文献[2-5]都是在概率理论的框架下分析了系统的可靠性，然而，概率理论在系统有大量历史故障数据的情形下是有效的。因为根据大数定律，在样本量较大时估计的概率分布函数与累积频率会无限接近。事实上，在实际工程中，由于技术的原因、成本的耗费等导致历史故障数据很少能获得，比如核试验数据、新研发的产品等。在这种情况下，笔者不得不邀请相关领域内的专家来获得专家经验数据。显然，在这种情形下利用概率论来处理就不再有效。
为了处理这种经验数据，Zadeh[6]在1965年提出了模糊理论，在模糊理论的环境下，也有****研究可靠性[7-8]，然而在模糊理论的框架下，建立的模型不满足排中率[9]。为了更好地量化这种由于经验数据导致的认知不确定性，Liu在2007年首次提出了不确定理论[10]，并在2008年引入了不确定过程[11]，用来描述随着时间变化的不确定现象，随后在文献[12]中引入了Liu过程，它具有独立的平稳增量，且所有的样本轨道都是Lipschitz连续。
近年来，不确定理论已经广泛应用于很多领域，比如不确定可靠性分析[13-17]、不确定风险分析、不确定统计分析等。然而在工程应用中，系统自身内部的退化以及外部冲击的到达和冲击量的大小都具有不确定性，对于这类系统的可靠性在不确定理论框架下研究具有重要的意义。这激发本文研究一个系统经历不确定的内部退化和不确定外部冲击的竞争失效可靠性模型，利用不确定理论得到系统的确信可靠度指标。
1 系统模型建立 考虑一个系统同时经历了内部退化和外部冲击，内部退化用不确定过程刻画，外部冲击到达的时间间隔和每次冲击对系统造成的损坏量用不确定变量来描述，假设内部退化和外部冲击对系统造成的损坏量是相互独立的。内部自然退化的临界值设为H，对于外部冲击考虑如下列3种类型的冲击：①极端冲击，如果任何一次冲击的损坏量超过临界值D，则系统故障, D为系统能承受的外部冲击的最大阈值；②累积冲击，如果冲击造成的累积损坏量超过临界值D，则系统故障；③δ冲击，如果相邻2次冲击到达的时间间隔小于等于δ，则系统故障。
1.1 退化模型 在传统的可靠性模型中，退化过程往往用随机过程来刻画，Wiener过程是被广泛用来描述退化过程的一种点过程[18-19]。虽然，Wiener过程几乎所有的样本轨道都连续，但不是Lipschitz连续[20]。而Liu过程几乎所有的样本轨道都是Lipschitz连续函数，所以在工程应用中，对于只有少量历史故障数据的情形，用Liu过程来刻画退化过程更加合适。
为了描述退化过程的样本轨道，引入不确定微分方程[12]来描述自然退化过程。
 | (1) |
式中:f和g为2个函数；C(t)为一个Liu过程，具有独立的平稳增量，而且所有的样本轨道都是Lipschitz连续，C(t服从不确定正态分布N(0, t); X(t)为t时刻系统退化量的大小, t表示t时刻。不失一般性，令
 | (2) |
则上述方程在初始值X(0)=0条件下的解为
 | (3) |
从而，X(t)服从不确定正态分布N(et, σt)，其分布函数为
 | (4) |
引理?1[21]??设X(t)为一个不确定过程，其分布函数为ψt(x)，且X(0)=x0，令
 | (5) |
即τz为X(t)到达z的首达时，则τz的不确定分布为
 | (6) |
式中: inf ψt(z)为ψt(z)的下确界；sup ψt(z)为ψt(z)的上确界。
定理?1??一个连续的不确定退化过程
 |
具有初始值X(0)=0，退化量X(t)首次到达H的时间TH的不确定分布为
 | (7) |
式中:H为系统内部退化量的阈值；x为自变量。
证明??当x>0时，
 | (8) |
式中:M为不确定测度的符号。??????证毕
1.2 外部冲击模型 在传统的可靠性模型中，外部冲击到达的时间间隔和每次冲击对系统造成的损坏量用随机变量来描述。事实上，对于一些新研发的产品往往没有历史故障数据，所以用概率理论来研究不再适合。用不确定变量来处理克服了人为认知的不确定性。
假设冲击到达的时间间隔为不确定变量ξ1, ξ2, …，服从独立同分布的不确定分布?(x)，每次冲击对系统造成的损坏量为不确定变量η1, η2, …，服从独立同分布的不确定分布φ(x)。假设冲击到达的时间间隔和冲击造成的损坏量相互独立。N(t)为到t时刻发生的冲击数，是一个不确定更新过程，即
 | (9) |
式中:n为冲击的次数。
引理?2??设N(t)为一个不确定更新过程，每次更新的时间间隔为不确定变量ξ1, ξ2, …，则N(t)有不确定分布[22]
 | (10) |
则有
 | (11) |
式中:γt(x)为t时刻不确定更新过程N(t)的不确定分布函数; ?(x)为时间间隔ξi的不确定分布函数。
引理?3??设
 | (12) |
2 可靠性分析 系统同时遭受了内部的自然退化和外部冲击，自然退化和外部冲击相互独立。内部的退化过程为
 |
是一个不确定过程，自然退化的大小X(t)超过系统的临界值H，则系统故障。外部的冲击考虑如下3种类型：
1) 极端冲击：在极端冲击模型中，只要有一次冲击的损坏量超过临界值D，则系统故障。系统的确信可靠度函数为
