近年来，非线性动力学系统的系统辨识的发展迅速从学术研究向实际工程应用推广，新发展的多自由度非线性系统辨识算法面向复杂的非线性结构。在动力学系统的非线性辨识领域，Kerschen等[6]总结了近年来的成果与发展，指出该领域未来的研究重点。对于间隙非线性动力学系统的非线性系统辨识，虽然国内外****做了大量的研究[7-10]，但缺乏准确估计间隙边界的方法，不同的间隙辨识模型的结果差异较大；另外，间隙的存在将非线性动力学系统分成了多个分段线性系统，现有方法难以准确获得每个分段线性系统的特性。
在工程应用中，通过地面振动试验获取的模态参数是结构描述和动力学分析的基础。然而，在实际结构中，某一位置间隙的存在使结构整体表现出非线性特性，使地面振动试验的测试结果产生偏差，无法获得结构标称线性系统特性。虽然诸如力-状态图法[11]等方法可以直观地描述间隙恢复力状态，但获取标称线性系统的模态特性十分困难。因此，能够同时辨识标称线性系统和非线性系数的非线性系统辨识方法则拥有巨大的工程应用前景。
本文针对含间隙非线性的动力学系统，利用条件逆谱(Conditioned Reverse Path, CRP)法和时域非线性子空间(Time-domain Nonlinear Subspace Identification, TNSI)法，分别建立了间隙非线性的数学描述，并成功辨识出非线性结构的标称线性系统与非线性系数。通过对含间隙非线性的二元翼段进行系统辨识，验证并对比了2种辨识方法。
1 非线性系统辨识方法 1.1 条件逆谱法 条件逆谱法[12]是对逆谱法[13]的推广，是一种频域系统辨识方法。在频域内从测量信号中分离出标称线性系统的成分，从而获得非线性系统的标称线性系统的频响函数(Frequency Response Function, FRF)与非线性系数。
对于一个包含N个自由度的非线性系统，其动力学方程可以表示为[12]
 | (1) |
式中：M、C和K分别为系统的质量、阻尼和刚度矩阵；x(t)为位移/广义位移向量；f(t)为力/广义力向量；假设该系统包含n个非线性项，其中第j个非线性项的数学模型为yj(t)，Lj为非线性位置向量，表示第j个非线性项所在的自由度，μj为该非线性项系数。
将式(1)通过傅里叶变换转换到频域：
 | (2) |
式中：X(ω)、Yj(ω)、F(ω)分别为x(t)、yj(t)、f(t)的傅里叶变换；B(ω)=-ω2M+iωC+K为该系统标称线性系统的动刚度矩阵。
传统的模态参数辨识方法利用系统的频响函数矩阵H(ω)=B(ω)-1辨识得到系统的模态参数。
对于多自由度系统，频响函数矩阵通常利用单边功率谱密度估计，即H1估计和H2估计，分别为
 | (3) |
式中：G为单边功率谱密度矩阵，下标分别表示对应的输入、输出通道，其中F表示力信号，X表示位移信号，如GFX表示力与位移的互功率谱。
条件逆谱法将F(ω)作为系统的输出，将X(ω)和Yj(ω)作为系统的输入，则式(2)可以转换为
 | (4) |
系统如图 1所示。
 |
| 图 1 条件逆谱法系统示意图 Fig. 1 Schematic diagram of system for CRP method |
| 图选项 |
考虑到通过测量得到的x(t)和f(t)及通过响应计算得到的非线性响应yj(t)，其对应的傅里叶变换信号中各非线性项之间互相关联。以第2项非线性项的傅里叶变换Y2为例，其中包含与第1项非线性项Y1相关的Y2(+1)和不相关的Y2(-1)。由于存在相关性，则Y1与Y2(+1)之间的关系可以由传递函数T12来表示，即
 | (5) |
关系如图 2所示。
 |
| 图 2 非线性项Y2的分解 Fig. 2 Decomposition of nonlinear function Y2 |
| 图选项 |
类似的，对于第3项非线性项Y3的分解为
 | (6) |
式中：Y3(+1)和Y3(+2)分别为第3项非线性项与第1、2项非线性项的相关成分，其关系分别通过T13和T23来表示。
一般情况下，第i项非线性项Yi中与前i-1个非线性项均无关的成分可以展开为
 | (7) |
式中：类似式(3)，Tji可以估计为
 | (8) |
于是，位移响应信号X和激励信号F均可通过上述方法展开，如图 3和图 4所示。
 |
| 图 3 位移响应信号分解 Fig. 3 Decomposition of displacement response signal |
