伴随着每一次接触碰撞,都会有一部分高频能量产生,随后被声黑洞迅速消耗.

数值分析表明,这种能量传递进一步提升了声黑洞梁的整体减振性能. 引入接触非线性之后,能量衰减速率显著加快,声黑洞梁可不再受截断频率的限制,充分利用其在高频段的优秀阻尼特性,而将振动能量传递到高频区迅速消耗. 接触碰撞时能量传递的效率与接触刚度、接触点位置和初始间隙等参数有关. 这种非线性机理使声黑洞得以扬长避短,大大提升了其在低频段的减振性能. 需要强调的是,这种提升在传统的线性声黑洞设计中是无法实现的.

利用接触非线性实现能量传递为声黑洞的优化和设计提供了新思路. 这种减振方式得益于声黑洞的能量吸收效应和接触碰撞带来的能量传递,后续的优化也可分别从这两个方面进行考虑.

参考文献 View Option 原文顺序
文献年度倒序
文中引用次数倒序
被引期刊影响因子

[1] Ross D, Ungar EE, Kerwin EM . Damping of plate flexural vibrations by means of viscoelastic laminae
Structural Damping, 1959: 49-97
[本文引用: 2]

[2] 欧进萍 . 结构振动控制. 北京: 科学出版社, 2003: 1-12
[本文引用: 1]

( Ou Jinping . Structure Vibration Control. Beijing: Science Press, 2003: 1-12(in Chinese))
[本文引用: 1]

[3] Den Hartog JP . Mechanical Vibrations
. New York: McGraw-Hill, 1934
[本文引用: 1]

[4] 邹广平, 张冰, 吕忠良 等. 弹簧-金属丝网橡胶组合减振器迟滞力学模型及实验研究
力学学报, 2018,50(5):1125-1134


( Zou Guangping, Zhang Bing, Chang Zhongliang , et al. Hysteresis mechanical model and experimental study of spring metal-net rubber combination damper
Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018,50(5):1125-1134(in Chinese))


[5] Krenk S, Hogsberg J . Tuned mass absorber on a flexible structure
Journal of Sound and Vibration, 2014,333:1577-1595
DOIURL [本文引用: 1]

[6] 季宏丽, 黄薇, 裘进浩 等. 声学黑洞结构应用中的力学问题
力学进展, 2017,47:333-384
[本文引用: 1]

( Ji Hongli, Huang Wei, Qiu Jinhao , et al. Mechanics problems in application of acoustic black hole structures
Advances in Mechanics, 2017,47:333-384(in Chinese))
[本文引用: 1]

[7] Mironov MA . Propagation of a flexural wave in a plate whose thickness decreases smoothly to zero in a finite interval
Soviet Physics: Acoustics, 1988,34(3):318-319
[本文引用: 1]

[8] Krylov VV, Tilman FJBS . Acoustic black holes for flexural waves as effective vibration dampers
Journal of Sound and Vibration, 2004,274(3-5):605-619
DOIURL [本文引用: 1]

[9] Tang L, Cheng L, Ji H , et al. Characterization of acoustic black hole effect using a one-dimensional fully-coupled and wavelet-decomposed semi-analytical model
Journal of Sound and Vibration, 2016,374:172-184
DOIURL [本文引用: 1]

[10] Georgiev VB, Cuenca J, Gautier F , et al. Damping of structural vibrations in beams and elliptical plates using the acoustic black hole effect
Journal of sound and vibration, 2011,330(11):2497-2508
DOIURL [本文引用: 1]

[11] Denis V, Pelat A, Gautier F , et al. Modal overlap factor of a beam with an acoustic black hole termination
Journal of Sound and Vibration, 2014,333(12):2475-2488
DOIURL [本文引用: 3]

[12] O'Boy DJ, Krylov VV, Kralovic V . Damping of flexural vibrations in rectangular plates using the acoustic black hole effect
Journal of Sound and Vibration, 2010,329(22):4672-4688
DOIURL [本文引用: 1]