 |
t时刻系统没有故障意味着：[0, t]自然退化没有超过自然退化的临界值H，同时每次的外部冲击量没有超过外部冲击的临界值D。
定理?2??在极端冲击模型中，系统的确信可靠度为
 | (13) |
证明
 | (14) |
式中:M{TH>t}=1-M{TH≤t}=1-F(t)；ηj为第j次冲击对系统造成的损坏量大小。
因为不确定事件
 | (15) |
因此有R(t)=(1-F(t))∧
2) 累积冲击：在累积冲击模型中：冲击造成的累积损坏量超过系统的临界值D，则系统故障。系统的确信可靠度函数为
 |
t时刻系统没有故障意味着：[0, t]自然退化没有超过临界值H，同时累积冲击量没有超过临界值D。
定理?3??在累积冲击模型中，系统的确信可靠度为
 | (16) |
证明
 | (17) |
式中：
因此有R(t)=(1-F(t))∧Gt(D)。????????????????证毕
3) δ冲击：相邻2次冲击到达的时间间隔不超过δ，则系统故障。系统的确信可靠度函数为R(t)=M{[0, t]系统没有故障}
t时刻系统没有故障意味着：[0, t]自然退化没有超过临界值H，同时相邻2次冲击的时间间隔大于δ。
定理?4??在δ冲击模型中，系统的确信可靠度为
 | (18) |
式中:F(t)为首达时TH的不确定分布函数; γt(k)为不确定更新过程N(t)的不确定分布函数; ?(δ)为时间间隔ξi的分布函数在δ的值。
证明
 | (19) |
式中：M{TH>t}=1-M{TH≤t}=1-F(t)。
因为不确定事件
 | (20) |
因此有R(t)=(1-F(t))∧
3 数值算例 假设退化过程X(t)服从不确定过程N(et, σt)，冲击到达的时间间隔ξi, i=1, 2, …，服从不确定分布N(e1, σ1)，冲击造成的损坏量ηi, i=1, 2, …, 服从不确定分布N(e2, σ2)，假设以上分布相互独立。系统中的参数假设如表 1所示。
表 1 模型的参数值 Table 1 Model parameter values
| 参数 | 数值 | 来源 |
| σ | 1 | 假设 |
| σ1 | 1 | 假设 |
| σ2 | 1 | 假设 |
| e | 1 | 假设 |
| e1 | 3 | 假设 |
| e2 | 2.7 | 假设 |
| H | 3 | Hao和Yang[23] |
| D | 10 | 假设 |
| δ | 0.1 | Wang等[24] |
表选项
1) ?极端冲击模型
在极端冲击模型中，确信可靠度函数R(t)随时间的变化如图 1所示。从图 1可以看出，设备的确信可靠度存在2个变点t=1和t=3。确信可靠度在t < 1前下降缓慢，t>1后迅速下降。这是因为在t < 1之前，由冲击引起的系统故障的概率很低。随着冲击次数的增加，冲击强度超过系统故障临界值的概率增大。因此，设备的确信可靠度在t>1之后急剧下降。在t>3之后，确信可靠度下降的速度更快，这是因为冲击次数增加到一定程度，任一次极小的冲击对系统的影响较之前更大，所以确信可靠度在t>3之后下降更快。
 |
| 图 1 极端冲击模型的确信可靠度R(t) Fig. 1 Belief reliability R(t) of extreme shock model |
| 图选项 |
2) ?累积冲击模型
在累积冲击模型中，确信可靠度函数R(t)随时间变化的函数如图 2所示。从图 2可以看出，在t < 1时系统的确信可靠度保持较高水平，当t>1时确信可靠度急剧下降。这是因为外部冲击对系统造成的累积损坏量在t < 1时并不明显，随着冲击造成的累积损坏量增加，系统的确信可靠度下降的速度越来越快。当t>7时，下降的速度较之前更快，是因为累积损坏量到一定程度，任一次极小的冲击对系统的影响较之前更大，所以确信可靠度下降更快。
 |
| 图 2 累积冲击模型的确信可靠度R(t) Fig. 2 Belief reliability R(t) of cumulative shock model |
| 图选项 |
3) ?δ冲击模型
在δ冲击模型中，确信可靠度函数R(t)随时间的变化如图 3所示。δ冲击对模型的确信可靠度，相比极端冲击和累积冲击模型，确信可靠度函数曲线比较光滑，这是因为相邻2次冲击的时间间隔小于0.1的概率很小，对系统的确信可靠度影响较大的是自然退化。随着时间的增加，自然退化量超过系统故障的概率增大，确信可靠度迅速下降，直至趋于0。
 |
| 图 3 δ冲击模型的确信可靠度R(t) Fig. 3 Belief reliability R(t) of δ shock model |
| 图选项 |
4 结论 1) ?内部的自然退化过程用不确定过程来刻画，对于有新研发的产品的模型中更具有一般性。
2) ?相比传统的可靠性模型中不论样本数据的多少都用随机变量来刻画，用不确定变量来描述模型中样本数据较少的情况更合适。在有新研发的产品的模型中，系统的故障数据较少时，相邻2次冲击的时间间隔和冲击对设备造成的损坏量用不确定变量来描述更合适。