| 图选项 |
 |
| 图 4 激励信号分解 Fig. 4 Decomposition of excitation signal |
| 图选项 |
经过分解得到的位移响应X(-1:n)与所有非线性项无关，即可看作是标称线性系统的位移响应为
 | (9) |
同理，分解后的激励响应F(-1:n)为
 | (10) |
1.1.1 标称线性系统频响函数估计 利用激励信号F(-1:n)和位移响应信号X(-1:n)的单边功率谱密度，参考H1和H2估计方法，可以估计标称线性系统的频响函数矩阵。
 | (11) |
在进行标称线性系统频响函数估计的过程中，需要先计算非条件功率谱密度，并且需要注意的是，根据互惠条件，Gij=GjiH，上标H表示矩阵的Hermitian变换。一般情况下，系统的条件功率谱密度为(r < i, j)
 | (12) |
式中：T为采样周期。
当计算条件功率谱密度矩阵时，下标i和j可以替换成X或F计算。基于条件逆谱法估计的频响函数，可以得到该标称线性系统的模态参数。
1.1.2 非线性系数辨识 将标称线性系统的频响函数矩阵提取出来之后，将式(2)左乘Yi(-1:i-1)*得到
 | (13) |
式中：当i>j时，E[Yi(-1:i-1)*(ω)YjT(ω)]=0，通过式(13)左乘Gii(-1:i-1)-1(ω)可以得到非线性系数为
 | (14) |
根据式(14)可知，非线性系数使用递归方法从(μnLn)开始计算至(μ1L1)。
1.1.3 累积相干函数 在使用条件逆谱法的过程中，由于需要将非线性项看作系统的输入，需要事先给定非线性项yj(t)的形式。为评估选择的yj(t)描述是否符合系统实际，为此引入累积相干函数[14]作为评价标准。累积相干函数γMi2为
 | (15) |
式中：γXiF(-1:n)2(ω)为X(-1:n)的第i个变量与外力F之间的相干函数，表示第i项响应中的线性成分，而非线性成分由
1.2 时域非线性子空间法 时域非线性子空间法由Marchesiello和Garibaldi[15-16]总结并引入到非线性系统辨识中, 该方法的关键在于将外力作为待辨识系统的输入，其原理如图 5所示。子空间算法是通过诸如正交三角(QR)分解和奇异值分解(SVD)等矩阵运算辨识得到系统的状态空间模型，属于鲁棒性强的非迭代算法。
 |
| 图 5 非线性振动系统的反馈表示 Fig. 5 Feedback interpretation of nonlinear vibration systems |
| 图选项 |
将式(1)中的非线性项移动到等式右边，即
 | (16) |
将式(16)改写为一阶状态空间矩阵的形式，假设系统的状态变量为z=[xT???T]T，则系统动力学方程的状态空间表示为
 | (17) |
式中：u(t)=[fT??y1??…??yn]T表示系统的扩展输入矩阵；下标c指代连续状态空间系统，Ac、Bc、Cc、Dc分别为系统的状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵、直接传递矩阵，即
 | (18) |
对上述连续系统离散采样，假设采样率为fs=1/T，则离散后的状态空间方程为
 | (19) |
式中：下标d表示离散系统。
根据数字采样的零阶保持假设，连续域与离散域之间的关系为
 | (20) |
根据式(18)，定义非线性系统扩展的频响函数矩阵HE为[16]
 | (21) |
考虑
 | (22) |
将式(22)代入到式(21)中，有
 | (23) |
式中：P12=(K+jωC-ω2M)-1M。
系统的标称线性系统的频响函数为
 | (24) |
于是，式(23)最终简化为
 | (25) |
根据式(25)可以辨识得到标称线性系统的频响函数及非线性系数。
2 数值算例 在空气动力学与气动弹性等相关领域中，二元翼段通常是验证新方法、检验新技术手段的典型模型，其结构自由度较低，并且可使用二维气动力开展研究。对于结构间隙引起的非线性气动弹性问题，含间隙二元翼段也是十分理想的研究对象，不仅有解析解或半解析解作为对照[17]，更得到了国内外****的广泛研究[18]；在风洞试验的研究中，含间隙的非线性翼段模型也受到了广泛的关注[19]。获取准确的间隙参数是理论分析与试验探究相结合的关键环节，因此，本文将以含间隙的二元翼段为例，开展非线性系统辨识的研究，讨论对比2种非线性辨识方法。