[13] Deng J, Zheng L, Zeng P , et al. Guasch. Passive constrained viscoelastic layers to improve the efficiency of truncated acoustic black holes in beams
Mechanical Systems and Signal Processing, 2018,118:461-476


[14] Shepherd MR, McCormick CA, Conlon SC , et al. Modeling and optimization of acoustic black hole vibration absorbers
The Journal of the Acoustical Society of America, 2017,141(5):4034


[15] Tang L, Cheng L . Enhanced acoustic black hole effect in beams with a modified thickness profile and extended platform
Journal of Sound and Vibration, 2017,391:116-126
DOIURL [本文引用: 1]

[16] Conlon SC, Fahnline JB, Semperlotti F . Numerical analysis of the vibroacoustic properties of plates with embedded grids of acoustic black holes
The Journal of the Acoustical Society of America, 2015,137(1):447-457
DOIURL [本文引用: 1]

[17] Lee JY, Jeon W . Vibration damping using a spiral acoustic black hole
The Journal of the Acoustical Society of America, 2017,141(3):1437-1445
DOIURL [本文引用: 1]

[18] Huang W, Ji H, Qiu J , et al. Analysis of ray trajectories of flexural waves propagating over generalized acoustic black hole indentations
Journal of Sound and Vibration, 2018,417:216-226
DOIURL [本文引用: 1]

[19] Huang W, Qiu J, Cheng L . Flexural wave focalization in plates with imperfect two-dimensional acoustic black hole
//INTER-NOISE and NOISE-CON Congress and Conference Proceedings, 2016
[本文引用: 1]

[20] 黄薇, 季宏丽, 裘进浩 等. 二维声学黑洞对弯曲波的能量聚集效应
振动与冲击, 2017,36(9):51-57
[本文引用: 1]

( Huang Wei, Ji Hongli, Qiu Jinhao , et al. Energy focusing effect of Two-dimensional acoustic black hole on flexural waves
Journal of Vibration & Shock, 2017,36(9):51-57(in Chinese))
[本文引用: 1]

[21] Zhao L, Conlon SC, Semperlotti F . Broadband energy harvesting using acoustic black hole structural tailoring
Smart Materials and Structures, 2014,23(6):065021
DOIURL [本文引用: 1]

[22] Krylov VV, Winward RETB . Experimental investigation of the acoustic black hole effect for flexural waves in tapered plates
Journal of Sound and Vibration, 2007,300(1-2):43-49
DOIURL [本文引用: 1]

[23] Bowyer EP, O'Boy DJ, Krylov VV , et al. Experimental investigation of damping flexural vibrations in plates containing tapered indentations of power-law profile
Applied Acoustics, 2013,74(4):553-560
DOIURL

[24] Feurtado PA, Conlon SC . An experimental investigation of acoustic black hole dynamics at low, mid, and high frequencies
Journal of Vibration and Acoustics, 2016,138(6):061002
DOIURL

[25] Bowyer EP, O'Boy DJ, Krylov VV , et al. Effect of geometrical and material imperfections on damping flexural vibrations in plates with attached wedges of power law profile
Applied Acoustics, 2012,73(5):514-523
DOIURL

[26] Denis V, Gautier F, Pelat A , et al. Measurement and modelling of the reflection coefficient of an acoustic black hole termination
Journal of Sound and Vibration, 2015,349:67-79
DOIURL [本文引用: 1]

[27] Aklouche O, Pelat A, Maugeais S , et al. Scattering of flexural waves by a pit of quadratic profile inserted in an infinite thin plate
Journal of Sound and Vibration, 2016,375:38-52
DOIURL [本文引用: 1]

[28] Denis V, Pelat A, Touzé C , et al. Improvement of the acoustic black hole effect by using energy transfer due to geometric nonlinearity
International Journal of Nonlinear Mechanics, 2017,94:134-145
DOIURL [本文引用: 3]

