螺栓连接作为先进复合材料结构的主要连接形式和传力枢纽，同时也是结构的薄弱环节，决定着整体结构的承载能力及安全性、可靠性[1-4]。然而，从材料到结构级别的众多不确定的设计参数，如材料性能、纤维铺设角度、几何参数、装配参数等，导致复合材料螺栓连接力学性能具有较大的分散性[2, 5-6]。在传统的确定性设计中，通过设置较大的安全系数来保证连接结构的安全性和可靠性。然而这种低效率的设计使得整体结构质量增加，即先进复合材料的减重优势被大大削弱。因此，建立基于可靠性的设计和分析方法对于提高先进复合材料的应用效率具有重要意义。
在过去十年中，研究者开展了复合材料螺栓连接结构力学性能的可靠性分析。少数研究者通过将静强度试验和统计分析方法结合分析螺栓连接强度的概率特性及结构可靠性[7-9]。还有研究者将渐进损伤方法[10-16]、特征曲线方法[17]、强度包线法[18]这3种螺栓连接静强度预测方法与统计分析方法结合进行螺栓连接静强度的概率分析。例如，Nakayama等[13-14]通过将渐进损伤模型和基于响应面法的蒙特卡罗模拟(MCS)结合预测了螺栓连接静强度的概率特性，并进一步提出了面向概率设计的强度和基于可靠性的设计因子。Zhao[17]和Liu[18]等分别将特征曲线方法和强度包线法与MCS结合进行了螺栓连接概率静强度及可靠性分析。
研究者在开展简单复合材料层压板可靠性研究时提出了基于可靠性的优化设计(RBDO)思想[6]，即在一定的可靠度约束条件下，获得最佳的结构设计，通常指结构质量或成本达到最低。现有研究表明，在层压板设计中应用RBDO思想得到的结果与确定性设计的结果具有明显的差异[19-20]。尽管如此，目前较少有基于可靠性的复合材料螺栓连接优化设计研究的报道。
特征曲线方法是广泛应用于工程实践的螺栓连接强度预测方法，在实现基于可靠性的螺栓连接优化设计方面具有较大潜力。最初，Chang等[21]基于拉伸和挤压特征尺寸的概念及点应力准则建立了一条余弦形式的特征曲线，根据特征曲线上点的应力水平，结合Yamada-Sun失效准则来评价螺栓连接的破坏。该方法被称为传统特征曲线方法。之后，研究者通过提出不同形式的特征曲线方程对该方法进行改进。例如，Xiong[22]提出了折线形式的特征曲线；Zhang[23]提出了正弦和余弦函数叠加的特征曲线。但这些特征曲线方程中均只考虑了拉伸和挤压特征尺寸。Zhang等[24]基于传统特征曲线方程，引入剪切特征尺寸，建立了基于拉伸、挤压和剪切特征尺寸的修正特征曲线方法，通过与大量复合材料螺栓连接件的试验数据对比表明，该方法能够正确预测螺栓连接的失效模式，且对失效载荷的预测精度较高。因此，本文基于该修正的特征曲线方法[24]和随机参数统计模型发展CFRP螺栓连接失效载荷的概率分析模型，从而确定连接结构的可靠度指标，进而建立以可靠度指标为约束、以连接结构质量为设计目标、以关键影响参数为设计变量的CFRP螺栓连接可靠性优化设计方法。
1 CFRP螺栓连接结构 CFRP单钉双剪螺栓连接结构如图 1所示。其中，层压板采用T800碳纤维增强X850环氧树脂单向预浸料铺叠而成，铺层顺序为[θ3/θ1/θ4/θ1/θ2/θ1/θ3/θ1/θ4/θ1]s。层压板几何尺寸和铺层角度的设计值如表 1所示。表中：w为层压板宽度；Sw为边距；e为端距；D为层压板上孔的直径；tply为单层厚度；θ1、θ2、θ3、θ4为纤维铺设角度。层压板长度L为150 mm。垫板的材料及铺层方案与搭接板一致，长度c为75 mm。紧固件由凸头螺栓HST12-6-7和高锁螺母HST1078-6组成，材料为钛合金，螺栓直径的设计值为4.76 mm，紧固件安装的拧紧力矩为5 N·m。
 |
| 图 1 CFRP单钉双剪连接结构示意图 Fig. 1 Schematic diagram of CFRP single-bolt double-lap joint structure |
