MSCMG中转子径向角位移会随着框架转动而显著增大(动框架效应),使得转子位移跳动量加大,甚至导致磁轴承与高速转子发生碰撞[6],影响MSCMG系统的稳定性和高速转子的悬浮精度。除动框架效应之外,高速转子的陀螺效应[7]、电流刚度、位移刚度的变化等因素也会影响MSCMG系统的稳定性[8],因此需要采取有效措施抑制扰动对磁轴承系统的影响,保证磁轴承系统的稳定性和MSCMG输出力矩精度。
对于动框架效应中的可建模扰动,通常采用前馈控制方法进行抑制。文献[9]提出了加速度前馈控制方法,但只解决了转子平动造成的扰动问题,无法解决框架转动形成的动框架效应问题。文献[10-11]提出了基于框架角速率的前馈控制方法,但该方法的补偿效果很大程度上依赖于对象模型的精度。文献[12-13]提出一种基于框架角速率的FXLMS自适应前馈控制方法来减小前馈补偿精度对于对象模型精度的依赖程度,该方法收敛速度快,抗噪声能力强,但因算法非常复杂、计算量大而无法进行实验。霍甲等[6]为了实现实际应用,提出一种简化FXLMS补偿算法,该算法也是基于框架角速率,对动框架效应抑制效果良好,但对模型外的扰动抑制能力有限。所以要提高MSCMG磁轴承的控制精度,除了补偿动框架效应,还需要对不可建模扰动进行高精度抑制,从而提高MSCMG磁轴承整体抗干扰能力。
对不可建模扰动抑制,最早由韩京清教授提出一种基于扩张状态观测器(Extended State Observer, ESO)的自抗扰控制(Active Disturbance Rejection Control, ADRC)方法[14-15],该方法动态性能好,不依赖模型,且抗扰性和鲁棒性均优于传统PID控制器。丛爽等[16]将ADRC成功应用于陀螺稳定平台,利用ADRC对系统中未建模部分进行观测及补偿,证明了ADRC的可行性和优越性。文献[17]将ADRC和RBF神经网络控制方法相结合,成功应用于磁悬浮控制敏感陀螺的高精度快响应强鲁棒控制,表明可以通过优化ADRC的方式实现对CMG的高精度扰动抑制。以上ADRC方法的成功应用,为解决MSCMG在输出力矩时的不可测扰动抑制问题提供了有益借鉴。
本文从工程应用出发,为了提高磁轴承系统的动态响应与整体抗干扰能力,针对MSCMG的动框架效应和不可测扰动,结合自适应控制与ADRC各自的优点,提出一种基于角加速率自适应前馈控制与ADRC相结合的复合控制方法,并进行仿真分析和实验验证。
1 MSCMG动力学模型 如图 1所示,MSCMG由磁悬浮高速转子系统和框架系统两部分组成,每部分又有各自的转子组件和定子组件。高速转子绕自转轴恒速旋转,提供大小恒定的角动量,框架转动带动磁悬浮高速转子系统沿框架轴转动,强制高速转子改变角动量方向,对外输出力矩,进而调整航天器姿态[18]。
图 1 磁悬浮控制力矩陀螺示意图 Fig. 1 Schematic diagram of MSCMG |
图选项 |
磁悬浮高速转子坐标系如图 2所示,图中,4对径向电磁铁和位移传感器对称分布于转子两端A和B,对应4个通道ax、bx、ay、by。设O-xyz为惯性坐标系,框架坐标系初始状态O-xyz重合,相对于O-xyz绕Oy旋转,定义转角为θ;lma和lmb分别为转子A端、B端磁轴承中心到转子中心的距离,且lma=lmb=lm;lsa和lsb分别为转子A端、B端传感器中心到转子中心的距离;x和y分别为转子沿Ox-和Oy-轴的平动位移量;α和β分别为转子绕Ox-和Oy-轴的扭转角。
图 2 磁悬浮高速转子系统坐标图 Fig. 2 System coordinate of magnetic levitation high-speed rotor |
图选项 |
由文献[1]可知,当框架以角速率
(1) |
式中:m为转子质量; Jx、Jy为赤道转动惯量,且Jx=Jy;H为转子角动量;Px和Py分别为沿x轴和y轴方向的磁轴承力矩;?为α的角速率(微分),?为α的角加速率(二阶微分),以此类推; fx和fy分别为沿x轴和y轴方向的磁轴承作用力;fgx和fgy分别为框架角运动引起的沿x轴和y轴方向的陀螺力矩,可表示为
(2) |
式中:
(3) |
式中:fax、fbx、fay和fby分别为框架角运动引起的陀螺力矩等效对应4个通道ax、bx、ay、by的扰动力,表示为
