基于模型的故障诊断一直是故障诊断技术的研究重点。相比于基于残差阈值的故障检测方法，基于观测器的故障估计方法能够直接获得故障的幅值，从而对系统内部发生的故障有更直观的了解；此外，还可以根据故障估计的信息对系统进行容错控制[3-5]。因此，基于观测器的故障估计方法受到了各类研究人员的高度重视，并取得了丰富的研究成果[6-8]。文献[9]基于滑模观测器对微电网系统的传感器进行了故障估计，并设计了容错控制策略；文献[10]提出了一类综合自适应滑模观测器的微小故障估计方法，对四旋翼直升机的微小故障进行了检测和估计，但该观测器需要已知故障及扰动的上界；文献[11]针对一类Lipschitz非线性系统提出了一种具有H∞性能的鲁棒滑模观测器，并讨论了故障估计的等效控制概念，但是状态估计结果存在比较明显的抖振现象。事实上，滑模观测器虽然具有鲁棒性强、对扰动不敏感等优点，但是当抖振程度过大时，会激起系统中的未建模动态，导致系统失稳，从而无法对系统中的故障进行估计。
为了抑制滑模观测器的抖振现象，部分研究者对滑模项进行了改进。文献[12]将原系统分解为2个子系统，并分别设计了Luenberger观测器和Super-Twisting滑模观测器(STSMO)，在忽略了外部干扰的条件下进行故障估计，有效地削弱了滑模观测器的抖振现象；文献[13]提出了一种基于STSMO观测器的电池荷电状态估计方法，通过仿真实验验证了STSMO观测器所引发的抖振幅度更小；文献[14]设计了基于STSMO观测器的干扰补偿器，实现了对未知干扰的观测和补偿。为了保证所设计观测器的稳定性，上述文献需要假设故障是可导的且导数上界已知，然而在实际中许多情况并不能确定这个上界的具体数值。为使Super-Twisting算法能够用于故障导数上界未知的情况，文献[15-18]提出了一类自适应Super-Twisting算法，即当系统未进入滑动模态时，持续增大滑模增益以确保滑模的可达性，当系统进行滑模运动时，滑模增益保持当前数值不变，这种方法能够处理故障导数上界未知的情况，但是当该上界减小时，滑模增益却仍然保持着较大的状态，存在增益过估计的现象[19]。
在文献[12]的基础上，本文提出了一种基于自适应Super-Twisting滑模观测器(ASTSMO)和未知输入观测器(UIO)的故障估计方法，考虑了多执行器同时发生故障的情况，解决了文献[12]在建模时忽略不确定干扰且需要已知故障导数上界的不足，同时所设计的滑模增益能够跟踪故障导数的变化来进行自适应调整，不存在过估计现象。
1 问题描述 考虑如下系统:
 | (1) |
式中:x(t)∈Rn为系统状态变量；u(t)∈Rm为系统输入变量；y(t)∈Rp为系统输出变量；d(t)∈Rq为系统的不确定干扰部分(包括建模误差、未知扰动等)；f(t)∈Rr为执行器故障，且满足
假设1[20] ??矩阵对(A, E, C)是强可观测的，即矩阵对(A, E, C)满足：
 | (2) |
假设2 ??矩阵CE为列满秩，即矩阵CE满足：
 | (3) |
如果系统(1)满足以上假设，则存在如下非奇异变换矩阵：
 | (4) |
 | (5) |
式中：对于任一矩阵W，W+表示矩阵W的Penrose-Moore广义逆矩阵，W⊥表示矩阵W的正交补矩阵，满足：W⊥W=0。
矩阵T、S的逆矩阵分别为
 | (6) |
 | (7) |
由此可得：
子系统1：
 | (8) |
子系统2：
 | (9) |
2 观测器设计 由第1节所得的2个降阶子系统可知，子系统(8)只受故障影响，因此对子系统(8)设计ASTSMO观测器进行故障估计。对于子系统(9)，将状态x1(t)、故障f(t)、干扰d(t)全部视为状态x2(t)的干扰，则子系统(9)等价于如下系统：
 | (10) |
式中：
 |
为子系统(8)和(10)分别设计ASTSMO观测器和UIO观测器如下：
 | (11) |
 | (12) |
式中：
令
 | (13) |
式中：“*”为矩阵的Hadamard积，表示矩阵对应元素相乘；k>0为待设计常数；L(t)∈Rn-q为时变增益；k1, k2∈Rn-q为自适应滑模增益，满足：
 | (14) |
其中：k1(0)、k2(0)分别为k1、k2的初始值。
由式(8)、式(10)~式(12)可得
 | (15) |
 | (16) |
注1 ??采用式(4)、式(5)的系统解耦方法能够使子系统2中y2(t)=x2(t)，即子系统(9)的输出矩阵为单位阵，保证了子系统(9)是全状态可测的，这样能够使UIO观测器的存在条件始终成立。