| 图选项 |
表 1 CFRP层压板几何尺寸和铺层角度的名义值 Table 1 Nominal geometrical dimensions and fiber orientation angles of CFRP laminate
| 几何尺寸 | w/mm | Sw/mm | e/mm | D/mm | tply/mm |
| 数值 | 30 | 15 | 15 | 4.76 | 0.185 |
| 纤维铺设角度 | θ1/(°) | θ2/(°) | θ3/(°) | θ4/(°) | |
| 数值 | 0 | 90 | 45 | -45 | |
表选项
复合材料的面内基本力学性能由制造商测试并提供，其平均值如表 2所示。表中：E11为纵向弹性模量；E22为横向弹性模量；G12为纵横方向剪切模量；υ12为纵横方向泊松比；XT和XC分别为纵向拉伸和压缩强度；YT和YC分别为横向拉伸和压缩强度；S12为纵横方向剪切强度。
表 2 复合材料基本力学性能的平均值 Table 2 Means of basic mechanical properties of composites
| 弹性参数 | E11/GPa | E22/GPa | G12/GPa | υ12 | |
| 数值 | 195 | 8.58 | 4.57 | 0.33 | |
| 强度参数 | XT/MPa | XC/MPa | YT/MPa | YC/MPa | S12/MPa |
| 数值 | 3 071 | 1 747 | 88 | 271 | 143 |
表选项
层间力学性能由横观各向同性假设和工程经验确定，计算式为
 | (1) |
式中：E33为法向弹性模量；G13为纵法方向剪切模量；υ13和υ23分别为纵法和横法方向泊松比；G23为横法方向剪切模量；ZT和ZC分别为法向拉伸和压缩强度；S13和S23分别为纵法和横法方向剪切强度。
2 连接结构可靠度指标 复合材料螺栓连接结构的失效载荷是众多结构参数的函数。当结构参数存在不确定性时，连接结构的失效载荷也会产生不确定性。在概率分析中，采用随机变量来描述连接结构参数的不确定性，相应地，连接结构的失效载荷也具有随机特性。另外，连接结构所承受的外载荷也具有随机性。因此，尽管在确定性设计中通过引入安全系数来保证连接结构失效载荷大于外载荷，却存在着结构失效载荷小于外载荷的可能。为了定量描述这种可能性，研究者提出了结构可靠度的概念[25]。结构可靠度是在特定的使用条件下结构实现其功能的概率，即连接结构失效载荷大于外载荷的概率。
设X=(X1, X2, …, Xn)T为影响连接结构失效载荷的n个随机变量，则连接结构失效载荷F和外载荷T均为随机变量的函数。根据结构可靠度定义，连接结构的极限状态函数为
 | (2) |
则连接结构的3种工作状态为
 | (3) |
极限状态函数Z的期望值为
 | (4) |
式中：μF和μT分别为失效载荷F和外载荷T的期望值。
极限状态函数Z的标准差为
 | (5) |
式中：σF和σT分别为失效载荷F和外载荷T的标准差；ρFT为F和T之间的相关系数。
显然，连接结构的失效载荷与外载荷相互独立，因此ρFT=0。
结构可靠度指标的定义为
 | (6) |
当连接结构失效载荷F和外载荷T均服从正态分布时，则连接结构可靠度为
 | (7) |
式中：Φ(·)为标准正态累积分布函数。
由式(7)可见，β越大，连接结构可靠度R越大。显然，连接结构可靠度指标与可靠度之间存在一一对应关系。因此，本文以可靠度指标作为连接结构可靠性优化设计的约束开展研究。
研究表明，几何参数、铺层方案和材料体系是影响复合材料螺栓连接失效载荷的重要结构参数[3]。因此，本文考虑几何尺寸、纤维铺设角度及材料性能(即表 1和表 2中的18个参数)的随机性对螺栓连接失效载荷概率分布特性的影响。显然，连接结构承受的外载荷与这些参数无关。因此，在确定结构可靠度指标时，只需要确定连接结构失效载荷的概率分布。因此，将建立复合材料螺栓连接失效载荷的概率分析模型。