(4) |
由于对转子不平衡振动已采取加入同频陷波器滤除反馈位移信号中的同频量来实现最小电流控制的措施,动力学模型中未考虑转子不平衡的影响。
2 复合控制策略 本文提出的复合控制策略,主要由ADRC控制器与自适应前馈控制组成。角加速率自适应前馈控制抵消动框架效应,ADRC抑制电流刚度、位移刚度变化带来的未知扰动,2种控制方法复合使用,达到提高磁轴承抗干扰能力的目的。复合控制方法原理如图 3所示,转子系统输出的转子位移信号y分别输入到LMS和ESO当中,角加速率自适应前馈根据实时位移信号迭代计算出需要对动框架扰动的补偿量,同时ADRC将转子系统的输入u和输出y与设定的标准积分串联型相对比,计算得到的控制量。图中:ωg为框架角速率信号;u为误差反馈控制量;ka为框架角加速度灵敏度;GCL(z)T为磁悬浮转子系统传递函数的离散化模型,为框架扰动环节;z1为ESO输出的对转子系统输出量y的跟踪量;z2为对y的跟踪量z1的微分;z3为MSCMG系统内扰动扩展的状态量。功放将控制器和补偿器生成的PWM信号转换为控制电流,驱动电磁铁产生电磁力,使转子悬浮在给定位置上。
图 3 MSCMG磁轴承复合控制方法原理框图 Fig. 3 Principle block diagram for magnetic bearing composite control method of MSCMG |
图选项 |
2.1 自抗扰控制 ADRC控制器如图 4所示,主要由ESO、状态误差的非线性反馈律Ki、Kd,以及误差反馈控制量u0组成;v1、v2为通道实际信号;Ki为积分系数,Kd为微分系数,一般取Ki=ωc2,Kd=3ωc,ωc为控制器带宽。ADRC通过ESO提取系统状态信息和扰动信息,用状态误差信息来产生非线性误差反馈控制量,依据扰动估计值对系统进行扰动补偿,从而实现对系统中扰动的抑制[19]。
图 4 自抗扰控制器结构 Fig. 4 Structure diagram of active disturbance rejection controller |
图选项 |
由于本文研究的框架系统为二阶系统,所以采用三阶ESO对磁轴承系统内的未知扰动进行状态观测,设计三阶ESO为
(5) |
式中:b0、b1、b2和b3均为需要调整的参数,b0一般根据系统特性取一常数,b1=ωo3,b3=3ωo[20],ωo为ESO带宽。系统状态误差反馈律为
(6) |
误差反馈控制量u为
(7) |
控制量经过功放驱动磁悬浮轴承线圈,从而实现对系统中扰动的抑制。
2.2 角加速率自适应前馈控制 自适应前馈控制是随着运行环境改变而自动调节自身控制参数,根据扰动或给定值的变化按补偿原理来工作,以达到最优控制的控制方法。本文采用角加速率自适应前馈控制方法对动框架效应进行补偿,系统如图 5所示。图中:n1为系统扰动信号;e(n)为转子系统输出值与给定值的误差信号;T为自适应调节权值,根据式(4)可得到的T初始值为
(8) |
图 5 角加速率自适应前馈控制框图 Fig. 5 Block diagram of adaptive feedforward control module with angular acceleration rate |
图选项 |
由式(5)可以得到框架扰动环节GRG(s)传递函数为
(9) |
式(9)实际包含4个比例系数,其中0表示陀螺框架转动对转子平动运动不产生影响[12]。
实际磁悬浮转子系统为四输入四输出系统,且4个通道之间相互耦合,ADRC控制器可实现4个通道的解耦,以AX通道为例,该通道以u为输入,y为输出的传递函数。
(10) |
式中:Gc(s)为控制器传递函数;GP(s)为功放传递函数;ks、ki和kh分别为传感器灵敏度、电流刚度和位移刚度。权值迭代公式可写为
(11) |
式中:η为收敛常数。由式(10)可以看出,GCLT(s)非常复杂,同理式(11)权值迭代算法也非常复杂,在实际实验中无法实现,因此这里将对象滤波器简化为I4×4[6],简化后的权值迭代公式为
(12) |
根据转子系统输出量与给定值的误差e(n)与框架扰动信号ωg(n),自适应权值T不断进行迭代,实时调整输入到转子系统中的前馈补偿量,从而达到高精度抑制动框架效应的目的。由图 5可得误差信号的表达式为