3) ?用不确定理论研究了在3种不同的外部冲击模型下系统的确信可靠度，并用一个数值算例验证了模型的有效性。
参考文献
| [1] | KLUTKE G A, YANG Y. The availability of inspected systems subject to shocks and graceful degradation[J]. IEEE Transactions on Reliability, 2002, 51(3): 371-374. DOI:10.1109/TR.2002.802891 |
| [2] | WEI H, RONALD G A. Generalized SSI reliability model considering stochastic loading and strength aging degradation[J]. IEEE Transactions on Reliability, 2004, 53(1): 77-82. DOI:10.1109/TR.2004.823847 |
| [3] | LI W J, PHAM H. An inspection-maintenance model for systems with multiple competing processes[J]. IEEE Transaction on Reliability, 2005, 54(2): 318-327. DOI:10.1109/TR.2005.847264 |
| [4] | WANG Z L, DU L, HUANG H Z.Reliability modeling for dependent competitive failure processes[C]//Annual Reliability and Maintainability Symposium.Piscataway: IEEE Press, 2008: 279-283. |
| [5] | PENG H, FENG Q M, COITD W. Reliability and maintenance modeling for systems subject to multiple dependent competing failure processes[J]. IIE Transactions, 2011, 43(1): 12-22. |
| [6] | ZADEH L A. Fuzzy sets[J]. Information and Control, 1965, 8: 338-353. DOI:10.1016/S0019-9958(65)90241-X |
| [7] | 潘刚, 尚朝轩, 梁玉英, 等. 考虑认知不确定的雷达功率放大系统可靠性评估[J]. 北京航空航天大学学报, 2016, 42(6): 1185-1194. PAN G, SHANG C X, LIANG Y Y, et al. Reliability evaluation of radar power amplification system considering epistemic uncertainty[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2016, 42(6): 1185-1194. (in Chinese) |
| [8] | 武月琴, 周泓. N中连续取k好可修系统的模糊可靠性[J]. 北京航空航天大学学报, 2009, 35(1): 52-55. WU Y Q, ZHOU H. Fuzzy reliability of repairable consecutive k-out-of-n system[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2009, 35(1): 52-55. DOI:10.3969/j.issn.1008-2204.2009.01.011 (in Chinese) |
| [9] | LIU B D. Why is there a need for uncertainty theory?[J]. Journal of Uncertain System, 2012, 6(1): 3-10. |
| [10] | LIU B D. Uncertainty theory[M]. 2rd ed. Berlin: Springer, 2007: 205-228. |
| [11] | LIU B D. Fuzzy process, hybrid process and uncertain process[J]. Journal of Uncertain System, 2008, 2(1): 3-16. |
| [12] | LIU B D. Some research problems in uncertainty theory[J]. Journal of Uncertain System, 2009, 3(1): 3-10. |