3 失效载荷概率分析模型 螺栓连接失效载荷的概率分析模型包含2部分：①失效载荷预测的参数化有限元模型；②随机参数的统计模型。接下来对这2部分分别进行阐述。
本文采用修正的特征曲线方法[24]预测复合材料螺栓连接结构的失效载荷，如图 2所示，修正的特征曲线方程为
 | (8) |
 |
| 图 2 修正的特征曲线示意图 Fig. 2 Schematic diagram of modified characteristic curve |
| 图选项 |
式中：
 | (9) |
式中：r为特征曲线上的点到孔中心的距离；R0为孔半径；Rt、Rc和Rs分别为拉伸特征尺寸、挤压特征尺寸和剪切特征尺寸；θ为从挤压失效平面逆时针向拉伸失效平面旋转的角度，满足－90°≤θ≤90°。螺栓连接结构的失效模式由失效点的位置确定：当0°≤|θ|≤15°，发生挤压失效；当30°≤|θ|≤60°，发生剪切失效；当75°≤|θ|≤90°时，发生拉伸失效。对于本文的螺栓连接结构而言，Rt、Rc和Rs分别为0.36 mm、1.33 mm和2.94 mm[26]。
在特征曲线方法中，当特征曲线上的点的应力满足失效准则时，螺栓连接结构发生失效。本文采用三维有限元模型进行连接结构应力分析，采用广泛应用的Yamada-Sun失效准则[27]判定其失效，失效准则的表达式为
 | (10) |
式中：σ11和τ12分别为纵向正应力和纵横方向切应力。
值得注意的是，结构参数的随机性使得概率分析的有限元模型与确定性分析中的有限元模型有所区别，如必须进行参数化建模；需要考虑几何尺寸随机变化引起的网格的变化。ANSYS?软件的APDL语言可以实现参数化建模，因此采用ANSYS?建立单钉双剪连接的有限元模型。如图 3所示，搭接区域网格加密，非搭接区域网格相对粗糙，每个层压板沿厚度方向设置4个单元。值得注意的是，在网格划分时，通过每条边上设置固定的单元数量来避免由于几何尺寸随机变化而引起的单元数量的变化。另外，为了直接获得特征曲线上的点的应力，以避免插值引起的误差，需要采用修正的特征曲线划分网格，使单元节点均匀地分布在曲线上。如图 3所示，在连接结构中的接触面上建立7个接触对，摩擦系数为0.4[17]。在端面A和B上施加如图 3所示的位移约束，在端面B上施加沿x方向的拉伸载荷。
 |
| 图 3 螺栓连接的有限元模型 Fig. 3 Finite element model of bolted joint |
| 图选项 |
除了上述失效载荷预测的参数化模型外，还需要构建随机参数的统计模型，如表 3所示。18个随机参数均服从正态分布，分布参数与文献[17]一致。文献[17]中通过灵敏度分析得出影响螺栓连接失效载荷概率特性的3个关键随机参数为纵向压缩强度XC、单层厚度tply、纵向弹性模量E11，因此选择这3个参数为基于可靠性的优化设计的设计变量。
表 3 螺栓连接随机参数的统计模型 Table 3 Statistical model of random parameters of bolted joint
| 类型 | 随机变量 | 期望值μ | 标准差σ | 分布类型 |
| 几何尺寸 | w/mm | 30 | 0.333 | 正态 |
| Sw/mm | 15 | 0.167 | 正态 | |
| e/mm | 15 | 0.333 | 正态 | |
| D/mm | 4.76 | 0.01 | 正态 | |
| tply/mm | 设计变量 | 正态 | ||
| 纤维铺设角度 | θ1/(°) | 0 | 0.9 | 正态 |
| θ2/(°) | 90 | 0.9 | 正态 | |