(13) |
将式(13)代入式(12),对递推式两边取期望,可得
(14) |
式中:
(15) |
(16) |
由于磁悬浮转子4个通道完全对称,则4个通道的ωg(n)和e(n)均相等,即M等。由式(14)可以分析得出,I-ηM谱半径小于1且N界的情况下,E[T(n)]一定收敛。由此可设M特征根为λi(i=1, 2, 3, 4),可以推出E[T(n)]的收敛条件为
2.3 稳定性分析 由2.1节可知,只要使η值满足收敛条件,自适应前馈权值T总是收敛的,此时角加速率自适应前馈补偿量相当于一个常值,对整个磁悬浮系统的稳定性不再产生影响。对于ADRC,假设系统输出的预定轨迹为v,则真实值与预定值的误差可以表示为
(17) |
误差的微分可表示为
(18) |
令e(t)=[e1(t), e2(t)]T,z(t)=[z1(t), z2(t), z3(t)]T,可以得出
(19) |
式中:
(20) |
对式(19)取积分可得
(21) |
令R(t)=∫0teA(t-τ)B[f(τ)-z3(τ)]dτ,则
(22) |
由式(19)可得
(23) |
式中:δ为常值。
令
(24) |
令
(25) |
由于A为赫尔维茨矩阵,可得
(26) |
(27) |
将式(25)和式(27)代入式(24)可得
(28) |
由式(26)可得
(29) |
(30) |
根据式(28)、式(30)可得
(31) |
则
可知ρ为一个常数。即使系统模型未知,ADRC的跟踪误差也总是有限的,而且误差上限随着控制器带宽的增大而减小[21]。
3 仿真校验 为验证本文提出的MSCMG动框架效应抑制方法的有效性,采用MATLAB软件进行仿真研究。设定角速率大小从0°/s经过0.15 s逐渐变到+15°/s,然后持续0.5 s,再经0.3 s逐渐变到-15°/s。角加速率信号由角速率信号通过不完全微分得到,以该角速率信号作为扰动输入,等效于产生26 N·m的扰动力矩,然后直接作用在磁轴承系统上。
首先对MSCMG磁轴承复合控制的稳定性进行验证,采用不同转速下的根轨迹来判断系统稳定性。图 6为转子转频从0变化到150 Hz时的磁轴承系统根轨迹图,根轨迹全部位于坐标系的负半平面,说明磁轴承复合控制系统是稳定的。
图 6 复合控制下磁轴承系统根轨迹图 Fig. 6 Root locus of magnetic bearing system with composite control method |
图选项 |
图 7为基于复合控制的磁轴承系统在工作时,角加速率自适应算法中的权值变化波形。权值初始常值为0.13;t=1 s后系统接入自适应前馈,权值立即发生变化并在3 s内快速趋于稳定,说明自适应算法运行效果良好,自适应前馈控制运行稳定。
图 7 角加速率自适应算法权值波形 Fig. 7 Weight value waveform of adaptive angular acceleration rate algorithm |
图选项 |
图 8为基于复合控制的转子位移输出波形。将框架转动产生的26 N·m大小的扰动力矩接入磁轴承系统,转子的输出波形如图 8(a)所示,转子位移峰峰值在t=0 s时为4.81 μm;在t=2 s时收敛至2.07 μm;在t=6 s时收敛至0.13 μm;在t=10 s时收敛至0.048 μm,之后峰值稳定不变,表明复合控制能显著补偿动框架效应。再向转子系统输入端的4个通道均接入一个幅值为20 N、频率为15 Hz的正弦波扰动信号,且接入AX、BY通道与AY、BY通道的扰动信号相位差为90°,转子输出波形如图 8(b)所示:转子位移峰峰值在t=1 s时最大,为4.65 μm;在t=2 s时收敛至2.79 μm;t=5 s时收敛至0.85 μm,之后峰峰值基本不变,表明复合控制不仅能有效补偿动框架效应,对于未建模扰动也有明显的抑制作用。
图 8 基于复合控制的转子位移波形 Fig. 8 Rotor displacement waveform with composite control method |
图选项 |