2.1 非线性二元翼段模型 考虑一个具有沉浮h和俯仰α两个自由度的二元翼段[20]，如图 6所示。图中：b为二元翼段半弦长，ab为刚心E到翼段中心O的距离(刚心在中心后为正)，xa为重心G到刚心E的距离(重心在刚心后为正)。h为沉浮自由度位移，α为俯仰自由度位移。在俯仰自由度上存在间隙非线性，忽略系统的阻尼。沉浮自由度和俯仰自由度的刚度分别为kh和kα。
 |
| 图 6 二自由度二元翼段模型 Fig. 6 2-DOF wing section model |
| 图选项 |
通过拉格朗日方程可以写出其动力学方程为
 | (26) |
式中：m为翼段质量；Sα为翼段对刚心E轴的静矩；Iα为翼段对刚心E轴的转动惯量；kh为沉浮自由度的刚度系数；fh和fα分别表示对应自由度上的外力；fnl(α)为包含间隙的俯仰自由度非线性恢复力，其数学描述为
 | (27) |
其中：kα为俯仰自由度刚度系数；dα为间隙大小。
式(27)表示的间隙模型如图 7所示。
 |
| 图 7 间隙非线性的恢复力曲线 Fig. 7 Restoring force of freeplay nonlinearity |
| 图选项 |
2.2 标称线性系统 由于间隙的存在，式(26)描述的非线性系统可以拆分成不同的线性系统的组合。不妨定义该间隙非线性系统的2个标称线性系统分别是上标称线性系统(Overlying Linear System, OLS)和下标称线性系统(Underlying Linear System, ULS)[21]，其定义分别如下：
1) OLS。当非线性间隙不存在时，即式(27)中的dα=0，此时的系统称为上标称线性系统，即普遍认为的间隙非线性系统中的标称线性系统。式(26)的OLS为
 | (28) |
2) ULS。当kα=0时，即式(27)描述的非线性恢复力fnl(α)=0，此时的系统称为下标称线性系统。式(26)的ULS为
 | (29) |
该二元翼段的结构基本参数如表 1所示，其沉浮自由度刚度为kh=782.74 N/m，俯仰自由度刚度为kα=24.22 N·m/rad，若俯仰自由度间隙dα=0 rad，即得到该二元翼段的标称线性情况。该二元翼段标称线性情况的固有频率为沉浮固有频率2.61 Hz，俯仰固有频率为5.05 Hz。
表 1 二元翼段结构基本参数 Table 1 Main structural parameters of 2-DOF wing section
| 参数 | 数值 |
| 半弦长b/m | 0.1 |
| 刚心与中心相对距离a | -0.2 |
| 质量m/kg | 2.9 |
| 重心与刚心距离xa/m | 0.01 |
| 静矩Sα/(kg·m) | 0.029 |
| 转动惯量Iα/(kg·m2) | 0.024 |
表选项
2.3 数值仿真与模态辨识 对该二元翼段的俯仰自由度施加频带范围0~50 Hz的随机激励，随机激励的强度由激励信号的均方根(Root Mean Square, RMS)表示，使用Runge-Kutta数值仿真得到二元翼段的振动响应。仿真采样率设置为1 000 Hz，仿真总时长为120 s。非线性系统仿真时的间隙大小取dα=0.01 rad。为模拟真实的试验情况，仿真中添加2%的噪声。取响应稳定之后的一段长度为214个样本点的数据，利用平均周期图法及根据式(3)估计该二元翼段的频响函数曲线。
在不同的激励水平作用下(激励水平对应的随机力RMS值见表 2)，系统的频响函数曲线如图 8所示。在选取的0~15 Hz的频率范围内，随着激励的增加，频响函数曲线呈现出2个稳定的峰值，分别对应二元翼段的沉浮模态和俯仰模态。其中，由于俯仰自由度间隙非线性的影响，使得频响函数曲线中俯仰模态的峰值随激励水平变化(见图 8中蓝色箭头)。
表 2 激励水平与对应的随机力RMS值 Table 2 Excitation levels and corresponding RMS value of random excitation force
| 激励水平 | 随机力RMS/N |
| 1 | 0.004 8 |
| 2 | 0.011 8 |
| 3 | 0.022 6 |
| 4 | 0.048 6 |
| 5 | 0.069 0 |
| 6 | 0.114 4 |
| 7 | 0.182 5 |
| 8 | 0.230 8 |
| 9 | 0.486 0 |
| 10 | 0.729 6 |