| [13] | ZHANG C X, GUO C R. Uncertain block replacement policy with no replacement at failure[J]. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2014, 27(4): 1991-1997. |
| [14] | KE H, YAO K. Block replacement policy with uncertain lifetime[J]. Reliability Engineering and System Safety, 2016, 148: 119-124. DOI:10.1016/j.ress.2015.12.008 |
| [15] | GAO J W, YAO K, ZHOU J, et al. Reliability analysis of uncertain weighted k-out-of-n systems[J]. IEEE Transactions on Fussy Systems, 2018, 26(5): 2663-2671. DOI:10.1109/TFUZZ.2018.2806365 |
| [16] | LIU B L, ZHANG Z Q, WEN Y Q. Reliability analysis for complex systems subject to competing failure processes based on chance theoy[J]. Applied Mathematical Modelling, 2018, 75: 398-413. |
| [17] | ZHANG Q Y, KANG R, WEN M L. Belief reliability for uncertain random systems[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2018, 26(6): 3605-3514. DOI:10.1109/TFUZZ.2018.2838560 |
| [18] | YE Z S, XIE M. Stochastic modelling and analysis of degradation for highly reliable products[J]. Applied Stochastic Models in Business and Industry, 2015, 31(1): 16-32. DOI:10.1002/asmb.2063 |
| [19] | LIU L, LI X Y, SUN F Q, et al. A general accelerated degradation model based on the Wiener process[J]. Materials, 2016, 9(12): 981-1000. DOI:10.3390/ma9120981 |
| [20] | LIU B D. Toward uncertain finance theory[J]. Journal of Uncertainty Analysis and Applications, 2013, 1(1): 1-15. DOI:10.1186/2195-5468-1-1 |
| [21] | LIU B D. Extreme value theorems of uncertain process with application to insurance risk model[J]. Soft Computing, 2013(17): 549-556. |
| [22] | LIU B D. Uncertainty theory:A branch of mathematics for modeling humanuncertainty[M]. Berlin: Springer, 2010: 133-136. |
| [23] | HAO S H, YANG J. Dependent competing failure modeling for the GIL subject to partial discharge and air leakage with random degradation initiation time[J]. IEEE Transactions on Reliability, 2018, 68(3): 1070-1079. |
| [24] | WANG Q, HE Z Y, LIN S Z, et al. Failure modeling and maintenance decision for GIS equipment subject to degradation and shocks[J]. IEEE Transactions on Power Delivery, 2017, 32(2): 1079-1088. DOI:10.1109/TPWRD.2017.2655010 |