针对误差系统(16)，若矩阵F、R、K、H满足：
 | (17) |
 | (18) |
 | (19) |
 | (20) |
 | (21) |
则
 | (22) |
式(17)的特解为
 | (23) |
将式(23)代入式(19)中可得
 | (24) |
式中：
因此，只要通过选择增益矩阵K1使F的特征值全部具有负实部，则在有限时间内有e2→0，
记?=A12e2－D1f(t)，
 | (25) |
进行如下坐标变换：
 | (26) |
为便于分析，将ξ表示为i个元素的分量形式：ξi=[ξ1i ??ξ2i]T，ξ1i为ξ1内第i个元素，ξ2i为ξ2内第i个元素，i=1, 2, …，n-q。定义矩阵：
 | (27) |
式中：k1i(0)、k2i(0)分别为k1(0)、k2(0)内的第i个元素。
定理1 ??假设Li(t)满足
 | (28) |
式中：εi>0为任意正标量。则误差系统(25)是有限时间稳定的。
证明 ??由式(26)可得
 | (29) |
将式(13)代入式(29)中，经计算可得
 | (30) |
式中：
 | (31) |
注意到：
 | (32) |
由此可得
 | (33) |
考虑自适应参数k1、k2的具体形式(14)，系统方程(30)的矩阵形式可表示为
 | (34) |
选择Lyapunov函数Vi=ξiTPiξi，则
 | (35) |
根据Young不等式：
 | (36) |
由ξ1的表示形式可知
 | (37) |
注意到：
 | (38) |
将式(38)代入式(36)中可得
 | (39) |
根据ξ的定义(26)可知，在有限时间内有e1→0和?→0成立，再根据式(13)、式(25)可知，
??????????证毕
3 参数选取 先分析滑模增益初始值k1i(0)、k2i(0)的选取方法。根据有界实定理，不等式(28)等价于频率约束‖Gi(s)∞‖ < 1。
 | (40) |
由式(40)可知，频率约束‖Gi(s)∞‖ < 1的充分条件为k2i(0)>1，因此可以始终选择正标量k1i(0)和k2i(0)>1，使得‖Gi(s)∞‖ < 1。另外，容易验证当
定理1中的假设条件要求Li(t)大于
当系统(25)在进行滑模运动时，不连续项必须对
 | (41) |
等效控制表示不连续项为保持滑动过程所取的平均值。等效控制不是一个具有实际意义的物理量，但是可以通过低通滤波实时逼近ueq的真实值：
 | (42) |
式中：τ为一个较小的正常数。
定义变量δi：
 | (43) |
式中：ai满足0 < ai < 1/k2i(0) < 1；ζ>0且满足：
 | (44) |
下面给出Li(t)的计算方法[21]：
 | (45) |
式中：l0>0为待设计常数；li(t)满足：
 | (46) |
其中：时变增益ρi(t)满足：
 | (47) |
式中：r0>0为待设计常数；ri(t)的导数定义为
 | (48) |
其中：γ>0为待设计常数。
定理2??根据式(43)~式(48)所设计的增益Li(t)在有限时间内能够满足
证明??已知?=A12e2－D1f(t)，则
 | (49) |
因为在有限时间内有e2→0，
定义变量：
 | (50) |
则
 | (51) |
由式(43)可得
 | (52) |
且
 | (53) |
选择Lyapunov函数
 | (54) |
因为
 | (55) |
根据Barbalat引理可得[22]：当t→∞时，δi→0。因此，一定存在某一时刻t0，当t>t0时，使得δi < ζ/2。结合式(43)可得
 | (56) |
??????????证毕
4 故障估计 定理3 ??若系统(1)满足假设1和假设2，参数k1i(0)和k2i(0)满足
 | (57) |
证明??由式(41)可知
 | (58) |
即
 | (59) |
由于在有限时间内，e2→0，则
 | (60) |
??????????证毕
注2 ??结构(13)与文献[21]方法的不同之处在于：采用了快速双幂次趋近率
5 仿真分析 以文献[23]中的飞控系统模型为例，其系统矩阵如下:
 |
 |
系统状态变量x=[α ??r ??p?? β?? σ]T，各个状态变量分别表示倾斜角、偏航角速度、滚转角速度、侧滑角和洗出滤波状态；系统输入变量u=[θr?? θα]T，各个输入变量分别表示方向舵偏转角和副翼偏转角；系统输出变量y=[rwo?? p ??β ??α]T，rwo为洗出偏航角速度。