| 11 | 1.100 0 |
| 12 | 1.997 4 |
| 13 | 2.215 9 |
| 14 | 2.767 9 |
| 15 | 3.722 0 |
| 16 | 4.970 4 |
| 17 | 7.373 1 |
| 18 | 11.610 5 |
| 19 | 25.501 0 |
表选项
 |
| 图 8 随激励水平变化的频响函数 Fig. 8 Variation of FRF with excitation level |
| 图选项 |
图 9显示了频带0~30 Hz内，低激励水平(随机力RMS为0.004 8 N·m)与高激励水平(随机力RMS为0.230 8 N·m)的频响函数曲线对比。低激励幅值的频响函数曲线畸变严重，无法准确获得系统的模态特性；而且由于间隙非线性的存在，使得系统响应出现高频振动。
 |
| 图 9 低激励水平与高激励水平的频响函数曲线对比 Fig. 9 Comparison of FRFs under low excitation level and high excitation level |
| 图选项 |
3 非线性系统辨识结果 3.1 条件逆谱法辨识结果 在使用条件逆谱法辨识间隙非线性时，非线性函数fnl(α)的描述定义为
 | (30) |
式中：μ为待辨识的非线性系数；间隙非线性模型通过参数ν来调整，该数学模型描述的准确性通过累积相干函数评估。
为了通过系统辨识获得非线性系统的OLS，根据式(30)将描述非线性的函数y定义为
 | (31) |
当激励水平为随机力RMS 0.048 6 N·m时，利用条件逆谱法辨识获得系统的频响函数曲线如图 10所示。可以看出，条件逆谱法可以获得清晰的OLS频响函数曲线。根据条件逆谱法获得的频响函数曲线，利用模态参数辨识方法即可获得标称线性系统的模态参数。
 |
| 图 10 条件逆谱法辨识得到的OLS频响函数曲线 Fig. 10 FRF of OLS identified by CRP method |
| 图选项 |
利用牛顿切线法对非线性描述式(31)中的ν进行迭代优化，使得辨识的累积相干函数最大。俯仰自由度下的累积相干函数如图 11所示，其均值为0.95，表明辨识得到的非线性模型与实际非线性系统特性吻合，此时ν=261。
 |
| 图 11 俯仰自由度的累积相干函数 Fig. 11 Cumulative coherence function of pitch DOF |
| 图选项 |
在得到标称线性系统的频响函数矩阵之后，利用式(14)可以得到系统的非线性系数，辨识得到的非线性系数μ的结果如图 12所示。表 3给出了在不同激励水平下辨识得到的非线性系数。可以看出，非线性系数的辨识结果一致性较好。通过式(31)重构非线性恢复力曲线如图 13所示。可以看出，辨识得到的非线性恢复力曲线与真实的恢复力曲线一致。
 |
| 图 12 条件逆谱法辨识的非线性系数 Fig. 12 Nonlinear coefficient identified by CRP method |
| 图选项 |
表 3 不同激励水平下辨识的非线性系数 Table 3 Identified nonlinear coefficient under different excitation levels
| 随机力RMS/(N·m) | 非线性系数 |
| 0.048 6 | -0.250 8 |
| 0.069 0 | -0.253 8 |
| 0.230 8 | -0.250 5 |
| 0.486 0 | -0.244 0 |
表选项
 |
| 图 13 条件逆谱法辨识的非线性恢复力曲线 Fig. 13 Nonlinear restoring force identified by CRP method |
| 图选项 |
3.2 时域非线性子空间法辨识结果 在使用时域非线性子空间法辨识间隙非线性时，非线性函数fnl(α)的定义参考式(27)，选定20个非线性项，定义如下：
 | (32) |
式中：dj为可选定的间隙大小；μj为第j个非线性项的非线性系数。
为了能够真实地刻画间隙大小，将测量的响应位移范围[0, max(α)]均分为20段，分别为[dj-1, dj]，d0=0, j=1, 2, …, 20[16]。
当激励水平为随机力RMS 0.022 6 N·m时，利用时域非线性子空间法辨识得到的非线性系数μj如图 14所示。可以看出，非线性系数主要集中在0.01 rad附近。