| θ3/(°) | 45 | 0.9 | 正态 | |
| θ4/(°) | -45 | 0.9 | 正态 | |
| 材料性能 | E11/GPa | 设计变量 | 正态 | |
| E22/GPa | 8.58 | 0.086 | 正态 | |
| G12/GPa | 4.57 | 0.098 | 正态 | |
| υ12 | 0.33 | 0.020 | 正态 | |
| XT/MPa | 3 071 | 187.4 | 正态 | |
| XC/MPa | 设计变量 | 正态 | ||
| YT/MPa | 88 | 7.7 | 正态 | |
| YC/MPa | 271 | 22.4 | 正态 | |
| S12/MPa | 143 | 3.9 | 正态 | |
表选项
根据上述模型，采用ANSYS?可靠性分析的PDS模块，选择MCS法中的LHS进行抽样，循环次数为500次，根据失效载荷的500个抽样值进行复合材料螺栓连接失效载荷的概率分析。
4 基于可靠性的优化设计方案 对于本文的复合材料螺栓连接结构而言，15个螺栓连接试验件失效载荷的平均值为21.01 kN，标准差为0.85 kN[17]。若采用安全系数法进行设计，当设计安全系数取为1.2时，连接结构所能承受的外载荷为17.5 kN，假设外载荷变异系数为0.05，此时连接结构的可靠度为0.998。基于可靠性的优化设计的目标是在给定的优化设计变量范围内，当外载荷为17.5 kN且其变异系数为0.05时，在保证连接结构的可靠度不小于0.999 9的前提下使连接结构的质量达到最低。下面确定目标函数、约束条件和优化设计变量。
对于复合材料单钉双剪连接而言，不考虑紧固件质量的变化，则连接结构的质量取决于3个层压板的质量。层压板材料的密度为1.576 g/cm3，单层的原始厚度为0.186 mm，因此原始连接结构的质量为78.83 g。目标函数表达式为
 | (11) |
约束条件为: 当外载荷为17.5 kN时，保证连接结构可靠度不低于0.999 9。文献[17]的研究表明，当随机参数服从正态分布时，所得到的螺栓连接失效载荷也服从正态分布。另外，假设结构承受的外载荷也服从正态分布。因此，根据式(7)，结构可靠度与可靠度指标的关系为R=Φ(β)，查标准正态分布函数表得出约束条件为可靠度指标β≥3.72。由于外载荷的变异系数为0.05，则其标准差为0.875 kN，即利用正态分布描述外载荷的概率分布特性时，其期望值和标准差分别为17.5 kN和0.875 kN。因此，可靠度指标为
 | (12) |
可见，连接结构的可靠度指标取决于失效载荷的期望值和标准差。
研究表明，在表 3给出的18个随机参数中，影响螺栓连接失效载荷概率特性(即期望值和标准差)的关键随机参数包括纵向压缩强度XC、单层厚度tply、纵向弹性模量E11[17]。因此，选择这3个参数为设计变量。值得注意的是，在基于可靠性的优化设计中，设计变量是随机变量。假设3个设计变量均服从正态分布。设计变量的初始期望值μ、标准差σ和变异系数COV如表 4所示。在优化过程中，将设计变量的期望值离散化，取3个水平的值，取值依据如表 4所示，其中对于纵向压缩强度XC而言，n=10.53；根据单向带预浸料的制造规范，单层厚度tply的优化区间限制在3σ范围内，因此n=3；纵向弹性模量E11的取值满足n=7.89。3个水平的变异系数均等于初始变异系数，因此，标准差可由期望值乘以初始变异系数确定。
表 4 设计变量的取值 Table 4 Values of design variables
| 设计变量 | 初始值 | 水平1 | 水平2 | 水平3 | |||||
| μ | σ | COV | μ1=μ-nσ | μ2=μ | μ3=μ+nσ | ||||
| XC | 1 750 MPa | 66.5 MPa | 0.038 | 1 050 MPa | 1 750 MPa | 2 450 MPa | |||