考虑系统中存在不确定干扰：
 |
考虑执行器故障发生在控制输入通道，因此D=B。通过计算可知, 矩阵对(A, E, C)是强可观测的，且rank(CE)=rank(E)=2，从而满足假设1和假设2的条件，求得非奇异变换矩阵T、S：
 |
 |
通过选择矩阵K1将矩阵F的特征值配置在[-4+j, -4-j]，使误差系统(16)渐进稳定。根据第3节的方法，将滑模增益初始值设为：k1(0)=[2.97 3.69 4]T，k2(0)=[1.1 1.7 2]T。令：aik2i(0)=0.95，l0=0.1，γ=8，r0=0.1，τ=0.001，ζ=0.8，k=1。
将系统(1)的初始值设为：[3.348 9° 3.087 2(°)/s 3.523 3(°)/s 3.069 8° 3.021 5(°)/s]T，观测器系统的初始值分别设为：[0 ??0 ??0]T，[0 ??0]T，仿真步长为0.001 s。根据式(57)对故障f(t)进行估计。
先考虑仅有一个执行器发生故障。假设第1个执行器发生的缓变故障如下:
 | (61) |
仿真结果如图 1~图 5所示。
 |
| 图 1 缓变故障的估计值与真实值 Fig. 1 Estimated and true values of slow-varying fault |
| 图选项 |
 |
| 图 2 发生缓变故障时的子系统1状态观测误差 Fig. 2 State observation error of subsystem 1 when slow-varying fault occurs |
| 图选项 |
 |
| 图 3 子系统2状态观测误差 Fig. 3 State observation error of subsystem 2 |
| 图选项 |
 |
| 图 4 发生缓变故障时的k1自适应变化曲线 Fig. 4 Adaptive change curves of k1 when slow-varying falut occurs |
| 图选项 |
 |
| 图 5 发生缓变故障时的k2自适应变化曲线 Fig. 5 Adaptive change curves of k2 when slow-varying falut occurs |
| 图选项 |
由于在初始时刻2个子系统的状态估计误差不为0，使得初始时刻
假设第2个执行器发生的突变故障如下:
 | (62) |
仿真结果如图 6~图 9所示。
 |
| 图 6 突变故障的估计值与真实值 Fig. 6 Estimated and true values of sudden fault |
| 图选项 |
 |
| 图 7 发生突变故障时的子系统1状态观测误差 Fig. 7 State observation error of subsystem 1 when sudden fault occurs |
| 图选项 |
 |
| 图 8 发生突变故障时的k1自适应变化曲线 Fig. 8 Adaptive change curves of k1 when sudden fault occurs |
| 图选项 |
 |
| 图 9 发生突变故障时的k2自适应变化曲线 Fig. 9 Adaptive change curves of k2 when sudden fault occurs |
| 图选项 |
对于执行器发生突变故障的情况，从图 6中可以看出，突变故障的估计值能够较好地跟踪真实值。在图 8、图 9中，k1和k2能够进行自适应地进行调整，说明了本文故障估计方法的有效性。为突出该方法的优点，将其与文献[15-18]的方法进行对比。当第1个执行器发生缓变故障(61)时，采用文献[15-18]方法所得k1、k2自适应变化曲线如图 10、图 11所示。
 |
| 图 10 发生缓变故障时采用文献[15-18]方法的k1自适应变化曲线 Fig. 10 Adaptive change curves of k1 of method in Refs.[15-18] when slow-varying fault occurs |
| 图选项 |
 |
| 图 11 发生缓变故障时采用文献[15-18]方法的k2自适应变化曲线 Fig. 11 Adaptive change curves of k2 of method in Refs.[15-18] when slow-varying fault occurs |