 |
| 图 14 区间[0, max(α)]内的非线性系数分布 Fig. 14 Nonlinear parameter distribution in the interval [0, max(α)] |
| 图选项 |
为了得到更加精确的结果，可以进一步缩小选定的间隙dj的区间为[0.008, 0.012]rad，将该区间均分为10段，通过第二次时域非线性子空间法辨识得到的非线性系数如图 15所示。图 16给出了上述2次辨识获得的ULS的频响函数曲线，图 17显示了2次辨识获得的非线性恢复力曲线与标称曲线的对比。结果表明，时域非线性子空间辨识可以准确地获得间隙参数，对非线性恢复力曲线中拐点的估计也十分准确。
 |
| 图 15 区间[0.008, 0.012]rad内的非线性系数分布 Fig. 15 Nonlinear parameter distribution in the interval [0.008, 0.012]rad |
| 图选项 |
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| 图 16 辨识得到的非线性二元翼段ULS的频响函数曲线 Fig. 16 Identified FRF of ULS of nonlinear 2-DOF wing section |
| 图选项 |
 |
| 图 17 时域非线性子空间法辨识的非线性恢复力曲线 Fig. 17 Nonlinear restoring force identified by TNSI method |
| 图选项 |
利用辨识得到的非线性二元翼段ULS与间隙参数，可以重构该非线性二元翼段的标称线性系统，其频响函数曲线如图 18所示。可以看出，时域非线性子空间法可以准确地辨识出含间隙非线性系统的标称线性系统。子空间辨识法获得的标称线性系统的频响函数可以方便地使用PolyMAX[22]等模态参数辨识方法辨识，图 19的稳态图可以直观地反映系统的模态特性。
 |
| 图 18 辨识得到的非线性二元翼段OLS的频响函数曲线 Fig. 18 Identified FRF of OLS of nonlinear 2-DOF wing section |
| 图选项 |
 |
| 图 19 辨识得到的OLS频响函数曲线稳态图 Fig. 19 Stabilization diagram of identified FRF of OLS |
| 图选项 |
3.3 方法对比 条件逆谱法和时域非线性子空间法都能准确地辨识出非线性系统的OLS。一方面，由于2种方法选用的非线性数学描述不同，条件逆谱法可以直接获得系统的OLS，但对间隙非线性拐点的辨识不太准确；时域非线性子空间法可直接获得系统的ULS，也能准确地辨识间隙非线性拐点，系统的OLS则需要重构。另一方面，条件逆谱法辨识获得的非线性系数随频率线有波动，而由于子空间辨识算法的鲁棒性较好，在非线性特性较强时也能辨识出清晰的频响函数曲线。2种方法的特性在表 4中做了系统的对比和总结。
表 4 条件逆谱法和时域非线性子空间法属性对比 Table 4 Property comparison between CRP and TNSI
| 属性 | 条件逆谱法 | 时域非线性子空间法 |
| 域 | 频域 | 时域 |
| 多自由度 | 是 | 是 |
| 多种非线性 | 是 | 是 |
| 迭代计算 | 是 | 否 |
| 数据 | 稳态数据 | 任意数据 |
| 数据前处理 | 离散傅里叶变换 | 否 |
| 间隙描述 | 函数近似 | 多间隙重构 |
| 稳态图 | 是 | 是 |
| 计算量 | 低 | 中等 |
| ULS辨识精度 | 高 | 高 |
| OLS辨识精度 | 高 | 高 |
| 间隙辨识精度 | 间隙边界：一般 刚度辨识：高 | 间隙边界：高 刚度辨识：高 |
表选项
4 结论 1) 条件逆谱法和时域非线性子空间法均可辨识含间隙非线性动力学系统，获得系统的标称线性系统与对应的非线性系数。
2) 2种方法辨识过程中对间隙非线性采用了不同的数学描述，均能获得与理论值一致的非线性恢复力曲线。时域非线性子空间法对间隙非线性拐点的辨识更加准确，条件逆谱法可以直接获得标称线性系统特性。
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