[29] Boudaoud A, Cadot O, Odille B , et al. Observation of wave turbulence in vibrating plates
Physical Review Letters, 2008,100(23):234-504
[本文引用: 1]

[30] Ducceschi M, Cadot O, Touzé C , et al. Dynamics of the wave turbulence spectrum in vibrating plates: A numerical investigation using a conservative finite difference scheme
Physica D Nonlinear Phenomena, 2014, 280-281(7):73-85
DOIURL [本文引用: 1]

[31] Ibrahim RA . Vibro-impact dynamics: Modeling, mapping and applications, volume 43
Springer Science & Business Media, 2009
[本文引用: 2]

[32] Lamarque CH, Gendelman OV, Savadkoohi AT , et al. Targeted energy transfer in mechanical systems by means of non-smooth nonlinear energy sink
Acta Mechanica, 2011,221(1-2):175-200
DOIURL [本文引用: 1]

[33] Gourc E, Michon G, Séguy S , et al. Targeted energy transfer under harmonic forcing with a vibro-impact nonlinear energy sink: Analytical and experimental developments
Journal of Vibration and Acoustics, 2015,137(3):031008
DOIURL

[34] Pennisi G, Stephan C, Gourc E , et al. Experimental investigation and analytical description of a vibro-impact NES coupled to a single-degree-of-freedom linear oscillator harmonically forced
Nonlinear Dynamics, 2017,88(3):1769-1784
DOIURL [本文引用: 1]

[35] 王嗣强, 季顺迎 . 考虑等效曲率的超二次曲面单元非线性接触模型
力学学报, 2018,50(5):1081-1092
[本文引用: 1]

( Wang Siqiang, Ji Shunying . Non-linear contact model for super-quadric element considering the equivalent radius of curvature
Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018,50(5):1081-1092(in Chinese))
[本文引用: 1]

[36] 王东, 徐超, 胡杰 等. 连接结构接触界面非线性力学建模研究
力学学报, 2018,50(1):44-57
[本文引用: 1]

( Wang Dong, Xu Chao, Hu Jie , et al. Nonlinear mechanics modeling for joint interface of assembled structure
Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018,50(1):44-57(in Chinese))
[本文引用: 1]

[37] Bilbao S, Torin A, Chatziioannou V . Numerical modeling of collisions in musical instruments
Acta Acustica United with Acustica, 2015,101(1):155-173
DOIURL [本文引用: 3]

[38] Issanchou C, Bilbao S, Le Carrou JL , et al. A modal-based approach to the nonlinear vibration of strings against a unilateral obstacle: Simulations and experiments in the pointwise case
Journal of Sound and Vibration, 2017,393:229-251
DOIURL [本文引用: 4]

[39] Goldsmith W . Impact
Courier Corporation, 2001
[本文引用: 1]

[40] Hunt K, Crossley F . Coefficient of restitution interpreted as damping in vibro-impact
Journal of Applied Mechanics, 1975,42(2):440-445
DOIURL [本文引用: 1]

[41] 孙攀旭, 杨红, 吴加峰 等. 基于频率相关黏性阻尼模型的复模态叠加法
力学学报, 2018,50(5):1185-1197
[本文引用: 1]

( Sun Panxu, Yang Hong, Wu Jiafeng , et al. Complex mode superposition method based on frequency dependent viscous damping model
Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2018,50(5):1185-1197(in Chinese))
[本文引用: 1]

[42] Bilbao S . Numerical sound synthesis: finite difference schemes and simulation in musical acoustics
John Wiley & Sons, 2009
[本文引用: 2]

[43] Chatziioannou V, van Walstijn M . Energy conserving schemes for the simulation of musical instrument contact dynamics
Journal of Sound and Vibration, 2015,339:262-279
DOIURL [本文引用: 1]

[44] van Walstijn M, Bridges J . Simulation of distributed contact in string instruments: A modal expansion approach
//Signal Processing Conference (EUSIPCO), 2016 24th European, IEEE, 2016: 1023-1027
[本文引用: 1]