4 实验验证 4.1 实验平台 为验证所设计的复合控制方法的有效性,以北京航空航天大学研制的MSCMG系统为对象进行实验研究。实验装置如图 9所示,包括MSCMG样机、电源、控制器、示波器及监控系统等,样机额定角动量200 N·m·s,输出力矩50 N·m,转子转速Fr=150 Hz,框架角速率由框架伺服电机控制部分直接给出,角加速率信号由角速率信号通过不完全微分得到。在此条件下,分别采用优化后PID控制方法、ADRC方法和本文提出的复合控制方法进行实验,比较3种控制方法下的转子位移跳动量、收敛时间、收敛后的位移峰峰值,校验该复合控制方法在磁轴承抗干扰能力上的优越性。MSCMG模型参数如表 1所示,控制器参数如表 2所示。
图 9 MSCMG实验平台 Fig. 9 Experimental setup of MSCMG |
图选项 |
表 1 MSCMG模型参数 Table 1 Model parameters of MSCMG
参数 | 数值 |
转子质量m/kg | 16.7 |
转子赤道转动惯量Jr/(kg·m2) | 0.8286 |
转子极转动惯量Jz/(kg·m2) | 0.1302 |
磁轴承中心到转子质心距离lm/m | 0.0725 |
传感器到转子质心距离ls/m | 0.1110 |
电流刚度ki/(N·A-1) | 600 |
位移刚度kh/(N·m-1) | 2.4×106 |
表选项
表 2 磁轴承转子控制参数 Table 2 Control parameters of magnetic bearing rotor
参数 | 数值 |
比例系数Kp | 3.7578 |
积分系数Ki | 261.2088 |
微分系数Kd | 0.0081 |
控制器带宽ωc | 220 |
观测器带宽ωo | 4000 |
收敛因子μ | 5×10-4 |
表选项
4.2 实验结果及分析 图 10为基于PID控制的转子位移波形图。t=0 s时高速转子开始旋转,陀螺框架未转动,由于不平衡振动的存在,转子输出位移持续跳动,最大跳动量为14.7 μm;在t=2 s时开始转动陀螺框架,在动框架效应的影响下转子位移跳动量加大为36.74 μm;系统在t=4 s之后收敛,收敛后的位移峰峰值为18.7 μm。
图 10 基于PID控制的转子位移波形 Fig. 10 Rotor displacement waveform with PID control method |
图选项 |
图 11为基于ADRC的转子位移波形。在t=1.5 s时开始转动陀螺框架,在t=3.2 s之后系统收敛,收敛时间较传统PID控制减少0.3 s,收敛后的位移峰峰值为14.7 μm,较传统控制下降21.4%。
图 11 基于ADRC控制下的转子位移波形 Fig. 11 Rotor displacement waveform with ADRC method |
图选项 |
图 12为复合控制下的转子位移波形。在t=1.3 s时开始转动陀螺框架,系统在t=2.2 s之后收敛,较传统控制提前1.1 s;收敛后的位移峰峰值为11.3 μm,较传统控制下降39.6%。
图 12 复合控制下的转子位移波形 Fig. 12 Rotor displacement waveform with composite control method |
图选项 |
综上分析可知,角加速率自适应前馈控制与ADRC复合控制方法明显改善了磁轴承系统特性,提高了系统精度,对扰动达到了理想的抑制效果。由于实验时框架角速率从-15°/s瞬间加至15°/s,角加速度过大,瞬态过程频率特性较为复杂,所以瞬态过程的控制效果不明显,有待于进一步深入研究。
5 结论 1) 根据MSCMG动力学模型可知,动框架效应会影响高速转子的悬浮精度及稳定性。基于角加速率自适应前馈控制与ADRC相结合的复合控制方法,能够有效抑制框架转动对磁悬浮系统带来的影响。
2) ADRC控制器通过ESO对框架系统的未知扰动进行观测和估计,通过反馈控制实现对系统中未知扰动的补偿。
3) 本文提出的复合控制方法改善了动框架效应及未知扰动对转子悬浮精度的影响,同时提高了磁悬浮系统的抗干扰能力,实现了MSCMG磁悬浮转子系统的高精度控制。
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