| tply | 0.186 mm | 0.004 mm | 0.022 | 0.174 mm | 0.186 mm | 0.198 mm | |||
| E11 | 195 GPa | 3.8 GPa | 0.02 | 165 GPa | 195 GPa | 225 GPa | |||
表选项
5 优化设计结果 根据上述优化设计方案，按照正交试验设计得到9个设计方案，如表 5所示。利用ANSYS?可靠性分析的PDS模块，对每个设计方案进行失效载荷的概率分析，得到失效载荷的平均值和标准差，进一步计算约束条件和目标函数值，最终确定最优设计方案，即在满足连接结构可靠度要求的条件下结构质量最小的方案。
表 5 基于正交试验设计的计算方案及目标函数值 Table 5 Calculation scheme based on orthogonal experimental design and objective function value
| 方案序号 | XC/MPa | tply/mm | E11/GPa | β | m/g |
| 1 | 1 050 | 0.174 | 165 | -4.82 | 73.75 |
| 2 | 1 050 | 0.186 | 195 | -5.17 | 78.83 |
| 3 | 1 050 | 0.198 | 225 | -5.52 | 83.92 |
| 4 | 1 750 | 0.174 | 195 | 2.02 | 73.75 |
| 5 | 1 750 | 0.186 | 225 | 1.82 | 78.83 |
| 6 | 1 750 | 0.198 | 165 | 3.98 | 83.92 |
| 7 | 2 450 | 0.174 | 225 | 6.52 | 73.75 |
| 8 | 2 450 | 0.186 | 165 | 8.62 | 78.83 |
| 9 | 2 450 | 0.198 | 195 | 8.28 | 83.92 |
表选项
表 5给出了各个设计方案所对应的可靠度指标β及连接结构质量m。可见，方案6~方案9满足结构可靠度要求，其中，方案7所对应的连接结构质量最小。因此，可以得出关键影响参数XC=2 450 MPa、tply=0.174 mm、E11=225 GPa时的结构设计方案为最优方案，该方案在满足结构可靠度要求的同时，能保证结构质量最小。
图 4给出了9个设计方案的计算结果。经过上述基于可靠性的优化设计，在外载荷为17.5 kN时，连接结构可靠度由0.998提高到0.999 999以上，满足优化设计要求，同时最优设计方案使得连接结构的质量由78.83 g下降至73.75 g，质量下降了6.44%。
 |
| 图 4 基于可靠性的螺栓连接优化设计过程 Fig. 4 Reliability-based design optimization process of bolted joint |
| 图选项 |
6 结论 1) 将修正特征曲线方法和随机参数统计模型结合，建立了CFRP螺栓连接失效载荷的概率分析模型，进而以关键影响参数为设计变量，以结构可靠度指标为约束，以连接结构质量为设计目标，发展了基于可靠性的CFRP螺栓连接优化设计方法。
2) 采用正交试验设计方法建立基于可靠性的螺栓连接优化设计计算方案，优化结果表明，关键影响参数XC为2 450 MPa、tply为0.174 mm、E11为225 GPa时的设计方案为螺栓连接最佳设计方案，该方案使得外载荷为17.5 kN时，螺栓连接可靠度由0.998提高到0.999 999以上，同时使得连接结构的质量下降了6.44%。
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