| 图选项 |
当第2个执行器发生突变故障(62)时，采用文献[15-18]方法所得k1、k2自适应变化曲线如图 12、图 13所示。
 |
| 图 12 发生突变故障时采用文献[15-18]方法的k1自适应变化曲线 Fig. 12 Adaptive change curves of k1 of method in Refs.[15-18] when sudden fault occurs |
| 图选项 |
 |
| 图 13 发生突变故障时采用文献[15-18]方法的k2自适应变化曲线 Fig. 13 Adaptive change curves of k2 of method in Refs.[15-18] when sudden fault occurs |
| 图选项 |
由图 10~图 13可知，文献[15-18]方法中，滑模增益k1、k2与
考虑多执行器同时发生故障的情况，假设2个执行器同时发生故障如下:
 |
故障估计结果如图 14所示。可知，本文故障估计方法实现了同时对2个执行器发生的故障进行检测和估计，说明该方法能够用于多执行器同时发生故障的情况。
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| 图 14 执行器同时发生故障时的故障估计结果 Fig. 14 Fault estimations results for simultaneous actuator failures |
| 图选项 |
为说明快速双幂次趋近率相比于传统的幂次趋近率具有更快的收敛速度，将本文故障估计方法与文献[21]中故障估计方法进行对比。当第1个执行器发生缓变故障(61)时，仿真结果如图 15、图 16所示。
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| 图 15 文献[21]方法的子系统1缓变故障状态观测误差 Fig. 15 Subsystem 1 state observation error of method in Ref.[21] with slow-varying fault |
| 图选项 |
 |
| 图 16 两种方法的缓变故障估计结果 Fig. 16 Slow-varying fault estimation results of two methods |
| 图选项 |
当第2个执行器发生突变故障(62)时，仿真结果如图 17、图 18所示。
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| 图 17 文献[21]方法的子系统1突变故障状态观测误差 Fig. 17 Subsystem 1 state observation error of method in Ref.[21] with sudden fault |
| 图选项 |
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| 图 18 两种方法的突变故障估计结果 Fig. 18 Sudden fault estimation results of two methods |
| 图选项 |
比较图 2、图 15与图 7、图 17可知，相比于传统的幂次趋近率，采用快速双幂次趋近率的系统状态估计误差收敛速度更快；由图 16、图 18可知，文献[21]中的方法约在1.1 s能够实现对故障的跟踪，而本文故障估计方法约在0.7 s能够实现对故障的跟踪，说明该方法能够更快地对故障进行跟踪。
6 结论 针对系统存在未知干扰下的故障估计问题，本文提出了一种基于ASTSMO观测器和UIO观测器的故障估计方法，总结如下:
1) 相比于文献[12]，在建模时考虑了未知干扰，且不需要已知故障导数的上界；另外，本文方法中滑模增益能够跟踪故障导数的变化进行自适应调整，避免了滑模增益过估计的现象。
2) 本文方法能够对多执行器同时发生故障的情况进行检测和估计。
3) 本文方法相比于采用传统幂次趋近率的故障估计方法，误差收敛速度更快，能够更快地对故障进行估计。
进一步提高故障估计的效果并将其推广应用到非线性随机系统，将是下一步的重点研究内容。
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